INSTRUÇÕES. Esta prova é individual e sem consulta à qualquer material.

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1 OPRM 016 Nível 3 Seguda Fase /09/16 Duração: Horas e 30 miutos Nome: Escola: Aplicador(a): INSTRUÇÕES Escreva seu ome, o ome da sua escola e ome do APLICADOR(A) os campos acima. Esta prova cotém 7 págias (icluido esta págia de capa) e 30 problemas. Verifique se existe alguma págia ou exercício faltado e, em caso afirmativo peça ao APLICADOR(A) para trocar sua prova. Esta prova é idividual e sem cosulta à qualquer material. O uso de aparelhos eletrôicos, como celular, tablet, otebook e calculadora, ão são permitidos o decorrer da prova. A duração da prova é de horas e 30 miutos. Após esse tempo você terá 10 miutos extras para o preechimeto do gabarito oficial. Após o térmio do preechimeto, etregue ao APLICADOR(A) o gabarito oficial com as respostas. Esta prova ão precisa ser etregue ao APLICADOR(A). BOA PROVA! Págia 1 de 7

2 OPRM 016 Seguda Fase - Nível 3 /09/16 1. Os potos L, M e N são potos médios de arestas do cubo, como mostra a figura abaixo. Quato mede o âgulo LMN? (A) 90 (B) 105 (C) 10 (D) 135 (E) 150. Na figura, a reta P Q toca em N o círculo que passa por L, M e N. A reta LM corta a reta P Q em R. Se LM = LN e a medida do âgulo P NL é α, α > 60, quato mede o âgulo LRP? (A) 3α 180 (B) 180 α (C) 180 α (D) 90 α (E) α 3. Em um trapézio retâgulo circuscritível, a soma dos dois lados paralelos é igual a 18cm e a difereça dos dois outros lados é igual a cm. Se r é o raio da circuferêcia iscrita e a é o comprimeto do meor lado do trapézio, etão a soma a r (em cm) é: (A) 1 (B) 11 (C) 10 (D) 9 (E) 8. A figura mostra três circuferêcias de raios 1, e 3, tagetes duas a duas os potos destacados. Qual é o comprimeto do segmeto AB? (A) 1 (B) (C) 1 5 (D) 3 (E) 3 Págia de 7

3 OPRM 016 Seguda Fase - Nível 3 /09/16 5. Para um iteiro positivo cosidere a fução f() = Calcule o valor de f(1) f()... f(0) (A) 6 (B) 13 (C) 1 (D) 36 (E) 8 6. Na figura temos dois semicírculos de diâmetros P S, de medida, e QR, paralelo a P S. Além disso, o semicírculo meor é tagete a P S em O. Qual é o valor da área destacada? (A) π 1 (B) π (C) π (D) π 3 (E) π 7. Uma tira de papel retagular, braca de um lado e ciza do outro, foi dobrada como a figura abaixo. Qual é a medida do âgulo α? (A) 110 (B) 115 (C) 10 (D) 15 (E) (QUESTÃO ANULADA. Motivo: faltou especifcar que os algarismos que Tiago escreveu são todos distitos. Dessa forma ão há ehuma alterativa correta) Tiago escreve todos os úmeros de quatro dígitos tais que os algarismos destes úmeros são ão ulos e possuem a mesma paridade. Qual a probabilidade de que, ao escolhermos um desses úmeros que Tiago escreveu, ele seja par? (A) 1 (B) 1 3 (C) 1 (D) 1 5 (E) Se 3 e 1 3 são as raízes da equação ax 6x c = 0, qual o valor de a c? (A) 1 (B) 0 (C) 9 5 (D) 18 5 (E) O úmero 8 1 é divisível por dois úmeros compreedidos etre 60 e 70. Quais são esses úmeros? Págia 3 de 7

