Elementos de Matemática

Transcrição

1 Elemetos de Matemática Números Complexos e Biomiais: Exercícios Versão compilada o dia de Outubro de Departameto de Matemática - UEL Prof. Ulysses Sodré: ulysses(auel(ptbr Matemática Essecial: Resumo: Notas de aulas de Elemetos de Matemática para as aulas a UEL. Elas devem ser usadas como roteiro e ão espero que elas veham a substituir qualquer livro sobre o assuto. Algus coceitos foram obtidos em livros citados a Bibliografia, mas os assutos foram bastate modificados. Sugiro que o leitor pesquise a Iteret para obter materiais gratuitos para os seus estudos. Mesagem: Todo aquele que vai além do esio de Cristo e ão permaece ele, ão tem a Deus; quem permaece este esio, esse tem tato ao Pai como ao Filho. Se alguém vem ter covosco, e ão traz este esio, ão o recebais em casa, em tampouco o saudeis. A Bíblia Sagrada, I João :9-0

2 Seção Números Complexos Números Complexos. Determiar todos os úmeros complexos z a bi para os quais (a z (b z i (c z ( i (d z z 5 (e z z 5 (f z z 5 2. Escrever a forma z a bi os seguites úmeros complexos: (a z (2 i ( i (b z 2 ( 4i(2 4i (c z 2 i i (d z 4 i(2 i (e z 5 4i 2 8i (f z 6 2 i 2i. Escrever o úmero complexo z i a forma polar (se ecessário, use fuções trigoométricas iversas. 4. Escrever a forma z a bi os seguites úmeros complexos: (a z e 2iπ (b z 2 e iπ/2 (c z e iπ/4 (d z 4 e iπ (e z 5 e 2iπ (f z 6 e iπ 5. Expressar a forma z a bi os úmeros z ( i 7 e w ( i Obter todas as soluções complexas da equação (a (z 2 z 2. (b (z z. (c (z 4 z 4. (d (z 5 z Usado o fato que i 4 se Z, calcular i 25, i 00 e i Se z i, idica o plao cartesiao os úmeros z, z 2, z, z 4, z 5, z 6, z 7, z 8 e z 9 e após plotar tais úmeros complexos, ligue-os para obter uma curva do tipo de espiral. 9. Mostrar que z 2i e w 2i são soluções de x 2 6x Determiar todos os úmeros complexos z para os quais z z. Exercícios: Nums. Complexos e Biomiais - Ulysses Sodré-Matemática-UEL-2007

3 Seção Números Complexos 2. Determiar todos os úmeros complexos z para os quais z z Sejam z e w são úmeros complexos. Demostrar que (a Re(z 2 (z z (b Im(z 2 (z z (c z w é um úmero real (d z w z w (e z z w w (f arg(z w arg(z arg(w (g arg( z arg(z arg(w w (h z z z 2 (i zw 2 z w 2 2 z 2 2 w 2 (j z w z w ( z (z para todo Z (l z w z w. Se z 2i e w 2i, calcule e depois iterprete geometricamete cada resultado abaixo (a z w (b z w (c z 2 (d w 2 (e zw (f (z w(z w 4. Plotar os potos O (0, 0, A (, 2 e B (, 2 o plao XY. (a Desehar os segmetos de reta OA e OB e idicar m(xy como a medida do segmeto XY. (b Se r m(oa e s m(ob, o que se pode afirmar sobre r e s? (c Calcular o âgulo α formado etre o eixo OX e o segmeto OA. (d Calcular o âgulo β formado etre o eixo OX e o segmeto OB. (e O que você pode afirmar sobre os âgulos α e β? (f Utilizado os úmeros complexos z r [cos(α i si(α] w s [cos(β i si(β] substituir z e w a equação do segudo grau x 2 6x 0. (g Que coclusões se pode tirar sobre estes úmeros? z [cos(arcta( 2 i si(arcta( 2 ] w [cos(arcta( 2 i si(arcta( 2 ] Exercícios: Nums. Complexos e Biomiais - Ulysses Sodré-Matemática-UEL-2007

