Proposta de teste de avaliação

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1 Matemática. N DE ESCLRIDDE Duração: (Cadero + Cadero ): 50 miutos. Tolerâcia: 0 miutos Data: MI 09

2 Cadero : 75 miutos. Tolerâcia:5 miutos (é permitido o uso de calculadora) Na resposta aos ites de escolha múltipla, selecioe a opção correta. Escreva, a folha de respostas, o úmero do item e a letra que idetifica a opção escolhida. Na resposta aos restates ites, apresete todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias. Quado, para um resultado, ão é pedida a aproimação, apresete sempre o valor eato. Na figura, está represetado um círculo dividido em cico setores circulares diferetes, umerados de a Estão dispoíveis seis cores para pitar este círculo, admitido as codições seguites: cada setor é pitado de uma úica cor e todos serão pitados; setores com um raio comum ão podem ser pitados da mesma cor; o círculo ficará pitado com quatro cores De quatas maeiras diferetes pode o círculo ficar pitado? () 800 (B) 900 (C) 60 (D) 0. refeitório de uma empresa serve apeas almoços e jatares. s trabalhadores da empresa podem aí tomar uma das refeições ou as duas. No dia de maio verificou-se que: metade dos trabalhadores que usaram a catia, almoçaram e jataram; o úmero de trabalhadores que almoçaram a catia é igual ao úmero de trabalhadores que aí jataram. Escolhe-se, ao acaso, um trabalhador dessa empresa. Sabedo que esse trabalhador almoçou a catia o dia de maio, determie a probabilidade de aí também ter jatado esse dia.

3 . Na figura, está represetada, um referecial o.. yz, a pirâmide quadragular regular BCDV. z V B C y Sabe-se que: D o plao BC pode ser defiido pela equação 4yz4 0; para determiados valores de a e b, os potos e B têm coordeadas, a,0 e,0, b, respetivamete; o poto C tem coordeadas,0,8 ; a pirâmide BCDV tem volume igual a Mostre que a 6 e b 8 e determie um valor aproimado à décima do grau da amplitude do âgulo B... Determie as coordeadas do poto V sabedo que são todas positivas. 4. Na figura, está represetado, o plao compleo, o triâgulo equilátero B ( é a origem do referecial). Sabe-se que os potos e B são os afios de duas das raízes de ídice de um úmero compleo z. Imz B Qual dos seguites pode ser o valor de? () 9 (B) 5 (C) 8 (D) Rez

4 5. Cosidere a fução f, de domíio R, defiida por f e. 5.. Mostre que eiste pelo meos um poto do gráfico de f, cuja abcissa pertece ao itervalo 0,, em que a reta tagete ao gráfico esse poto tem declive igual a. 5.. Seja r a reta cuja eistêcia foi provada a alíea aterior. dmita que eiste uma úica reta as codições aí euciadas. Seja b o poto de iterseção da reta r com o eio y. Determie o valor de b recorredo às capacidades gráficas da calculadora. Na sua resposta: apresete a(s) equação(ões) que lhe permite(m) obter a solução do problema; reproduza, um referecial, o(s) gráfico(s) da(s) fução(ões) visualizado(s) a calculadora que lhe permitem resolver a(s) equação(ões); apresete o valor de b arredodado às décimas (se em cálculos itermédios proceder a arredodametos, mateha três casas decimas, pelo meos). 6. Na figura, está represetado um triâgulo BC de área igual a 40. C 0 Sabe-se aida que B C 0. valor do produto escalar BC é: 0 B () 50 (B) 50 (C) 60 (D) 40 4

5 7. Na figura, estão represetadas, um referecial o.. y, a circuferêcia de equação y bem como a reta r, tagete à circuferêcia o poto de coordeadas,0. y C B Sabe-se aida que: o poto C pertece à circuferêcia; r o poto B é o poto de itersecção da reta r com a semirreta C; π é a amplitude, em radiaos, do âgulo C, com 0,. Qual das epressões seguites represeta, em fução de a, a área da região a sombreada? () (C) si (B) ta ta (D) 8. Seja S o espaço amostral (espaço de resultados) associado a uma certa eperiêcia aleatória. Sejam e B dois acotecimetos ( S e B S), com P 0. Mostre que P B PB. Fim do Cadero CTÇÕES (Cadero ) Item Cotação (em potos)

6 Cadero : 75 miutos. Tolerâcia:5 miutos (ão é permitido o uso de calculadora) Na resposta aos ites de escolha múltipla, selecioe a opção correta. Escreva, a folha de respostas, o úmero do item e a letra que idetificam a opção escolhida. 9. Em C, cojuto dos úmeros compleos, cosidere z i 84i 4 i Determie e apresete a forma algébrica as raízes cúbicas do úmero compleo 4z. 0 Cosidere a sucessão u defiida, para determiado úmero real k, por Sabe-se que limu e. valor de k é: u k. () 4 (B) 5 8 (C) (D) 4 De uma progressão geométrica a sabe-se que, para determiado úmero real positivo e diferete de,, e log são os três primeiros termos (por esta ordem). Mostre que a. 0 0 é um termo da sucessão. Seja f a fução de domíio R defiida por f l... Estude a fução f quato à eistêcia de assítotas verticais do seu gráfico... Estude a fução f quato à mootoia e quato à eistêcia de etremos relativos... Seja a icliação, em radiaos, da reta tagete ao gráfico de f o poto de abcissa. Qual das seguites igualdades é verdadeira? () ta 4 (B) cos 7 (C) si (D) 7 cos 7 7 6

