2 cos n. 51. a n. 52. a n. 53. a n. 54. (a) Determine se a sequência definida a seguir é convergente

Transcrição

1 650M MCÁLCULO 7-6 Determie se a sequêcia coverge ou diverge. Se ela covergir, ecotre o limite. 7. a (0,) 8. a 5 9. a 0. a. a e /. a. a tg ( ) p. a () 5. a 6. a 7. a cos(/) 8. a cos(/) ( )! 9. a ( )! 0. {artg } e l.. l e e. { e }. { cos p} cos 5. a 6. a l( ) l 8 7. a se(/) 8. a 9. a ( ) 0. a. a l( ) l( ). a 5 9 () se (l ). {0,, 0, 0, 0, 0, 0,,... }. {,,,,, 5,, 6,... }! () 5. a 6. a! ; 7-5 Use um gráfico da sequêcia para decidir se ela é covergete ou divergete. Se a sequêcia for covergete, cojecture o valor do limite a partir do gráfico e etão demostre sua cojectura. (Veja a margem esquerda da págia 66 para sugestões de como traçar gráficos de sequêcias.) 7. a (/e) 8. a se(p/ ) 9. a 50. a a cos 5. a 5. a 5. (a) Determie se a sequêcia defiida a seguir é covergete ou divergete: a MMa a MMpara (b) O que acotece se o primeiro termo for a? 55. Se $.000 forem ivestidos a uma taa de juros de 6%, cotabilizados aualmete, depois de aos o ivestimeto valerá a.000(,06) dólares. (a) Ecotre os cico primeiros termos da sequêcia {a }. (b) A sequêcia é covergete ou divergete? Eplique. 56. Calcule os primeiros 0 termos da sequêcia defiida por a se a é um úmero par a a se a é um úmero ímpar e a. Faça o mesmo para a 5. Faça uma cojectura sobre esse tipo de sequêcia. 57. Para quais valores de r a sequêcia {r } é covergete? 58. (a) Se {a } for covergete, mostre que lim a lim a m m (b) Uma sequêcia {a } é defiida por a e a /( a ) para. Supodo que a é covergete, ecotre seu limite. 59. Supoha que você saiba que {a } é uma sequêcia decrescete e que todos os termos estão etre os úmeros 5 e 8. Eplique por que a sequêcia tem um limite. O que você pode dizer sobre o valor do limite? Determie se a sequêcia dada é crescete, decrescete ou ão moótoa. A sequêcia é limitada? 60. a () 5... ( )! 5... ( ) () 6. a 6. a 6. a () 6. a e 65. a 66. a 67. Calcule o limite da sequêcia {,,,...} 68. Uma sequêcia {a } é dada por a, a a.

