Solução Comentada Prova de Matemática

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1 0 questões. Sejam a, b e c os três meores úmeros iteiros positivos, tais que 5a = 75b = 00c. Assiale com V (verdadeiro) ou F (falso) as opções abaixo. ( ) A soma a b c é igual a 9 ( ) A soma a b c é igual a 6 ( ) O produto abc é igual a 96 ( ) a > b > c Questão Assuto: Número real: operações com úmeros reais Cometário: Essa questão é uma aplicação de coceitos básicos, como míimo múltiplo comum e operações elemetares com úmeros iteiros positivos. Solução: Coforme o euciado da questão, devemos ter 5 a = 75 b = 00 c ode a, b e c devem ser os meores iteiros positivos que satisfazem à igualdade. O úmero correspodete a esta igualdade é um múltiplo comum de 5, 75 e 00 e, portato, o meor valor positivo assumido por ele é 00 = mmc (5, 75, 00) Neste caso, teremos 5 a = 75 b = 00 c = 00 e, portato, a =, b = e c = Aálise dos ites : Como a =, b = e c =, temos: ) A ª proposição é VERDADEIRA. A soma: a b c = = 9 ) A ª proposição é FALSA. A soma: a b c = = 6 9 = 69 6 ) A ª proposição é FALSA. O produto: a.b.c =.. = 96 ) A ª proposição é VERDADEIRA. Como > > temos a > b > c Coclusão : ) V ) F ) F ) V. Num triâgulo retâgulo, um dos catetos mede cm e a bissetriz do âgulo reto mede cm. Assiale com V (verdadeiro) ou F (falso) as opções abaixo. ( ) A medida da hipoteusa é ( ) A medida do outro cateto é 0 ( ) O triâgulo é isósceles ( ) A soma das medidas dos catetos é 9/ UFPI PSIU 00 Específica Pág. de

2 0 questões Questão Assuto: Geometria plaa Cometário: Esssa questão requer cohecimeto de coceitos e defiições básicos da geometria plaa e tem como ferrametas pricipais para sua solução o teorema de Pitágoras e resultados que evolvem semelhaça de trâgulos. C Solução: E F z A x D y B O triâgulo ABC é retâgulo. AC = é um cateto e CD = é a bissetriz do âgulo reto. Seja DE é perpedicular a AC e DF é perpedicular a BC. CD = é a diagoal do quadrado DFCE, logo: DE = DF = EC = CF =. () Pela semelhaça dos triâgulos: ADE e DBF, temos: x = = x = y e z = y z Ĉ () O triâgulo BFD é retâgulo, etão, pelo teorema de Pitágoras, y = z. Segue: de () z = e pela codição () y = 0, e pela relação (), x = 0 Aálise dos ites: ) A ª proposição é VERDADEIRA. A hipoteusa AB = x y = 0 0 = 0 ) A ª proposição é VERDADEIRA. O outro cateto CB = z = = ) A ª proposição é FALSA. Os catetos AC e BC têm medidas diferetes, logo o triâgulo ão é isósceles. 9 ) A ª proposição é VERDADEIRA. A soma das medidas dos catetos é igual a = Coclusão : ) V ) V ) F ) V UFPI PSIU 00 Específica Pág. de

3 0 questões. Cosiderado e k úmeros iteiros positivos, com k. Assiale com V (verdadeiro) ou F (falso) as opções abaixo. ( ) = k k k ( ) (-)...(-k) é divisível por k! ( ) Se etão ehum dos úmeros!,!,!,!5,...,! é primo ( )! k > ()! Questão Assuto: Aálise combiatória Cometário: A questão apreseta afirmações evolvedo a teoria de aálise combiatória as quais, a partir do cohecimeto de fórmulas e propriedades, o cadidato deve avaliar para cocluir a respeito da sua validade Solução e aálise dos ites: ) A a proposição é verdadeira k = ( k )! k! ( )! = = ( k! ) k! ( k)! k!! = k ( k)! k! ( k )(! k )!! k ) A a proposição é verdadeira = k! ( k)! ( )... = k! k! ( k ) ) A a proposição é verdadeira. Z.Logo (-)...(-k) é divisível por k! Como! é divisível por,,,...,. Coseqüetemete,! é divisível por,! é divisível por,! é divisível por,!5 é divisível por 5,..., e! é divisível por e, portato, ehum dos úmeros!,!,!,!5,...,! é primo. ) A a proposição é falsa. Tomado = e k =, temos! k =! = 7 e ()! = ()!= e, portato, para estes valores de e k, temos! k < ()! Coclusão: ) V ) V ) V ) F UFPI PSIU 00 Específica Pág. de

