1 Formulário Seqüências e Séries

Transcrição

1 Formulário Seqüêcias e Séries Difereça etre Seqüêcia e Série Uma seqüêcia é uma lista ordeada de úmeros. Uma série é uma soma iita dos termos de uma seqüêcia. As somas parciais de uma série também formam uma seqüêcia que pode covergir ou divergir. Exemplo: a sequêcia {, /2, /4, /8, /6, } é uma PG iita de primeiro termo e razão /2. As somas itas dessa PG são dadas por S = i=0 2 = (/2)+ i (/2) essa seqüêcia é da forma {3/2, 7/4, 5/8, 3/6, 63/32, }. O limite dessa seqüêcia para é a soma da série. Se essa soma for um úmero ito, a série coverge, se a soma for ± ela é divergete. Progressão Geométrica A soma de uma PG iita coverge se sua razão r for tal que esse caso ela coverge para r < a = a r ode a = r e a é o primeiro termo da PG. Teorema do Cofroto Dadas 3 seqüêcias tais que para todo, a b c, se lim a = L = lim c, etão, lim b = L. Teorema: Codição Necessária para Covergêcia Se a série a coverge, etão lim a = 0. Cuidado! A codição lim a = 0 é ecessária mas ão é suciete para que uma série covirja. Por exemplo, a série harmôica

2 é tal que lim Teste para Divergêcia = 0, mas a série é, de fato, divergete. Se lim a 0 ou se o limite ão existir, etão a série a é divergete. Note que uma série do tipo ( ) ão vai a ±, mas é divergete porque o limite lim ( ) ão existe. Combiação de Séries Covergetes Teorema: Se a e b são séries covergetes, etão as seguites combiações também são: com β um úmero real qualquer. Teste da Itegral βa = β a (a + b ) = a + b (a b ) = a b Supoha que a = f() é uma fução decrescete e positiva a partir de =, etão a série a é covergete se a itegral f(x)dx for covergete, caso cotrário, se o resultado da itegral for ±, a série é divergete. Note que o caso de covergêcia, o resultado da itegral ão é o resultado da soma da série, apeas um limite superior! Séries Harmôicas ou Sériesp Uma série do tipo p 2

3 com p real é chamada série harmôica ou sériep. Uma série harmôica coverge se p > e diverge se p. Critério de Covergêcia para Séries Alteradas Uma série do tipo ( ) a, com a positivos é chamada alterada, pois os siais do termos alteram-se etre egativos e positivos. Cosidere uma série alterada. Se a seqüêcia a for decrescete e se lim a = 0, etão a série é covergete. Exemplo: k=2 ( ) k / l k é covergete pois é alterada e / l k decresce e seu limite vai a zero quado k. Note que o caso de uma seqüêcia alterada lim a = 0 garate a covergêcia. Teste da Comparação Cosidere duas séries a e b tais que 0 a b a partir de um dado termo das seqüêcias. Nestas codições (i) Se b coverge, etão a também é covergete. (ii) Se a diverge, etão b também é divergete. Se você descoa que uma série coverge, precisa ecotrar outra série comprovadamete covergete cujos termos que estão sedo somados sejam maiores que o da série que você está cosiderado. Se você descoa que uma série diverge, precisa ecotrar outra série comprovadamete divergete cujos termos que estão sedo somados sejam meores que o da série que você está cosiderado. Teste da Comparação do Limite Cosidere duas séries a e b tais que a > 0 e b > 0 a partir de um dado termo das seqüêcias. Seja o limite se: a L = lim b 3

4 (i) L > 0 e real, etão ou ambas as séries covergem, ou ambas divergem. (ii) L =, se b diverge, etão a diverge. (iii) L = 0, se b coverge, etão a coverge. Teste da Razão Cosidere a série a com a > 0 a partir de um certo termo da seqüêcia. Se o limite existir, ito ou iito, etão: (i) L <, a série é covergete. a + L = lim a (ii) L > ou L =, a série é divergete. (iii) L =, o teste ada revela. Teste da Raiz Cosidere a série a com a > 0 sempre. Se o limite existir, ito ou iito, etão: (i) L <, a série é covergete. L = lim (a ) (ii) L > ou L =, a série é divergete. (iii) L =, o teste ada revela. Veja que isso é bem parecido com o teste da razão, com a úica difereça que os termos da seqüêcia esse caso uca podem ser egativos. Dica! Se o teste da razão for icoclusivo (L = ), o teste da raiz também será, e vice-versa. 4

5 Séries Absolutamete e Codicioalmete Covergetes Uma série a é chamada absolutamete covergete se a série a for covergete. Uma série pode ser covergete, mas ão absolutamete covergete. Por exemplo, a série ( ) é uma série alterada covergete, mas a série ( ) = é uma sériep com p =, portato divergete. Uma série deste tipo é chamada codicioalmete covergete. Teorema: Se uma série é absolutamete covergete, ela sempre é covergete. Séries de Potêcias Uma série de potêcias cetrada em toro de um úmero real x 0 é uma série do tipo c (x x 0 ) = c 0 + c (x x 0 ) + c 2 (x x 0 ) 2 + =0 Para uma série deste tipo existem 3 a tão somete 3 possibilidades: (i) A série coverge apeas para x = x 0. (ii) A série coverge para todo x. (iii) Existe um úmero R > 0, chamado raio de covergêcia, tal que a série coverge se x x 0 < R e diverge se x x 0 > R. O raio de covergêcia pode ser calculado como a R = lim a + 5

6 desde que exista, ito ou iito. Se R é ito, a série coverge o itervalo ]x 0 R, x 0 + R[. Note que o itervalo é aberto, pois iicialmete ada se pode armar sobre a covergêcia os extremos. Séries de Taylor A série de Taylor de uma fução F (x) em toro de um úmero real x 0 é dada por F () (x 0 ) F (x) = (x x 0 )! =0 ode F () (x 0 ) é a derivada de ordem da fução calculada em x = x 0. Note que isso é uma série de potêcias com coecietes dados por c = F () (x 0 ). A série de Maclauri é um caso particular da série de Taylor, ode x 0 = 0. 6