Cálculo II Sucessões de números reais revisões

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1 Ídice 1 Defiição e exemplos Cálculo II Sucessões de úmeros reais revisões Mestrado Itegrado em Egeharia Aeroáutica Mestrado Itegrado em Egeharia Civil Atóio Beto beto@ubi.pt Departameto de Matemática Uiversidade da Beira Iterior 2013/ Sucessões moótoas 4 Sucessões covergetes 7 Ifiitamete grades 8 A sucessão de termo geral a Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 Ídice Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 1 Defiição e exemplos 1 Defiição e exemplos 3 Sucessões moótoas 4 Sucessões covergetes Uma sucessão é uma correspodêcia que a cada úmero atural faz correspoder um e um só úmero real. Assim, uma sucessão é uma fução real de variável atural, ou seja, uma sucessão é uma fução u: N R. 7 Ifiitamete grades 8 A sucessão de termo geral a Para desigarmos o valor da fução em costuma usar-se a otação u em vez de u). Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74

2 1 Defiição e exemplos 1 Defiição e exemplos Aos valores chamamos termos da sucessão e u 1, u 2,..., u,... ao valor u 1 chamamos termo de ordem 1 ou primeiro termo da sucessão; ao valor u 2 chamamos termo de ordem 2 ou segudo termo da sucessão; ao valor u 3 chamamos termo de ordem 3 ou terceiro termo da sucessão; etc À expressão u chamamos termo geral da sucessão. Exemplos de sucessões a) Façamos isto é, u = 1 para todo o N, 1, 1,..., 1,...) é a sucessão costate e igual a 1. Mais geralmete, dado c R e fazedo v = c para qualquer N, temos a sucessão costate e igual a c. Neste caso vn) = {c}. Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 1 Defiição e exemplos Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 1 Defiição e exemplos Escreveremos u 1, u 2,..., u,...), ou u ) N, ou simplesmete u ) para idicar a sucessão u. O cojuto un) = {u : N} desiga-se por cojuto dos termos da sucessão u ) N. Exemplos de sucessões cotiuação) b) Cosideremos a sucessão de termo geral u = 1). O primeiro termo desta sucessão é u 1 = 1) 1 = 1. O segudo termo desta sucessão é u 2 = 1) 2 = 1. O terceiro termo desta sucessão é u 3 = 1) 3 = 1. O quarto termo desta sucessão é u 4 = 1) 4 = 1. E assim sucessivamete. Podemos cocluir que os termos de ordem par são todos iguais a 1 e que os termos de ordem ímpar são todos iguais a 1. Assim, a lista que se segue dá-os todos os termos da sucessão 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1,... e o cojuto dos termos desta sucessão é un) = { 1, 1}. Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74

3 1 Defiição e exemplos 1 Defiição e exemplos Exemplos de sucessões cotiuação) c) Seja u a sucessão defiida por u =. Etão un) = N. Observação O exemplo a) mostra que e u ) N un) são coisas diferetes e que, por coseguite, ão devem ser cofudidas. Neste exemplo tem-se u ) = 1, 1, 1,..., 1,...), equato que un) = {1}. Algo de semelhate acotece o exemplo b). Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 1 Defiição e exemplos Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 Ídice Exemplos de sucessões cotiuação) d) Seja u = 1 para todo o N. Podemos escrever esta sucessão das seguites formas: 1, 1 2, 1 3, 1 4,..., 1 ),..., ou ) 1 ou 1 Neste exemplo temos un) = N ). { 1 : N }., 1 Defiição e exemplos 3 Sucessões moótoas 4 Sucessões covergetes 7 Ifiitamete grades 8 A sucessão de termo geral a Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74

4 2 Sucessões limitadas Uma sucessão u ) N diz-se limitada se existirem úmeros reais a e b tais que a u b para todo o N; ou aida, se existirem úmeros reais a e b tais que u [a, b] para todo o N. Como todo o itervalo [a, b] está cotido um itervalo da forma [ c, c], para algum c R, uma sucessão u ) é limitada se existir um úmero real c > 0 tal que u [ c, c] para todo o N, o que é equivalete a existe c > 0 tal que u c para todo o N. Exemplos cotiuação) 2 Sucessões limitadas b) Cosideremos a sucessão de termo geral Como podemos cocluir que + 2 u = + 2. = + 2 = u 3 para cada úmero atural. Assim, esta sucessão é limitada. As sucessões que ão são limitadas dizem-se ilimitadas. Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 2 Sucessões limitadas Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 2 Sucessões limitadas Exemplos a) A sucessão de termo geral { 3 se é ímpar; u = 4 + 1) = 5 se é par; é limitada pois 3 u 5 para qualquer úmero atural. Exemplos cotiuação) c) A sucessão u = 2 ão é limitada. De facto, u 1 = 1; u 2 = 4; u 3 = 9; u 4 = 16;... pelo que a sucessão ão é limitada superiormete. d) A sucessão de termo geral v = também ão é limitada pois v 1 = 1; v 2 = 2; v 3 = 3;... ou seja, esta sucessão ão é limitada iferiormete. Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74

