Projeções de entidades geométricas elementares condicionadas por relações de pertença (incidência) 8

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1 Índice Item Representação diédrica Projeções de entidades geométricas elementares condicionadas por relações de pertença (incidência) 8 Reta e plano 8 Ponto pertencente a uma reta 8 Traços de uma reta nos planos de projeção 8 Traços de uma reta nos planos bissetores 9 Ponto pertencente a uma reta de perfil 9 Reta contida num plano 11 Traços de um plano nos planos de projeção 13 Reta contida num plano definido pelos seus traços 13 Determinação dos traços de um plano nos planos de projeção 14 Retas notáveis de um plano 15 Ponto pertencente a um plano 17 Interseções 19 Interseção de dois planos 19 Interseção de dois planos projetantes 19 Interseção de um plano projetante com um plano não projetante 20 Interseção de dois planos oblíquos 21 Interseção de dois planos de rampa 23 Interseção de um plano oblíquo com um plano passante 24 Interseção de um plano com os planos bissetores 24 Interseção de uma reta com um plano 26 Interseção de uma reta com um plano projetante 26 Interseção de uma reta com um plano método geral 27 Interseção de três planos 29 Métodos geométricos auxiliares I 30 Rebatimento. Rebatimento de planos projetantes 30 Rebatimento do plano vertical 30 Rebatimento do plano de topo 32 Rebatimento do plano de perfil 34 Paralelismo de retas e de planos 36 Retas paralelas entre si 36 Retas de perfil paralelas 36 Reta paralela a um plano 37 Reta paralela a dois planos 38 Plano paralelo a uma reta 38 Planos paralelos entre si 39 Perpendicularidade de retas e de planos 41 Reta horizontal ou frontal perpendicular ou ortogonal a uma reta oblíqua aos planos de projeção 41 Reta perpendicular a um plano 42 Plano perpendicular a uma reta 43 Retas oblíquas perpendiculares entre si 44 Planos perpendiculares entre si 45 Plano perpendicular a dois planos 46 Fichas de revisão 47

2 Representação diédrica Item Item Métodos geométricos auxiliares II 60 Rebatimento do plano oblíquo 60 Rebatimento de um plano oblíquo recorrendo ao processo do triângulo do rebatimento 60 Rebatimento de um plano oblíquo recorrendo a retas do plano 62 Rebatimento do plano de rampa 65 Rebatimento do plano passante 68 Problemas métricos 69 Distâncias 69 Distância de um ponto a uma reta 69 Distância de um ponto a um plano 72 Distância entre dois planos paralelos 74 Ângulos 76 Ângulo de duas retas 76 Ângulo entre duas retas concorrentes 76 Ângulo entre duas retas enviesadas 77 Ângulo de uma reta com um plano 78 Ângulo de uma reta com um plano horizontal ou com um plano frontal 78 Ângulo de uma reta de perfil com um plano de rampa 79 Ângulo de uma reta com um plano método do ângulo complementar 80 Ângulo entre dois planos 82 Ângulo de um plano com um plano horizontal ou com um plano frontal 82 Ângulo entre dois planos de rampa 83 Ângulo entre dois planos oblíquos 83 Ângulo de um plano oblíquo com um plano passante 84 Figuras planas situadas em planos projetantes e planos não projetantes 85 Figuras planas situadas em planos: horizontal ou frontal 85 Figuras planas situadas em planos de perfil 86 Figuras planas situadas em planos: vertical ou de topo 88 Figuras planas situadas em planos: oblíquo, de rampa ou passante 89 Figuras planas situadas em planos oblíquos 89 Figuras planas situadas em planos de rampa 91 Figuras planas situadas em planos passantes 92 Fichas de revisão 93 Representação diédrica Sólidos 112 Pirâmides e prismas retos e oblíquos com base(s) regular(es) situada(s) em planos: horizontal, frontal ou de perfil 112 Pirâmides e prismas de base(s) horizontal(ais) 112 Pirâmides e prismas de base(s) frontal(ais) 115 Pirâmides e prismas de base(s) de perfil 116 Cones e cilindros de revolução e oblíquos com base(s) circular(es) situada(s) em planos: horizontal, frontal ou de perfil 118 Cones e cilindros de base(s) horizontal(ais) 118 Cones e cilindros de base(s) frontal(ais) 119 Cones e cilindros de base(s) de perfil 121 Esfera 122 Pirâmides e prismas retos com base(s) regular(es) situada(s) em planos: vertical ou de topo 122 Pirâmides e prismas regulares de base(s) vertical(ais) 123 Pirâmides e prismas regulares de base(s) de topo 124

