CURVAS ALGÉBRICAS E O TEOREMA DE BÉZOUT

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1 CURVAS ALGÉBRICAS E O TEOREMA DE BÉZOUT Aluno: Filipe Bellio da Nóbrega Orientador: Marcos Craizer Introdução Curvas algébricas são objetos matemáticos dotados de propriedades muito interessantes e de beleza inerente tanto do ponto de vista algébrico quanto geométrico. Assim, estudá-las é não só um excelente exercício para aqueles que pretendem se aprofundar nos estudos em matemática, como uma fonte de prazer e inspiração. Foi tendo isto em mente que Christopher G. Gibson publicou um livro [1] baseado em suas notas de aula sobre este assunto, que lecionava na Universidade de Liverpool. Esta obra nos serviu de texto base para os estudos desta iniciação científica. Foi feito um estudo dirigido sobre curvas algébricas, suas características e maneiras de estudá-las. A partir da demonstração de diversos lemas foi-se desenvolvendo a compreensão teórica matemática do objeto de estudo. Mais adiante, foi demonstrado e compreendido o Teorema de Bézout bem como suas aplicações e corolários. Durante o desenvolvimento da pesquisa, foram realizados diversos exercícios sobre o assunto, por vezes aplicando softwares gráficos como o Maple e o Geogebra. Eles ilustram bem o raciocínio empregado e auxiliam na compreensão do conteúdo. Metodologia Além do estudo e da leitura individual do texto base, organizou-se um seminário semanal para que houvesse debate sobre os novos conteúdos aprendidos e apresentação dos exercícios realizados. Deste seminário participaram o orientador e sete alunos de graduação. O estudo seguiu a ordem natural apresentada pelos capítulos do livro Elementary Geometry of Algebraic Curves de C. G. Gibson, e os exercícios foram tirados do mesmo. A obra inicia apresentando alguns exemplos e as definições básicas sobre curvas algébricas, que naturalmente são presentes em todos os capítulos. Em seguida são apresentadas e desenvolvidas propriedades básicas sobre curvas algébricas no plano real, aquelas com as quais estamos mais familiarizados, como as cônicas por exemplo. Então é tomado um primeiro passo de abstração e passa-se a trabalhar no plano complexo. Essa medida é vantajosa do ponto de vista algébrico, uma vez que no corpo dos números complexos vale o Teorema Fundamental da Álgebra, garantindo que todo polinômio de grau n possui n raízes. Por outro lado, perde-se a visualização gráfica da curva algébrica que tínhamos no caso real. Até a metade do livro, trabalhamos o caso afim, incluindo classificação de cônicas, equivalência afim, invariantes (grau e centro de curvas), singularidades (número de intercessão, multiplicidade de um ponto, pontos singulares e inflexões) e tangentes. A segunda metade exige novamente um passo de abstração, dessa vez com relação ao plano projetivo. Diferentemente do caso afim, no plano projetivo são aceitos pontos no infinito que, como qualquer ponto, podem pertencer a uma curva algébrica. Apesar de muito abstrato, esse novo conceito não apresenta álgebra complicada e, depois que acostuma-se, fornece-nos informações valiosas sobre as curvas que estudamos. Uma vez familiarizados com o plano projetivo, passamos a estudar curvas projetivas, i.e. curvas algébricas no plano projetivo. Mais uma vez, estudamos as cônicas, singularidades, equivalência projetiva, tangentes e invariantes, mas agora todos do ponto de vista projetivo.

