1. Definição e conceitos básicos de equações diferenciais

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1 Capítulo 7: Soluções Numéricas de Equações Difereciais Ordiárias. Itrodução Muitos feómeos as áreas das ciêcias, egearias, ecoomia, etc., são modelados por equações difereciais. Supoa-se que se quer determiar a posição de um corpo em movimeto, de que apeas se coece a velocidade ou a aceleração. No fudo, quer-se determiar uma fução descoecida, utilizado certos dados, relacioados por uma equação que cotém, pelo meos, uma das derivadas dessa fução. Estas equações camam-se equações às derivadas ou equações difereciais. Tal como acotece com o cálculo do itegral de uma fução, os métodos aalíticos para a resolução de equações difereciais aplicam-se apeas a certos tipos de problemas. Por isso recorre-se com frequêcia ao uso de métodos uméricos para obter a solução de uma equação diferecial sueita a uma dada codição.. Defiição e coceitos básicos de equações difereciais Uma equação diferecial é uma equação que evolve uma fução descoecida (icógita) e suas derivadas. Quado a fução descoecida depede apeas de uma variável idepedete e, por isso, só aparecem derivadas ordiárias a equação diferecial, a equação cama-se equação diferecial ordiária (EDO). Equações Difereciais Ordiárias Acetato

2 Defiição: Sea uma fução de e um úmero iteiro positivo, etão uma relação de igualdade que evolva,,,,..., () é camada uma equação diferecial ordiária. d d Eemplo: e d d Se a fução descoecida depede de mais do que uma variável, as derivadas que aparecem a equação diferecial são derivadas parciais, e a equação cama-se equação diferecial parcial (EDP). Eemplo: 4 t A ordem de uma equação diferecial é a ordem da derivada mais elevada da fução icógita presete a equação. Eemplos: Equação Diferecial Ordiária Ordem São do tipo f(,) d d 3 d 3 d d d 5 f(,, ) ( ) 4 - ( ) 5 4e 3 (3) f(,,, ) 3 ( (4) ) 3 4 (4) f(,,,, (3) ) Equações Difereciais Ordiárias Acetato

3 Uma solução de uma equação diferecial a fução icógita e a variável idepedete é uma fução () que verifica a equação para todo o. Eemplo: ( ) c se( ) c cos( ) com c, c costates arbitrárias, é solução da equação diferecial '' 4. Sedo, ( ) c se( ) c cos( ) ' ( ) c cos( ) c se( ) ' ( ' ) 4cse( ) 4c cos( ) substituido a equação diferecial, vem que ( c se( ) 4c cos( )) 4( c se( ) c cos( )) 4, isto é, verificam a equação. Uma solução particular (ou itegral particular) de uma equação diferecial é qualquer solução da mesma. A solução geral (ou itegral geral) de uma equação diferecial é o couto de todas as soluções. Eemplo: ( ) c se( ) c cos( ) com c,c IR, é a solução '' ; geral da equação diferecial 4 equato, ( ) se( ) cos( ) é uma solução particular com c c. Equações Difereciais Ordiárias Acetato 3

4 Um problema de valor iicial (PVI) cosiste uma equação diferecial, utamete com codições relativas à fução icógita e suas derivadas dadas para o mesmo valor da variável idepedete. Eemplo: '' 4 () ' () PVI de ª ordem. Uma solução de um PVI é uma fução f() que satisfaz a equação diferecial e todas as codições relativas à fução icógita. Vamos apeas ver métodos uméricos para a resolução de EDO s.. Métodos Numéricos para a resolução de equações difereciais Ordiárias (EDO s) Defiição do problema Neste capítulo cosideraremos o problema de determiar a fução () que satisfaz simultaeamete a equação diferecial (ª ordem) e a codição iicial: '() f(,()), ( ), [ a,b] [ a,b] (7.) Este é camado um problema de valor iicial (PVI) de ª ordem. Equações Difereciais Ordiárias Acetato 4

