Séries de Fourier. As séries de Fourier são séries cujos termos são funções sinusoidais.

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1 Séries de Fourier As séries de Fourier são séries cujos termos são fuções siusoidais. Importâcia prática: uma fução periódica (em codições bastate gerais) pode ser represetada por uma série de Fourier; é possível obter facilmete em computador boas aproximações destas séries. Aparecimeto e primeiras aplicações: apareceram por volta de 75, por Beroulli, aplicadas à resolução da equação diferecial associada à vibração de uma corda flexível. 5 aos mais tarde, Fourier sistematizou o seu estudo e revelou a sua importâcia, tedo-as aplicado à resolução do problema da codução do calor. Muitos feómeos (como o movimeto da corda vibrate, as odas electromagéticas, a propagação do calor, etc.), são descritos por equações difereciais que admitem soluções periódicas. Aa Matos Matemática Aplicada //7 Séries de Fourier

2 Defiição de série trigoométrica Defiição: Seja f uma fução real de variável real. Diz-se que f é uma fução periódica se existe um úmero real T tal que fx T fx, para qualquer x D f. O úmero T diz-se um período de f. Chama-se período fudametal ao meor período de f. As fuções se x e cosx, que são periódicas de período. Mais geralmete: sedo um iteiro positivo, as fuções sex e cosx, são periódicas de período. De facto, se x cos x sex sex cosx cosx. Exemplo: Represetação em, 4 das fuções se x e se4x: período período.5.5 π π 3π 4π π/ π 3π/ π 5π/ 6π 7π/ 4π se x tem período se4x tem período Aa Matos Matemática Aplicada //7 Séries de Fourier

3 Duas propriedades importates das fuções periódicas são: Os múltiplos iteiros do período de uma fução periódica são igualmete períodos da fução. Portato, é período das fuções sex e cosx, com,, (além disto, é o meor período positivo comum a todas estas fuções). Se f e g são fuções periódicas de período T, etão a fução afbg é periódica de período T (para quaisquer a, b ). Por exemplo, a fução se x se4x tem período, pois as fuções evolvidas têm este período comum (ote-se que qualquer úmero real positivo pode ser tomado como período de uma fução costate). 3 período π π 3π 4π - se x se4x, em, 4 Aa Matos Matemática Aplicada //7 Séries de Fourier 3

4 Defiição: Chama-se série trigoométrica a uma série a a cosx b sex, em que a,a, a,,b, b, são úmeros reais, que se desigam por coeficietes da série. Série de Fourier de fuções com período Defiição: Seja f uma fução periódica, com período, itegrável em,. Chama-se série de Fourier de f à série trigoométrica a a cosx b sex com os coeficietes a e b dados por a fx cosxdx,,,, e fx sexdx,,, e escreve-se b fx a a cosx b sex, em que o símbolo se lê tem associada a série de Fourier. A a e b chama-se coeficietes de Fourier de f. Aa Matos Matemática Aplicada //7 Séries de Fourier 4

5 Nota : Modificado f um úmero fiito de potos do itervalo, a fução resultate tem a mesma série de Fourier (pois o valor dos itegrais que dão os coeficietes de Fourier ão se altera). Nota : Sedo f uma série de fuções (defiidas um itervalo I) e x I, diz-se que a série é covergete em x se a série umérica f x for covergete. Para uma fução f, periódica de período, podemos defiir a série de Fourier de f, desde que existam os itegrais que dão os seus coeficietes. No etato, a série de Fourier da fução f pode ão ser covergete ou ão covergir para f. O cálculo dos coeficietes permite-os apeas dizer que essa é a série de Fourier de f. Existem resultados que os permitem garatir que, em certas codições, fx a a cosx b sex Nota 3: No cálculo de coeficietes de Fourier podem ser úteis as fórmulas: sese cos cos secos se se coscos cos cos Aa Matos Matemática Aplicada //7 Séries de Fourier 5

6 Exemplo : Cálculo da série de Fourier da fução de período defiida em, por fx se x se x. a fxdx dx dx 3 Para,,, a fx cosxdx cosxdx cosxdx e sex sex fx sexdx sexdx sexdx b cosx cos cosx cos cos se é par se é ímpar. Portato, a série de Fourier de f é 3 sex 3 se3x m ou seja, fx 3 sem x m m sem x Aa Matos Matemática Aplicada //7 Séries de Fourier 6

7 Caso particular (fução par ou ímpar com período ): Uma fução f : D diz-se uma fução par se fx fx, para qualquer x D e diz-se uma fução ímpar se fx fx, para qualquer x D. Prova-se que, para qualquer fução f itegrável ema, a, a a - se f é par, fxdx fxdx; a a - se f é ímpar, fxdx. a Por outro lado, - o produto de duas fuções pares ou de duas fuções ímpares é par; - o produto de uma fução ímpar por uma fução par é ímpar. Assim, estes casos o cálculo dos coeficietes de Fourier simplifica-se: se f é par, tem-se a fx cosxdx,,, b,,, se f é ímpar, tem-se a,,,, b fx sexdx,,, Aa Matos Matemática Aplicada //7 Séries de Fourier 7

8 Exemplo : Determiar a série de Fourier da fução f de período defiida o itervalo, por fx x. Como, para qualquer x, fx x fx, ímpar. f é uma fução Portato, para,,,, a. Por outro lado, para,,, b x sexdx. Calculado a primitiva por partes P x Portato f sex x cosx g P cosx x cosx sex b x cosx sex cos se C se cos Logo, a série de Fourier de f é sex. Aa Matos Matemática Aplicada //7 Séries de Fourier 8

9 Série de Fourier de fuções com período T Seja f uma fução periódica, com período T, e itegrável um itervaloc,c T (com c ). Chama-se série de Fourier de f à série trigoométrica em que fx a a cosx b sex, T a T c ct fx cosxdx,,,, e b T c ct fx sexdx,,,. No caso da fução f ser par ou ímpar o cálculo dos coeficietes também se simplifica: se f é par, tem-se T a 4 fx cosxdx,,,, T b,,,. Se f é ímpar, tem-se a,,,, T b 4 fx sexdx,,, T Aa Matos Matemática Aplicada //7 Séries de Fourier 9

10 As propriedades apresetadas para as séries de Fourier de fuções com período são válidas para fuções de período T. Exemplo 3: Cálculo da série de Fourier da fução periódica de período defiida em, por fx se x se x. Como T,. a fxdx dx dx e, para,,, a fx cosxdx cosxdx cosxdx sex b fx sexdx sexdx sexdx cosx se é par se é ímpar. Assim, a série de Fourier de f é ou seja, sex se3x 3 fx sem x m m sem x m., Aa Matos Matemática Aplicada //7 Séries de Fourier