3 Pirâmides e prismas retos com base(s) regular(es) situada(s) em planos: oblíquo, de rampa ou passante 125 Pirâmides e prismas regulares com base(s) situada(s) em plano(s) oblíquo(s) 125 Pirâmides e prismas regulares com base(s) situada(s) em plano(s) de rampa 127 Pirâmides e prismas regulares com a base ou com uma das bases no caso do prisma situada num plano passante 129 Secções 131 Secções em sólidos. Truncagem 131 Secções em poliedros com base(s) em qualquer tipo de plano(s) produzidas por planos: horizontal, frontal e de perfil 131 Secções em poliedros com base(s) horizontal(ais), frontal(ais) ou de perfil produzidas por planos: vertical, de topo, oblíquo, de rampa e passante 135 Secções em pirâmides e prismas produzidas por planos: vertical e de topo 135 Secções em pirâmides e prismas produzidas por planos: oblíquo, de rampa e passante 137 Secções produzidas em cones de base circular 140 Secções em cones de base circular produzidas por planos projetantes 141 Secções produzidas em cilindros de bases circulares 145 Secções em cilindros de bases circulares produzidas por planos projetantes 145 Secções produzidas na esfera 148 Secções em esferas produzidas por planos projetantes 148 Sombras 150 Sombra produzida de um ponto 150 Sombras produzidas de um ponto nos planos horizontal e frontal de projeção 151 Sombra projetada de um segmento de reta nos planos de projeção 152 Sombra própria e sombra projetada nos planos de projeção de uma figura plana 153 Polígono 153 Círculo 154 Sombra própria e projetada de um sólido 156 Sombra própria e sombra projetada nos planos de projeção de pirâmides e de prismas com base(s) horizontal(ais), frontal(ais) ou de perfil 157 Pirâmides 157 Prismas 159 Sombra própria e sombra projetada nos planos de projeção de cones e de cilindros com base(s) horizontal(ais), frontal(ais) ou de perfil 161 Cones 161 Cilindros 165 Fichas de revisão 169 Representação axonométrica Item Axonometrias 194 Axonometria ortogonal 194 Axonometrias ortogonais: isometria, dimetria e trimetria 195 Coeficiente de redução. Escalas axonométricas 196 Representação de um ponto em axonometria ortogonal 196 Representação de um ponto recorrendo ao rebatimento dos planos coordenados 197 Representação de um ponto recorrendo ao método dos cortes 201 Representação de formas tridimensionais simples ou compostas em axonometria ortogonal 202 Poliedros 202 Formas tridimensionais compostas 205 Axonometria oblíqua ou clinogonal 206 Axonometrias clinogonais: cavaleira e planométrica (ou militar) 206 Cavaleira 207 Determinação gráfica da escala axonométrica do eixo perpendicular ao plano axonométrico 207

4 Representação de um ponto em axonometria clinogonal cavaleira 208 Representação de formas tridimensionais simples ou compostas em axonometria clinogonal cavaleira 210 Poliedros 210 Cones e cilindros 212 Formas tridimensionais compostas 213 Planométrica ou militar 214 Determinação gráfica da escala axonométrica do eixo z 214 Representação de um ponto em axonometria clinogonal planométrica 214 Representação de formas tridimensionais simples ou compostas em axonometria clinogonal planométrica (ou militar) 216 Poliedros 216 Cones e cilindros 217 Formas tridimensionais compostas 218 Fichas de revisão 219 Exames Nacionais 271 Informação Prova de Geometria Descritiva A (IAVE) 272 Enunciados e propostas de resolução dos Exames Nacionais Exame Nacional de Geometria A 2006 (1.ª e 2.ª fases) 274 Exame Nacional de Geometria A 2007 (1.ª e 2.ª fases) 284 Exame Nacional de Geometria A 2008 (1.ª e 2.ª fases) 294 Exame Nacional de Geometria A 2009 (1.ª e 2.ª fases) 304 Exame Nacional de Geometria A 2010 (1.ª e 2.ª fases) 314 Exame Nacional de Geometria A 2011 (1.ª e 2.ª fases) 324 Exame Nacional de Geometria A 2012 (1.ª e 2.ª fases) 334 Exame Nacional de Geometria A 2013 (1.ª e 2.ª fases) 344 Exame Nacional de Geometria A 2014 (1.ª e 2.ª fases) 354 Exame Nacional de Geometria A 2015 (1.ª e 2.ª fases) 364 Exame Nacional de Geometria A 2016 (1.ª e 2.ª fases) 374