4 0 questões. Sejam x, y e a úmeros reais positivos com x < y. Assiale com V (verdadeiro) ou F (falso) as opções abaixo. ( ) Log ax < Log ay ( ) Log ( a x) < Log ( a ) y ax ay ( ) e < e ( ) xlog a y Log a 0 Questão Assuto: Logaritmos e expoeciais Cometário: Basicamete, essa questão requer cohecimetos sobre propriedades das fuções logaritmos e expoeciais, especialmete evolvedo o coceito de base e sua ifluêcia o crescimeto ou decrescimeto destas fuções. Solução e aálise dos ítes: Temos que x, y e a são úmeros reais positivos com x < y: ) Se x < y e a > 0 temos ax < ay e, etão, Log (ax) < Log (ay) pois a fução Log (x) é crescete já que a base é maior que um. A ª proposição é, portato, VERDADEIRA. ) Se x < y temos x a < y a e, etão, Log (x a) > Log (y a) pois a fução Log (x) é decrescete, já que a base é meor que um. A ª proposição é, portato, FALSA. ax ay ) Se x < y e a > 0 temos ax < ay e etão e < e, pois f(x) = e x é crescete. A ª proposição é, portato, VERDADEIRA. ) Fazedo a = em xlog a y Log a temos xlog a y Log a = xlog y Log = x.0 y.0 = 0 A ª proposição é, portato, FALSA. Coclusão: ) V F ) V ) F UFPI PSIU 00 Específica Pág. de

5 0 questões 5. Dado o poliômio p(x)= x -x -x. Assiale com V (verdadeiro) ou F (falso) as opções abaixo. ( ) Todas as raízes são reais. ( ) Apeas uma raiz é real. ( ) Todas as raízes são iteiras. ( ) p(x) é divisível por x Questão 5 Assuto: Poliômios Cometário: Essa questão visa testar o cohecimeto do cadidato sobre a teoria dos poliômios, evolvedo aálise das raízes e fatoração de um poliômio Solução: Temos p( x) = x x x = x (x ) (x ) = (x )(x ) (x )(x )(x ) podemos verificar a validade das quatro afirmações acima. =. Com base esta fatoração, Aálise dos ites : ) A ª proposição é VERDADEIRA. Os úmeros reais, e são as raízes do p(x). ) A ª proposição é FALSA. O poliômio p(x) tem três raízes reais distitas:, e. ) A ª proposição é FALSA. O poliômio p(x) tem apeas uma raiz iteira (que é igual a ), as duas outras são raízes irracioais,,. ) A ª proposição é FALSA. Por substituição direta em p(x), p( ) 0, logo p(x) ão é divisível por x. Coclusão : ) V ) F ) F ) F,,, Cosidere a seqüêcia ifiita,... Assiale com V (verdadeiro) ou F (falso) as opções abaixo. ( ) A seqüêcia é uma progressão geométrica. ( ) A seqüêcia é decrescete. ( ) A soma dos termos desta seqüêcia é igual a / ( ) A soma dos termos desta seqüêcia é igual a UFPI PSIU 00 Específica Pág. 5 de 5

