CAPÍTULO IV DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE

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1 CAPÍTUO IV DESENVOVIMENTOS EM SÉRIE Série de Taylor e de Mac-auri Seja f ) uma fução real de variável real com domíio A e seja a um poto iterior desse domíio Supoha-se que a fução admite derivadas fiitas de todas as ordes em a e costrua-se a série de potêcias f a) a) f ' a) a ) a ) ) f " a) f a)! )! ou seja a ) ) f a) )! 0) covecioado-se esta ultima represetação que f a) f a) A esta série chama-se série de Taylor de f ) com origem em a ; quado seja a 0 a série )! desiga-se por série de Mac-auri f ) 0) Vejamos algus eemplos ) A série!! )! ou )! é série de Mac-auri de f ) e pois para esta fução tem-se f 0) f 0) f 0) f -) 0) e 0 ) Para f ) / costrua-se a série de Taylor com origem em a Atededo a que f -) ) ) obtém-se a série ) ) ) )!! ou seja )! ) ) ) )! )! 6

2 ) ) ) ) ou aida ) ) Nos dois eemplos apresetados a soma da série de Taylor coicide com f ) para cada pertecete aos respectivos itervalos de covergêcia: )! e ] - [ ) ) ) ] 0 [ Nem sempre porém assim acotece A série de Taylor poderá ser covergete para certo valor 0 e a respectiva soma ão coicidir com f 0 ) Por eemplo a fução f ) e 0 / 0 0 tem derivadas de todas as ordes ulas a origem ; a série de Mac-auri é etão uma série com os termos todos ulos cuja soma ão coicide evidetemete com o valor da fução para os valores de 0 Estuda-se seguidamete um teorema que dá as codições para que uma fução seja soma da respectiva série de Taylor de Mac-auri) para os valores de que a façam covergete Teorema : A codição ecessária e suficiete para que a série de Taylor de f ) com origem em a suposta covergete em certo 0 teha por soma f 0 ) é que para 0 o resto da fórmula de Taylor de ordem - de f ) com origem em a teda para zero Demostração : Cosiderado a fórmula de Taylor de ordem para f ) com origem em a a ) ) f ) f a) a) f ' a) f a) r ) )! vê-se que a parte poliomial ou seja f ) r ) coicide com a soma dos primeiros termos da série e Taylor de f ) com origem em a Supodo que a série de Taylor coverge para 0 ter-se-á f 0 ) f a) 0 a) f ' a) a 0 a ) ) f ) )! 7

3 se e só se f 0 ) lim [ f 0 ) r - 0 ) ] o que equivale a ter-se lim r - 0 ) 0 como se queria provar Na prática a aplicação directa da codição do teorema para averiguar sobre a evetual igualdade etre f ) e a soma da respectiva série de Taylor é ormalmete iviável Eiste o etato uma codição suficiete que permite cocluir com facilidade sobre a verificação de tal igualdade em muitos casos de iteresse É do que trata o teorema seguite : Teorema : Sedo f ) ) M para 0 com M e costates em certo itervalo I cotido o itervalo de covergêcia da série de Taylor e a que a origem a da série perteça etão f ) é aquele itervalo soma da sua série de Taylor Demostração : Nas codições do euciado o resto da fórmula de Taylor pode escrever-se a forma de agrage : a) ) r ) f *)! com * estritamete compreedido etre a e Etão para 0 e para qualquer 0 I r 0 a ) * 0 M 0 0 ) f 0 ) M! a! Como lim k /! 0 qualquer que seja k resulta l i m M 0 a )! 0 a )! dode lim r - 0 ) 0 ou aida lim r - 0 ) 0 Este último resultado garate de acordo com o teorema f 0 ) f a) 0 a) f ' a) a 0 a ) ) f ) )! qualquer que seja 0 I como se queria provar Vejamos dois eemplo de aplicação ) Sedo f ) cos tem-se f 0) f 0) 0 f 0) - f 0) 0 f 4) etc ou seja f -) 0 ) e f ) - ) ) 8