5 Ídice 3 Sucessões moótoas 1 Defiição e exemplos 3 Sucessões moótoas 4 Sucessões covergetes 7 Ifiitamete grades 8 A sucessão de termo geral a Exemplos de sucessões moótoas a) Cosideremos a sucessão de termo geral u = Como u +1 u = 2 + 1) 1 + 1) = = 2 + 1) + 1) 2 1) + 2) + 1) + 2) = ) + 1) + 2) = ) + 2) = 3 + 1) + 2) 0 para qualquer úmero atural, a sucessão é crescete. Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 3 Sucessões moótoas Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 3 Sucessões moótoas Uma sucessão u ) N diz-se crescete se u +1 u para todo o N e diz-se decrescete se u +1 u para todo o N. Equivaletemete, u ) N é crescete se u +1 u 0 para todo o N e é decrescete se u +1 u 0 para todo o N. Uma sucessão diz-se moótoa se for crescete ou se for decrescete. Exemplos de sucessões moótoas cotiuação) b) Para a sucessão de termo geral u = 2 + 1, temos u +1 u = 2 + 1) = = ) 2 + 1) + 1) + 1) = ) + 1) = ) = 1 + 1) 0 para qualquer úmero atural. Logo a sucessão é decrescete. Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74

6 Ídice 4 Sucessões covergetes 1 Defiição e exemplos Geometricamete, uma sucessão u tede para a se dado ε > 0 todos os termos da sucessão estão a faixa limitada pela rectas y = a ε e y = a + ε a partir de determiada ordem. A figura seguite ilustra esse facto. 3 Sucessões moótoas 4 Sucessões covergetes a + ε a a ε 7 Ifiitamete grades 8 A sucessão de termo geral a N N + 1 N + 2 N + 3 N + 4 Iterpretação geométrica do limite de uma sucessão Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 4 Sucessões covergetes Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 4 Sucessões covergetes Dados uma sucessão u ) N e um úmero real a, dizemos que u ) coverge ou tede para a se para qualquer ε > 0, existe N N tal que u a < ε para todo o úmero atural > N. A codição é equivalete às codições u a < ε ε < u a < ε, a ε < u < a + ε e u ]a ε, a + ε[. Assim, uma sucessão u ) coverge ou tede para um úmero real a se para qualquer ε > 0, existe N N tal que a ε < u < a + ε para cada úmero atural > N; ou se para qualquer ε > 0, existe N N tal que u ]a ε, a + ε[ para cada úmero atural > N. Qualquer uma das otações lim u = a, lim u = a, lim u = a, lim u = a, u a é usada para exprimir o facto de que a sucessão u ) coverge para a. Uma sucessão u ) N diz-se covergete se existe um úmero real a tal que u a. As sucessões que ão são covergetes dizem-se divergetes. Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74

7 4 Sucessões covergetes Ídice As sucessões costates são covergetes. Se u = c para qualquer úmero atural, temos u c =0 para cada N, pelo que, dado ε > 0, tomado N = 1 vem Logo u ) coverge para c. u c < ε para qualquer > N. A sucessão de termo geral u = 1 coverge para zero. De facto, dado ε > 0, basta escolher um úmero atural N tal que Nε > 1 e, por coseguite, 1/N < ε. Assim, para > N, temos o que prova que u 0. u 0 = 1/ < 1/N < ε, 1 Defiição e exemplos 3 Sucessões moótoas 4 Sucessões covergetes 7 Ifiitamete grades 8 A sucessão de termo geral a Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 4 Sucessões covergetes Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 5 Operações com limites Uicidade do limite Sejam u ) uma sucessão e a e b dois úmeros reais. Se u a e u b, etão a = b. Dadas duas sucessões u = u ) N e v = v ) N de úmeros reais, defie-se a soma de u e v, e desiga-se por u + v, a sucessão cujo termo de ordem é u + v, isto é, u + v) = u + v. De modo aálogo se defie a difereça, o produto e o quociete de u e v este último apeas a hipótese de se ter v 0 para todo o N): u v) = u v, uv) = u v e, a hipótese de v 0 para todo o N, ) u = u. v v Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74

