Grupo I. Proposta de Resolução do Exame de Matemática A Cód ª Fase de Junho

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1 Proposta de Resolução do Eame de Matemática A Cód. 65-1ª Fase 01 1 de Juho Grupo I Questões Versão 1 B D C B A C A C Versão C B D B C A D A 1. 7 A 10 P 7 P A A B A B A B P P P P PB PB PB PB PB ! 5 P 1 1 7! C : distribuição dos 7 copos bracos pelos 1 compartimetos 7 A : distribuição dos copos de cores distitas pelos restates 5 compartimetos C A 1 5 7

2 4. f e f e e 0 e 0 Seja g( ) e. Como g( ) é cotíua em IR e atededo a que: g 0 0 ; g 0 ; g 0 ; g 0 ; g Etão: g g 0, pelo que f tem pelo meos um zero em , Uma vez que f é cotíua para a verificar: lim f ( ) lim f ( ) f ( a ) a a 1 1 lim f ( ) lim log log a a a e para a, para assegurar a cotiuidade em IR temos que lim f ( ) lim g a a a g a f a Assim, temos: a a a a log f '' 0 Na forma trigoométrica: i cis cis cis cis Assim, temos que: 0 w, ou seja: i pode ser igual a z 1 8. z 6 arg z 1 i z 6 arg z 1 i 4 4

3 Grupo II z1 i i i i 11i z i i i i i i 6 11i i i 4 i 5 z i i z i i z z cis z 8cis 0 k z cis k Para k 0, z cis0 Para k 1, z cis 4 Para k, z cis cis Sabemos que w z e também z. Assim, temos que: w w w w w 1 w 1 w w w 1 w 1 z 1 z 1..1 Cosideram-se os acotecimetos: A: «O aluo escolhido é um rapaz» B: «O aluo escolhido tem ecesso de peso» e os respetivos acotecimetos cotrários. Cosiderado que P( A ) 55% podemos orgaizar a iformação do euciado uma tabela: B B Total A A Total 100% 55% 45% 55% 100% Cosiderado que P(B A ) 0% podemos calcular P( B A ) e P( B A ):

4 A A Total B 0, 55% 16,5% B 0,7 55% 8,5% Total 100% 55% 45% 55% 100% Cosiderado que P( B A) 40% podemos calcular P(B A) e P(B A): B 0,6 45% 7% B 0,4 45% 18% Total A A Total 100% 55% 45% 0, 55% 16,5% 0,7 55% 8,5% 7% +16,5% 4,5% 18% +8,5% 56,5% 55% 100% Assim, de acordo com a iformação da tabela, temos que a probabilidade de que o aluo escolhido seja rapaz, sabedo que tem ecesso de peso, ou seja, P(A B), é dada por: P(A B) ( ) () %,%. Como 55 % dos aluos são raparigas e eistem 00 aluos temos 00 0, raparigas e rapazes. Assim a probabilidade de escolher duas raparigas e um rapaz, uma seleção aleatória de três aluos é dada por 0,41.. Como o saco eistem 5 bolas e são etraídas 4, eistem apeas 5 casos possíveis. O produto dos úmeros etraídos é 0 (zero) sempre que a bola com o úmero 0 teha sido etraída, ou seja em 4 dos 5 casos possíveis. No restate caso, as bolas etraídas ão icluem a bola com o úmero 0, ou seja são etraídas as bolas com os úmeros -,-1, 1 e ; logo o produto dos úmeros saídos é ( 1) 1 4. Como as bolas são etraídas simultaeamete eistem C 5 casos possíveis. Assim P(X 0) (pois o zero está presete em 4 das 5 etrações) e P(X 4) (pois o zero ão está presete em apeas 1 das 5 etrações).

5 Para determiar o zero da fução f vamos resolver a equação f() 0: e 4e + 4 e 0 e e (4e + 4) 0 e 4e 4 0 e e e 4 4e 0 e 4e 4 0 (e ) 4e 4 0 sedo y e vem: y 4y 4 0 y 4 ± 4 4(1)( 4) y 4 ± y 4 ± 4 y 4 ± y + y como y e temos e + e como < 0, e é uma equação impossível, e portato: e l + l + é a úica solução da equação. 4. Reproduz-se a seguir o gráfico visualizado a calculadora: Calculado o zero da fução f observamos que a abcissa do poto A é 1,57. Calculado a iterseção do gráfico das duas fuções, temos que as coordeadas do poto B são (, ;,8). Assim, cosiderado a base do triâgulo o lado [OA], podemos cosiderar para a medida da base 1,57 u.m. e para a medida da altura,8 u.m., logo A [],, aproimadamete.,; ou seja a área do triâgulo [AOB] é de, u.m.

6 Se eistirem assítotas ão verticais o respetivo declive é dado por lim () ou lim (). () Calculado lim temos: lim f() lim e pelo que ão eistem assítotas quado. Calculado lim () lim f() lim temos: lim l + 1 lim e e e + l( + 1) l() + lim (l( + 1) l() + ) + l lim l(1) + pelo que, a eistir uma assítota quado +, o respetivo declive será. A ordeada a origem é dada por: lim (f() m) Calculado: lim (f() m) lim (l( + 1) l() + ) lim (l( + 1) l()) lim l + 1 cosiderado y, se + etão y 0, e lim l lim 1 y l y + 1 lim 1 y l(1 + y) y Pelo que a reta de equação y + 1é a úica assítota do gráfico de f Para determiar a equação da reta tagete, começamos por determiar o respetivo declive, ou seja f ( 1). Assim determia-se a derivada da fução f para valores iferiores a 0. f () () e + (e ) e + ( 1 e ) e e Assim, o declive da reta é m f ( 1) e () ( 1)e () e + e e Calculado f( 1) ( 1)e () e temos que o poto de tagêcia tem de coordeadas ( 1, e ) e é um poto que pertece à reta. Assim, substituido as coordeadas a equação y e + btemos: e e ( 1) + b e e ( 1) b e + e b e b

7 Ou seja a equação da reta tagete ao gráfico da fução f o poto de abcissa 1 é y e + e Cosiderado um poto P sobre o lado [AB], tal que [DP] é perpedicular ao lado [AB], temos que: DP 1 e PB 1 cos α DA tg α AP tg α Como cos α seα e tg α DA e AP Assim o perímetro do trapézio é dado por: vem que P [] AP + PB + BC + CD + DA Ou seja pela fução P(α) + para α, π Começamos por determiar a derivada da fução P: P (α) () + (1 cosα) seα (1 cosα)(seα) se α se α (cosα cos α) se α 1 cosα se α Como tg θ + 1 temos Como < θ < π, cosθ se α cosα + cos α se α Também sabemos que se θ + cos θ 1 seαseα (1 cosα)(cosα) se α se α + cos α cosα se α cos θ cosθ ± logo se θ 1 se θ Assim temos que P (θ)