2 SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITASM M65 (a) Por idução, ou de outra maeira, mostre que {a } é crescete e limitada superiormete por. Aplique o Teorema da Sequêcia Moótoa para mostrar que lim m a eiste. (b) Calcule lim m a. 69. Mostre que a sequêcia defiida por a,mmma é crescete e que a para todo. Deduza que {a } é covergete e calcule seu limite. 70. Mostre que a sequêcia defiida por a MMMa satisfaz 0 a e é decrescete. Deduza que a sequêcia é covergete e ecotre seu limite. 7. (a) Fiboacci propôs o seguite problema: supoha que coelhos vivam para sempre e que a cada mês cada par produza um ovo par, que se tora reprodutivo com meses de idade. Se começarmos com um par recém-ascido, quatos pares de coelhos teremos o -ésimo mês? Mostre que a resposta é f, ode { f } é a sequêcia de Fiboacci defiida o Eemplo (c). (b) Seja a f / f e mostre que a /a. Supodo que {a } seja covergete, ecotre seu limite. 7. (a) Seja a a, a f (a), a f (a ) f ( f (a)),..., a f (a ), ode f é uma fução cotíua. Se lim m a L, mostre que f (L) L. (b) Ilustre a parte (a) tomado f () cos, a, e estimado o valor de L com precisão de cico casas decimais. ; 7. (a) Use um gráfico para cojecturar o valor do limite lim m (b) Use um gráfico da sequêcia a parte (a) para ecotrar os meores valores de N que correspodam a 0, e 0,00 a Defiição. 7. Use a Defiição diretamete para demostrar que lim m r 0 quado r. 75. Demostre o Teorema 6. [Sugestão: Use a Defiição ou o Teorema do Cofroto.] 76. Demostre o Teorema Demostre que se lim m a 0 e {b } for limitada, etão lim m (a b ) Seja a (. ) (a) Mostre que, se 0 a b, etão b a b a 5! ( )b a a (c) Use a /( ) e b / a parte (b) para mostrar que {a } é crescete. (d) Use a e b /() a parte (b) para mostrar que a. (e) Use as partes (c) e (d) para mostrar que a para todo. (f) Use o Teorema para mostrar que lim m ( /) eiste. (O limite é e. Veja a Equação.6.6, o Volume I.) 79. Sejam a e b úmeros positivos com a b. Seja a sua média aritmética e b sua média geométrica: a b a MMMb ab Repita esse procedimeto de modo que, em geral, a a MMMb a b b (a) Use a idução matemática para mostrar que a a b b (b) Deduza que a e b são ambas covergetes. (c) Mostre que lim m a lim m b. Gauss chamou o valor comum desses limites de média aritmética-geométrica dos úmeros a e b. 80. (a) Mostre que, se lim m a L e lim m a L, etão {a } é covergete e lim m a L. (b) Se a e a ecotre os oito primeiros membros da sequêcia {a }. Etão use a parte (a) para mostrar que lim m a. Isso dá a epasão em frações cotíuas O tamaho de uma população de peies pode ser modelado pela fórmula p a bp a p ode p é o tamaho da população de peies depois de aos e a e b são costates positivas que depedem da espécie e de seu habitat. Supoha que a população o ao 0 seja p 0 0. (a) Mostre que se {p } é covergete, etão os úicos valores possíveis para seu limite são 0 e b a. (b) Mostre que p (b/a)p. (c) Use o item (b) para mostrar que, se a b, etão lim m p 0; em outras palavras, a população se etigue. (d) Agora, assuma que a b. Mostre que, se p 0 b a, etão {p } é crescete e 0 p b a. Mostre também que, se p 0 b a, etão, {p } é decrescete e p b a. Deduza que, se a b, etão lim m p b a. (b) Deduza que b [( )a b] a.

3 658M MCÁLCULO No Eemplo 6 ecotramos que Assim, pelo Teorema 8, a série dada é covergete e ( ) ( ) ( ) OBS. Um úmero fiito de termos ão afeta a covergêcia ou divergêcia de uma série. Por eemplo: supoha que possamos mostrar que a série é covergete. Como 9 8 segue que a série iteira /( ) é covergete. Aalogamete, se soubermos que a série a coverge, etão a série completa N também é covergete. ( ) a N a a N.. (a) Qual é a difereça etre uma sequêcia e uma série? (b) O que é uma série covergete? O que é uma série divergete?. Eplique o sigificado de se dizer que a 5. ; -8 Calcule pelo meos dez somas parciais da série. Faça o gráfico de ambas as sequêcias de termos e de somas parciais a mesma tela. Parece que a série é covergete ou divergete? Se ela for covergete, calcule a soma. Se for divergete, eplique por quê.. (5). 5. tg 6. (0,6) 9. Seja a. (a) Determie se {a } é covergete. (b) Determie se a é covergete. 0. (a) Eplique a difereça etre a i MMMe MMM i ja j (b) Eplique a difereça etre a i MMMe MMM i i a j ( ) ( ) -0 Determie se a série é covergete ou divergete. Se for covergete, calcule sua soma , 0,6 0, (0,9) Determie se a série é covergete ou divergete. Se ela for covergete, calcule sua soma () p 6.. k 6. 0 (9) ( ) e k(k ) (k )