5 Representação diédrica Item Projeções de entidades geométricas elementares condicionadas por relações de pertença (incidência), de paralelismo, de perpendicularidade ou resultantes de interseções Ponto, reta e plano Interseções (plano/plano e reta/plano) Métodos geométricos auxiliares I Paralelismo de retas e de planos Perpendicularidade de retas e de planos No final da abordagem dos temas inclui-se um conjunto de fichas de revisão com exercícios globais. Todos os exercícios apresentam propostas de resolução (à escala de 1:2) com relatórios, que resultam da aplicação de alguns dos vários processos que podem ser utilizados. De modo a garantir uma avaliação efetiva das competências adquiridas, sugere-se que o aluno consulte as soluções apenas quando concluir a resolução dos exercícios.

6 Item Paralelismo de retas e de planos Retas paralelas entre si Retas paralelas têm a mesma direção. As projeções homónimas de retas paralelas são paralelas entre si. Retas de perfil paralelas Para resolver os problemas que tratam de retas de perfil paralelas entre si pode-se recorrer a um dos métodos geométricos auxiliares, a retas concorrentes com as retas de perfil ou à representação triédrica. Representação da reta de perfil b que contém o ponto C e é paralela à reta a definida pelos pontos A e B. Para definir a reta de perfil b é necessário determinar um outro ponto da reta. Nesta resolução recorre-se à representação triédrica, pois, sendo as retas a e b paralelas ao plano de perfil de projeção, as suas projeções de perfil, a 3 e b 3, são paralelas entre si. Representa-se um ponto P (qualquer) da reta b que, com o ponto C, define a reta b. Recorrendo a retas concorrentes com as retas a e b. As retas a e b pertencem a um mesmo plano. Consideram-se duas retas oblíquas, r e s, paralelas entre si e pertencentes ao mesmo plano a reta r contém os pontos B e C e a reta s contém o ponto A (s 2 // r 2 e s 1 // r 1 ). A reta s é concorrente com a reta b no ponto D que, com o ponto C, define a reta b. 36

7 Reta paralela a um plano Uma reta é paralela a um plano se for paralela a uma reta desse plano. Representação de uma reta oblíqua r paralela a um plano oblíquo α. Paralelismo de retas e de planos A reta r contém um ponto R exterior ao plano α e é paralela à reta s que está contida no plano (r 2 // s 2 e r 1 // s 1 ), portanto, r é paralela ao plano α. Representação de uma reta de perfil p que contém o ponto A e é paralela ao plano de rampa θ. Na resolução apresentada recorre-se à representação triédrica, pois, sendo a reta p paralela às retas de perfil do plano de rampa θ, então p 3 é paralela ao traço de perfil do plano θ recorde-se que pθ é a reta de perfil com abcissa nula do plano. Para definir a reta p optou-se por determinar os seus traços horizontal e frontal, os pontos H e F. 37

8 Item Fichas de revisão 18.1 Ficha 18 Represente, pelas suas projeções, o sólido resultante da secção produzida por um plano vertical δ numa pirâmide hexagonal regular de base horizontal. Destaque, a traço mais forte, a porção da pirâmide situada entre o plano secante e o plano frontal de projeção. a base [ABCDEF] está inscrita numa circunferência com centro no ponto O (0; 6; 8) e 4 cm de raio; duas arestas laterais da pirâmide são de perfil; o vértice V pertence ao plano horizontal de projeção; o plano secante δ interseta a aresta de perfil visível em projeção frontal num ponto com 8,5 cm de afastamento e forma um diedro de 60 (a.d.) com o plano frontal de projeção Determine as projeções da figura de secção produzida por um plano oblíquo α numa pirâmide pentagonal oblíqua de base regular frontal. o ponto O (2; 1; 6) e o ponto A, com 6 cm de abcissa e 6 cm de cota, são, respetivamente, o centro e um dos vértices da base [ABCDE]; a aresta lateral [AV] é horizontal e o vértice V da pirâmide tem 1 cm de abcissa e 9 cm de afastamento; o plano secante α interseta o eixo x no ponto com 9 cm de abcissa e os seus traços horizontal e frontal fazem, com esse eixo, ângulos de 30 (a.e.) e 50 (a.e.), respetivamente Determine a sombra própria e a sombra projetada nos planos de projeção de um cilindro de revolução de bases horizontais. as bases têm 3,5 cm de raio; o ponto O (2; 8; 3,5) é o centro de uma das bases; a outra base tem 7 cm de cota Determine a sombra própria e a sombra projetada nos planos de projeção de um prisma quadrangular oblíquo situado no 1. diedro. as bases são quadrados contidos em planos frontais com 1,5 cm e 8 cm de afastamento; o ponto A, com 6 cm de abcissa e 5 cm de cota, e o ponto B, com 3 cm de abcissa e 1 cm de cota, são vértices consecutivos da base de menor afastamento; o ponto A é o vértice do prisma que se situa mais à direita; as arestas laterais do prisma são horizontais e medem 7 cm. 176

