Dentro, a/2 < x < a/2: com: Ondas com a mesma amplitude nos 2 sentidos. Elas se combinam formando uma onda estacionária. Então podemos fazer A = B:

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1 Poços de potecial: E < V Detro a/ < < a/: ψ com: i i Ae + Be me p Odas com a mesma amplitude os setidos. Elas se combiam formado uma oda estacioária. Etão podemos fazer A B: ψ ψ i i + e B e Bʹ cos e Bʹ i + e Ψ t ψ i e iet/ A autofução terá ós fios os potos ode cos Física Modera Aula 3

2 Mas essa ão é a úica maeira de igualar as amplitudes: fazer A B é tão bom quato. Assim: ψ ψ i i e A e Aʹ se e Aʹ i e i Ψ t ψ i e iet/ Se ambas são soluções solução geral será uma combiação liear: ψ Aʹ se + Bʹ cos Tem costates arbitrárias e é equivalete à solução com epoeciais compleas. Regiões fora do poço: ψ Ce + De para < a/. Com: ψ Fe + Ge para > a/ m V E p Física Modera Aula 3

3 A solução das equações trascedetais* é apresetada o apêdice G pág. 879 Eisberg. Curvatura aumeta com E. Mais oscilações >. Notar que ão eiste um 4 o estado ligado pois E 4 > V. * ε taε mv a ε ; e ε cotε mv a ε com: ε mea Física Modera Aula 3 3

4 * ε taε mv a ε ; e ε cotε mv a ε com: ε mea Física Modera Aula 3 4

5 Questão 3 Lista 3: Se uma partícula ão está ligada em um potecial sua eergia total ão é quatizada. Isto sigifica que o potecial ão tem efeito sobre o comportameto da partícula? Que efeito você esperaria que ele tivesse? A equação de Schrödiger idepedete do tempo: m d ψ +Vψ Eψ d m d ψ d [ V E ]ψ Se E > V que a solução é oscilatória com me V p Física Modera Aula 3 5

6 Trasição para poço ifiito. dψ d V mv E ψ fora é descotíua mas OK pois V do poço é ifiito. > a / V a / < < a / Potecial capaz de mater ligada qualquer partícula com eergia fiita. Classicamete qualquer E. Quaticamete só determiados valores discretos E. Solução mais simples que o fiito. Boa aproimação para pequeo Física Modera Aula 3 6

7 Solução geral só temos região: ψ Ase + me p com: Codições de cotoro ós as paredes da caia: a a Ase + B cos em a / a a a Ase + B cos Ase + a Somado : B cos a Subtraido : Ase / a B cos em Bcos a / valores de que satisfaçam ambas simultaeamete. A B também ão resolve. Temos que fazer: Física Modera Aula 3 7

8 Física Modera Aula 3 8 se e ou cos e a B a A Teremos etão tipos de autofuções: se com se tipo : cos com cos tipo : o o a A a B ψ ψ ;4;6; com ou ; ;3 ; tipo : ;3;5; com ou ; 5 ; 3 ; tipo : o o a a a a solução. se com se com cos Solução: / A a A a B ψ ψ ψ

9 As costates A e B são determiadas pela ormalização. Como a mas também me E m ma O iteiro atua como um úmero quâtico que idea as autofuções permitidas e os úmeros de oda e portato as eergias permitidas. E E E Física Modera Aula 3 9

10 Características importates: eergia quatizada; eergia de poto zero ão eiste partícula com E ; 3 paridade bem defiida: ímpar fuções pares : ψ ψ par fuçõesímpares: ψ ψ A paridade das autofuções é bem defiida pois o potecial é simétrico. Característica geral: gradezas mesuráveis de partículas ligadas a poteciais simétricos devem ser simétricas em relação ao eio de simetria do potecial. Se a origem é colocada esse eio fução que descreve essa gradeza deve ser par. Lembrem-se que observável é Ψ ão Ψ Física Modera Aula 3

11 Caso da desidade de probabilidade: P ψ * ψ. Mas P ψ * ψ " # ±ψ * $ % ±ψ [ ] ψ * ψ P A autofução ão obedece isso mas ela ão é uma observável. 4 Limite clássico: ΔE E + E # $ + % & E +E ΔE E +E E %%% 5 Normalização: este caso o limite de itegração reduz-se ao itervalo [ a/ a/] úica região em que as fuções de oda são ão ulas. a/ Ψ d a cos a d a a/! $ # + cos &d! " a % a + a $ # si & " a % a/ a/ Física Modera Aula 3 a/ a/

12 Eemplo macroscópico: cota de 5 g um fio de 4 cm. Eergia do estado fudametal: E ma 5 34 J.s 5 3 g 4 m 7 65 J Qual seria o estado se a cota estivesse se movedo com uma velocidade de m/s? A eergia da cota este caso seria: E mv ma mva mva h 5 3 g m/s 4 m J.s 3 Bem de acordo com o que esperamos para o limite clássico Física Modera Aula 3