2 Então o livro chega a um capítulo central, o que diz respeito a intercessões de curvas projetivas. Todo o material estudado até então serve de apoio e será aplicado nesta parte, onde é demonstrado o Teorema de Bézout. Ele clareia a nossa percepção em relação aos encontros entre duas curvas algébricas, pontos muito importantes tanto do ponto de vista teórico quanto prático. Desenvolvimento Teórico Seguindo o texto de apoio, há trajetória natural de conceitos até o Teorema de Bézout. Primeiramente é preciso definir curva algébrica, o que pode ser feito de duas maneiras. Ela pode ser descrita parametricamente através de funções para cada coordenada, ou implicitamente como a pré-imagem de 0 de uma classe de equivalência de funções polinomiais não nulas λf: K² K (λ K). Assim, a equação ( ) descreve bem um representante da curva algébrica, considerando subentendido que a expressão polinomial deve ser igualada a 0. Esta segunda forma será a utilizada Exemplos de curvas algébricas, suas expressões e traçados no plano real afim Ainda no primeiro capítulo, é mencionado um conjunto de curvas algébricas conhecido como pedais da parábola. Estão entre elas o estrofoide e a cissoide de Diocles. O interessante é que se pode construí-las geometricamente seguindo simples instruções. Parábola com foco em A=(1,0) e diretriz vertical passando por B=(-1,0)

3 Criado ponto do Pedal P=(0,0), um ponto T pertencente à parábola e a reta tangente à parábola que passa por T Criada reta perpendicular à reta tangente e que passe por P e ponto de intercessão dessas duas retas I

4 Ao desenhar o lugar geométrico de I (Considerando P um ponto fixo, a posição de I depende apenas da posição de T. Fazendo T percorrer a parábola, I percorre um trajeto específico, este é o seu lugar geométrico) temos o Pedal da Parábola A figura formada através desse passo-a-passo varia dependendo da parábola escolhida inicialmente e, mais importante, da posição de P. Este ponto deve pertencer ao eixo principal da parábola e é a sua posição que determina o tipo de pedal gerado. Se P está no vértice da parábola, temos a Cissoide de Diocles

5 Se P está sobre a diretriz, temos o Estrofoide Reto Outros exemplos de Pedais da Parábola

6 É importante notar a relevância do domínio da função f e o corpo de base para seus coeficientes que definem uma curva algébrica. Apesar de muitas das propriedades estudadas independerem do corpo K, outras exigem algumas restrições sobre ele, como é o caso do próprio Teorema de Bézout. Nesse sentido, é recompensador um primeiro passo de abstração, trabalhar com os números complexos. Um exemplo claro da utilidade de se considerar os números complexos é a distinção de duas curvas algébricas irredutíveis analisando o seu traçado (pré-imagem de 0). As curvas e no plano real apresentam o mesmo traçado (conjunto vazio), no entanto são curvas algébricas irredutíveis distintas. Se considerarmos o plano complexo, apesar de não podermos visualizar, percebemos que o conjunto de pares (x,y) que pertencem a cada uma das curvas são completamente diferentes. No exercício do livro há uma coleção de curvas algébricas com uma propriedade particular, todas elas são da forma ( ). Uma técnica interessante para esboçar o traçado destas curvas envolve analisar primeiramente o traçado de outra curva, a ( ) e tomar raízes quadradas da ordenada ponto a ponto. Assim constrói-se o desejado, observando que onde na expressão de apoio resulta em dois valores opostos de y na expressão final (tornando a curva simétrica em relação ao eixo x), enquanto onde resulta em um desaparecimento desta parte do traçado. Na realidade, existe curva naquela região, mas o valor de y é complexo e, portanto, não se pode visualizá-lo

7 O segundo passo de abstração importante diz respeito ao plano projetivo, em particular o plano projetivo complexo PC². Este é o meio mais natural para se trabalhar, pois nele podem-se observar novas propriedades e invariantes que não existiam no plano afim, o que facilita o estudo das curvas algébricas. Sob este novo olhar, são aceitos pontos no infinito, que podem fazer parte de uma curva algébrica. Em PC² os pontos são da forma ( ) ( ) ( ) não é um ponto, ou seja, qualquer reta contendo a origem, como as da imagem acima, representa apenas um ponto do ponto de vista projetivo. Considerando o plano amarelo, necessariamente não contendo a origem, como o plano afim original, (onde a curva algébrica se encontra) cada ponto seu é representado por um ponto projetivo, que é a reta azul que passa pelo tal ponto. Entretanto, a reta vermelha não intercepta o plano, mas é um ponto projetivo. Esse é um ponto no infinito, e há infinitos deste tipo, basta pegar qualquer outra reta pertencente ao plano azul, paralelo ao amarelo. Em PC², uma curva algébrica projetiva tem o formato: ( ) e esta expressão deve ser uma forma, i.e. todos os monômios devem ter o mesmo grau ( + + ). Isso se deve ao fato de que no plano projetivo os pontos ( ) ( ) ( ) estão alinhados e portanto representam o mesmo ponto projetivo, assim, caso a expressão não fosse uma forma, poderia haver contradição, onde um ponto ao mesmo tempo pertence e não pertence a uma curva algébrica. Essa condição faz com que a pré-imagem de 0 tenha a característica de ser um cone