4 SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITASM M659 SCA l( ) (cos ) k k arctg.. ( ) e ( ) [(0,) (0,) ]. l( 5 ) 5-0 Determie se a série é covergete ou divergete epressado s como uma soma telescópica (como o Eemplo 6). Se for covergete, ecotre sua soma (e / e /() ) 0. ( cos ) cos ( ) Epresse o úmero como uma razão de iteiros.. 0, 0,.... 0,7 0, ,7, ,5 6, ,56 l 6. 7,5 7-5 Ecotre os valores de para os quais a série coverge. Calcule a soma da série para esses valores de ( ) cos 0 ( ) ( ) 5. Vimos que a série harmôica é uma série divergete cujos termos tedem a 0. Mostre que l( ) também tem essa propriedade. 5-5 Use o comado de frações parciais em seu SCA para ecotrar uma epressão coveiete para a soma parcial; etão utilize essa epressão para ecotrar a soma da série. Verifique sua resposta usado o SCA para somar a série diretamete. e 5. ( ) Se a -ésima soma parcial de uma série a for ecotre a e a. s 56. Se a -ésima soma parcial de uma série a for s, ecotre a e a. 57. Quado o diheiro é gasto em produtos e serviços, aqueles que o recebem também gastam uma parte dele. As pessoas que recebem parte do diheiro gasto duas vezes gastarão uma parte, e assim por diate. Os ecoomistas chamam essa reação em cadeia de efeito multiplicador. Em uma comuidade hipotética isolada, o govero local começa o processo gastado $ D. Supoha que cada pessoa que recebe o diheiro gasto gaste 00c% e ecoomize 00s% do diheiro que recebeu. Os valores de c e s são deomiados propesão margial a cosumir e propesão margial a ecoomizar e, é claro, c s. (a) Seja S o gasto total que foi gerado depois de trasações. Ecotre uma equação para S. (b) Mostre que lim m S kd, ode k /s. O úmero k é chamado multiplicador. Qual é o multiplicador se a propesão margial para cosumir for 80%? Observação: O govero federal usa esse pricípio para justificar o gasto deficitário. Os bacos usam esse pricípio para justificar o empréstimo de uma grade porcetagem do diheiro que recebem em depósitos. 58. Uma certa bola tem a seguite propriedade: cada vez que cai a partir de uma altura h em uma superfície dura e ivelada, ela volta até uma altura rh, ode 0 r. Supoha que a bola seja solta a partir de uma altura iicial de H metros. (a) Supodo que a bola cotiua a pular idefiidamete, calcule a distâcia total que ela percorre. (Use o fato de que a bola cai tt metros em t segudos.) (b) Calcule o tempo total que a bola pula. (c) Supoha que, cada vez que a bola atigir a superfície com velocidade v, ela rebaterá com velocidade kv, ode 0 k. Quato tempo levará para a bola parar? 59. Qual é o valor de c se ( c) 60. Ecotre o valor de c tal que e c No Eemplo 7 mostramos que a série harmôica é divergete. Aqui, esboçamos outro método, que faz uso do fato que e para qualquer 0. (Veja o Eercício..76, o Volume I.)

5 SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITASM M667 Como s M para todo, a sequêcia {s } é limitada superiormete. Além disso, s s a s já que a f ( ) 0. Etão, {s } é uma sequêcia crescete limitada, e assim, ela é covergete pelo Teorema da Sequêcia Moótoa (..). Isso sigifica que a é covergete. (ii) Se h f () d for divergete, etão h f () d m quado m porque f () 0. Mas (5) os dá h f () d a i s i e, dessa forma, s m. Isso implica que s m e assim a diverge... Faça um deseho para mostrar que h d O que você pode cocluir sobre a série?. Supoha que f seja uma fução cotíua, positiva e decrescete para e a f (). Desehado uma figura, coloque em ordem crescete as três quatidades h 6 f ()dmmm 5 a i MMM 6 i ia i -8 Use o Teste da Itegral para determiar se a série é covergete ou divergete e Determie se a série é covergete ou divergete. 9. ( ) 0,85,, 0. (,, ) l l e / Ecotre os valores de p para os quais a série é covergete. ( ) 5 (l ) e (l ) p 8. l [l(l )] p ( ) p 0.. A fução zeta de Riema z é defiida por z() e é usada em teoria de úmeros para estudar a distribuição de úmeros primos. Qual é o domíio de z? l p

6 67M MCÁLCULO T h Portato, o resto R para a série dada satisfaz Com 00, temos R 00 d R T (00) 0,00005 Usado uma calculadora programável ou um computador, ecotramos que 00 0,68658 com erro meor que 0, Supoha que a e b sejam séries com termos positivos e que b seja covergete. (a) Se a b para todo, o que você pode dizer sobre a? Por quê? (b) Se a b para todo, o que você pode dizer sobre a? Por quê?. Supoha que a e b sejam séries com termos positivos e que b seja divergete. (a) Se a b para todo, o que você pode dizer sobre a? Por quê? (b) Se a b para todo, o que você pode dizer sobre a? Por quê? - Determie se a série coverge ou diverge arctg, () 5 ( ) e ( ) 8. e / 6 ( ) cos 0. 9.! 0.!.. se. se( ). /