5 Eistêcia e uicidade de solução Teorema: Sea f defiida e cotíua em D{(,): a b, IR } com a e b df fiitos. Sea d cotíua e limitada em D. Etão [ a,b] e IR, o problema (7.) tem solução úica () cotiuamete difereciável para [ a,b]. Estudaremos métodos, camados métodos de variável discreta, para resolver problemas de valor iicial da forma (7.). Assim, estes métodos determiam aproimações para a solução eacta () um couto discreto de potos,,,..., da variável idepedete. Isto é, a solução aproimada obtida é apresetada por uma tabela de valores (, ),,,..., ode ( ). Para obter a solução () em potos [a,b] diferetes de (,,...) pode usar-se iterpolação. Vamos cosiderar apeas o caso em que o passo é costate, tedo-se (),,,... Apresetaremos apeas métodos da classe de métodos de passo úico, isto é, o valor de pode ser calculado se apeas é coecido. Equações Difereciais Ordiárias Acetato 5

6 Supoamos que o PVI (7.) satisfaz as codições de eistêcia e uicidade de solução, vai tetar-se ecotrar uma solução umérica para o problema. Cosidere-se m subitervalos de [a, b], (m ), e sea ode b a,,...,m e [a,b]. Ao couto I {,,..., m } obtido da forma m aterior cama-se rede ou mala de [a,b]. O obectivo dos métodos uméricos é o cálculo das aproimações,,..., m para as soluções eactas ( ), ( ),..., ( m ). Notação: ( ),,...,m solução eacta do PVI os potos I ( ) sigifica que é aproimação para ( ), I... Método de série de Talor.. Método de Talor de ª ordem ( método de Euler ) O método de Euler é um método de passo úico e o mais simples de todos os métodos uméricos para problemas de valor iicial. Cosideremos etão o problema defiido por (7.). Se é cotiuamete difereciável até à seguda ordem em [a,b] e, [a,b], etão, pela fórmula de Talor, ' '' ( ) ( ). ( ) ( ξ ), ode < ξ <. (7.) Equações Difereciais Ordiárias Acetato

7 Dode, da equação diferecial de (7.) e de (7.) ( ) ( ).f(,( )) '' ( ξ ). '' Se é pequeo o termo ( ξ ) será também pequeo e podemos escrever: ( ) ( ).f(, ( )). O método de Euler cosiste, etão, em calcular recursivamete a sucessão { } através das fórmulas: ( ).f(, ),,..., m (7.3). Eemplo ' Acar aproimações para a solução do PVI ( ) a mala [,] com., usado o método de Euler. Resolução: Tem-se que e. b a Além disso, m 5 m Equações Difereciais Ordiárias Acetato 7

8 método de Euler A fórmula de recorrêcia será:. * f(, ),,,,3,4. ª iteração.*f(, ).*f(, ).*( ).. ª iteração.*f(, ).*f (., ) *(.-) ª iteração 3.*f(, ).4.*f(.4,.4).4.*( ) ª iteração 4 3.*f( 3, 3 )..*f(.,.)..*(.-.) ª iteração 5 4.*f( 4, 4 ).9.*f(.8,.9).9.*(.8-.9).9.* b (t.p.i.) Rta: As soluções aproimadas para o PVI a mala [, ] com passo. são {,.4,.,.9,.377 }. Equações Difereciais Ordiárias Acetato 8

9 Erros de discretização Supodo que se coece eactamete o valor de ( ), ao aproimar ( ) ( ).f(, ( )) itroduz-se um erro, camado erro de trucatura (ou discretização) local, '' igual a ( ξ ) ξ ], [,, e é o erro de trucatura itroduzido o passo de para. Cotudo, ao calcular uma aproimação para ( ) pelo método de Euler (7.3), o valor usado é uma aproimação para ( ). O valor foi calculado usado uma aproimação - para ( - ) e assim sucessivamete. Assim, o cálculo da aproimação para ( ) tem-se ão só o erro de discretização local itroduzido esse passo mas também o erro resultate da acumulação de erros de discretização local itroduzido os passos ateriores. A ( ) e cama-se erro de trucatura (ou discretização) global. Covergêcia do método de Euler A aproimação da solução um poto coverge para a solução eacta esse poto, ( ), quado o passo tede para zero, isto é, ( ) lim. Cometários O método de Euler ão é muito usado uma vez que os resultados obtidos têm, em geral, pouca precisão, a ão ser que se seleccioe uma valor para o passo demasiado pequeo o que tora o processo demasiado leto. O método foi deduzido trucado o desevolvimeto dado pela fórmula de Talor de seguda ordem ates do termo em. Equações Difereciais Ordiárias Acetato 9