4 OPRM 016 Seguda Fase - Nível 3 /09/16 (A) 61 e 63 (B) 61 e 65 (C) 63 e 65 (D) 63 e 67 (E) 67 e Quatos zeros existem o fial do úmero ? (A) Nehum (B) Um (C) Dois (D) Três (E) Quatro 1. Sofia foi levar us docihos para sua avó; são 7 docihos de amora, 6 de coco e 3 de chocolate. Durate o camiho, a gulosa Sofia come docihos. Qual das situações abaixo é possível? (A) Vovó ão recebeu docihos de chocolate. (B) Vovó recebeu meos docihos de coco do que de chocolate. (C) Vovó recebeu o mesmo úmero de docihos de cada uma das 3 variedades. (D) Existem variedades de docihos das quais vovó recebeu o mesmo úmero. (E) O úmero de docihos de amora que vovó recebeu é maior que o dos outros somados. 13. Uma moeda viciada, quado jogada 5 vezes, dá a mesma probabilidade de obter cara exatamete uma vez e de obter cara exatamete duas vezes. A probabilidade de obter cara é diferete de zero. A probabilidade de a moeda dar cara 3 vezes em 5 laçametos é (A) 0 (B) 5 (C) 0 (D) 7 (E) Na terra Brasilis, há 100 seadores, cada um com auxiliares. Os seadores e os auxiliares participam de comissões. Uma comissão tem 5 seadores, ou seadores e auxiliares, ou seadores e 1 auxiliares. Cada seador está em 5 comissões e cada auxiliar está em 3 comissões. Quatas são as comissões? (A) 100 (B) 10 (C) 10 (D) 160 (E) O úmero complexo z = 1 cos a se a cos a ( cos a se a i1, a 0; π ) se a tem argumeto π. Assim, o valor de a é: (A) π 6 (B) π 3 (C) π (D) π 5 (E) π No desevolvimeto de (ax bx c 1) 5 obtém-se um poliômio cujos coeficietes somam 3. Se 0 e 1 são raízes de p(x), etão a soma a b c é (A) 1 (B) 1 (C) 1 (D) 1 (E) Calcule ( ) (A) (B) ( 1 5 ) 10 (C) 76 (D) 13 (E) Uma escada de 5m está ecostada a parede vertical de um edifício, de forma que o pé de escada está a 7m da base do prédio. Se o topo da escada escorrega m, quato o pé da escada escorregará? (A) 6 (B) 7 (C) (D) 5 (E) 8 Págia de 7

5 OPRM 016 Seguda Fase - Nível 3 /09/ Se um triâgulo tem lados 3, 7 e 8; podemos afirmar sobre estre triâgulo. (A) Uma das alturas é iteira (B) A área é um úmero racioal (C) Todos os âgulos iteros do triâgulo são agudos (D) Os âgulos deste triâgulo formam uma P.A. (E) Não podemos afirmar ehuma das alterativas acima. 0. Qual é o úmero míimo de voltas completas que a meor das egreages deve realizar para obtermos a mesma foto da figura abaixo? (A) 1 voltas (B) 1 voltas (C) 57 voltas (D) 60 voltas (E) 30 voltas 1. A soma é igual a: ( ) (A) 0 S = (B) ( ) 0 ( ) ( ) 1 (C) ( ) ( ) 6 ( ) ( ) ( ) ( ) ( 1 (D) (E) ). Ludmilso descobriu hoje que o produto da idade que tiha há 55 aos atrás pela idade que terá daqui a 55 aos é igual ao cubo de um úmero primo. Podemos dizer da idade atual de Ludmilso: (A) Que é um úmero primo (B) Que tem mais de 70 aos (C) Que é um múltiplo de 6 (D) Que é divisível por 13 (E) Desde que asceu já se passaram mais de 18 Copas do Mudo 3. Sejam x 1 e x as raízes da equação x (m 15)x m = 0. Sabedo que x 1 e x são úmeros iteiros, etão m pode assumir quatos valores? (A) 6 (B) 7 (C) (D) (E) 3. No meu carro, uma marca particular de peu dura quilômetros se utilizado a frete ou quilômetros se utilizado atrás. Itercambiado os peus traseiros e diateiros, a maior distâcia que posso adar a partir de um cojuto de quatro peus ovos é: (A) (B) (C) (D) (E).000 Págia 5 de 7

6 OPRM 016 Seguda Fase - Nível 3 /09/16 5. Um quadrado de área 5 é dividido em quatro quadrados iguais. O quadrado superior esquerdo é de cor ciza; a parte iferior direita do quadrado é de ovo dividida em quatro quadrados iguais, e assim por diate. O padrão cotiua idefiidamete (ifiitas vezes). Qual é a área total da área cizeta do quadrado? (A) 15 (B) 18 (C) 1 (D) (E) 7 6. Quatos triâgulos retâgulos ão cogruetes existem de lados com medidas iteiras tais que a área tem valor umérico igual ao do perímetro? (A) (B) (C) 6 (D) 8 (E) Nehum 7. O valor de é igual a: (A) (B) (C) (D) (E) =1 8. Na figura abaixo ABCD é um quadrado e CEF é um triâgulo equilátero. Cosiderado que a área do triâgulo equilátero CEF é igual a 3 metros quadrados, determie a área do quadrado.. (A) 3 (B) 5 3 (C) 3 (D) (E) 3 9. (QUESTÃO ANULADA. Motivo: a alterativa correta era o item b). Porém faltou o sial de raiz quadrada a valor do úmero 6. Sedo assim ão há alterativa correta.) Usado a figura do problema 8) aterior, ou por qualquer outro meio, podemos dizer que se 15 é (A) 6 (B) 6 (C) (D) (E) Págia 6 de 7

7 OPRM 016 Seguda Fase - Nível 3 /09/ Quatos pares (x; y) com x e y iteiros são soluções da equação 9xy x 8y = 005 (A) 0 (B) 1 (C) (D) 3 (E) Págia 7 de 7