I 01. Sequência Numérica. para a qual denotamos o valor de x em n por x n em vez de x ( n ).

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1 IME ITA

2 Apostila ITA I 0 Sequêcia Numérica Defiição 4..: Uma sequêcia de úmeros reais é uma fução x : para a qual deotamos o valor de x em por x em vez de x ( ). Geralmete usamos a otação ( x ). Às vezes a otaremos também por (,...,,...) para represetar uma sequêcia x : x x x. Dizemos que x é o termo de ordem ou que x é o - ésimo termo da sequêcia. está cotida Quado quisermos explicitar que a imagem da sequêcia ( x ) em A escreveremos ( x ) A. Como sequêcias são fuções, as defiições de fução limitada, crescete, decrescete, moótoa, etc., também fazem setido para sequêcias. Exemplo 4..: Seja a e tomemos x costate. É imediato que ( x ) é limitada. = a para todo. A sequêcia ( x ) é Exemplo 4.3.: A sequêcia (, 0,, 0,, 0,... ) é limitada mas ão é moótoa. Exemplo 4.4.: Sejam a, r. Cosidere x geral, x = a+ ( ) r. A sequêcia ( x ) termo a e razão r. Se r = 0, etão ( ) r > 0, etão ( x ) Fialmete, se 0 superiormete. r <, etão ( x ) Defiição 4.5.: Dizemos que ( y k ) k x = a, x = a+ r, x3 = a+ r, de maeira é uma Progressão Aritmética de primeiro é costate e, portato, limitada. Se é estritamete crescete e, portato, limitada iferiormete. sequêcia ( k ) estritamete crescete tal que k Exemplo 4.6.: Seja ( x ) Progressão Aritmética ( y k ) k ( x ). De fato, tomado k k ( k ) é estritamete decrescete e, portato, limitada é uma subseqüêcia de ( x ) y k k se existe uma = x para todo k. a Progressão Aritmética de termo iicial a e razão r. A de termo iicial a e razão r é uma subseqüêcia de = obtemos ( ) ( ) ( )( ) x = a+ r = a+ k r = a+ k r = y. k k k

3 Matemática 4..: Sequêcias covergetes Ituitivamete, uma sequêcia ( x ) covergete para x se seus termos se aproximam de x quado cresce. Esta ideia ão está errada. Porém, ela pode iduzir a uma ideia equivocada de covergêcia. Somos tetados a dizer que ( x ) coverge para x quado a distâcia etre x e x dimiui à medida que cresce, ou seja, a fução f ( ) = x x é decrescete. Não é bem assim. Veja a figura. Ela foge um pouco do assuto sequêcias em de úmeros reais mas ilustra bem o que queremos dizer por se aproximar. Imagie que, partido do poto A, percorremos o setido ati-horário o camiho desehado como idicado pelas setas. Niguém duvida, e com razão, de que estaremos assim os aproximado do poto O. Porém, a ideia de que a ossa distâcia ao poto O decresce com o tempo mostra-se errada. Coveça-se disto percebedo que passamos primeiro por B ates de chegar a C e, etretato, o segmeto BO é meor que o segmeto CO. De fato, a distâcia a O cresce quado percorremos o segmeto BC. Podemos perceber que existem muitos trechos do camiho sobre os quais a distâcia a O é crescete com o tempo, de modo que ão existe ehum poto a partir do qual a distâcia a O passe a ser decrescete com o tempo. Figura Espiral da covergêcia Cotiuemos aalisado a figura em busca da boa defiição de covergêcia. Observamos que ossa distâcia a O fica tão pequea quato quisermos, bastado para isto que cotiuemos adado por um tempo suficiete logo. Por exemplo, ossa distâcia a O será meor que depois que passarmos pelo poto D. Ou seja, em certo istate etramos a bola de raio cetrada em O e dela ão saímos mais. Da mesma forma, a partir de outro istate (futuro) etramos a bola de raio /, cetrada em O, e aí ficamos. De modo geral, dado qualquer úmero positivo ε, existe um istate a partir do qual ossa distâcia a O será meor que ε. Aí está a defiição. Para sequêcias de úmeros reais ela é expressa da seguite maeira.

