Exercícios de exames e provas oficiais

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1 Eercícios de eames e provas oficiais. Cosidere as fuções f e g, de domíio,0, defiidas por l e g f f Recorredo a processos eclusivamete aalíticos, mostre que a codição pelo meos, uma solução em e, f e tem, Eame 65, ª fase, 04. Cosidere, para um certo úmero real k, a fução f, de domíio, defiida por f ke. O teorema de Bolzao garate que a fução f tem, pelo meos, um zero o itervalo 0,. A qual dos itervalos seguites pode pertecer k? (A) e, e (B),0 e (C) 0, e (D), e Eame 65, ª fase, 04. Cosidere a fução f, de domíio, defiida por f 4 e se l e e se 4 Recorredo a métodos aalíticos, sem utilizar a calculadora, averigue se a fução f é cotíua em 4. Eame 65, ª fase, Cosidere, para um certo úmero real k positivo, a fução f, de domíio, defiida por se 0 e f l k se 0 6 l se 0 Recorredo a métodos aalíticos, sem utilizar a calculadora, determie k de modo que lim f f 0. 0 Eame 65, Época Especial, 0 / 6

2 5. Seja f uma fução de domíio e, Sabe-se que: f é cotíua o seu domíio; f e f e Qual das afirmações seguites é ecessariamete verdadeiramete? (A) A equação f 0 tem pelo meos uma solução em e, (B) A equação f e tem pelo meos uma solução em e, (C) A equação f 0 tem pelo meos uma solução em e, (D) A equação e f tem pelo meos uma solução em e, Eame 65, ª fase, 0 6. Cosidere, para um certo úmero real a positivo, uma fução f, cotíua, de domíio aa Sabe-se que f a f a e f a f 0 Mostre que a codição f f a tem, pelo meos, uma solução em a,0,. Eame 65, ª fase, 0 7. Cosidere a fução f, de domíio, defiida por e se f l se Seja g uma outra fução, de domíio. Sabe-se que a fução f g é cotíua o poto. Em qual das seguites opções pode estar represetada parte do gráfico da fução g? / 6

3 (A) (B) (C) (D) Teste Itermédio, Seja f a fução, de domíio, defiida por f 9 l 4 se 4 se 4 Recorredo a métodos aalíticos, sem utilizar a calculadora, averigue se eiste lim f 4. Teste Itermédio, Cosidere a fução f, de domíio, defiida por si se 0 k f e se 0 4 e se 0 com k Recorredo a métodos aalíticos, sem utilizar a calculadora, determie k de modo que lim f f 0. 0 Eame 65, ª fase, 0 / 6

4 0. Seja f uma fução de domíio, defiida por f e. Em qual dos itervalos seguites o teorema de Bolzao permite afirmar que a equação f tem, pelo meos, uma solução? (A) 0, 5 (B), 5 4 (C), 4 (D), Eame 65, ª fase, 0. Na figura, está represetada, um referecial o.. Oy, parte do gráfico de uma fução g, de domíio a,, com a. Para esse valor de a, a fução f, cotíua em defiida por, é f log se a g se a Qual é o valor de a? (A) 8 (B) 5 (C) 9 (D) 8 Eame 65, ª fase, 0. Relativamete a duas fuções, f e g, sabe-se que: têm domíio, são fuções cotíuas f g 0 e f g 0 Qual das afirmações seguites é ecessariamete verdadeira? (A) Os gráficos de f e g itersetam-se em pelo meos um poto. (B) A fução f g é crescete. (C) Os gráficos de f e g ão se itersetam. (D) A fução f g é decrescete. Teste Itermédio, / 6

5 . Seja f a fução de domíio, defiida por Averigue se a fução f é cotíua em. e e se f e l se Teste Itermédio, Para um certo valor de e para um certo valor de, é cotíua o poto 0 a fução g, defiida por g e se 0 se 0 l se 0 Qual é esse valor de e qual é esse valor de? (A) e (B) e (C) e (D) e Teste Itermédio, Seja f a fução, de domíio Seja g a fução, de domíio f log., defiida por, defiida por g f. Mostre, sem recorrer à calculadora, que c g c, : 5 Teste Itermédio, Cosidere a fução f, de domíio, defiida por se f e (a é um úmero real) a se Recorredo a métodos eclusivamete aalíticos, determie a sabedo que f é cotíua em. Eame 65, Época Especial, 0 5 / 6