8 Dada uma curva algébrica, sempre é possível torná-la uma curva projetiva. Este processo tem o nome de homogeneização e uma de suas formas mais simples consiste em completar o grau dos monômios de grau menor com a variável z. Um exemplo simples é o de uma reta; Através desta manobra consegue-se uma curva projetiva com a propriedade de possuir os mesmos pontos da curva afim no plano 1. O processo contrário, a desomogeneização, consiste em fixar um plano arbitrário que não contenha a origem e analisar a intercessão deste com a curva projetiva. Dizemos que uma curva projetiva apresenta diversos pontos de vista afim, pois para cada escolha de plano obtém-se uma curva algébrica diferente. Algebricamente, basta eliminar uma das variáveis x, y ou z utilizando a equação do plano escolhido. Todas as curvas acima são pontos de vista diferentes da curva projetiva De cima para baixo elas são retiradas dos planos 1, 1, 1

9 O interessante é que esses diferentes pontos de vista trazem informações a respeito um dos outros. Sabemos que curvas apresentam pontos no infinito que não conseguimos observar. Se o ponto de vista escolhido é o do plano 1, todos os pontos do tipo ( ) exceto ( ) são pontos no infinito para a curva afim. Podemos então analisar o plano 1 e observar quais valores de ( ) satisfazem a nova curva afim tendo, ou seja as intercessões da nova curva afim com o eixo x. Queremos saber se a parábola contém pontos no infinito. Primeiro homogeneizamos:. Agora pegamos o plano 1 e temos. O ponto (0,0) pertence a essa nova parábola e indica que o ponto (0:1:0) pertence a F. Concluímos que a parábola f apresenta um ponto no infinito localizado em seu eixo principal. Outro exemplo, duas retas sempre se encontram, mesmo as paralelas, pois estas se encontram em um ponto no infinito. Sejam retas paralelas. Homogeneizando temos Fazendo para buscarmos pontos no infinito encontramos o ponto (1 ) como solução comum às duas retas. Estes resultados podem ser encontrados algebricamente com facilidade, mesmo nem sempre sendo claros geometricamente. Um terceiro caso muito interessante é o das circunferências. A expressão genérica para circunferências (de qualquer centro (a,b) e qualquer raio r) é dada por ( ) 2 + ( ) 2 2. Homogeneizando obtemos ( ) 2 + ( ) Fazendo chegamos à expressão 2 + 2, cujas raízes são: (1 ) (1 ). A incrível conclusão é que toda circunferência passa pelos mesmos dois pontos no infinito complexo, pontos tão importantes que receberam o nome de Pontos Circulares no Infinito. Qualquer curva algébrica que também passe por esses pontos é chamada de curva circular. ( ) O Astroide e o Trevo de Três folhas são curvas circulares Os pedais da parábola também são exemplos deste tipo de curva Em diversas situações deseja-se estudar as interseções de duas curvas algébricas F e G. O Teorema de Bézout fornece informação sobre este aspecto, pois ele diz: Sejam F e G curvas algébricas em PC² de graus m e n respectivamente e sem componentes comuns. Segue que a soma dos números de interseção I(P,F,G) dos pontos de interseção P é mn, em particular F e G se encontram em pelo menos um ponto. Assim, dizemos que F e G têm mn interseções contadas apropriadamente. Claro que é preciso saber o significado de número de interseção para compreender o teorema, mas para isso também é preciso conhecer a definição de Resultante.