10 ... Método de Talor de ª ordem Cosideremos o problema de valor iicial (7.) e seam, [ a,b]. Etão, se tem derivadas cotíuas até à terceira ordem em [a,b], pela fórmula de Talor, ( ) ( ). ' ( ) '' ( ) 3 ''' ( ξ ), < ξ <. Tem-se etão, se - é pequeo, ( ) ( ). ( ) ' '' ( ). Defie-se o método de Talor de ª ordem pela fórmula ( ).f(, ) f ' (, ),,,..., m -. ' f, f ode ( ) ( ) (, ).f (, )., f.. Métodos de Ruge-Kutta Os métodos de Ruge-kutta foram desevolvidos com o obectivo de produzirem resultados com a mesma precisão que os obtidos pelo método de Talor, mas evitado o cálculo das derivadas. Limitar-os-emos a apresetar as fórmulas. Equações Difereciais Ordiárias Acetato

11 Equações Difereciais Ordiárias Acetato... Métodos de Ruge-Kutta de ª ordem As fórmulas têm a forma geral ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] -.,,...,,..f., f, f m, b.. a β α sedo as costates β α e,b, a escolidas de modo a que o erro de trucatura local do método sea proporcioal a 3 tal como o método de Talor de ª ordem. Tal codição implica b b, a - β α, sedo b arbitrário. Substituido a fórmula aterior e β α, a, obtemos ( ) ( ) ( ) -.,,...,,..f., f, f m, b b b. b Apresetaremos aqui os dois métodos mais coecidos de Ruge-Kutta de ªordem.... Método de Euler melorado ( ou método de Heu ) Correspode à escola, b ( ) ( ) ( ) ( )...,,,,., f, f. m k k k k k

12 Eemplo: Cosidere o seguite PVI: ' (). Utilizado o método de Euler melorado (Heu), calcule uma aproimação ao valor de (), com.. Resolução: Tem-se que a e b. b a Além disso, m 5. m - 4. A fórmula de recorrêcia será:.* ( k k ), k f, - k f.,. * k,,,3,4. º iteração:.*(k k ) k f(, ) f(,) k f(.,.*) f(., ).. etão,.*(.). e,.. Equações Difereciais Ordiárias Acetato

13 º iteração:.*(k k ) k f(, ) f(.,.)...8 k f(.,.* k ) f(..,..*.8) f(.4,.5) etão,..*(.8.344).74 e,...4 3º iteração: 3.*(k k ) k f(, ) f(.4,.74) k f(.,.*k ) f(.4.,.74.*.37) f(.,.379) etão, 3.74.*(.37.48).538 e, º iteração: 4 3.*(k k ) k f( 3, 3 ) f(.,.538) k f( 3., 3.*k ) f(..,.538.*.4483) f(.8,.4944) etão, *( ).57 e, Equações Difereciais Ordiárias Acetato 3

14 5º iteração: 5 4.*(k k ) k f( 4, 4 ) f(.8,.57) k f( 4., 4.*k ) f(.8.,.57.* ) f(,.39748) dode 5.57.*( ) e, 5.8. b (t.p.i.) Rta: () Método de Euler modificado Correspode à escola b, k k f ( ) (, ) f. k,,. k,,..., m -. Equações Difereciais Ordiárias Acetato 4

15 Eemplo: Cosidere o seguite PVI: ' (). Utilizado o método de Euler modificado, calcule uma aproimação ao valor de (), com.. Resolução: Tem-se que a e b. b a Além disso, m 5. m - 4. A fórmula de recorrêcia será: k k -. * k f.,.* k,,,,3,4. º iteração:.*k k f(, ) f(,) k f(.,.*) f(., ).. etão,.*.. e,.. Equações Difereciais Ordiárias Acetato 5