7 SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITASM M (a) O que é uma série alterada? (b) Sob que codições uma série alterada coverge? (c) Se essas codições forem satisfeitas, o que você pode dizer sobre o resto depois de termos? -0 Teste a série quato a covergêcia ou divergêcia () 6. () l( ) () (erro 0,00005) 6 () 5 () 0! (erro 0,000) (erro 0,000005) () e (erro 0,0) 7-0 Aproime a soma da série com a precisão de quatro casas decimais. 7. () 8. () 7. () 5 8. () 8 9. () 0. (). (). (). () l l 5. cos p () p 8. se( ) () cos( ) p 9. () 0. ( )! 5 - Calcule as dez primeiras somas parciais da série e faça o gráfico da sequêcia de termos e da sequêcia das somas parciais a ; mesma tela. Estime o erro ao usar a décima soma parcial para aproimar a soma total.. / () / 0. (). -6 Mostre que a série é covergete. Quatos termos da série precisamos somar para ecotrar a soma parcial com a precisão idicada? se (p/)! () 9. () A quiquagésima soma parcial s 50 da série alterada ( ) / é uma superestimativa ou uma subestimativa da soma total? Eplique. - Para quais valores de p cada série é covergete?.. () (l ) p () p. 5. Mostre que a série ( ) b, ode b / se for ímpar e b / se for par, é divergete. Por que o Teste da Série Alterada ão se aplica? 6. Use as seguites etapas para mostrar que () l ()! () p Sejam h e s as somas parciais das séries harmôica e harmôica alterada. (a) Mostre que s h h. (b) Do Eercício 8, da Seção., temos h l m g quado m e, portato, h l() m g quado m Use esses fatos juto com a parte (a) para mostrar que s m l quado m.

8 SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITASM M68 Observe que a série em (8) cotém os mesmos termos que em (6), mas rearrajados de modo que um termo egativo ocorre depois de cada par de termos positivos. As somas dessas séries, cotudo, são diferetes. De fato, Riema demostrou que se a for uma série codicioalmete covergete e r for qualquer úmero real, etão eiste um rearrajo de a que tem uma soma igual a r. Uma demostração desse fato é delieada o Eercício O que você pode dizer sobre a série a em cada um dos seguites casos?. 5 ( ). ( ) (a) lim m 8 (b) lim m 0,8 a (c) lim m a -8 Determie se a série é absolutamete covergete, codicioalmete covergete ou divergete () 5. () 7. e! 9. se a a. () 5.! (0)! () k ( ) k a () (,) 0. (). () e / a 0 ( ) () arctg ! 5! 7! () 5... ( )... ( )! (l ) 6... ()! ()! ( ) 9. Os termos de uma série são defiidos recursivamete pelas equações a MMMa Determie se a coverge ou diverge. 0. Uma série a é defiida pelas equações a MMMa 5 cos Determie se a coverge ou diverge. a a 6. cos / 7. () l. Para quais das seguites séries o Teste da Razão ão é coclusivo (isto é, ele ão dá uma resposta defiida)? 8. 0.! () 9.. cos (p/)! ( ) (a) (c) () (b) (d)

9 SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITASM M69 0 () () 0 que diverge pelo Teste para Divergêcia [() ão coverge para 0]. Quado, a série é 0 () que também diverge pelo Teste para Divergêcia. Etão, a série coverge apeas quado 5, de modo que o itervalo de covergêcia é (5, ) O que é uma série de potêcias?. (a) O que é o raio de covergêcia de uma série de potêcias? Como você o ecotra? (b) O que é o itervalo de covergêcia de uma série de potêcias? Como você o ecotra?.. ( a), b 0. b!( ). ( ) 6... () -8 Ecotre o raio de covergêcia e o itervalo de covergêcia da série... 0 () ( ) 5... ( ) 6. (l ) ()! () () ( ) ( ) (). () l 0 ()! () ( ) ( ) O fato de c 0 ser covergete implica que as séries a seguir são covergetes? (a) c () (b) c () 0 0. Supoha que c 0 coverge quado e diverge quado 6. O que pode ser dito sobre a covergêcia ou divergêcia das séries a seguir? (a) (b) c 8 (c)! 5... ( ) c 0 0 c () 0 0 (d) 0 () c 9. Se k for um iteiro positivo, ecotre o raio de covergêcia da série (!) k 0 (k)!. Sejam p e q úmeros reais com p q. Ecotre uma série de potêcias cujo itervalo de covergêcia seja (a) (p, q) (b) (p, q] (c) [p, q) (d) [p, q] 9. ( ) 0. ( ). É possível ecotrar uma série de potêcias cujo itervalo de covergêcia seja [0, )? Eplique.