4 Apostila ITA Defiição 4.7.: Uma sequêcia ( ) x que Neste caso, escrevemos x ou que Se ( x ) é dita covergete se existe x de modo ε > 0, N tal que N x x < ε. x e dizemos que x é limite da sequêcia ( x ) +. x coverge para (ou tede a) x quado tede a mais ifiito ( ) ão é covergete, etão dizemos que ela é divergete. Exemplo 4.8.: Seja x e cosidere a sequêcia dada por x = x para todo. Temos que x x. De fato, x x = 0 para todo. Portato, podemos escrever ε> 0, x x < ε Exemplo 4.9.: Cosidere a sequêcia x = / para todo. Vamos mostrar que x 0. Dado ε> 0, tomemos N tal que N > / ε. Temos etão 0< / N <ε. Mas se e N, etão x = / / N = x. Logo, podemos escrever ε > 0, N tal que N x 0 < ε. O leitor talvez coheça a otação lim + x = x para x x. Vamos refletir sobre ela. Por equato, façamos de cota que ão cohecemos a defiição de limite. Supohamos que ao abrir um livro de Aálise, pela primeira vez, ecotremos as seguites iscrições: N x 0 e x. Não ficaríamos chocados. Porém, se estivesse escrito lim x = 0 e lim x = + + Seríamos levados a cocluir que 0=. Ora, é o sial de igual " = " que os leva a esta coclusão. Se ão tivermos a uicidade do limite, etão a otação lim + x = x é fortemete egaosa. Apeas para costar, iformo ao leitor iteressado a defiição de covergêcia um cotexto mais geral (de espaços topológicos), do qual a ossa é um caso particular, permite a ão uicidade do limite (isto ocorre em espaços que ão são de Hausdorff ). Etretato, a próxima proposição os dará direito ao uso da otação lim + x = x. Proposição 4.0.: Sejam ( ) x x y. Etão x = y. uma sequêcia e xy, tais que x x e 3

5 Matemática Demostração. Supohamos, por absurdo, que x y. Seja ε = x y /> 0. Como x x, existe N tal que Seja o maior dos úmeros N e válidas. Temos etão N x x < ε. N '. Para tal as duas coclusões ateriores são x y x x + x y < ε+ε = ε = x y. Cocluímos que x y < x y, o que é absurdo. Proposição 4..: Uma sequêcia ( x ) subsequêcia de ( x ) tede a x. tede a x se, e somete se, toda Demostração. Supohamos que exista x tal que x 4 x. Seja ( y k ) uma k substâcia de ( x ), ie.., y = x ( k ) para alguma sequêcia ( ) k k k k estritamete crescete. Mostremos que y k x. Seja ε > 0. Como x x, existe N tal que se N, etão x x <ε. Como ( k ) é restritamete k crescete, existe K tal que se k K, etão k N. Segue que Portato ( y k ) k ( x ) k K yk x < ε. coverge para x. A recíproca é imediata (basta observar que é subsequêcia de si mesma). Exemplo 4.: A sequêcia (, 0,, 0,, 0,...) é divergete. De fato, se ela fosse covergete, etão pela proposição aterior todas as suas subseqüêcias seriam covergetes para o mesmo limite. Porém, (,,,...) e ( 0, 0, 0,...) são duas de suas subseqüêcias sedo que a primeira coverge para equato que a seguda coverge para 0. Como corolário da proposição aterior, obtemos que se x tede a x, etão x tede a x. Não há ada de especial com o úmero 006. Mais geralmete, fixado p, temos que se x tede a x, etão x / p tede a x. É fácil perceber que a recíproca também é verdadeira, ou seja, se para algum p temos que x + p

6 Apostila ITA tede a x, etão é porque x tede a x. Verifique! A importâcia deste fato é a seguite. Se cohecermos alguma propriedade que garata a covergêcia de uma sequêcia e soubermos que tal propriedade só é valida a partir do seu p - ésimo termo etão, aida sim, podemos cocluir que a sequêcia é covergete. Vejamos um exemplo esclarecerdor. Exemplo 4.3: Sabemos que sequêcia costates são covergetes. Cosidere a sequêcia (ão costate) dada por x = 000 /, sedo x a fução Parte Iteira de x, defiida abaixo: x = m se m e m x< m+. É fácil ver que x = 0 para todo > 000. Ou seja, ( x ) é costate a partir do seu milésimo-primeiro termo. Cocluímos que ela é covergete. Teorema 4.4.: Toda sequêcia covergete é limitada. Demostração. Seja ( ) x uma sequêcia covergete para x. Tomado ε a defiição de sequêcia covergete, cocluímos que existe N tal que se N, etão x x <,.. x x, x+. Tomado ie, ( ) = mi {,...,, } e b = max { x,..., x, x+ } a x x x N temos imediatamete que x [ a, b] para todo. Portato ( ) N x é limitada. 4.3.: Sequêcias moótoas e sequêcias limitadas. A recíproca do Teorema 4.4 é falsa como mostra o Exemplo 4.. Porém, existem algumas recíprocas parciais que veremos esta seção. Muitos dos resultados aqui apresetados utilizam, em sua demostração, a caracterização, do supremo vista o Exercício 5 do capítulo 3. Proposição 4.5.: Se ( x ) x sup { x ; }. Da mesma forma, se ( ) iferiormete, etão x if { x ; }. é crescete e limitada superiormete, etão x é decrescete e limitada Demostração. Vamos provar apeas a primeira parte da proposição já que a seguda se 5