16 º iteração:.*k k f(, ) f(.,.)...8 k f(.,.* k ) f(..,..*.8) f(.3,.38) etão,..*..74 e,...4 3º iteração: 3.*k k f(, ) f(.4,.74) k f(.,.*k ) f(.4.,.74.*.37) f(.5,.5) etão, 3.74.* e, º iteração: 4 3.*(k k ) k f( 3, 3 ) f(.,.538) k f( 3., 3.*k ) f(..,.538.*.4483) f(.7,.93) etão, * e, Equações Difereciais Ordiárias Acetato

17 5º iteração: 5 4.*k k f( 4, 4 ) f(.8,.57) k f( 4., 4.*k ) f(.8.,.57.* ) f(.9, ) etão, 5.57.* e, 5.8. b (t.p.i.) Rta: () Métodos de Ruge-Kutta de 4ª ordem Fórmulas de Ruge-Kutta de ordem superior podem ser desevolvidas com o mesmo obectivo. A mais usada é a que correspode ao método coecido por método de Ruge-Kutta de 4ª ordem k k k k ( 3 4 f( f( f( f( ), (k ),,, k k ) k ) k ) 3 k 3 k 4 ),..., m -. Equações Difereciais Ordiárias Acetato 7

18 Eemplo: Cosidere o seguite PVI: ' (). Utilizado o método de Ruge- Kutta de 4ª ordem, calcule uma aproimação ao valor de (), com.. Resolução: Tem-se que a e b. b a Além disso, m 5. m - 4. A fórmula de recorrêcia será: (). (k k k 3 k f(, ) k f(.,.k ) k f(.,.k ) 3 k f(.,.k ) 4 3 k ) 4,,...,4. º iteração:. * (k *(k k 3 ) k 4 ) k f(, ) f(,) k f(.,.* k ) f(.,.*) f(., ).. k 3 f(.,.* k ) f(.,.*.) f(.,.).9 k 4 f(.,.* k 3 ) f(.,.*.9) f(.,.8).8 etão,. * ( *(..9).8 ).87 e,.. Equações Difereciais Ordiárias Acetato 8

19 º iteração:. * (k *(k k 3 ) k 4 ) k f(, ) f(.,.87) k f(.,.*k ) f(..,.87.*.83) f(.3,.38).3 k 3 f(.,.*k ) f(..,.87.*.3) f(.3,.45).55 k f(.,.*k 3 ) f(..,.87.*.55) f(.4,.97).333 etão,..87 *( 83 *(.3.55).333 ).73 e,...4 3º iteração:. 3 * (k *(k k 3 ) k 4 ) k f(, ) f(.4,.73) k f(.,.*k ) f(.4.,.73.*.397) f(.5,.33).397 k 3 f(.,.*k ) f(.4.,.73.*.397) f(.5,.).39 k 4 f(.,.*k 3 ) f(.4.,.73.*.39) f(.,.483).457 etão, * (.397 *( ).457).488 e, Equações Difereciais Ordiárias Acetato 9

20 4º iteração:. 4 3 * (k *(k k 3 ) k 4 ) k f( 3, 3 ) f(.,.488) k f( 3., 3.*k ) f(.7,.488.*.45) f(.7,.939).5 k 3 f( 3., 3.*k ) f(.7,.488.*.5) f(.7,.994).5 k 4 f( 3., 3.*k 3 ) f(.8,.488.*.5) f(.8,.489).55 etão, * e, (.45 *(.5.5).55).493 5º iteração:. 5 4 * (k *(k k 3 ) k 4 ) k f( 4, 4 ) f(.8,.493) k f( 4., 4.*k ) f(.9,.493.*.557) f(.9,.344).595 k 3 f( 4., 4.*k ) f(.9,.493.*.595) f(.9,.389).59 k 4 f( 4., 4.*k 3 ) f(,.493.*.59) f(,.75).35 etão, * (.557 *( ).35).379 e, 5.8. b (t.p.i.) Rta: ().379 Equações Difereciais Ordiárias Acetato