4 Seção Números Complexos 5. Calcular i. Dica: Tomar u iv i e calcular os valores de u e v. [ Resposta: i ± 6( 2 6( ] 2 i 2 6. Calcular i. Resposta: 7. Calcular i. Resposta: i ± 2 [ 2( 2 2( 2 i] i ± 2 ( i 8. Qual é o valor de z ( i.( i? Realizar a multiplicação as formas: (a usual, (b polar e (c expoecial. 9. Calcular o módulo e o argumeto de z 0 9i 8 7i 20. Plotar o plao cartesiao os complexos cojugados e os recíprocos dos úmeros complexos z 4i, z 2 2 5i e z (, 20, sedo que z está em coordeadas polares. 2. Plotar o plao cartesiao as três raízes (complexas cúbicas da uidade. Dica: Dividir a circuferêcia uitária em três arcos de 2π/ radiaos. As raízes ocupam as extremidades desses arcos. Uma delas é i Se z C, tome log(z log(r iθ ode θ arg(z ( π, π e r z. Qual é o valor de z log(? Escreva a resposta a forma z a bi. 2. Obter todos os úmeros complexos z para os quais z log( i. Escreva a resposta a forma a bi. 24. Obter todos os úmeros complexos z para os quais z i i. Escreva a resposta a forma a bi. 25. Usado a expressão cos(t 2 (eit e it, obter a iversa desta fução, isto é, t arccos(x, utilizado a fução log e raízes quadradas. Dica: Tomar xcos(t, z e it e usar a fórmula quadrática para obter t. 26. Usado a expressão si(t 2 (eit e it, obter a iversa desta fução, isto é, t arcsi(x, utilizado a fução log e raízes quadradas. Dica: Tomar xsi(t, z e it e usar a fórmula quadrática para obter t. Exercícios: Nums. Complexos e Biomiais - Ulysses Sodré-Matemática-UEL-2007

5 Seção 2 Números biomiais (outras idetidades 4 2 Números biomiais (outras idetidades Observação: Se m, N e m < etão ( m 0 e ( m 0.. Se m Z e p N, demostrar que ( m m p p ( m p 2. Se m, p Z, sedo m p, demostrar que ( m m ( m p m p p. Se m, p Z, demostrar que ( ( m p p ( m ( m p 4. Se Z, sedo 0, demostrar que ( ( ( ( ( m m m m m Se, p Z, sedo, p 0, demostrar que ( ( ( ( p p p p p Demostração: Se, p Z, sedo, p 0, etão: ( ( ( ( 0 2 P ( :... p p p p p p Se p 0, etão a expressão acima é verdadeira, pois: ( ( ( ( ( p 0 Exercícios: Nums. Complexos e Biomiais - Ulysses Sodré-Matemática-UEL-2007

6 Seção 2 Números biomiais (outras idetidades 5 Com a idução matemática, provaremos que P ( é verdadeira para p > 0. Se 0 0, a soma possui um termo, logo P (0 é verdadeira, pois 0 ( ( ( 0 0 p p p Se P ( é verdadeira (Hipótese de Idução, isto é, ( ( p p etão P ( também é verdadeira, pois ( ( ( ( ( p p p p p Stifel 2 p 6. Caso particular do resultado do exercício 5, com p e 0, etão ( ( ( ( ( 2 ( Caso particular do resultado do exercício 5, com p 2 e m 0, etão ( ( ( ( ( 2 ( ( Demostrar que ( ( 9. Usado a relação de 8 e as idetidades de 6 e 7, calcular a soma dos quadrados dos primeiros úmeros aturais seguido o procedimeto: ( ( 2 ( ( Demostrar que existem úmeros iteiros a, b, c tal que ( ( ( a b c 2 ( Exercícios: Nums. Complexos e Biomiais - Ulysses Sodré-Matemática-UEL-2007

7 Seção 2 Números biomiais (outras idetidades 6. Usado a relação de 0, calcular a soma dos cubos dos primeiros úmeros aturais seguido o procedimeto: ( ( ( a b c 2 2. Se Z sedo 0, etão ( x x. Se é um úmero atural, provar que ( ( ( ( 0 2 Dica: Desevolver 2 ( Se é um úmero atural, provar que ( ( ( ( ( 0 2 Dica: Desevolver 0 ( ( (... ( 0 5. Se p é o maior úmero atural par p e i é o maior úmero atural ímpar i, mostrar que ( ( ( ( P p ( ( ( ( I i Dica: Por, P I 2 e por 4, P I, logo P I Desevolver 2 2 ( 2... para mostrar que ( ( ( ( ( Exercícios: Nums. Complexos e Biomiais - Ulysses Sodré-Matemática-UEL-2007

