Capítulo 3. Sucessões e Séries Geométricas

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1 Capítulo 3 Sucessões e Séries Geométricas

2 SUMÁRIO Defiição de sucessão Mootoia de sucessões Sucessões itadas (majoradas e mioradas) Limites de sucessões Sucessões covergetes e divergetes Resultados sobre ites de sucessões Séries geométricas

3 3 Defiição de Sucessão: Uma sucessão real é uma fução f : N R que se desiga por ou por outra expressão semelhate. U Z V 5 U,, < 4 4 0, C, par ímpar

4 4 ; 3 ; 3 4 ; 4 5 ;... ; 4; 8; 6; 3;... U ; 3; 9; 7; 8;... Sucessão por recorrêcia U U 6U 5 ; 0 ; 0 ; 40 ;...

5 5 Mootoia de uma Sucessão: U Uma sucessão é crescete se e só se para qualquer se verificar. N U > U U Se etão a sucessão U é estritamete crescete. U Exemplo: ; ; 3; 4; ; ; 3; 4... Não é uma sucessão crescete, em sempre é verdade que U U

6 6 Serão crescetes as sucessões? U si() V 5 W 6 Para ver se uma sucessão é crescete ão basta calcular algus termos, é preciso provar pela defiição!

7 7 Será U uma sucessão crescete? U U ( ) > 0 SIM V ( V ( ) ) 0 Será uma sucessão crescete? V > SIM

8 8 W Será uma sucessão crescete? W ( ) W < 0 NÃO C ( 4) Será uma sucessão crescete? C C ( 4) ( 4) 5 NÃO Esta expressão tato é positiva como egativa, depede do valor de

9 9 Z < Será uma sucessão crescete?,, 4 4 Se <3: Z Z ( ) > 0 Se >3: Z Z ( ) > 0 Se 3: Z 4 6 Z Z 4 Z3 < 0 NÃO

10 0 Capítulo 3 - Sucessões Será uma sucessão crescete? ímpar par C,, 0 Se par, ímpar: Se ímpar, par: > C C NÃO 0 0 < C C

11 0,35 0,3 0,5 0, 0,5 0, C, par ímpar 0, 0,

12 U Uma sucessão é decrescete se e só se para qualquer se verificar. N U U U < U U Se a sucessão é estritamete decrescete. U Uma sucessão é moótoa se for crescete ou decrescete. Uma sucessão é estritamete moótoa se for estritamete crescete ou estritamete decrescete.

13 3 Uma sucessão diz-se majorada se existir um certo úmero real M tal que: U U M, N U ; U,5; U 3,67 ;... ; U00,99 Facilmete se percebe que os termos da sucessão covergem para, uca atigido este valor. Logo existe uma barreira superior em. U, N

14 4 U, N 4, N 67, N Se é verdade que U U ou que. também é verdade que Na verdade temos ifiitas barreiras à sucessão. Qualquer úmero real igual ou superior a serve de barreira superior à sucessão. A sucessão U majorates dado por [ ; [ é majorada sedo o cojuto dos

15 5 A sucessão V cos ( 7 l ) 3 é majorada pois um coseo (idepedetemete do argumeto) uca ultrapassa o valor, logo é verdade que: V, N V e, N 00, N V Assim, a sucessão V é majorada.

16 6 Uma sucessão diz-se miorada se existir um certo úmero real m tal que: 6 U U m, N U 6 ; U 3; U 3 ;... ; U00 0,06 Facilmete se percebe que os termos da sucessão covergem para zero, uca atigido este valor. Logo existe uma barreira iferior em 0. U 0, N

17 7 Se é verdade que U 4, N U 0, N 00, N U também é verdade que ou que. Na verdade temos ifiitas barreiras iferiores à sucessão. Qualquer úmero real igual ou iferior a 0 serve de barreira à sucessão. A sucessão U miorates dado por é miorada sedo o cojuto dos ] ; 0]

18 8 Uma sucessão é itada se for majorada e miorada. m U M, N U si( 5), U N É uma sucessão itada V 5 6 <, V N Não é uma sucessão itada, é apeas miorada

19 9 Exercícios: U ( ). Prove que a sucessão é itada. 3. Prove pela defiição que a sucessão é estritamete moótoa. V W 3. Prove que se é itada, também o será a sucessão C 5W

20 0 Limites de Sucessões: U 3 Não é difícil perceber que o ite da sucessão é 3. Mas como provar pela defiição o ite de uma sucessão? ε > 0, ( ε ) : > ( ε ) U L < ε

21 U 4 3,5 3 3, ,5 5 3, 6 3,7 7 3,4 8 3,5 9 3, 0 3, 3,09 3, , , , , , , , ,05 4, 4 3,8 3,6 3,4 3, 3, U 3 ε 0, A partir da ordem 6 os termos distam do ite meos que 0,