7 demostração de modo aálogo. Seja s sup { x ; } Matemática =. Dado ε> 0, tome N tal que x 3 < x s. Logo, para N, temos x ε< xn x s. Cocluímos daí que s <ε. x Teorema 4.6. (Bolzao Weierstrass ) Toda sequêcia limitada possui subsequêcia covergete. Demostração. Sejam ( ) x cojuto: i uma sequêcia limitada. Cosidere o seguite { ;, } N = x > x m >. Existem duas possibilidades: N é ifiito ou N é fiito. º caso: N é ifiito. Escrevamos N {,,,...} 3 m = com < < 3 <.... Assim, se i < j etão < j e, como i N, obtemos que x i > x j. Cocluímos que a subsequêcia ( x ) k k covergete. é decrescete. Sedo ela limitada obtemos, fialmete, que ela é º caso: N é fiito. Como N é fiito, existe N / N cota superior de N. Ora, N logo, existe > (e portato N ) tal que x x. Mas de N seque que existe 3 > (e portato 3 N ) tal que x x 3. Por idução, defiimos uma subsequêcia ( x ) k k que é crescete e, portato, covergete (pois ela é limitada). 4.4 Sequêcias de Cauchy. Defiição 4.7. Uma sequêcia ( ) x é dita Cauchy se 6 ε> 0, N tal que, m N x xm < ε Uma sequêcia é de Cauchy se seus termos se aproximam us dos outros. Repare que ão apeas termos cosecutivos mas sim todos eles. É atural acreditar que

8 Apostila ITA qualquer sequêcia covergete é de Cauchy e vice-versa. Vamos admitir, por hora, que sequêcias covergetes são de Cauchy (este fato será demostrado a seguir). Façamos algus cometários sobre a recíproca. de úmeros racioais covergetes para, por exemplo, Cosidere uma sequêcia ( ) x (existe tal sequêcia?). Sedo covergete ela é de Cauchy. Como a defiição de sequêcia de Cauchy ão faz meção ao limite, mesmo se só cohecêssemos úmeros racioais aida estaríamos de acordo que ( x ) é de Cauchy. Porém, este caso, ão seríamos capazes de mostrar a existêcia do limite. Ou seja, se cosiderássemos apeas úmeros racioais, ão seria possível mostrar que toda sequêcia de Cauchy é covergete. Já que sequêcias de Cauchy são covergetes em mas ão em, isto deve estar relacioado à completeza. De fato, algus autores usam sequêcias de Cauchy de úmeros racioais para costruir. A vatagem desta costrução é que ela pode ser empregada para completar outros cojutos (ou melhor, espaços métricos) que ão sejam corpos ordeados. Teorema 4.8. Uma sequêcia é covergete se, e somete se, ela é de Cauchy. Demostração. Seja ( ) x uma sequêcia covergete para o limite x. Dado ε > 0 existe N tal que se N, etão x x <ε /. Portato, se m, > N temos Cocluímos que ( ) x ε ε x xm x x + x xm < + =ε. é uma sequêcia de Cauchy. Reciprocamete, supohamos que ( x ) ao da demostração do Teorema 4.4 mostra que ( x ) Teorema de Bolzao-Weierstrass, ( ) para o limite x. Mostremos que x existe N tal que é de Cauchy. Um argumeto aálogo x tem subsequêcia ( x ) x. Seja 0 é limitada (verifique). Pelo k ε>. Como ( ) x, m N x xm <. (4.) covergete é de Cauchy, Como x k x, existe k tal que k N e x k x <ε /. Daí e de (4.) segue que, se N, etão 7

