Análise Complexa Resolução de alguns exercícios do capítulo 4

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1 Aálise Complexa Resolução de algus exercícios do capítulo 4. Caso de C0, 0, : Caso de C0,, + : Exercício º z z i i z + iz iz iz porque iz < i + z i +3 z. z z i i z + iz iz porque iz > iz i z 3 i 3 z.. Comece-se por decompor a fracção racioal z z pelo que e, portato, z C \ {0,, } : z C \ {, } : z C \ {, } : { A + B 0 A B A B, z C \ {, } : em fracções simples. Tem-se z z A z + B z z z A + Bz A B z z z z z z zz z z z + z z z/ +. z

2 Aálise Complexa Caso de C0, 0, : Caso de C0,, : zz z z z/ + z z + z z z + z + z. zz z z z/ + z z z z z z + z + z. + pois z/, z < pois z/ < < z Caso de C0,, + : zz z z z z/ + z z z. z pois < z/, z 3. z C : ez z 4 z 4 + z! +! z ! z. 4. Caso de C0,, + : Se z >, etão, pelo exercício 6.3 do segudo capítulo, z z z z m + m0 m m + Caso de C, 0, + : Obviamete, tem-se z por a m se m e a m 0 caso cotrário. z m. m z m a m z m se se defiir a m m Z

3 Aálise Complexa Se z C, 0, +, etão z se z com 6. z C : Z : a e /z e /z se + z se cos z 0 se!z + a z + cos se z cos +!z + { k se/! se k para algum k Z + k cos/! se k para algum k Z +.!z 0! z. Exercício º3 Seja K um compacto de C \ N, seja M sup z K z e seja N N tal que N > M. Para cada úmero atural N, tem-se z z M Etão, pelo teste M de Weierstrass, a série N z coverge uiformemete em K, pelo que a série z também coverge uiformemete em K. Mostra-se de maeira aáloga que a série z + coverge uiformemete em cada compacto K de C \ N.. Para cada z C \ Z, sejam Se z C \ Z, etão fz π se πz e gz z + z + z + gz + z + + z + + gz; z + + z + z + + z + por outras palavras, g é periódica de período. Observe-se que g é uma fução aalítica, pelo teorema da covergêcia uiforme de Weierstrass. Tem-se π ord 0, ord0, se πz ord0, πz πz 3 /6 +, se πz pelo que o desevolvimeto de Lauret da fução f em D0, \ {0} é da forma a z.

4 Aálise Complexa Além disso, a 0 quado é ímpar, pelo exercício aterior. Por outro lado, z 0 z fz z a z a z a. z 0 z 0 Mas etão a z π z 0 se πz πz z 0 se πz z 0. πz /3! + πz 4 /5! πz 6 /7! + Como o desevolvimeto de Lauret da fução f a vizihaça de 0 é da forma z + a 0 + a z + a 4 z 4 +, 0 é poto regular da fução Mas 0 também é poto regular da fução C \ Z C z fz z. C \ Z C z z + z +, pelo que 0 é poto regular de f g. Como f g é uma fução periódica de período, deduz- -se que qualquer iteiro é poto regular de f g. Logo, f g é prologável a uma fução aalítica h : C C. Quer-se mostrar que h é a fução ula. Vai-se começar por ver que é costate; para tal, basta mostrar que é itada, pelo teorema de Liouville. Como h é periódica de período, basta provar que a sua restrição a H {z C : Re z /} é itada. De facto, como a restrição de h a {z H : Im z } é itada pois h é cotíua e trata-se de um cojuto compacto, basta provar que as restrições de h a H + {z H : Im z > } e a H {z H : Im z < } são itadas e, para tal, basta provar que as restrições de f e de g àqueles cojutos são itadas. Vai-se fazer isto uicamete para H +, pois a caso de H é aálogo. Vai-se começar pela fução f. Sejam x, y R com x / e y >. Etão, pelo exercício 59 do segudo capítulo, seπx + yi seπx cosπyi + cosπx seπyi cosequetemete, se z H + tem-se seπx coshπy + i cosπx sehπy se πx cosh πy + cos πx seh πy se πx cosh πy + se πx seh πy se πx + seh πy seh πy; fz π seh π Im z π seh π