22 U 3 < 0, 3 3 < 0, < 0, < 0, > 0, > 5 A partir da ordem 6 os termos distam do ite meos que 0,

23 3 U 4 3,5 3 3, ,5 5 3, 6 3,7 7 3,4 8 3,5 9 3, 0 3, 3,09 3, , , , , , , , ,05 4, 4 3,8 3,6 3,4 3, 3, U 3 ε 0, A partir da ordem os termos distam do ite meos que 0,

24 4 U 3 < 0, 3 3 < 0, < 0, < 0, > 0, > 0 A partir da ordem os termos distam do ite meos que 0,

25 5 U 4 3,5 3 3, ,5 5 3, 6 3,7 7 3,4 8 3,5 9 3, 0 3, 3,09 3, , , , , , , , ,05 4, 4 3,8 3,6 3,4 3, 3, U 3 ε 0,07 A partir da ordem 5 os termos distam do ite meos que 0,07

26 6 U 3 < 0, < 0,07 < 0,07 < 0,07 > 0,07 > 4,9 A partir da ordem 5 os termos distam do ite meos que 0,07

27 7 U 3 Qualquer que seja o valor de ε ecotramos sempre uma ordem (ε) a partir da qual todos os termos distam do ite meos que. ε Quato mais pequeo for o valor de maior é ε (ε ) 4, 4 3,8 3,6 3,4 3, 3,

28 8 U 3 U ε > 0, ( ε ) : > ( ε ) U L < ε 3 < ε 3 3 < ε < ε < ε > ( ε ) ε A partir da primeira ordem atural superior a ε a distâcia etre os termos e o ite é meor que ε. Está provado que o ite é 3 pois há termos tão próximos do ite tato quato possamos imagiar. ε

29 9 Capítulo 3 - Sucessões V 6 ε ε ε ε < > > 5) ( ) ( ) : (, 0 V Prove pela defiição que o ite da sucessão ão é > < < < < < ε ε ε ε ε ε V Resultado absurdo, logo o ite ão é -5!

30 30 Limites Ifiitos de Sucessões: Uma sucessão U é um ifiitamete grade positivo se o seu ite for mais ifiito, ou seja: L > 0, ( L ) : > ( L ) U > L Por maior que seja o úmero real L, haverá sempre uma ordem a partir da qual os termos da sucessão U são superiores a L. Tal resultado ilustra que a sucessão ão para de crescer, logo U é um ifiitamete grade positivo.

31 3 U 5 Quato maior for L maior a ordem a partir da qual os termos são superiores a L. L 90 L L > 0, ( L ) : > ( L ) U > L L U > L 5 > L > ( L) 5 L 5

32 3 U Uma sucessão é um ifiitamete grade egativo se o seu ite for meos ifiito, ou seja: L < 0, ( L ) : > ( L ) U < L Por mais egativo que seja o úmero real L, haverá sempre uma ordem a partir da qual os termos da sucessão U são iferiores a L. Tal resultado ilustra que a sucessão ão para de decrescer, logo U é um ifiitamete grade egativo.

33 33 U 3 Quato meor for L maior a ordem a partir da qual os termos são iferiores a L. L 35 L L < 0, ( L ) : > ( L ) U < L < L 3 < L > 3 U -70 L ( L) L 3

34 34 U Uma sucessão é um ifiitamete grade positivo em módulo se, ou seja: U L > 0, ( L ) : > ( L ) U > L Por mais positivo que seja o úmero real L, haverá sempre uma ordem a partir da qual os termos da sucessão em módulo são superiores a L. U

35 35 U ()

36 36 U ( )

37 37 Assim, a sucessão é um ifiitamete grade em módulo. Pela defiição: U () L > 0, ( L ) : > ( L ) U > L U > L ( ) > L > ( L) L L A partir da primeira ordem atural superior a L os termos da sucessão são, em módulo, maiores que L.

38 38 Mostre, pela defiição, que L > 0, ( L ) : > ( L ) U > L U > L > L < L Resultado totalmete absurdo, ão faz setido o sial, em faz setido que quato maior for L meor a ordem a partir do qual os termos são maiores que L.