7 . De uma fução f de domíio π,π igualmete defiida o itervalo π,π.. Justifique que se 0,, sabe-se que, é dada por f a etão f a. f 0 e que a sua derivada f, cos cos... Estude a fução f quato às cocavidades do seu gráfico e determie as abcissas dos potos de ifleão, caso eistam. 4 De uma fução f, duas vezes difereciável em R, sabe-se que o seu gráfico tem um poto de ifleão de abcissa ula. Em qual das figuras seguites pode estar uma represetação gráfica da fução f, primeira derivada da fução f? () y (B) y (C) y (D) y 5π 5. Sabedo que arcsisi 6, o valor de cos si é: () 0 (B) (C) (D) Fim da prova CTÇÕES (Cadero ) Item Cotação (em potos) TTL (Cadero + Cadero ) 00 7

8 Formulário Geometria Comprimeto de um arco de circuferêcia: r ( - amplitude, em radiaos, do âgulo ao cetro; r - raio) Área de um polígoo regular: Semiperímetro pótema Área de um setor circular: r ( - amplitude, em radiaos, do âgulo ao cetro; r - raio) Área lateral de um coe: πrg (r - raio da base; g - geratriz) Área de uma superfície esférica: 4πr ( r raio) Volume de uma pirâmide: Área da base ltura Volume de um coe: Área da base ltura Volume de uma esfera: Progressões 4 π r (r raio) Soma dos primeiros termos de uma progressão u : Progressão aritmética: u u r Progressão geométrica: u r Trigoometria si cos ab siacosb sibcos a ab cosacos b siasib si si B sic a b c a b c bccos Compleos cis cis i ou e π cis cis ou k k 0,..., e N e e i i e kπ i Probabilidades p p... p... p Se X é N,, etão P P P X 0,687 X X 0,9545 0,997 Regras de derivação uv u v u v uv uv u uvuv v v u u u, R siu ucosu cosu usiu u cos u tau u e u ue u a ua la u, ar \ u lu u u loga u ula, ar \ Limites otáveis lim si lim 0 e lim 0 l lim 0 e lim p e, N pr 8

9 Proposta de resolução. Cadero Há 6 C4 5 maeiras de escolher as quatro cores a utilizar, etre as seis cores dispoíveis. Como são usadas quatro cores para pitar os cico setores, há uma (e uma só) cor que tem de se repetir. Etre as cores selecioadas, há 4 maeiras de escolher a cor que se repete. s dois setores que vão ficar da mesma cor podem ser escolhidos de 5 maeiras diferetes (as escolhas possíveis são:, -,4 -,4 -,5 -,5). u 5 C (todas as maeiras de escolher dois setores meos os casos que ão servem:, -, -,4-4,5-5,) s restates três setores podem ser pitados pelas restates três cores de! 6 maeiras diferetes. Há, portato, possibilidades. Resposta: () 4 5. Na escolha ao acaso de um trabalhador da empresa, sejam os acotecimetos: : trabalhador escolhido almoçou a catia o dia de maio B: trabalhador escolhido jatou a catia o dia de maio É dado que: P B P B P BP B P P B Pretede-se determiar PB P B. P P B P PB P B P B P P P B P B P B P P P B P B P B P P Logo, a probabilidade pedida é igual a. PB PB P B P P0 9

10 . BC: 4yz4 0.., a,0 e B,0, b Dado que e B são potos do plao BC, vem: 4a0404a 4a 6 40b4 0b 4b 8,6,0 e B,0,8 0,0,0,6,0, 6,0 B B,0,8,6,0 0, 6, B B, 6,0 0, 6, B 6 8 cosb cos ɵ, B B Se 8 cos B, etão B 5,7º C,0,8 e,6,0 cetro da base da pirâmide é M, poto médio de C. B V poto M tem coordeadas,, 6,,4 vetor de coordeadas 0, 4, é perpedicular ao plao BC: 4yz4 0 vetor MV é perpedicular ao plao BC, ou seja, MV é. C M D coliear com o vetor 0, 4,. MV k 0, 4, 0, 4 k, k, kr altura da pirâmide é igual a MV. V pirâmide 500 base altura=500 B MV =500 0 MV = MV =500 MV =5 B 0 0

11 MV =5 0, 4 k, k 5 0 4k k 5 6k 9k 5 5k 5 5k 5 5k 55k 5 kk Se k, MV 0, 4, 0,,9 V M MV 6,,4 0,,9 6,5, Se k, MV 0, 4, 0,, 9 V M MV 6,,4 0,, 9 6, 9, 5 Dado que V tem as coordeadas positivas, temos V 6,5,. 4. Se o triâgulo B é equilátero, etão π B. i Se é o afio do úmero compleo u re etão B é o Imz B π i afio do úmero compleo v re. Sabemos que u e v são duas das raízes de ídice de um úmero compleo z. Etão, v u. π Rez π i i π i i v u re re r e r e π kπ, kz π kπ, kz π kπ, kz k, kz 6 k, kz Portato, é um úmero atural múltiplo de 6. Resposta: (C) 5. f e 5.. f e e e fução f é cotíua em R (composta, soma e produto de fuções cotíuas em R). Logo, a fução f é cotíua em 0,.