5 Aálise Complexa Vejamos agora o que se passa com a fução g. Sejam x e y como acima. Tem-se z z x + y Cosidere-se a fução trata-se de uma fução estritamete decrescete e tem-se etão pelo que N : [, + [ R + t t x + y ; + x + y t x + y dt + x + y, + + t x + y dt dt. 3 t x + y Mas um cálculo simples revela que uma primitiva da fução é a fução de [, + [ em R que a cada t associa arctat x/y/y, pelo que se deduz de 3 que z H + : z π Re z Im z arcta < π Im z Im z. O mesmo tipo de cálculos mostra que z H + : z + < pelo que z H + : gz < π Im z, π Im z + z + z + z + π Im z + 3 Im z 4 Está etão provado que as restrições de f e de g ao cojuto H + são fuções itadas e, cosequetemete, que a fução h é itada. Como foi observado acima, deduz-se etão do teorema de Liouville que h é costate. Mas deduz-se de e de 4 que hiy 0, y + pelo que h é a fução ula. Fialmete, para demostrar a seguda igualdade do euciado, baste ver que se tem, quado z C \ Z, z + z +. Sejam, para cada z C \ Z, z + z + N N F z π cot πz e Gz z + N N N z + N N z + z + + z + z +.

6 Aálise Complexa Sejam também f e g como a resolução aterior. Um cálculo simples revela que F f. Por outro lado, o mesmo tipo de cálculos efectuados a resolução aterior mostra que as séries z + e z + covergem uiformemete em cada compacto de C \ Z. Logo, pelo teorema da covergêcia uiforme de Weierstrass, z C \ Z : G z z + z + z + gz. Isto mostra que F G f + g 0, pelo que F G é costate. Mas F G também é uma fução ímpar, pelo que apeas pode ser a fução ula. Fialmete, veja-se que se tem z + z Tem-se, por um lado e, por outro lado, π z 0 z 0 se πz z z + z + z + z + z + + z + z + z N N N N N z + z z + z + z + z 0 π z se πz z se πz z 0 π z πz πz 3 /3! + z πz πz 3 /3! + πz πz πz 4 /3 + πz 6 /45 z 0 z πz πz 4 /3 + πz 6 /45 πz 4 /3 πz 6 /45 + z 0 π z 4 π 4 z 6 /3 + π 6 z 8 /45 π 4 /3 π 6 z /45 + z 0 π π 4 z /3 + π 6 z 4 /45 π 3 Pela primeira igualdade da primeira alíea, os dois ites acima calculados têm o mesmo valor, pelo que π 6

7 Aálise Complexa Exercício º4. Uma vez que z C : z + 0.z z + 0.z + 0.z 3 +, ord0, f e res0, f 0.. Uma vez que z C : z + 0.z +.z z + 0.z +, ord0, f e res0, f. 3. Uma vez que z C : z + z / + 0.z + z z + 0.z +, ord0, f e res0, f /. 4. Tem-se z C : cos z! z + 4! z 4 6! z 6 +, pelo que ord0, f e res0, f Tem-se z C : z sez 3! z + 5! z4 6! z6 +, pelo que ord0, f 0 e res0, f Se a 0, a,..., a C são tais que z C : P z a 0 + a z + a z, etão z C : fz a 0 + a z + + a z, pelo que ord0, f pois, uma vez que P tem grau, a 0 e res0, f a. Exercício º6 Se f possuir uma primitiva, etão, pelo corolário 3.., o itegral de f ao logo de qualquer lacete com valores em Dz 0, r \ {z 0 } é igual a 0. Sejam etão r ]0, r[ e γ : [0, π] C o lacete defiido por γt z 0 + r e it. Etão, pelo teorema de Lauret, 0 f πi resz 0, f idz 0, γ πi resz 0, f, γ pelo que resz 0, f 0. Reciprocamete, se resz 0, f 0, etão, ovamete pelo teorema de Lauret, o itegral de f ao logo de qualquer lacete com valores em Dz 0, r \ {z 0 } é igual a 0, pelo que, pelo teorema 3..7, f tem uma primitiva. Exercício º7 Se a Z e z, etão z a, pelo exercício 8 do primeiro capítulo, pelo que a fução az g : C \ {/a : a Z \ {0}} C z z a a Z az ma também evia elemetos de S em elemetos de S. Cosideremos a fução h f/g. Como os zeros de g são também zeros de f e têm as mesmas multiplicidades, h pode ser prologada a uma fução aalítica cujo domíio cotém D0, e que ão tem zeros aquele disco; além disso, hz quado z. Pelo exercício 99 do segudo capítulo, h D0, é costate e, portato, existe algum úmero complexo k de módulo tal que z < hz k. Etão, para cada úmero complexo z tal que z <, fz k a Z z a ma. az Do teorema da idetidade deduz-se que a relação aterior é válida sempre que z ão seja da forma /a, para algum a Z \ {0}. Mas, como f ão tem pólos, tem-se Z ou Z {0}. No primeiro caso, f é costate; o segudo, tem-se fz kz m0 para cada z C.