4 A série de Mac-auri para f ) cos é etão depois de elimiados os termos ulos o que equivale a associar cada termo ulo com o termo sigificativo imediatamete aterior) :! 4 4! ) )! ou ) )! O itervalo de covergêcia desta série é ] - [ e como qualquer das sucessivas derivadas de f ) cos assume sempre uma das formas ± se ou ± cos tem- -se f ) ) esse itervalo para ogo para qualquer ] - [ tem-se cos ) De modo semelhate se obteria ) )! se ) )! ] - [ Na prática em grade úmero de casos o desevolvimeto em série de Taylor Mac- -auri) tem de fazer-se por processos mais epeditos É que a obteção de uma epressão geral para as sucessivas derivadas de modo a ter-se uma epressão geral para os termos da série é ormalmete impraticável E por outro lado o estudo do comportameto do resto para saber ode é válido o desevolvimeto em sempre pode fazer-se com a simplicidade desejável Veremos o poto seguite técicas de desevolvimeto em série de Taylor Mac- -auri) que se baseiam a possibilidade de derivar e primitivar termo a termo as séries de potêcias Técicas de desevolvimeto em série - Itrodução Vamos primeiro covecioar uma simbologia que será útil o que segue Dada a fução f ) represetaremos por f k) ) com k 0 a sua derivada de ordem k covecioado-se que a derivada de ordem 0 é a própria fução f 0) ) f ) f ) ) f ) f ) ) f ) etc Cosidere-se agora a fução S) a a ) defiida o itervalo de covergêcia da série de potêcias Esta fução admite derivadas de todas as ordes o iterior desse itervalo as quais podem ser obtidas por derivação sucessiva da série termo a termo p 9

5 Repare-se que todos os termos da série são fuções do tipo f ) b a) m com b costate real e m iteiro ão egativo Sedo m 0 f ) b costate) tem-se f a) f 0) a) b b 0!) f ) a) f ) a) 0 ; sedo m tem-se f a) f 0) a) f ) a) f ) a) f m - ) a) 0 f m) a) b m!) f m) a) f m) a) f m) a) 0 Aplicado estes resultados aos termos da série de potêcias S) o itervalo de covergêcia obtém-se a a ) p de soma ) S p a) a p!) ) S p a) a p!) p ) S a) a p!) sedo que S k) a) 0 para k { p p p } Costruido a série de Taylor com origem em a para a fução S) elimiação dos evetuais termos ulos a a ) p obtém-se após a ) p! p a p!) a ) p! p a p!) a ) p p a p!) ou seja após simplificação que é a série origial Isto é p p p ) a a) a a) a a Teorema : Qualquer série de potêcias em a é série de Taylor com origem em a da sua própria soma - Obteção prática do desevolvimeto O teorema estudado em jutamete com a possibilidade de derivar e primitivar termo a termo as séries de potêcias permite obter de forma epedita desevolvi- 0

6 metos em série de Taylor em muitos casos de iteresse prático Os casos típicos de aplicação desta técica são os seguites : º Caso : Desevolver f ) em série de Taylor com origem em a sabedo que a fução admite como primitiva certa fução F) que se sabe ser defiida por uma série de potêcias em a o respectivo itervalo de covergêcia I Neste caso de F) termo a a ) p para I resulta por derivação termo a p f ) a p a ) pelo meos para INT I podedo esta igualdade prologar-se às etremidades do itervalo caso elas seja covergete a série das derivadas [e lateralmete cotíua a fução f )] º Caso : Desevolver f ) em série de Taylor com origem em a sabedo que f ) é defiida por uma série de potêcias em a o respectivo itervalo de covergêcia J p Neste caso de f ) a a ) para J resulta por primitivação termo a termo f ) k a a ) p pelo meos para J p com k costate a determiar Para determiar a costate de primitivação k basta fazer a em ambos os membros saido k f a) Tem-se portato f ) f a) a a ) p pelo meos para J p podedo esta igualdade prologar-se às etremidades de J caso elas seja covergete a série das primitivas [e lateralmete cotíua a fução f ) ] Para ilustrar estas técicas de desevolvimeto em série apresetam-se dois eemplos : ) Para desevolver em série de Mac-auri a fução f ) ) basta otar que esta fução admite como primitiva F ) e que esta fução pode ser desevolvida pela série geométrica