8 5 Operações com limites 5 Operações com limites Assim, se u e v são as sucessões dadas por ) 1, 4, 9,..., 2,... e 1, 12, 13,..., 1,... ), respectivamete, etão u + v é a sucessão dada por 1 + 1, , ,..., ),... = 2, 9 2, 28 ) 3,..., 3 + 1,... e a difereça de u e v, u v, é a sucessão 1 1, 4 1 2, 9 1 3,..., 2 1 ),... = 0, 7 2, 26 ) 3,..., 3 1,.... As sucessões que covergem para zero desigam-se por ifiitésimos. O produto de um ifiitésimo por uma sucessão limitada é um ifiitésimo. Exemplo sex) Para todo o x R, temos lim = 0. De facto, sex) = 1 sex) é o produto de um ifiitésimo por uma sucessão limitada e, portato, coverge para zero. Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 5 Operações com limites Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 5 Operações com limites Cotiuado a usar as sucessões u e v dadas por ) 1, 4, 9,..., 2,... o produto uv é a sucessão 1.1, 4. 12, 9.13,..., 2. 1,... ) e o quociete u v é a sucessão e 1, 1 2, 1 3,..., 1,... ), = 1, 2, 3,...,,...) 1 1, 4 1/2, 9 1/3,..., 2 ) ) 1/,... = 1, 8, 27,..., 3,.... Álgebra dos limites Sejam u ) e v ) sucessões tais que lim u = a e lim v = b. Etão a) u + v ) N é covergete e b) u v ) N é covergete e c) u. v ) N é covergete e limu + v ) = lim u + lim v = a + b; limu v ) = lim u lim v = a b; limu. v ) = lim u. lim v = a. b; ) u d) se b 0 e v 0 para todo o N, é covergete e lim u v ) v N = lim u lim v = a b. Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74

9 5 Operações com limites 5 Operações com limites Supohamos que u a e que todos os termos u pertecem ao domíio de uma fução f. Se f é cotíua em a, etão fu ) fa). Como cosequêcia imediata temos a seguite propriedade. Teorema da sucessão equadrada Sejam u ), v ) e w ) sucessões e supoha-se que existe uma ordem p N tal que u v w para todo o úmero atural > p. Se u a e w a, etão v a. Seja u ) uma sucessão covergete para a R e p > 0. Etão a) se u a, etão u ) p a p ; b) se u 0 para todo o N e u a, etão p u p a. Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 5 Operações com limites Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 5 Operações com limites Seja f é um fução com domíio cotedo o cojuto dos úmeros aturais. Se lim fx) = a, x + etão Exemplo Como temos lim f) = a. lim x = e, x + x) lim = e. ) Exemplo de aplicação do teorema da sucessão equadrada Vejamos que Como ) + = 2 + ) 1 2 = e , pelo teorema da sucessão equadrada temos de ter Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74

10 5 Operações com limites Ídice Toda a sucessão covergete é limitada. Observação O recíproco ão é verdadeiro. A sucessão de termo geral u = 1) é limitada, mas ão é covergete. Todas as sucessões ilimitadas são divergetes. Exemplo Já vimos que a sucessão de termo geral u = 2 ão é limitada. Logo ão é covergete. 1 Defiição e exemplos 3 Sucessões moótoas 4 Sucessões covergetes 7 Ifiitamete grades 8 A sucessão de termo geral a Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 5 Operações com limites Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 6 Subsucessões Se u ) é uma sucessão e k ) é uma sucessão de úmeros aturais estritamete crescete, isto é, As sucessões moótoas e limitadas são covergetes. 1 < 2 <... < k < k+1 <..., a sucessão u k ) = u 1, u 2,..., u k,...) diz-se uma subsucessão de u ). Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74

11 6 Subsucessões Ídice 1 Defiição e exemplos As subsucessões de uma sucessão covergete são covergetes para o mesmo limite da sucessão. 3 Sucessões moótoas 4 Sucessões covergetes Exemplo A sucessão de termo geral u = 1) 7 Ifiitamete grades é divergete pois tem duas subsucessões que covergem para valores diferetes. 8 A sucessão de termo geral a Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 6 Subsucessões Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 7 Ifiitamete grades Existem sucessões divergetes que, pelas propriedades de que gozam, merecem ser estudadas. Essas sucessões desigam-se por ifiitamete grades. Teorema de Bolzao-Weierstrass Todas as sucessões limitadas têm subsucessões covergetes. Diz-se que uma sucessão u ) tede para mais ifiito ou que é um ifiitamete grade positivo, e escreve-se u +, ou lim u = +, se para cada L > 0, existe N N tal que u > L para qualquer atural > N. Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74