10 Dados dois polinômios é possível montar uma matriz específica seguindo um padrão com seus coeficientes. O determinante desta matriz é o chamado resultante. Demonstra-se que a matriz é tal que seu resultante é nulo se e somente se os polinômios têm fatorem em comum. Dadas F e G curvas algébricas de graus m e n, é possível montar a tal matriz específica com seus coeficientes em z, i.e. as potências de x e y também aparecem na matriz. O resultante R(x,y) neste caso é um polinômio nas variáveis x e y. Demonstra-se que este polinômio é identicamente igual a zero ou uma forma de grau mn. Com este fato, pode-se demonstrar que duas curvas F e G sem componentes comuns de graus m e n respectivamente se intersectam em um número finito de pontos, em particular elas se intersectam no máximo em mn pontos distintos. A demonstração utiliza o Lema dos Quatro Pontos, importante na teoria de curvas projetivas, e também o fato de formas binárias, como é o resultante R(x,y), possuírem um número finito de raízes do ponto de vista projetivo, em particular se seu grau é mn, então haverá no máximo mn raízes distintas. O número de interseção I(P,F,G) de um ponto ( ) é definido como a multiplicidade de ( ) como raiz do resultante R(x,y) após feitos os ajustes necessários. Se P não é ponto de interseção I(P,F,G) = 0 e se P pertente a uma componente comum de F e G então I(P,F,G) =. Agora basta concluir o Teorema de Bézout, uma vez que a soma das multiplicidades das raízes de R(x,y) é exatamente mn, pois este é o grau de R(x,y). A parte final é simples, se F e G não se encontrassem em nenhum ponto, mn = 0, claramente um absurdo. Uma vez demonstrado o Teorema de Bézout, tem-se uma ideia de como duas curvas quaisquer se interceptam. Dado o conjunto dos pontos de interseção 2 (s mn) temos uma soma característica associada a estes, a soma de seus números de interseção 2 onde ( ). Essa soma ganha o nome de padrão de interseção de F e G e é um invariante sob transformações projetivas. É interessante notar o valor geométrico desta soma, tendo em vista que se alguma parcela for maior que 1, ela indica a existência de uma tangência de F e G naquele ponto em específico. Valores maiores apontam para uma aproximação ainda mais profunda entre as duas curvas. As parábolas não se interceptam em C². Mas pelo Teorema de Bézout, deve haver pelo menos uma intercessão, tudo indica que elas devem ter pontos em comum no infinito. Temos , ambas apresentam apenas um ponto para, ( 1 ), sendo ele um ponto comum às duas curvas. Seu resultante com relação a z é o determinante da seguinte matriz: Obtemos ( ) 4. Como a única raiz é (0:1) com multiplicidade 4, temos o número de intercessão ( ). Agora conhecemos a relação entre essas duas curvas, elas se tangenciam profundamente no infinito.

11 Conclusões O estudo teórico permitiu uma maior compreensão do universo das curvas algébricas e de suas propriedades. Foi possível demonstrar o Teorema de Bézout e solucionar exercícios complexos mesmo sem a utilização de meios tecnológicos. Entretanto, foi interessante a implementação de softwares gráficos como o Maple e o Geogebra para a visualização dos argumentos teóricos desenvolvidos. Curvas algébricas apresentam uma beleza inerente tanto do ponto de vista algébrico quanto geométrico, sendo sempre interessante manter uma comunicação entre essas duas facetas. O projeto exigiu dedicação e envolvimento, sendo recompensador para um matemático em formação. O conhecimento adquirido será útil mais à frente, especialmente na área de geometria diferencial que compartilha semelhanças com o material estudado. Além disso, a pesquisa já resultou em aplicação no evento PUC por Um Dia, aonde alunos do ensino médio com interesse na área de matemática vieram visitar a PUC-Rio e assistir a uma apresentação de PowerPoint intitulada: Equações Algébricas, Números Complexos e Pontos no Infinito. Os objetivos centrais eram despertar o interesse dos jovens, mostrar um exemplo do que é desenvolvido pelos alunos do departamento de matemática e ensiná-los um pouco de matemática que não se aprende nas escolas. Referências 1 - GIBSON, C. G. Elementary Geometry of Algebraic Curves: An Undergraduate Introduction. 1.ed. New York: Cambridge University Press, 2001.