6 0 questões Questão 6 Assuto: Seqüêcia Cometário: Essa questão requer do cadidato maturidade ao trabalhar com seqüêcias; em primeiro lugar, recohecedo se a seqüêcia é uma progressão geométrica; em seguida, idetificado se a seqüêcia é decrescete ou ão e, por último, visualizado que pode ser feita uma decomposição de cada um dos termos da seqüêcia de forma que se obteha uma forma de somar seus termos lidado com soma dos termos de uma progressão geométrica ifiita de razão positiva meor que (um). Solução: Observado a seqüêcia,,,, vemos que podemos escrevê-la a forma,,,,... e, assim, podemos ver que o termo geral desta seqüêcia é Podemos também escrever os termos da seqüêcia a forma,,,,... Cada colua, da esquerda para a direita, forma uma progressão geométrica de razão. Logo, para calcular a soma dos termos da seqüêcia dada, basta somar todos os termos de cada uma das coluas, da esquerda para a direita, e o fial observar que as somas resultates também formam uma progressão geométrica ifiita de razão e primeiro termo igual a. Assim, temos que a soma dos termos da seqüêcia é: =... = = Aálise dos ites: Temos que os quatro primeiros termos da seqüêcia ifiita são :, 9, 7 e 8 ) A ª proposição é FALSA. Observe que o resultado da divisão do segudo termo pelo primeiro é diferete do resultado da divisão do terceiro pelo segudo, ou seja: seqüêcia ão é uma progressão geométrica. ) A ª proposição é VERDADEIRA. Observe que > 9 > 7 > Logo, a seqüêcia,,,, é decrescete. : 9 :. Etão, a >... > > >... UFPI PSIU 00 Específica Pág. 6 de 6

7 0 questões ) A ª proposição é VERDADEIRA. A soma = ) A ª proposição é FALSA. A soma = Coclusão : ) F ) V ) V ) F 7. Cosidere o úmero complexo v = ou F (falso) as opções abaixo. ( ) v = ( ) v = i ( ) 7π 7 v = cos i se π ( ) v = i i i. Assiale com V (verdadeiro) Questão 7 Assuto: Números complexos Cometário: Essa questão reúe cohecimetos sobre propriedades, módulo e forma trigoométrica de um úmero complexo. Solução: Temos v = i i = i i i = i Aálise dos ites: Sedo v = i : ) A ª proposição é VERDADEIRA. v = = = = ) A ª proposição é FALSA. v = i i ) A ª proposição é VERDADEIRA. O vetor v pode ser expresso a forma trigoométrica como 7π 7π v = cos i se, já que 6 6 7π 7 = cos e = se π. Daí 6 6 7π 7 v = cos i se π ) A ª proposição é FALSA. v = i v = i i Coclusão : ) V ) F ) V ) F UFPI PSIU 00 Específica Pág. 7 de 7

8 0 questões 8. Sejam f e g fuções reais de variável real defiidas por f(x) = se(x) e g(x)= 0, se x = kπ, k iteiro, se x kπ, k iteiro Assiale com V (verdadeiro) ou F (falso) as opções abaixo. ( ) As fuções f e g têm o mesmo período. ( ) Os gráficos de f e g ão se iterceptam. ( ) g(x) f(x) para todo úmero real x ( ) f e g são fuções crescetes. Questão 8 Assuto: Fuções Cometário: Essa questão cobra o coteúdo relativo a fuções, explorado mais precisamete represetações gráficas, período de fuções, crescimeto e decrescimeto, comparação etre os valores assumidos por duas fuções. Solução e aálise dos ites: Os gráficos de f e g são, respectivamete: y y o o o π π/ π π π x x ) A ª proposição é VERDADEIRA. O período da fução seo é π e portato sex = se(x kπ)= se((x kπ)) e, assim, se(x)- = se((xkπ))- o que sigifica que f(x) = f(xkπ) e o período de f é π. Segue-se, da defiição de g, que seu período também é π. ) A ª proposição é FALSA. Se represetarmos os dois gráficos em um mesmo sistema de coordeadas, veremos que eles se itersectarão para os valores de x da forma kπ, k Z e para os π valores de x da forma kπ ) A ª proposição é VERDADEIRA. Para x da forma kπ temos f(x)=g(x)=0 e para os outros valores de x temos f(x) e g(x) =. Portato, temos g(x) f(x) para todo úmero real x. ) A ª proposição é FALSA. Temos f( π )=>0= f( π ) e g( π )=>0= f(π ) e, etão, as fuções ão são crescetes Coclusão : ) V ) F ) V ) F 9. Cosidere as curvas plaas C e C dadas respectivamete pelas equações x x y 6y = 0 e x 0x y y 57 = 0. Assiale com V (verdadeiro) ou F (falso) as opções abaixo. ( ) Estas curvas são tagetes. ( ) As duas curvas são circuferêcias. ( ) Estas curvas têm o mesmo cetro. ( ) As duas curvas são elipses. UFPI PSIU 00 Específica Pág. 8 de 8

