Função Logarítmica 2 = 2

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1 Itrodução Veja a sequêcia de cálculos aaio: Fução Logarítmica = = 4 = 6 3 = 8 Qual deve ser o valor de esse caso? Como a fução epoecial é estritamete crescete, certamete está etre e 3. Mais adiate veremos que este valor é log 6. Defiição O logaritmo de um úmero real e positivo, a ase a, positiva e diferete de, é o úmero ao qual se deve elevar a ase para se oter. loga = a = (.) forma logarítmica forma epoecial > 0,a > 0 e a Eemplo : Calcule o valor do logaritmo log0 0,0. Solução: Aplicado a defiição (.), temos: log0 = 0 = 0 = 00 Oservação : Quado a ase é 0 podemos omiti-la. Codições de Eistêcia Para que o logaritmo sempre eista devemos ter: > 0 loga a > 0 e a Chamamos de campo de eistêcia ou domíio dos logaritmos. Eemplo : Calcule o valor de a epressão log =. 4 Solução: Aplicado a defiição teremos: = = ± 4 4 = ou = Testado as codições de eistêcia: > 0 e Portato, somete um valor de atede ao prolema: = Coseqüêcias da Defiição A partir da defiição de logaritmos, algumas particularidades ocorrem e estas são importates para a resolução de prolemas: ) loga = 0

2 ) loga a = m 3) log a = m a loga 4) a = log = log c = c 5) a a Equações Logarítmicas São as equações que evolvem logaritmos. Para resolver seguimos três passos simples: ) Idicar as codições de eistêcia; ) Resolver a equação; e 3) Verificar a solução as codições de eistêcia. log 5 =. Eemplo : Resolver a equação: ( ) Solução: Seguido os passos temos: ) Codições de eistêcia (CE): 5 > 0 > 5 ) Aplicado a defiição: 7 5 = 4 = 5 3) Verificado as CE temos: 7 > 5 5 Portato, a solução ecotrada é válida. 4 S = { 7 5 } Propriedades Operacioais dos s Segue aaio uma lista de propriedades dos logaritmos que aplicaremos para resolver prolemas. log ac = log a + log c ) a ) log loga logc c = 3) log a = log a 4) log a = loga 5) log a = log a Aplicação das Propriedades a Resolução de Equações Vamos aplicar as propriedades vistas ateriormete a resolução de equações. log + + log = 5. Eemplo : Resolver a equação ( ) ( ) Solução: Primeiro vamos às CE: ) + > 0 > e ) > 0 >

3 Para que eista o logaritmo, amas as codições ) e ) devem ser satisfeitas, portato teremos >. Como vimos, a soma de logaritmos equivale ao logaritmo de um produto, logo: log + = 5 ( ) ( ) ( ) log 4 = 5 4 = 3 = 36 O que os dá = 6 ou = 6 Verificado as codições de eistêcia, temos = 6 Portato Mudaça de Base S = { 6} Para mudarmos um logaritmo a ase, de um úmero a para o logaritmo de a a ase c, usamos a seguite relação: logc a log a = (.) log Eemplo : Sedo log = 0, 3 e log 3 = 0,4, calcular log 6. Solução: Podemos usar a relação (.). Como os valores dados estão a ase 0 podemos fazer: log 6 log log Para calcular log 6 podemos usar a propriedade do logaritmo de um produto: Pelos valores dados Gráfico da Fução Logarítmica Seja a fução logarítmica: log 3 log log log + log 3 log log 0,3 + 0,4 log 0,3 7 log 3 ( ) = f c log Adotado valores positivos para e, calculado o correspodete em y, teremos o Gráfico : 3

4 f ( ) 0 Gráfico Agora vamos cosiderar a fução ( ) = f log Fazedo o mesmo procedimeto aterior, teremos o Gráfico : f ( ) 0 Gráfico Dos eemplos dados, podemos cocluir que: Se a f = log é crescete. Se 0 a >, etão ( ) a < <, etão f ( ) a Iequações Logarítmicas = log é decrescete. Para resolvermos um prolema evolvedo desigualdades e logaritmos, devemos levar em cota as codições de eistêcia e a ase do logaritmo, devido às propriedades do gráfico de uma fução logarítmica. Veja: Se a > teremos uma fução crescete, o que sigifica dizer que < y < y Etão < loga < loga Se 0 < a < teremos uma fução decrescete, o que sigifica dizer que < y > y Etão < loga > loga Eemplo : Resolver a iequação ( ) log 5 > log Solução: Checado as codições de eistêcia: 5 > 0 > 5 Como a ase é maior que (a ase vale 3) a desigualdade se coserva: 5 > 4 5 > 5 > Como a solução satisfaz as codições de eistêcia, etão: 4

5 { R } S = > Eercícios de Fiação ) A solução da equação ase. 4 = é o úmero real k. Calcule a logaritmo de k a 6 6 ) No campo real para que valores de tem setido a epressão: y = log +? 0 ( ) 3) Determiar o cojuto de valores reais para que seja possível defiir y = log ) Determie o valor da epressão: 5 log 3 log 4 5) Determie y, se log ( log y) 5 3 = 6) Seja k a solução da equação log8 ( log ) =. Calcule o valor de 8 k. + 7) Resolva, o campo real, a equação log0 0 =. + 8) Dê o cojuto solução da equação 3 + log = 4. log 9) Calcule log a c, sedo logc a = 5 e logc = c 0) Ecotre os valores de para os quais log = log 4 + log 3. ) Resolva a equação ( ) + log 5 + log 400 = 4. ) Dê o cojuto solução da equação log3 + =. log 9 3 5

6 ) 3 R < 4 > 3 ) { } 3) { R < 3 > 4} 4) 3 5) 43 6) 0, 7) { } 8) { 0 } 9) 5 7 0) { } ) {, } ) { 3 } Gaarito 6