9 Matemática ε ε x x x x + x k x < + =ε. k 4.5. Limites ifiitos. Existem sequêcias divergetes que possuem limite! Isto é apeas um jogo de palavras. A defiição seguite diz que certas sequêcias têm limites que ão são úmeros reais. Não diremos que tais sequêcias são covergetes. Defiição 4.9. Seja ( x ) uma sequecia. Dizemos que x tede a mais ifiito quado tede a mais ifiito ou que mais ifiito é limite da sequêcia e escrevemos x + ou lim x = + se, + M respectivamete, e c. Temos: 8, N tal que N x > M. Defiição 4.0. Seja ( x ) uma sequêcia. Dizemos que x tede a meos ifiito quado tede a mais ifiito ou que meos ifiito é limite da sequêcia e escrevemos x ou lim x = se, M +, N tal que N x < M. Isistimos o fato que se x + ou x, etão ão podemos dizer que a sequêcia é covergete. Uma sequêcia é dita covergete exclusivamete quado satisfaz a codição da Defiição 4.7. Além disto, se x + etão ( x ) é ilimitada superiormete e, portato, é divergete. Da mesma forma, se x, etão ( ) x é ilimitada iferiormete e, portato, é divergete. Observação 4.. Com estas coveções sobre uso dos termos sequêcia covergete a de limite de sequêcia a Proposição 4. também é válida (obviamete com outra demostração) se substituirmos x por + ou por. Como x > M é equivalete a x < M, temos que x + se, e somete se, x. Portato toda afirmação sobre limite mais ifiito tem uma aáloga para limite meos ifiito. 4.6 Operações com limites. Temos a seguir algumas propriedades aritméticas de limites fiitos. Proposição 4.. Sejam ( ) x e ( ) y covergetes para x e y,

10 Apostila ITA I. x + y x+ y; II. x y x y; III. c x cx; IV. se y 0, etão y y. Demostração. (I) Seja ε> 0. Graças às covergêcias de ( x ) e ( y ), existem N ' e N '' tais que, se { } N', etão x x <ε /, e se N'', etão y y <ε /. Seja N = max N', N''. Assim, se N, etão N' e N'' e, daí, ε ε x + y x+ y = x x + y y x x + y y < + =ε. ( ) ( ) ( ) ( ) Mostramos assim que x + y x+ y. (II) Seja ε> 0. Como ( x ) tal que x Desta forma, para N, temos é covergete, ela é limitada. Logo, existe C > 0 < C para todo tal que se N, etão x x <ε e y x y x y x y x y + x y x y = x y y + y x x ( ) C y y + y x x < C+ y ε. y <ε. Isto mostra que x y coverge para x y. (III) É cosequêcia do item aterior, tomado y = c para todo. (IV) Seja ε> 0 e N ' tal que, se N', etão y y <ε. Temos aida que y 0, cosequêtemete, existe N '' tal que, y > y /, ie.., y < y, quado N'' N, temos que. Torado N max { N', N'' } y y = < ε. y y y y y =, para todo Isto coclui a demostração. 9

11 Exemplo 4.3. Seja r. A sequêcia ( r ) razão r. Matemática é uma Progressão Geométrica de ( r ) 0 Se r <, etão multiplicado por r 0, obtemos + 0 r r. Logo, é decrescete, limitada iferiormete e portato, covergete para, digamos, + l. Ora, r = r r, etão, passado o limite, obtemos l = r l. Como r, temos l = 0. Segue, fialmete, que ( r ) coverge para 0 (Exercício (.a)). Se r >, etão r = + h com h > 0. Pela desigualdade de Beroulli, r = r + h e, portato, r +. Em particular, ( r ) (Exercício (.b)). Deixamos para o leitor o estudo dos casos r = e r =. Vejamos agora as propriedades aritméticas de limites ifiitos Proposição 4.4. Sejam ( x ) e ( y ) que x +. Temos: I. se ( ) é divergete duas sequêcias e c > 0. Supohamos y é limitada iferiormete, etão x + y + ; > c para todo, etão x y + ; c x + ; x 0. II. se y III. IV. Demostração. (I) Seja a tal que a y para todo. Dado M, como x +, existe N tal que se N, etão x > M a. Segue que se N, etão x + y x + a > M. Cocluímos que x + y +. (II) Dado M, podemos tomar N tal que se N, etão x > M / c. Desta forma, se N, etão x y x c > M M. Portato x y +. (III) É cosequêcia do item aterior, tomado y = c para todo. (IV) Dado ε > 0, tomemos N tal que se N, etão x >ε. Segue que se N, etão x 0 = x <ε. Cocluímos que x 0.