10 SEQUÊNCIAS E SÉRIES INFINITASM M Se o raio de covergêcia da série de potêcias 0 c for 0, qual é o raio de covergêcia da série c? Por quê?. Supoha que você saiba que a série b 0 coverge para. O que você pode dizer sobre a série a seguir? Por quê? b 0-0 Ecotre uma represetação em série de potêcias para a fução e determie o itervalo de covergêcia.. f (). f () 5. f () 6. f () 0 7. f () 8. f () 9 9. f () 0. f () a - Epresse a fução como a soma de uma série de potêcias usado primeiro frações parciais. Ecotre o itervalo de covergêcia.. f (). f (). (a) Use derivação para ecotrar a represetação em série de potêcias para f () ( ) Qual é o raio de covergêcia? (b) Use o item (a) para ecotrar uma série de potêcias para f () ( ) (c) Use item (b) para achar uma série de potêcias para f () ( ). (a) Ache uma represetação em série de potêcias para f () l ( ). Qual é o raio de covergêcia? (b) Use o item (a) para ecotrar uma série de potêcias para f () l ( ). (c) Use o item (a) para achar uma série de potêcias para f () l ( ). 5-8 Ecotre uma represetação em série de potêcias para a fução e determie o raio de covergêcia. 5. f () l(5 ) 6. f () ( ) 7. f () 8. f () arctg(/) ( ) 9- Ecotre uma represetação em série de potêcias para f, trace ; f e várias somas parciais s () a mesma tela. O que acotece quado aumeta? 9. f () 0. f () l( ) 6. f (). f () tg l( ) () -6 Calcule a itegral idefiida como uma série de potêcias. Qual é o raio de covergêcia?. h dt. h dt tg 5. h d 6. tg ( ) d 7-0 Use uma série de potêcias para aproimar a itegral defiida com precisão de seis casas decimais. 7. h 0 0, t t 8 5 d 9. h 0 / tg ( ) d 0. h 0 0, 8. h 0 0, l( )d. Use o resultado do Eemplo 6 para calcular l, com precisão de cico casas decimais.. Mostre que a fução f () 0 é uma solução da equação diferecial f () f () 0. (a) Mostre que J 0 (a fução de Bessel de ordem 0 dada o Eemplo ) satisfaz a equação diferecial J 0 () J 0 () J 0 () 0 (b) Calcule h 0 J 0 () d com precisão de três casas decimais.. A fução de Bessel de ordem é defiida por J () 0 (a) Mostre que J satisfaz a equação diferecial J () J () ( ) J () 0 (b) Mostre que J 0 () J (). () ()! l( t) t ()!( )! d 6

11 A70M MCÁLCULO 7. r 9. cos u se u 0,75 r se u u (b) Tagetes horizotais em (0, 0) e (, ); tagetes verticais em (0, 0) e (, ) (d) y (g) 0,,.. se t cos t se t cos t ( cos t) 5., 7. (, 8 ) 9. Tagete vertical em ( a, a), (a, 0); tagete horizotal em (a, 0), ( a, a). 8. (, p/) 5. (p ) 7. (5 5 ) 9. l( p ) p p p p p p. 7,95p/,0. Todas as curvas têm a assítota vertical. Para c, a curva se curva para a direita. Em c, a curva é a reta. Para c 0, ela se curva para a esquerda. Em c 0 há uma cúspide em (0, 0). Para c 0, eiste um laço. 5. (, 0), (, 0) 7. ( 5, ), (, ) y 9. y /5 8/5 y 0 (,0) (8y 99) r cos u 57. a(cotg u se u cos u), y a( se u) PROBLEMAS QUENTES PÁGINA 68. l(p/). [, ] [, ] 5. (a) Em (0, 0) e (, ) 0,75 (a, 0) (a, 0) y 0 y 0 (,) y CAPÍTULO. PÁGINA 69 Abreviações: C, covergete; D, divergete. (a) Uma sequêcia é uma lista ordeada de úmeros. Ela também pode ser defiida como uma fução cujo domíio é o cojuto dos iteiros positivos. (b) Os termos a tedem a 8 quado se tora grade. (c) Os termos a se toram grades quado se tora grade.. 0,8, 0,96, 0,99, 0,998, 0, ,,,, , 5, 9, 7, 9. a /. a 5. a ( ) 5.,,,,, 5 ; 6 yes; D e. l. D 5. D D (a).060,.,60,.9,0, 6..8,.8, (b) D 57. r 59. Covergete pelo Teorema da Sequêcia Moótoa; 5 L 8 6. Decrescete; sim 6. Não moótoa; ão 65. Decrescete; sim ( 5) 7. (b) ( 5) 7. (a) 0 (b) 9,. PÁGINA 658. (a) Uma sequêcia é uma lista ordeada de úmeros equato uma série é a soma de uma lista de úmeros. (b) Uma série é covergete se a sequêcia das somas parciais for uma sequêcia covergete. A série é divergete se ela ão for covergete..,0000,,9000,,0600,,99680,,0006,,99987,,0000,,99999,,00000,,00000; covergete, soma (a ) 0 0 (s )