39 39 Classificação de Sucessões: Covergete Sucessão Divergete Oscilate Propriamete Divergete

40 40 Sucessão covergete: sucessão que tem ite fiito cos U 3 V 4 6 W ( ) 6 Sucessão divergete oscilate: sucessão com sub-sucessões com ites diferetes U ( ) V ( ) 9 Sucessão propriamete divergete: ifiitamete grade positivo, egativo, ou em módulo. U 5 V ( ) 3

41 4 Propriedades dos Limites de Sucessões:. O ite, se existir, é úico.. Sejam duas sucessões U e V tais que U a, V b e a partir de uma certa ordem. Etão U V U V 3. Se a sucessão U tem ite a, etão qualquer subsucessão de tem aida ite a. U U 4. Se a partir de se puderem formar duas subsucessões com ites diferetes, etão é uma sucessão divergete. U

42 4 5. Toda a sucessão covergete é itada. 6. A soma de dois ifiitamete grades positivos é aida um ifiitamete grade positivo. 7. A soma de dois ifiitamete grades egativos é aida um ifiitamete grade egativo. 8. A soma de um ifiitamete grade positivo com um ifiitamete grade egativo origia uma sucessão com ite idetermiado. 9. Se U e V é miorada, etão U V 0. Se U e é majorada, etão V U V

43 43. lu l U U a V b. Sejam e, etão: ( U V ) a b ( U. V ) U V a b. a b se 0 U p a p U k k a ku ka V

44 44 U 0 3. Se e é itada, etão. U (U V (. ) 0 U V V 4. V (desde que ão dê idetermiação) ) Outras idetermiações:

45 e π

46

47 47 Um caso particular, o úmero e e, É um caso de idetermiação do tipo , ,77,78

48 48 Com base o resultado aterior demostra-se que k e k 3 3 e 0,5 e 0,5 e l 6 e l6 6

49 49 Demostração Seja k a ka k e k k a ka a a k a a k e k Notar que se tede para ifiito, também a tede para ifiito pois k é uma costate.

50 50 Mais um resultado U k U U e k 8 e e l 5 5

51 5 Capítulo 3 - Sucessões 9 l l 9 e 3 e e e e e

52 5 Resultados importates sobre Limites de Sucessões: Resultado : U Se a etão U U U a U é uma sucessão de termos ão egativos 4? U 4( ) 4 4 U 4 4

53 53!? U U! ( )!!! ( ) 0! 0

54 54 Resultado : ( U U ) a Se etão U a l( 4)? ( U U ) ( l(( ) 4) l( 4) ) l 6 4 l 6 4 l l 0

55 55 l( 4) ( U U ) 0 0 Faz setido porque cresce muito mais depressa do que l( )

56 56 Resultado 3: V Seja crescete. Sejam e ifiitamete grades U V Se etão V U U a a V U V l( 5)?

57 57 Capítulo 3 - Sucessões? 5) l( 0 5) l( 0 l l 5 6 l 5) l( 6) l(

58 ? ( ) ( ) 58 ( )( ) ( ) ( ) ( ) 0 0

59 59 Resultado 4: Teorema das Sucessões Equadradas U Dada uma sucessão, se existirem duas subsucessões e tais que: V U W V W Etão teremos ecessariamete : V U W

60 60 si( )? Sabedo que si() está sempre etre - e podemos equadrar a sucessão dada. V U W si( )

61 6 Pelo Teorema das Sucessões Equadradas: si( ) 0 si( ) si( ) Logo: 0 0

62 6 Capítulo 3 - Sucessões U ( ) ( ) U U W U V

63 63 Capítulo 3 - Sucessões Pelo Teorema das Sucessões Equadradas: ( ) ( ) U U U

64 64 Capítulo 3 - Sucessões U U U Logo:

65 65 Séries: Seja a uma sucessão. Chamamos série umérica (ou série ifiita) à soma descrita da seguite forma: a a a a 3... a... Ou seja, uma série é formada pela soma dos sucessivos termos de uma sucessão.

66 66 Sequêcia das Somas Parciais: Chamamos de sequêcia das somas parciais à sequêcia: S a S... a a S a a... a S a

67 67 Série covergete: Seja a uma série e S a sequêcia das suas somas parciais. S S, S < Se, a série é covergete e tem soma. Caso cotrário a série diverge. S

68 68 Critério Geral de Covergêcia: Se a é uma série covergete etão 0. a Logo: a 0 Se a série a diverge. Codição suficiete para uma série divergir!

69 69 Capítulo 3 - Sucessões Exercícios: Quais das seguites séries são à partida divergetes, pelo critério geral de covergêcia? 6 3 ( ) [ ]

70 70 Propriedades das séries: a ± ± Sejam e b duas séries covergetes, etão a b a b também coverge. ( ) Se a coverge (diverge) e k 0, etão k.a k a também coverge (diverge). Se k 0 etão k. a 0 e por isso coverge. ± Se a coverge e b diverge, etão ( a b ) diverge.

71 7 Séries Geométricas: São séries do tipo: a a. r a ar ar... r a a

72 7 Uma série geométrica coverge se: a 0 ou r < < r < a. r a. r a r

73 73 Se uma série geométrica coverge etão a. r a r r r a 0 a. r a a a r r r r Soma dos termos de uma progressão geométrica de razão r Como a série coverge, -<r< logo r elevado a mais ifiito é zero

74 74 Exercícios: Quais das seguites séries são séries geométricas? Serão covergetes? Se sim, calcule a sua soma ( )