12 Apostila ITA 4.7 Limite superior e limite iferior. No estudo de limites de subsequêcias é coveiete fazer a seguite defiição. Defiição 4.5. Dizemos que x é valor de aderêcia de ( x ) subsequêcia de ( x ) covergete para x. se existe O Teorema de Bolzao-Weierstrass diz etão que toda sequêcia limitada possui valor de aderêcia. Observe que se ( ) x é limitada superiormete, etão o cojuto dos seus valores de aderêcia também é limitado superiormete (veja Exercício (4.c)). Aalogamete, se ( x ) é limitada iferiormete, etão o cojuto de seus valores de aderêcia também é. Defiição 4.6. Seja A o cojuto dos valores de aderêcia de ( x ). O limite superior de ( x ) é defiido por + se( x ) éilimitada superiormete; lim sup x = sup A se( x) é limitada superiormete e A ; + se( x ) é limitada superiormete e A =. O limite iferior de ( ) x é defiido por ( x ) ( ) ( x ) se éilimitada iferiormete; lim if x = sup A se x é limitada iferiormete e A ; + + se é limitada iferiormete e A. = Essecialmete, o limite superior de uma sequêcia é o seu valor de aderêcia, equato que o limite iferior é seu meor valor de aderêcia. coverge para x se, e somete se, x é o A Proposição 4. diz que ( x ) úico valor de aderêcia de ( x ). Isto também pode ser expresso dizedo lim x = x limif x = limsup x = x Pode parecer estraho tomar como defiição de limite superior de uma sequêcia limitada superiormete e sem valor de aderêcia. A razão é que, estas codições, a sequêcia tede a (veja Exercício 8). Desta forma, o resultado do parágrafo aterior também é válido para limites ifiitos.

13 Matemática Proposição 4.7. Existe subsequêcia ( x ) lim k + x k k de ( ) = lim sup x. + x tal que Em particular, se lim sup +, etão este é o maior valor de aderêcia de ( x ). Demostração. Seja A o cojuto dos valores de aderêcia de x. Supohamos iicialmete que ( ) x limsup x = + + Neste caso, é imediato que ( x ) Supohamos, agora, que ( ) x Se ( ) x seja ilimitada superiormete e, portato, tem subsequêcia que tede a +. seja limitada superiormete e A =. Portato, limsup x =. + for limitada iferiormete, etão ( ) x Teorema de Bolzao-Weierstrass, teremos A. Logo, ( ) x iferiormete e, portato, tem subsequêcia tededo a. Fialmete, supohamos que ( x ) será limitada e, pelo é limitada seja limitada superiormete a A. Como já observado ates, A é limitado superiormete e, portato, seu supremo s é fiito. Vamos mostrar que s A. Aplicado sucessivamete o resultado do Exercício 5 do Capítulo 3 obtemos: a A tal que s a > s ; a A tal que s a > s / ; a A tal que s a3 > s /3; Como a é valor de aderêcia de ( ) x e s + > a > s, existe tal que s + > x > s. Também temos a A, logo, existe > tal que s+ / > x > s /. Prosseguido desta forma, costruímos uma subsequêcia ( x ) k k covergete para s. Segue que s A.

14 Apostila ITA 0. Seja ( k ) k a) se ( k ) k I 0 Exercícios uma sequêcia crescete. Mostre que é limitada superiormete, etão ela é costate a partir de um certo termo; é estritamete crescete, etão k k k k para todo k. Coclua b) se ( ) que ( ) k k 0. Seja ( ) x a) se 0 ão é limitada superiormete. uma sequêcia. Mostre que: x, etão x 0 ; b) se x 03. Mostre que a recíproca do Exercício (.b) é falsa. 04. Sejam y e ( ) x x, etão x x ; uma sequêcia covergete para x. a) Mostre que se y< x, etão existe N tal que y < x para todo N. b) Mostre que se x < y, etão existe N tal que x < y para todo N. c) Mostre que se x d) Mostre que se x e) Se y x 05. Sejam ( ) x y para todo, etão x y. y para todo, etão x y. <, para todo, etão podemos afirmar que y< x? sequêcias covergetes para x e y, respectivamete. Supohamos que x y para todo. Mostre que a) x y ; b) (Teorema do Saduíche) se ( ) z x. 06. Sejam ( k ), ( m ) k k k { ; k } { m ; k } =. Mostre que ( ) k k somete se, as subsequêcias ( x k ) e ( ) k k 07. Sejam ( x ) e ( y ) a) x y x y; b) se y 0, etão x / y x/ y ; c) m m x x qualquer que seja m. z é tal que x z y e se x = y, etão estritamete crescete e tais que x coverge para x se, e x m k covergem para x. covergetes para x e y, respectivamete. Mostre que 3