12 7 Ifiitamete grades 7 Ifiitamete grades Se u + diz-se que u ) tede para meos ifiito ou que a sucessão u ) é um ifiitamete grade egativo e escreve-se u, ou lim u =. Diz-se aida que u ) tede para ifiito ou que u ) é um ifiitamete grade se u + e escreve-se u ou lim u =. Observações a) Os ifiitamete grades positivos e os ifiitamete grades egativos, são ifiitamete grades. A sucessão de termo geral w = 1) mostra que o cotrário em sempre se verifica. b) Resulta imediatamete da defiição que se u +, etão u ) é limitada iferiormete. c) Da defiição resulta imediatamete que se u ) e v ) são duas sucessões tais que u v a partir de certa ordem e u +, etão v +. Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 7 Ifiitamete grades Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 7 Ifiitamete grades Exemplos A sucessão de termo geral u = tede para mais ifiito, a sucessão de termo geral v = tede para meos ifiito e a sucessão de termo geral w = 1) tede para ifiito. A sucessão w ) é um exemplo de um ifiitamete grade que ão é em um ifiitamete grade positivo, em um ifiitamete grade egativo. Sejam u ) e v ) duas sucessões de úmeros reais. a) Se u + e v ) tede para a R ou para +, etão u + v ) +. b) Se u e v ) tede para a R ou para, etão u + v ). c) Se u e v ) tede para a R, etão u + v ). Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74

13 7 Ifiitamete grades 7 Ifiitamete grades Vê-se assim que pode usar-se a regra do limite da soma desde que se adoptem as coveções + ) + a = + = a + + ) ) + a = = a + ) + a = = a + + ) + + ) = + ) + ) = ode a é um úmero real qualquer. Sejam u ) e v ) duas sucessões de úmeros reais. a) Se u + e se v ) tede para a > 0 ou tede para +, etão u.v +. b) Se u + e se v ) tede para a < 0 ou tede para, etão u.v. c) Se u e se v ) tede para a > 0 ou tede para +, etão u.v. d) Se u e se v ) tede para a < 0 ou tede para, etão u.v +. e) Se u e v ) tede para a R \ {0} ou tede para, etão u.v. Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 7 Ifiitamete grades Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 7 Ifiitamete grades Observação Se u + e v, etão ada se pode dizer sobre u + v ) pois em algus casos u + v ) é covergete, outros é divergete. Por isso, ão fazemos ehuma coveção para o símbolo + ) + ); este símbolo desiga-se por símbolo de idetermiação. Algo de semelhate acotece com. Adoptado as coveções que se seguem, vê-se que se pode usar a regra do limite do produto: + ) a = + = a + ) ode a R + ) a = = a ) ode a R + + ) a = = a + ) ode a R ) a = + = a ) ode a R a = = a ode a R \ {0} + ) + ) = + = ) ) + ) ) = = ) + ) = Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74

14 7 Ifiitamete grades 7 Ifiitamete grades Observação Não se faz ehuma coveção para os símbolos 0 + ), 0 ) e 0, pois são símbolos de idetermiação. A regra do limite quociete pode mater-se desde que se adoptem as seguites coveções ode 0 + sigifica que e 0 sigifica que 1 = = = = u 0 e u > 0 a partir de certa ordem u 0 e u < 0 a partir de certa ordem. Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 7 Ifiitamete grades Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 7 Ifiitamete grades Seja u ) uma sucessão de termos ão ulos. a) Se u, etão 1 0. u b) Se u 0, etão 1. u c) Se u 0 e u > 0 a partir de certa ordem, etão 1 u +. d) Se u 0 e u < 0 a partir de certa ordem, etão 1 u. Observação Os símbolos e são símbolos de idetermiação. 0 0 Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74

15 Ídice 8 A sucessão de termo geral a 1 Defiição e exemplos 3 Sucessões moótoas 4 Sucessões covergetes 7 Ifiitamete grades Assim, lim a = + se a > 1 1 se a = 1 0 se 1 < a < 1 ão existe se a = 1 se a < 1 8 A sucessão de termo geral a Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 8 A sucessão de termo geral a Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 8 A sucessão de termo geral a Dado a R, cosideremos a sucessão de termo geral u = a. Se a > 1, etão temos a +. Quado a = 1, etão u = 1 = 1 pelo que a sucessão tede para 1. Se a < 1, etão a. Para a = 1 obtemos a sucessão 1) que já vimos ateriormete. Esta sucessão é divergete. Se 1 < a < 1, etão a 0. Exemplos a) Calculemos lim 3 2 ). Como lim 3 = + e lim 2 = +, temos uma idetermiação do tipo. No etato, podo em evidêcia 3 temos )] lim 3 2 ) = lim [ )] = lim [3 1 3) = + 1 0) = + 1 = + Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74