8 Seção 2 Números biomiais (outras idetidades 7 7. Desevolver 0 ( 2... para mostrar que ( ( ( ( ( (... ( Mostrar que ( ( ( ( ( P ( ( ( ( ( I Dica: Por 6, P I 2 2 e por 7, P I, logo P I 2 2. Dica do Lucas Lua: ( 2 2 ( 2 ( ( 2 ( ( 2 ( [( ( ] 2 2 [( ( ] ( 2 ( 2 ( 2 ( ( 2 ( 2 ( 2 ( ( 2 ( P 2I 2(P I Se Z sedo 0, etão (x y x y Exercícios: Nums. Complexos e Biomiais - Ulysses Sodré-Matemática-UEL-2007

9 Seção 2 Números biomiais (outras idetidades Demostrar a fórmula de Abel evolvedo as variáveis x, y, z com x 0, Z sedo 0: (x y x(x z (y z 2. Se α R e x <, etão ( x α ( α x 22. Se m, s R e x <, demostrar que o Produto de Cauchy das séries: ( m ( s ( x m x e ( x s x p p pode ser escrito a forma ( x ms C x ode os coeficietes da série obtida o produto de Cauchy, são ( ( m s C Dica: Se m, s Z, m, s 0, a idetidade biomial garate que para x < : ( m s ( x ms x 0 ( m ( x m x ( s ( x s x p p p0 0 O produto de Cauchy das duas últimas séries acima, forece ( m ( s ( x ms x x p C x p p0 p0 0 Exercícios: Nums. Complexos e Biomiais - Ulysses Sodré-Matemática-UEL-2007

10 Seção 2 Números biomiais (outras idetidades 9 ode C ( m ( s p, (p Como ( x ms ( x m ( x s, a série biomial de ( x ms coicide com a série biomial do produto ( x m ( x s e respectivos coeficietes destas séries são ideticamete iguais. O resultado segue Se é um úmero atural, demostrar que ( ( ( m s m s Demostração: Sejam m, Z com m, 0. Utilizaremos a idução sobre m, para demostrar a proposição: ( ( ( m s m s P (m : Se m 0, etão a soma abaixo se reduz a um úico termo com 0, pois os outros termos se aulam, isto é, ( ( ( ( ( ( 0 s 0 s s 0 s 0 0 Provaremos P (m usado a hipótese de idução P (m: ( ( m s [( ( ] ( m m s ( ( m s ( ( m s ( ( ( m s m s ( ( ( m s m s ( ( ( m s m s m s Stifel Exercícios: Nums. Complexos e Biomiais - Ulysses Sodré-Matemática-UEL-2007

11 Seção 2 Números biomiais (outras idetidades Se m Z sedo m 0 e é um úmero atural, mostrar que ( ( ( m s m s m 25. Se m Z sedo m 0 e é um úmero atural, mostrar que ( ( ( m s s ( m m 26. Se m,, t Z sedo m,, t 0, demostrar que ( ( ( s t s ( ( t m t t m 27. Se m,, r, t Z sedo m,, r, t 0, demostrar que r ( ( ( r s r s m m 28. Se Z sedo r t, demostrar que ( ( ( r r t s t( r s t r t 29. Se r Z, sedo r 0, demostrar que r ( ( ( r s r s s r 0. Se, Z, sedo, r > 0, demostrar que ( ( ( (. Se m, Z com < m, provar que ( ( m m (m 0 0 (m... ( ( m (m 0 Exercícios: Nums. Complexos e Biomiais - Ulysses Sodré-Matemática-UEL-2007

12 Seção 2 Números biomiais (outras idetidades 2. Se m, Z, provar que ( m (m 0 m 0 ( m (m m... ( m ( m m. Se r 0 é o maior atural da forma r 0 <, mostrar que 0 r r 0 m! 2 2 cos( π 4. Se r é o maior atural da forma r <, mostrar que 0 r ( 4 ( cos 5. Se r 2 é o maior atural da forma r 2 2 <, mostrar que 0 r ( 5 ( 8... r 2 2 cos 6. Se t é o maior atural da forma 4 tal que t, mostrar que ( ( ( (... [2 2 /2 cos( π ] t Se t é o maior atural da forma 4 tal que t, mostrar que ( ( ( (... [2 2 /2 si( π ] 5 9 t Se t é o maior atural da forma 4 2 tal que t, mostrar que ( ( (... [2 2 /2 cos( π ] Se t é o maior atural da forma 4 tal que t, mostrar que ( ( (... [2 2 /2 si( π ] r 2 ( 2π ( 4π Exercícios: Nums. Complexos e Biomiais - Ulysses Sodré-Matemática-UEL-2007