12 APÊNDICESM MA7 5.,557, 0,676, 0,7708, 0,876,,9987,,888,,, 9,, 9,666, 9,060; divergete 7. 0,989, 0,65, 0,50000, 0,5579, 0,5975, 0,60, 0,665, 0,66667, 0,6877, 0,6989; covergete, soma 9. (a)c M(b)D. 9. D D. D. D D 9. D. D. e/(e ) e...8/ 5../ ; 9. ; 5. Todo ; 5. cos 55. a 0, a para, soma ( ) D( c ) 57. (a) S (b) ( ) c A série é divergete. ( ) 7. {s } é limitada e crescete. 7. (a) 0,,,,,, 7, (a), 5,, 9 ( )! ; (c) 6 0 ( )! (a ) 0 (s ) (a ) (s ). PÁGINA 67. (a) Nada (b) C. C 5. D 7. C 9. C. C. C 5. C 7. D 9. D. C. C 5. D 7. C 9. C. D.,9, erro 0, 5. 0,765, erro 0,00 5. Sim.5 PÁGINA 677. (a) Uma série cujos termos são alteradamete positivos e egativos M(b) 0 b b e lim m b 0, ode b a M (c) R b. C 5. C 7. D 9. C. C. D 5. C 7. C 9. D.,0000, 0,66, 0,889, 0,79, 0,80, (s ) 0,75, 0,789, 0,75, 0,78, 0 0 0,7505; erro 0,075 (a ) , ,0676. Uma subestimativa. p ão é um iteiro egativo 5. {b } ão é decrescete.6 PÁGINA 68 Abreviações: AC, absolutamete covergete; CC, codicioalmete covergete. (a) D (b) C (c) Pode covergir ou divergir. AC 5. CC 7. AC 9. D. AC. AC 5. AC 7. CC 9. AC. AC. D 5. AC 7. D 9. D. (a) e (d) 5. (a) 66 0,6885, erro 0, (b), 0, PÁGINA 686. C. D 5. C 7. D 9. C. C. C 5. C 7. D 9. C. C. D 5. C 7. C 9. C. D. C 5. C 7. C. PÁGINA 667. C y y=,.8 PÁGINA 69. Uma série da forma c ( 0 a), ode é uma variável e a e c são costates., [, ] 5., [, ] 7., (, ) a a a a C 5. C 7. C 9. D. C. D 5. C 7. C 9. C. D. C 5. C 7. p 9. p. (, ). (a),5977, erro 0, (b),65, erro 0,005 (c) ,005. b /e 9., (, )., (, ]., (, ] 5., [, ] 7., [, ) 9., (, ). b, (a b, a b). 0, { } 5., [, 0 ] 7., (, ) 9. (a) SimM(b) Não. k k. Não 5. (a) (, )

13 A7M MCÁLCULO (b), (c) s 0 s s. C 0 t 8 8, R 8 J 8 5. C (), R 7. (, ), f () ( )/( )..9 PÁGINA (), (, ) , (, ) (), (, ) 9., (, ). 0 [ () ], (, ). (a) 0 () ( ), R (b) () ( )( ), R 0 (c) 5. l 5 () ( ), R, R (), R 0 s s 5 9 f 6 s s s 0,5 0,5 s s s 5 s s 0, R s f s 5 s 7. 0, , ,095. (b) 0,90 7. [, ], [, ), (, ).0 PÁGINA 709. b 8 f (8) (5)/8!. 5. ( ), R 0 7. (), R 0 ()! ( ), R, R., R! 0 ( )!. 7 5( ) ( ), R 5. 0 ( ), R! 7. () ( p), R 0 ()! 9. () 5... ( ) ( 9), R 9 0! 5. () 5... ( ), R! 7. () ( )( ), R 0! 9. (), R 0 ( )!. 0 5 e p, R!. (), R 0 ()!. 0, R 5. () 5,... ( ) R! f s s s 7. (), R ()! 9. (), R 0 ()!