15 08. Seja ( ) x Matemática uma sequêcia limitada superiormete e que ão tem valor de aderêcia. Mostre que x. 09. Seja ( ) x x = + x. Mostre que: + a) ( x ) é crescete; b) x ; x é covergete. Determie lim x. c) ( ) + a sequêcia defiida idutivamete por x = 0 e 0. O objetivo deste exercício é mostrar o seguite resultado: para todo m e a com m e a 0, existe um úico x tal que x 0 e m x = a. Tal x é dito raiz m - ésima de a e é deotado m a (ou simplesmete a o caso m = ). Para isto x defiida idutivamete por x = cosidere a sequêcia ( ) Mostre que: a) a fução f : m x a + m mx x = x m dada por f ( x) x [ 0, + ). Coclua a uicidade da raiz m - ésima de a ; m m m b) y x + mx ( y x) x, y 0; c) x > 0 ; m d) x+ a ; x x ; e) + + f) ( ) x = é estritamete crescete em coverge e o seu limite x verifica x 0 e x m = a. Sugestão: Em (0.b) use (0.a) e cosidere separadamete os casos x < y, x > y e x = y. Use aida a seguite igualdade: 4 m y x y x m m m m m = y + y x yx + x Em (0.c) proceda por idução. Em (0.d) use (0.b) e em (0.e) use (0.d). Fialmete use a Proposição 4.5 em (0.f).

16 Apostila ITA I Séries. Defiição 4.8. Cosidere uma sequêcia ( x ). Para cada defiimos S = x = x x. i i= A sequêcia ( S ) é dita das somas parciais da série x e x é o - ésimo termo ou termo geral da série. Escrevemos + x = = lim + quado o limite acima existe e, este caso, ele é dito limite da série. Dizemos que x é covergete ou divergete se ( ) S respectivamete. Fialmete, dizemos que covergete. Exemplo 4.9. Cosidere a Série Geométrica de termo geral Se r =, etão é imediato que S x x S S = + r+ r r + r é covergete ou divergete, é absolutamete se a série x é x =. Segue que ( S ) ( ) = r. Temos diverge. Supohamos r. Multiplicado por S por r obtemos 3 rs = r + r + r r + r 3 = + r+ r + r r + r = S + r. Portato, S ( r / ) ( r ) diverge, e portato, =. Assim, x este caso, + x =. r = A próxima proposição é uma versão da Proposição 44. para séries. Proposição Sejam x e y duas séries covergetes e c. Temos que 5 coverge se, e somete se, r < e,

17 Matemática é covergete para x + y c x é covergete para c x. I. ( x + y) II. ( ) ; Demostração. A demostração é trivial: basta aplicar a Proposição 4. para as sequêcias das somas parciais de x e de y. Observamos que, em geral, ( x y) x y. = = = Passamos ao estudo da atureza de séries, ie.., estamos iteressados em critérios que determiem se uma série é covergete ou divergete. Teorema 4.3. I. x II. Se x Demostração. coverge se, e somete se, ε> 0, N tal que coverge, etão x 0. i. i= m m N x <ε (I) O critério dado diz simplesmete que a sequêcia das somas parciais é de Cauchy. O resultado segue do Teorema 4.8. (II) Segue de (I), tomado m =. (III) Observamos que para todo m, N temos m m m x x = x i i i i= i= i= Portato, por (I), a covergêcia de x implica a de x. O item (III) do teorema aterior está itimamete ligado ao fato de ser completo. Devemos ressaltar aida que a sua recíproca ão é verdadeira, ou seja, existem séries que são covergetes mas ão absolutamete covergetes. Veremos um exemplo posteriormete. 6