12 f f e e Como a fução f é cotíua em 0, e f0 f podemos cocluir, pelo teorema de Bolzao-Cauchy, que eiste pelo meos um 0 0, tal que f 0. Fica, portato, provado que eiste pelo meos um poto do gráfico de f, cuja abcissa pertece ao itervalo 0,, em que a reta tagete ao gráfico esse poto tem declive igual a. 5.. Em primeiro lugar, determiamos a abcissa do poto de tagêcia que é a solução da equação f (de acordo com os dados, a solução é úica). Recorredo à calculadora gráfica, determiou-se a abcissa do poto de iterseção dos e e y, com 0. gráficos de y f bteve-se o resultado ao lado. abcissa do poto de tagêcia é 0,76. y f ordeada do poto de tagêcia é:,76,76 f 0,76 e,47 poto de tagêcia, P, tem coordeadas 0 aproimadamete iguais a,76;,47. Seja y m b a equação da reta r. Sabemos que m e que o poto de tagêcia, P, também pertece à reta 0 r. ssim,,47,76 b pelo que b,47,76,. Logo, b,.,76 6. Seja C a projeção ortogoal do poto C a reta B. C Como a área do triâgulo BC é igual a 40, vem: BCC 400CC80 CC 8 triâgulo C C é retâgulo em C. Logo C 0 B C CC C C 8 0 C 0064 C 6 C 6 Pela defiição de produto escalar, B C B C0660 Resposta: (C)

13 7. Área do setor circular Área do triâgulo B Como e r C B B ta, vem r y C B B B ta ta r Área da região sombreada B setor C ta ta Resposta: (D) 8. P B P B P P P B P B P P B P B P P PB Cadero 9. 84i 84 i 84i z 4 4 i i i 4i4i 4i4i 84i4i 84i 84i 4i 4i 4i 4i 6 i 8i 6i 6 40i 6 40i i kπ π4kπ i i i 6 4z 4i 8e 8e e, k 0,, Se k 0, Se k, Se k, z 0 π i 6 π π e cos isi i i 6 6 5π i 6 5π 5π z e cos isi i i 6 6 9π π i i 6 z e e i s raízes cúbicas de 4z são: i, i e i

14 0. k k lim k limu lim lim lim k e e e e k 4k 4k 5 limu e e e 4k 8k 48k 5 k 8 Resposta: (B). Se, e log são os três primeiros termos de uma progressão geométrica de razão r etão log r. log log log 0 a e r a u r 0 a a f l ; D 0, f.. f é uma fução cotíua por ser defiida pela difereça e produto de fuções cotíuas. D, apeas a reta de equação 0 poderá ser assítota vertical do Logo, como 0, gráfico de f. f 0 lim f lim l 0 0 Como lim l lim l lim lim l 0 0 y y y lim l lim l y y y l y l y lim lim 00 y y y y 0 l l, R lim f 0R, o gráfico de f ão têm assítotas verticais. y y Se 0, y 4

15 .. f l l l l l l l 4 l f 0 4 l l 0 0 0l 0 e 0 e f 0 f ց e Mí. e e le e f e Podemos, assim, cocluir que: f é estritamete decrescete em f tem um míimo relativo igual a ր 0,e e estritamete crescete em e para e. e, ;.. Seja y m b a equação reduzida da reta r, tagete ao gráfico de f o poto de abcissa. m f 4 l Se é a icliação da reta r, etão ta 4 e π π. ta cos 4 7 cos Resposta: (B) cos cos 7. D f π,π; f 0; f.. f Para todo cos cos cos cos 0, vem cos 0 e cos 0. Logo, 0, 0, f pelo que a fução f é estritamete crescete em 0,. ssim, podemos cocluir que se 0, a, f a f 0, ou seja, f a. 5

16 .. f cos cos cos cos cos cos cos cos cos si cos cos si si si cossi cos si cos si f 0 0 π,π cos si0 π,π si0 π,π 0 sial da seguda derivada é o sial de si : 0 f 0 f P.I. gráfico da fução f tem a cocavidade voltada para cima em,0 e voltada para baio em. poto de abcissa 0 é um poto de ifleão. 4. Se o poto de abcissa ula é um poto de ifleão do gráfico de f etão f(0) 0 e f muda de sial o poto 0. Logo, f tem um etremo para 0. Resposta: (D) 5. 5π arcsisi 6, π π, 5π π π si si π si π arcsi 6 π π π cos si cos si si 6 6 Resposta: (C) 6