6 7. Cosidere a fução f, de domíio 0,, defiida por f e l se 0 se Recorredo a métodos eclusivamete aalíticos, mostre, sem resolver a equação, que f tem, pelo meos, uma solução em 0,. Eame 65, ª fase, 0 8. Seja f uma fução de domíio 0,, defiida por 9 se 0 5 f e se 5 Em qual dos itervalos seguites o teorema de Bolzao permite garatir a eistêcia de, pelo meos, um zero da fução f? (A) 0, (B),4 (C) 4,6 (D) 6,7 Eame 65, ª fase, 0 9. Seja f uma fução, de domíio, cotíua o itervalo,4 Tem-se f e f 4 9. Em qual das opções seguites está defiida uma fução g, de domíio, para a qual o teorema de Bolzao garate a eistêcia de pelo meos um zero o itervalo,4? (A) g f (B) g f (C) g f (D) g f Teste Itermédio, / 6

7 0. Cosider a fução g, de domíio, defiida por g Cosidere a sucessão de termo geral Qual é o valor de lim gu? u e se 0 l se 0. (A) (B) (C) 0 (D) Eame 65, ª fase, 00. Cosider a fução f, de domíio, defiida por f e. Mostre que f,5 tem, pelo meos, uma solução em,. Resolva este eercício recorredo a métodos eclusivamete aalíticos, se utilizar a calculadora em evetuais cálculos uméricos, sempre que proceder a arredodametos, use três casas decimais. Eame 65, ª fase, 00. Seja g uma fução cotíua, de domíio. Qual dos seguites cojutos ão pode ser o cotradomíio da fução g? (A) 0, (B) (C) (D) \ 0 Teste Itermédio, Seja a um úmero real diferete de zero. a e Qual é o valor de lim? 0 a a (A) a (B) a (C) 0 (D) Teste Itermédio, / 6

8 4. Seja f a fução, de domíio, defiida por se 0 f e se Usado eclusivamete métodos aalíticos, averigue se a fução f é cotíua em. Teste Itermédio, Cosider a fução h, de domíio, defiida por h 4 se 0 se 0 e se 0 Estude a cotiuidade de h o domíio, recorredo a métodos eclusivamete aalíticos. Eame 65, ª fase, Cosidere a fução g, de domíio, defiida por g e l. Mostre, recorredo a métodos eclusivamete aalíticos, que a fução g tem, pelo meos, um zero o itervalo 0,;0,. Nota: A calculadora pode ser utilizada em evetuais cálculos uméricos. Eame 65, ª fase, Num certo dia, o Ferado esteve doete e tomou, às 9 horas da mahã, um medicameto cuja cocetração C t o sague, em mg/l, t horas após o medicameto ter sido miistrado, é dada por Calcule 0,t te t 0 C t limct e iterprete esse valor o coteto da situação apresetada. Resolva a questão recorredo a métodos eclusivamete aalíticos. Eame 65, ª fase, / 6

9 8. Cosidere a fução g, de domíio,, defiida por g l se se se Verifique se a fução g é cotiua em, sem recorrer à calculadora. Teste Itermédio, Na figura está represetada parte do gráfico de uma fução g, de domíio e cotiua em \. As retas de equações e y são as úicas assítotas do gráfico de g. Seja uma sucessão tal que lim g. Qual das epressões seguites pode ser o termo geral da sucessão? (A) (B) a (C) (D) Eame 65, ª fase, / 6

10 0. Na figura está represetada parte do gráfico de uma fução f, de domíio, sedo y a úica assítota do seu gráfico. Qual é o valor do lim f? (A) (B) (C) (D) Eame 65, ª fase, 008. A massa de uma substâcia radioativa dimiui com a passagem do tempo. Supõe-se que, para uma amostra de uma determiada substâcia, a massa, em gramas, ao fim de t horas de 0,0t observação, é dada pelo modelo matemático M t 5 e, t 0. Resolva, usado métodos aalíticos. Nota: A calculadora pode ser utilizada em evetuais cálculos itermédios; sempre que proceder a arredodametos, use três casas decimais. Utilize o Teorema de Bolzao para justificar que houve, pelo meos, um istate, etre as horas e 0 miutos e as 4 horas após o iício da observação, em que a massa da amostra da substâcia radioativa atigiu os 4 gramas. Eame 65, ª fase, 008. Seja h a fução de domíio,, defiida por h 4 l (l desiga logaritmo de base e) Resolva, usado métodos aalíticos.. 0 / 6