7 F ) - < < Etão por derivação termo a termo f ) ) ) para - < < ) Para desevolver em série de Taylor com origem em a fução f ) log ) basta otar que f ) ) / / ) ) ) ) para < ou seja para ] - [ Tem-se etão por primitivação log ) k ) ) pelo meos para ] - [ com k costate a determiar Fazedo em ambos os membros sai k log e etão log ) log ) ) valedo a igualdade também para por ser para esse valor de covergete série e cotíua a fução f ) log )

8 Eercícios - Escreva as séries de Mac-auri para as fuções: a) se ; b) cos Estudado o comportameto do resto da fórmula de Mac-auri mostre que cada uma das fuções é soma da correspodete série o respectivo itervalo de covergêcia - Dada a fução f ) arc tg a) Mostre por idução que a derivada de ordem é dada por f ) ) - )! cos arc tg ) se [ arc tg π /)] ; b) Escreva a série de Mac-auri e mostre que a soma desta série é o valor da fução o respectivo itervalo de covergêcia - Escreva a série de Taylor com origem em a π ) para y se ) e mostre que tal série tem por soma a fução o itervalo ] - [ 4 - Cosidere a fução a) Mostre que f 0) 0 ; f ) / e b) Mostre por idução que a derivada de ordem os potos 0 tem por epressão geral f ) ) A B α β λ e / com A B α β λ costates e deduza daí que f ) 0) 0 para ; c) Costrua a série de Mac-auri para f ) e mostre que embora esta série seja covergete o itervalo ] - [ apeas para 0 a sua soma é igual ao valor de f ) 5 - Desevolva em série de Mac-auri as fuções seguites idicado os itervalos ode são válidos os desevolvimetos: a) log ) ; b) ) ; c) ) ) ; d) se cos ;

9 e) ; f) f ) arc tg 0 0 ; g) se ; h) ; i) log ) ; j) log - ) ; k) ) ) ; l) ) ; m) log ) ; ) log ) ; o) log ) ; p) ; q) arc tg ; r) log ) 6 - Desevolva em série de Taylor com origem em a as fuções seguites idicado os itervalos ode são válidos os desevolvimetos: a) ; b) e ; c) log ; d) ) ; e) - - ) ; f) 7 Determie o termo geral do desevolvimeto em série de Mac-auri da fução y 4 e aproveite o resultado para calcular y 5) 0) 8 - Desevolva segudo as potêcias de - as seguites fuções e idique os itervalos ode são válidos os desevolvimetos: a) y / ; b) y 4 ) 9 - Desevolva segudo as potêcias de / as seguites fuções e idique os cojutos ode são válidos os desevolvimetos: a) y ; b) y ) ) 0 - Desevolva segudo as potêcias de arc se a fução f ) arc se e idique o cojuto ode é válido o desevolvimeto - Desevolva segudo as potêcias de log a fução y log e idique para que valores de é válido o desevolvimeto 4

10 - Desevolva segudo as potêcias de valores de é válido o desevolvimeto a fução y e idique para que RESPOSTAS: - a) ) b) ) - b) ) - ) )! em ] - [ ; )! em ] - [ em [- ] )! 5 - a) log ) π ) em ] - [ para - ; b) / ) ) ) para - < < ; c) 0 para - < < ; 0 d) ) )! para R ; 0 e) f) ) 0 ) )!! )! para - ; g) ) )! para R ; 0 para - < ; p / par h) ) com p para - < < ; 0 ) / impar i) ) para -/ < / ; 0 j) log k) 0 para - < ; 0 ) para - < < ; l) ) 0 para - < < ; m) para - ; 5

11 ) ) para - ; 0 5 ) o) ) para - ;! ) p) ) para - < < ; q) π/4 ) para - < ; 0 r) [ ] 0 ) / / ) para - < < e 6 - a) ) ) para 0 < < ; b) 0! ) 0 c) ) ) d) 4 ) ) para 0 ; ) ) para - < < ; e) ) ) ) para 0 < < ; f) 0 ) 7 - O termo geral é 4 / ) / 8 - a) ) b) 9 - a) [ ] ) )! )! )! para R ; para 0 < 0 ) e y 5) 0) 05 / 6 ) / ) ) para 0 < < ; 0 0 ) ) ) para - < < ) / ) para < - ou > ; b) ) / ) para < - ou > 0 - ) 0 arc se ) )! para - - log 0! para > 0-0 para > -/ 6