8 Aálise Complexa Exercício º9. Como a é poto regular de f e g, existem séries de potêcias a z a e b z a tais que, para algum ε R +, Etão z Da, ε \ {a} : fz a z a e gz b z a. z Da, ε : F z a z a e Gz b z a. Sejam M orda, f e N orda, g. Supoha-se que M N. Etão N e a k b k 0 se k for um úmero iteiro meor do que. Neste caso tem-se fz z a gz a z a + a + z a + + z a b z a + b + z a + + a + a + z a + z a b + b + z a + a b F a/! G a/! F a G a Supoha-se agora que M < N. Etão M, F a G a a M 0 e fz z a gz a M z a M + a M+ z a M+ + z a b N z a N + b N+ z a N+ + z a z a am + a M+ z a + N M b N + b N+ z a +.. Sejam F e G como o euciado da primeira alíea. Se F a 0 etão, por cotiuidade, F ão se aula em alguma vizihaça de a. Se F a 0, etão a é um zero isolado de F ou um zero iterior de F. Mas se a fosse um zero iterior de F, etão a restrição de F a alguma vizihaça de a seria costate e tomaria sempre o valor 0 pois orda, f F a 0, o que é absurdo pois f é uma fução com valores em C. Logo, se a for um zero de F, a é um zero isolado pelo que, para alguma vizihaça V de a, se tem f V \ {a} F V \ {a} C. Mostra-se da mesma maeira que existe alguma vizihaça V de a tal que g V \ {a} C. Para completar a resolução, basta observar que if{orda, f, orda, g } pela primeira alíea da proposição 4.., pelo que, pela alíea aterior. fz z a gz F a G a f z z a,z V \{a} g z

9 Aálise Complexa Exercício º0. É claro que πz é fechado e que todos os seus potos são potos isolados, pelo que só falta provar que, se Z, etão π é pólo da fução cotagete, ou seja, que ordπ, cot Z. Mas sabe-se que ordπ, cot ord π, cos ordπ, cos ordπ, se 0 se pois e z Z : sez sez π z π z π 3 + 3! z Z : cosz cosz π z π +! pelo que ordπ, se e ordπ, cos 0.. O cojuto Z dos zeros de P é fiito, pelo que é fechado e todos os seus potos são isolados. Por outro lado, se é o grau de P e se z 0 Z, etão existem k {,,..., } e a k, a k+,..., a C tais que a k 0 e que z C : P z a k z z 0 k + a k+ z z 0 k a z z 0. Logo, ordz 0, P k e, cosequetemete, ordz 0, /P C\Z k. Exercício º4 Supoha-se que a é uma sigularidade essecial de f. Sejam z 0 U \ {a} e ε R + tais que Dz 0, ε U \ {a}. Etão, o cojuto f Dz 0, ε é aberto pelo teorema da fução aberta e o cojuto f U \ {a} Dz 0, ε é deso pelo teorema de Casorati-Weierstrass. Logo, os dois cojutos têm itersecção ão vazia, o que é absurdo, pois f é ijectiva. Exercício º5. Como f é ijectiva, a fução f também o é; logo, pelo exercício aterior, 0 ão é poto sigular essecial de f. Por outro lado, se a z for a série de Taylor da fução f o poto 0, tem-se z C : f z a z. Uma vez que 0 ão é poto sigular essecial de f, existe ecessariamete algum N N tal que a 0 quado > N. Mas etão z C : fz a z, ou seja, f é uma fução poliomial.. Seja N como a resolução da alíea aterior. Sabe-se, pelo exercício 7 do primeiro capítulo, que existem c, z,..., z N C com c 0 e tais que z C : fz cz z z z... z z N. Mas, uma vez que f é ijectiva, só pode ter um úico zero, pelo que z z z N. Etão z C : fz cz z N.