9 Item 11.1 Soluções Ficha 11 A base do cone projeta-se em verdadeira grandeza no plano horizontal de projeção. A projeção horizontal do centro O é determinada na interseção do arco de circunferência com centro em P 1 e 3,5 cm de raio com a linha de referência das projeções do ponto O. Para representar a amplitude do ângulo entre a geratriz [VP] e o plano horizontal da base e determinar a projeção frontal do vértice V, optou-se por rebater o plano vertical δ que contém [VP] sobre o plano frontal de projeção O vértice A pertence ao traço frontal do plano de rampa ρ que contém a base inferior do prisma e o vértice D pertence ao traço horizontal do plano ρ. A diagonal [AD] é de perfil. As projeções da base [ABCDEF] são determinadas através do rebatimento do plano ρ sobre o plano horizontal de projeção. As arestas laterais (cujo comprimento corresponde à altura do prisma) pertencem a retas de perfil perpendiculares aos planos das bases. Para determinar as projeções do vértice A da base superior recorre-se à representação triédrica conforme exposto na página 128. As projeções das arestas da base [A B C D E F ] (visível em projeção horizontal e frontal) são paralelas às projeções das arestas correspondentes da base [ABCDEF]. CPEN-GD

10 Provas de Exames Nacionais Através do rebatimento dos planos coordenados xy e xz sobre o plano axonométrico pelo método dos cortes representam-se, em rebatimento, as projeções nesses planos dos dois prismas quadrangulares regulares em verdadeira grandeza. Contrarrebatendo os vértices dos prismas através de perpendiculares às charneiras dos rebatimentos, determina-se a projeção axonométrica do sólido resultante. Para um melhor entendimento da representação da forma tridimensional atribui-se notação aos vértices da base de maior abcissa, [ABCD], do prisma de bases paralelas ao plano coordenado yz e aos vértices da base de maior afastamento, [BPQR], do prisma de bases paralelas ao plano coordenado xz. Resolução passo a passo em 378

11 EXAME FINAL NACIONAL DO ENSINO SECUNDÁRIO Prova Prática de Geometria Descritiva A 2.ª Fase º Ano de Escolaridade Decreto-Lei n.º 139/2012, de 5 de julho Prova 708/2. a Fase Duração da Prova: 150 minutos. Tolerância: 30 minutos Determine os traços do plano θ, perpendicular ao plano α. o plano α é definido pelo seu traço frontal e pelo ponto A (0; 2; 4); o traço frontal do plano α contém o ponto B do eixo x, com abcissa nula, e faz um ângulo de 50º, de abertura para a esquerda, com o eixo x; o plano θ contém o ponto P (0; 4; 2) e o seu traço frontal faz um ângulo de 40º, de abertura para a esquerda, com o eixo x. Cotações Determine as projeções de um retângulo [ABCD] situado num plano oblíquo δ e no 1.º diedro. o plano δ é definido pelo ponto M do eixo x, com 4 de abcissa, e por uma reta horizontal h; a reta horizontal h contém o vértice A (0; 3; 2) e define um ângulo de 55º, de abertura para a direita, com o Plano Frontal de Projeção; o lado [AB] do retângulo mede 9 cm e o vértice B tem cota nula; os lados menores do retângulo medem 6 cm Determine as projeções de uma pirâmide oblíqua de base regular triangular [ABC] situada num plano horizontal e das suas sombras própria e projetada nos planos de projeção. Destaque, a traço mais forte, as projeções da pirâmide e as linhas visíveis da sombra projetada nos planos de projeção. Identifique, a traço interrompido, as arestas invisíveis do sólido e as linhas invisíveis da parte ocultada da sombra projetada. Identifique as áreas visíveis das sombras, própria e projetada, preenchendo-as a tracejado ou com uma mancha de grafite clara e uniforme. Nota Se optar pelo tracejado, deverá fazê-lo com linhas paralelas ao eixo x, nas áreas de sombra própria, e com linhas perpendiculares às projeções da direção luminosa, nas áreas de sombra projetada