9 0 questões Questão 9 Assuto: Geometria aalítica Cometário: Esta questão cobra do cadidato o cohecimeto relativo às côicas, particularmete explorado circuferêcia e elipse, ode ele deve demostrar habilidade em trabalhar com suas equações, bem como com suas represetações gráficas. Solução : Completado-se os quadrados em cada um das equações, chega-se à forma caôica das curvas C e C : C : x -xy -6y=0 ( x ) ( y ) = C é uma circuferêcia de cetro (, ) e raio = C : x -0xy -y57=0 semi-eixos a = e b =. (x 5) (y ) = C é uma elipse de cetro ( 5, ) e y O 5 x Represetação gráfica das curvas C e C Aálise dos ites: ) A ª proposição é VERDADEIRA. O gráfico mostra que as curvas C e C se tageciam em (, ). ) A ª proposição é FALSA. Apeas a curva C é uma circuferêcia. ) A ª proposição é FALSA. Os cetros das curvas C e C são, respectivamete, (, ) e ( 5, ). Portato, C e C têm cetros distitos. ) A ª proposição é FALSA. Apeas a curva C é uma elipse. Coclusão : ) V ) F ) F ) F UFPI PSIU 00 Específica Pág. 9 de 9

10 0 questões 0. Seja f uma fução real de variável real. Assiale com V (verdadeiro) ou F (falso) as opções abaixo. ( ) Se f é cotíua um poto, etão é derivável este poto. ( ) Se existe etão f é cotíua em a Lim f (x) x a ( ) Se f é descotíua etão f também é descotíua. ( ) Se f é derivável em um poto etão f é cotíua este poto. Questão 0 Assuto: Difereciabilidade e cotiuidade Cometário: Essa questão aborda os coceitos de cotiuidade e difereciabilidade de uma fução real de variável real, destacado as relações etre estes coceitos. Solução e aálises dos ites: f é uma fução real de variável real ) A ª proposição é FALSA. Se f for cotíua em um poto, ada garate que sua derivada possa existir esse poto. Tome-se como exemplo a fução f(x) = x que é cotíua em 0, todavia, a derivada em 0 ão existe. ) A ª proposição é FALSA. A codição de existêcia do limite lim f (x) ão garate a cotiuidade f em a. Pode ocorrer do lim f (x) existir e ser diferete de f(a ), portato, f é descotíua em a. x a ) A ª proposição é FALSA. Seja f (x) =, se x 0 e f(x) = - se x = 0. Essa fução é descotíua em 0. Agora, seja a fução g(x) = f(x), logo g(x) = para todo x. Etão g é cotíua para todo x. Portato, a descotiuidade de f ão implica a descotiuidade de f. ) A ª proposição e VERDADEIRA. Sabemos que, se uma fução ão é cotíua em um poto, ela ão é derivável este poto, o que é equivalete a dizer que, se f é derivável em um poto, etão f é cotíua este poto. x a Coclusão : ) F ) F ) F ) V UFPI PSIU 00 Específica Pág. 0 de 0