10 Aálise Complexa A ijectividade de f também implica que N, pois se se tivesse N > etão tiha-se fz + c f z + e πi/n. Logo, se se tomar a c e b c.z, tem-se z C : fz cz z az + b.. Tem-se. γ γ π cos z dz πi res, cos πi 0. Exercício º7 π. id, γ cos π/ + cos π/ + res π, cos. id π, γ e /z dz πi res 0, e /z id0, γ πi, pois z C : e /z + z + z + 3. Para cada z C tal que e z, seja fz e z +. Etão f é aalítica e o seu domíio é U C \ { + πi : Z}. Em particular, o domíio de f cotém o disco D0, π e, uma vez que γ é homotopicamete ulo em D0, π, γ é homotopicamete ulo em U, pelo que γ fz dz 0, pelo corolário 3... Exercício º Sejam γt e πit t [0, ], εz e z e fz az. O teorema de Rouché diz que se εγt < fγt para qualquer t [0, ], etão f e f + ε têm o mesmo úmero de zeros em D0,, cotados com as respectivas multiplicidades. Mas se z é um úmero complexo de módulo, etão tem-se: εz e z e Re z e < a fz e o úmero de zeros de f em D0,, cotados com as respectivas multiplicidades, é igual a. Exercício º. Seja γ : [0, π] C o lacete defiido por γt e it. Etão γ é um lacete simples, itγ D0, e o traço de γ é S. Para cada z C, sejam fz 6z e εz z 5 +. Etão, se z S, εz z 5 + z < 6 fz. Logo, pelo teorema de Rouché, f e f +ε têm o mesmo úmero de zeros em D0,, cotados com as respectivas multiplicidades. Uma vez que f tem exactamete um zero em D0, omeadamete 0, o poliómio z 5 + 6z + tem exactamete um zero o mesmo disco.. Basta fazer o mesmo que a alíea aterior, mas desta vez com fz z 5 e εz 6z +. Etão, se z, εz 6z + 4 < 3 fz, pelo que o poliómio dado tem cico zeros em D0,, cotados com as respectivas multiplicidades.

11 Aálise Complexa Tem-se, recorredo ao teorema 4.3.6: + cos x 0 x + a x + b dx + cos x x + a x + b dx Re + Re πi π Re π i e ix x + a x + b dx res ai, e a ab a i + e a ab a π be a ae b abb a Exercício º6 e ix x + a x + b e b bb a e b bb a i + res bi, e ix x + a x + b Seja R um úmero real tal que Exercício º8 z Z : z < R 5 e seja γt Re πit t [0, ]. O teorema dos resíduos diz etão que: res z, P C\Z z Z Q C\Z Etão tem-se: res z, P C\Z Q C\Z z Z P z πi γ Qz dz 0 Vai-se usar esta fórmula para mostrar que 0 P Re πit Re πit QRe πit dt sup P Re πit Re πit dt. QRe πit t [0,] P Re πit Re πit QRe πit. 6 z Z res z, P C\Z /Q C\Z é meor do que qualquer P zz úmero positivo. Seja ε > 0. Sabe-se que z 0, pois o grau do umerador é Qz meor do que o grau do deomiador, pelo que existe algum M R + tal que z > M P zz/qz < ε. Etão se, para além da codição 5, se tiver R > M deduz-se de 6 que se tem: res z, P C\Z Q C\Z < ε. z Z Como isto é verdade para qualquer ε > 0, a soma dos resíduos é igual a 0.