18 Apostila ITA Exemplo 4.3. Pelo item (II), a codição x 0 é ecessária para a covergêcia da série x porém ela ão é suficiete. A Série Harmôica / é o cotra exemplo mais famoso. De fato, temos S = +, S4 = S + + > S + = +, S8 = S > + + = Portato, S > + /. Daí, segue que lim + S diverge. = +. Cocluímos que a série Vamos tratar agora de algus critérios de covergêcia para séries de termos positivos. Claramete, todos os critérios aqui expostos podem ser adaptados para séries de termos egativos. De fato, se x é uma série de termos egativos, etão ( x ) é uma série de termos positivos e, além disto, a primeira coverge se, e somete se, a seguda coverge. Evetualmete, podemos usar também critérios sobre séries de termos positivos para uma série x que teha termos de siais variáveis. Ora, se ao aplicarmos algum destes critérios para a série x cocluirmos que ela é covergete, etão, como toda série absolutamete covergete é covergete, cocluiremos que coverge. Por outro lado, se o critério ada disser, ou mesmo se ele os iformar que x é divergete, em geral, ada poderemos afirmar sobre a covergêcia da série x. Observamos também o seguite fato, já mecioado o caso de sequêcias. Os primeiros termos de uma série ada ifluem a sua atureza. De fato, a série x coverge se, e somete se, a série x coverge. De maeira geral, fixado p a série x é covergete se, e somete se, a série x + p é covergete. Desta forma, todos os critérios que determiam a atureza de uma série através de alguma propriedade verificada por todos os seus termos cotiuam válidos se a tal propriedade é verificada à partir de algum termo (por exemplo, 006 ). Por outro lado, ão podemos desprezar ehum termo de uma série covergete quado estamos iteressados em determiar o valor do seu limite. x 7

19 Matemática Proposição Uma série de termos positivos é covergete se, e somete se, a sequêcia de suas somas parciais é limitada superiormete. Demostração. Por defiição, x parciais ( S ) crescete. Logo, ( S ) é covergete se, e somete se, a sequêcia de suas somas é covergete. Como 0 x, temos imediatamete que ( ) S é é covergete se, e somete se, ela é limitada superiormete (ver proposições 4.4 e 4.5) Teorema (Critério da Comparação) Sejam ( x ) e ( y ) 0 x y para todo. tais que I. Se y II. Se x coverge, etão x coverge. diverge, etão y diverge. Demostração. Sejam ( S ) e ( ) T as sequêcias de somas parciais de x e y, respectivamete. De x y segue imediatamete que S T para todo. também é. Por outro lado, Assim, se ( ) S se ( ) T Proposição é limitada superiormete, etão ( ) T é limitada superiormete, etão ( ) S também é. Cocluímos graças à Exemplo Vamos estudar a atureza da série / segudo os valores de p. É claro que se p 0, etão ela diverge pois este caso lim + x 0. p Supohamos 0 p. Temos / / para todo. Portato, por comparação com a Série Harmôica, cocluímos que a série diverge. Fialmete, cosideremos os casos p >. Mostraremos que a série coverge. Seja ( ) S a sequêcia das somas parciais. Para todo, temos: p 8

20 Apostila ITA S = p p p p p p p 3 ( ) = p p p p p p p ( ) ( ) p 4 p ( ) ( i = ) p p p 4 i= ( ) Como P > temos p < e, portato, a Série Geométrica de razão p coverge. Segue que ( S ) é limitada superiormete e portato / p é covergete. Teorema (Teste da Razão, ou de d Alembert ) Seja ( x ) úmeros estritamete positivos. I. Se lim + x+ / x <, etão x II. Se lim + x+ / x >, etão x uma sequêcia de Demostração. (I) Tomemos r tal que lim + x+ / x < r <. O resultado do Exercício (4.a) garate que existe N tal que x+ / x < r para todo N. Temos etão xn+ < rxn ; xn + < rxn+ < r xn ; 3 xn + 3 < rxn+ < r xn ; N N De maeira geral, x < r xn, para todo N. Tomado y = r xn (para todo ) temos que x y para todo N. Como y é uma série Geométrica de razão r ( 0, ), ela é covergete. O resultado segue do Critério de Comparação. (II) Usado o resultado do Exercício (4.b) cocluímos que existe N tal que x+ / x para todo. Portato, x+ x para todo N. Segue que a sequêcia dos termos gerais da série é crescete a partir do N - ésimo termo e, portato, ão coverge para zero. Logo, a série é divergete. 9