16 Exemplos cotiuação) 8 A sucessão de termo geral a b) Calculemos lim Temos uma idetermiação pois + 5 lim ) 2 +1 = ) = + +. Podemos levatar a idetermiação da seguite forma 2 lim = lim = lim ) = lim ) = = 5 9 Exercícios 1) Calcule os dez primeiros termos das sucessões de termo geral a) u = b) u = 1) + 1 c) u = 2 + 1) d) u = 2) u 1 = 1 e) u +1 = 1 + u 10 f) u = Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 Ídice Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 9 Exercícios 1 Defiição e exemplos 3 Sucessões moótoas 4 Sucessões covergetes 7 Ifiitamete grades 8 A sucessão de termo geral a 2) Determie o termo geral das sucessões sugeridas pelos primeiros termos a seguir listados a) 8, 16, 24, 32,... b) 2, 2, 2, 2, 2, 2,... c) 2, 2, 2, 2, 2, 2,... d) 4, 6, 8, 10, 12, 14,... e) 3, 5, 7, 9, 11, 13,... f) 2, 5, 8, 11, 14,... g) 4, 16, 64, 256, 1024,... Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74

17 9 Exercícios 9 Exercícios 3) Escreva os dez primeiros termos das sucessões defiidas por recorrêcia: { u1 = 4 a) u +1 = 2u u 1 = 1 b) 1 u +1 = u + 2) u 1 = 1 c) u 2 = 1 u +2 = u + u +1 5) Mostre que são limitadas as sucessões: a) a = c) c = 1) 1 b) b = 5 d) e = e) f = f) g = g) h = h) d = 1 se é par se é ímpar Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 9 Exercícios Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 9 Exercícios 4) Defia, por recorrêcia, as sucessões sugeridas pelos primeiros termos listados a seguir a) 1, 1 2, 1 4, 1 8, 1 16,... b) 1 2, 1 4, 1 8, 1 16,... 6) Estude, quato à mootoia, as sucessões cujos termos gerais são: a) u = 2 b) u = 2 + 1) c) u = 1) d) u = 1) + 1) 1 e) u = g) u = ) i) u = k) 1 2 1) f) u = ! { u1 = 1 u +1 = u l) u = h) u = { u1 = 1 j) u +1 = 1 + u ) 2 1 se se > 15 2 Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74

18 9 Exercícios 7) Calcule, caso exista, o limite de cada uma das sucessões de termo geral a) a = 1 b) b = 3 c) c = + 1 d) d = e) e = 1 1 f) a = 2 ) 3 1 g) d = h) a = 6 + 1) i) a = j) a = m) a = k) u = l) v = ) ) a = + 1) o) a = 2 3 ; p) c = 3 2 q) d = 2 3 r) e = se é par + 1 se é par s) a = t) b = 2 se é ímpar 2 1 se é ímpar Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 9 Exercícios ) 2 9) Calcule a) lim c) lim e) lim g) lim i) lim k) lim 9 Exercícios 1 + ) 1 1 b) lim ) 8 d) lim ) 3 f) lim ) h) lim ) 1 j) lim + 2 ) l) lim ) /2 ) ) ) 2 ) ) 2 +1 Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 9 Exercícios 8) Calcule a) lim c) lim e) lim g) lim i) lim b) lim d) lim f) lim ) h) lim [ 1 ) 3 ] [ ) ] 10) Dê exemplos de sucessões a ) e b ) tais que a +, b + e a) a b ) b) a b ) + c) a b ) 0 d) a b ) 3 e) a b ) ão tem limite f) a b 0 g) a b + h) a b 5 Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74

19 9 Exercícios 11) Das seguites sucessões, idique as que são covergetes. a) ) b) ) c) ) d) 2 [ 1) + 1] e) 3 + 1) f) 3 + 1) 2 Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74 9 Exercícios 12) Calcule cada um dos seguites limites: a) lim c) lim e) lim g) lim i) lim 1) 2 b) lim ) 2 2 d) lim f) lim ) h) lim 2 j) lim k) lim ) ) 2 Atóio Beto UBI) Cálculo II 2013/ / 74