11 Nota: A calculadora pode ser utilizada em evetuais cálculos itermédios; sempre que proceder a arredodametos, use, pelo meos, duas casas decimais. Justifique, aplicado o Teorema de Bolzao, que a fução h tem, pelo meos, um zero o itervalo 5,6. Eame 65, ª fase, 008. Seja f uma fução de domíio, cotiua o itervalo, Tem-se f e f Idique qual das epressões seguites defie uma fução g, de domíio, para a qual o Teorema de Bolzao garate a eistêcia de pelo meos um zero o itervalo,. (A) g f (B) g f (C) g f (D) g f Teste Itermédio, Seja f uma fução de domíio,, defiida por e se 0 f l se 0 Na figura está represetado o gráfico da fução f. Tal como a figura sugere: A é o poto do gráfico de f de ordeada máima a abcissa do poto A é positiva Utilizado métodos eclusivamete aalíticos, mostre, tal como a figura sugere, f é cotíua o poto 0. Teste Itermédio, / 6

12 5. Na figura, está reresetada parte do gráfico de uma fução f, real de variável real. Qual das afirmações seguites é verdadeira? (A) lim 0 (B) f lim f (C) lim f (D) Não eiste lim f Eame 65, ª fase, Na figura, está reresetada parte do gráfico de uma fução g, real de variável real. Tal como a figura sugere, a reta de equação é assítota do gráfico da fução g. Seja : h a fução defiida por h h O valor do lim g é:. (A) (B) (C) 0 (D) Eame 65, ª fase, 007 / 6

13 7. Idetifique o valor de lim 4 (A) 0 (B) (C) (D) Eame 65, ª fase, Cosidere a fução f, de domíio, defiida por se 0 f se 0 l se 0 (l desiga logaritmo de base e) Utilizado métodos eclusivamete aalíticos, averigue se a fução f é cotíua em 0. Justifique a sua resposta. Teste Itermédio, Cosidere, um referecial o.. Oy, a curva C, que represeta graficamete a fução f, de domíio 0,, defiida por f e e a reta r, de equação y 5. Sem recorrer à calculadora, justifique que a reta r iterseta a curva C em pelo meos um poto. Teste Itermédio, Seja f : 0, uma fução cotíua tal que f 0 f 0 e Prove que eiste pelo meos um úmero real c o itervalo f 0 0, tal que f c f c Sugestão: cosidere a fução f : 0,, defiida por g f f Eame 65, ª fase, 006 / 6

14 4. Na figura estão represetadas, em referecial o.. Oy, partes dos gráficos de duas fuções, f e g, cotíuas em. Tal como a figura sugere, ehum dos gráficos iterseta o eio O; os gráficos de g e de f itersetam o eio Oy os potos de ordeadas 0,5 e, respetivamete. A peas uma das equações seguites é impossível. Qual delas? (A) f g 0 (B) f g 0 (C) f g (D) f g Eame 65, ª fase, Seja a sucessão de termo geral Seja y a sucessão de termo geral y l Qual é o valor de lim y? (l desiga o logaritmo de base e) (A) (B) (C) e (D) e Teste Itermédio, Com o objetivo de estudar as leis do aquecimeto e do arrefecimeto, realizou-se, um laboratório de Física, a seguite eperiêcia: aqueceu-se ao lume uma certa quatidade de água, durate cico miutos; passado este tempo, a apagou-se o lume e deiou-se a água a arrefecer. A temperatura da água foi sedo medida, ao logo do decorrer da eperiêcia. Admita que: este laboratório, a temperatura ambiete é costate; a temperatura da água, o istate em que começou a ser aquecida, era igual à temperatura ambiete; depois de se ter apagado o lume, a temperatura da água tede, com o passar do tempo, a igualar a temperatura ambiete. 4 / 6

15 Em resultado da eperiêcia, cocluiu-se que a relação etre a temperatura da água e o tempo t, cotado em miutos, a partir do istate em que se colocou a água ao lume, é modelada por uma, e uma só, das quatro fuções, a, b, c e d, defiidas por: 4 t se 0 t 5 0,04t5 a c 4 0e se 5 4 t se 0 t 5 0,04t5 4 60e se 5 Qual das quatro fuções é a correta? b d t se 0 t 5 0,04t e se 5 t se 0 t 5 0,04t e se 5 Numa pequea composição, eplique porque ão pode ser ehuma das outras três, idicado, para cada uma delas, uma razão pela qual a rejeita, eplicado a sua iadequação, relativamete à situação descrita. Teste Itermédio, Bom trabalho!! 5 / 6

16 Pricipais soluções.. (B). Não é cotíua 4. k e 5. (D) (A) lim f k l 5 0. (B). (A). (A). f é cotíua em 4. (B) a (B) 9. (D) 0. (D).. (D). Não é cotíua 4. (A) 5. A fução é cotiua em (B) 9. (B) 0. É cotiua em... (A) 4. (D) 5. (C) (D) 8. f é cotíua em (A) 4. (A) 4. d 6 / 6