21 Matemática Exemplo A série /! 0 é covergete pois ( + ) /!! lim = lim = lim = 0 + /! + +! + + ( ) Quado lim + x+ / x =, o Teste de Razão ada permite cocluir (em covergêcia em divergêcia). Existem várias versões do Teste da Razão. A versão vista aqui ão é a mais geral delas. Por exemplo, podemos substituir o símbolo de limite em (I) pelo símbolo de limite superior. A coclusão de (II) também é válida se substituirmos o símbolo de limite pelo de limite iferior. Exemplo Vejamos exemplos para os quais o Teste da Razão ão é coclusivo. Cosidere as séries / e /. Já vimos que a primeira é divergete equato que a seguda é covergete. Porém, para ambas temos que lim + x+ / x. De fato, / ( + ) / ( + ) lim = lim = e lim = lim =. + / / + + Teorema (Teste da Raiz, ou de Cauchy) Seja ( x ) ( ) uma sequêcia de úmeros positivos. I. Se lim + x <, etão x é covergete. II. Se lim + x >, etão x é divergete. Demostração. (I) Seja r tal que lim + x < r <. Do resultado do Exercício (4.a) obtemos que existe N tal que x < r, ou seja, x < r para todo N. O resultado segue por comparação com a Série Geométrica r. (II) Aálogo ao item aterior. Quado lim + x =, o Teste da Raiz ada permite cocluir (em covergêcia em divergêcia). Também existem outras versões do Teste da Raiz. A versão aqui apresetada ão é a mais geral delas. Por exemplo, podemos substituir o símbolo de limite em (I) pelo símbolo de limite superior. A coclusão de (II) também é válida se substituirmos o símbolo de limite pelo limite iferior.

22 Apostila ITA 4.9 A série dos iversos dos primos. Termiamos o capítulo com um iteressate resultado sobre a série dos iversos 7. A demostração que dos primos. O primeiro a demostrá-lo foi Euler [ ] apresetaremos aqui é mais uma das preciosidades de Erdös [ 6 ]. O argumeto é do tipo combiatório. Ates de apresetá-lo façamos uma defiição. Defiição A fução Parte Iteira é defiida, para todo x, por x se e x< +. Exemplo 4.4. Temos =,.4 = e.5 =. Proposição 4.4. Seja ( p ) primos ( p, p 3, p 5,...) a sequêcia estritamete crescetes dos úmeros = = =. A série / p 3 Demostração. Supohamos por absurdo que / p coverge. Portato existe N tal que: + <. p = Seja M = N. Temos que M = # A+ # B, sedo A = { m {,..., M} ; m é múltiplo de algum dos primos pn, p N +,... }, B = { m {,..., M} ; m ão é múltiplo de algum dos primos pn, p N +,... } Vamos mostrar que # A< M / e # B M / chegado assim a uma cotradição. O úmero de múltiplos do primo p que são meores que M é M / p. Segue que + + M M M # A < p p. = N = N Também é fácil ver que todo m B pode ser escrito como m= a b sedo a um produto de primos distitos, todos meores que p N, e b um produto de quadrados de primos, também meores que P N. Existem exatamete N úmeros as codições de a. Temos aida que b m M e portato b M = N. Segue que existem, o máximo, N úmeros as codições de b. Portato N N N # B = = M /.

23 Matemática I 04 Exercícios 0. Determie se é covergete ou divergete cada uma das séries abaixo. a) ; b) + ; ( + ) 0. Seja x uma série covergete de termos positivos. Mostre que a) ( x ) é covergete; b) se limif + > 0, etão ( x / ) y é covergete. 03. Use o resultado do Exercício do Capítulo para mostrar que a série harmôica diverge. 04. Mostre que se x ( x y) é absolutamete covergete. é absolutamete covergete e ( ) y é limitada, etão 05. Mostre que ( se / ) é covergete. Você cosegue geeralizar este ( f / ), sob que hipótese sobre f :? resultado para séries do tipo ( ) 06. Sejam ( x ) e ( y ) duas sequêcias positivas tais que Mostre que x lim = c / {} 0. + y x coverge se, e somete se, y coverge.

24 Apostila ITA 07. O objetivo deste exercício é mostrar o Critério de Leibiz que diz: se ( x ) é uma sequêcia decrescete de úmeros positivos covergete para 0, etão a série ( ) + x é covergete. Cosidere a sequêcia de somas parciais S da série ( ) + x. Mostre que ( ) a) ( S ) é limitada; b) ( S ) e ( ) S são moótoas. Coclua que estas sequêcias são covergetes para o mesmo limite s ; + x é covergete. c) ( ) 08. Use o critério de Leibiz para dar um exemplo de uma série que é covergete mas ão é absolutamete covergete. 09. Determie, segudo o valor do parâmetro a > 0, a atureza da série: (! ) a.! ( ) 3

25 4 Matemática

26 IME ITA