UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Escola de Engenharia de Lorena EEL

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1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO Escola de Egeharia de Lorea EEL LOB101 - FÍSICA IV Prof. Dr. Durval Rodrigues Juior Departameto de Egeharia de Materiais (DEMAR) Escola de Egeharia de Lorea (EEL) Uiversidade de São Paulo (USP) Polo Urbo-Idustrial, Gleba AI-6 - Lorea, SP durval@demar.eel.usp.br ou (Págia dos professores) Rodovia Itajubá-Lorea, Km 74,5 - Caixa Postal 116 CEP Lorea - SP Fax (1) Tel. (Direto) (1) / USP Lorea Polo Urbo-Idustrial Gleba AI-6 - Caixa Postal 116 CEP Lorea - SP Fax (1) Tel. (PABX) (1)

2 UNIDADE 9 - Mais Odas de Matéria

3 Estados ligados Vimos, até agora, 3 postulados da Mecâica Quâtica: a) Toda partícula possui uma fução de oda Ψ associada a ela. b) A forma e a evolução temporal desta Ψ é determiada pela equação de Schrödiger. c) Dada a fução Ψ (x,t), a desidade de probabilidade da partícula ser ecotrada em um poto x, um dado istate t, é dada por: P( x,t) Ψ ( x,t)

4 A Equação de Schrödiger e a Quatização de Eergia Quado a relação etre a eergia total de uma partícula e sua eergia potecial é tal que classicamete a partícula estaria cofiada a uma região limitada do espaço (E < V), pois seão a eergia ciética excederia a eergia total fora da região, a teoria de Schrödiger prevê que a eergia total da partícula é quatizada. Quado a partícula ão estiver cofiada em uma região limitada, etão a teoria prevê que a sua eergia total pode apresetar qualquer valor.

5 O átomo a Atiga Mecâica Quâtica Por volta de 1910 acumularam-se iúmeras evidêcias experimetais de que os átomos cotiham elétros (aquelas partículas que compuham os raios catódicos e coduziam a eletricidade). Mas os átomos eram eutros. Portato, deviam possuir uma quatidade igual de carga positiva. Modelo de Thomso (1910) Os átomos seriam compostos por elétros potuais, distribuídos uma massa de carga positiva uiforme: Modelo do pudim de passas. Modelo de Thomso: previa uma deflexão pequea das partículas α

6 Exemplo histórico: estrutura do átomo Erest Rutherford (1911): descobriu a estrutura uclear do átomo. Primeiro experimeto de colisão de partículas sub-atômicas. Rutherford observou grades deflexões, sugerido um úcleo duro e pequeo

7 O átomo a Atiga Mecâica Quâtica Rutherford etão propôs um modelo o qual toda a carga positiva dos átomos, que comportaria praticamete toda a sua massa, estaria cocetrada uma pequea região do seu cetro: o úcleo. Os elétros, etão, ficariam orbitado em toro deste úcleo: Modelo plaetário. Etretato, estes elétros em órbita estariam acelerados (aceleração cetrípeta). Assim, segudo o eletromagetismo, deveriam emitir eergia a forma de radiação eletromagética, até colapsarem para o úcleo!

8 O modelo atômico de Bohr (1913) Motivação experimetal: Experimetos de espectroscopia de átomos de H apresetavam raias espectrais discretas : Série de Balmer λ(å) R H λ 3, 4, 5,... R H 109,677 cm -1

9 O modelo atômico de Bohr (1913) Baseado a idéia da quatização e da existêcia dos fótos, Bohr itroduziu o seu modelo para o átomo de hidrogêio, baseado em 4 postulados: 1) Um elétro se move em uma órbita circular em toro do úcleo sob ifluêcia da atração coulombiaa do úcleo, (mecâica clássica). ) O elétro só pode se mover em órbitas que apresetem mometos agulares L quatizados : L h 1,, 3,...

10 O modelo atômico de Bohr (1913) 3) O elétro fica em órbitas estacioárias e ão emite radiação eletromagética. Portato, a sua eergia total E permaece costate. 4) Radiação é emitida se um elétro, que se move iicialmete uma órbita de eergia E i, muda para uma órbita de eergia E f meor que E i. A freqüêcia da radiação emitida é dada por: ν E i h Em outras palavras, o átomo emite um fóto. E f

11 O modelo atômico de Bohr (1913) Cosiderado o úcleo em repouso, a força elétrica o elétro é dada por F e 1 4πε r 0 +e v -e, m Para uma órbita circular: Se e e 4πε 0 1 r L rmv L h m v r v h rm r h ε π me 0 Quatização das órbitas!

12 O modelo atômico de Bohr (1913) Portato, Bohr prevê que as órbitas têm raios: com Mas: E r r 0 K h ε 0 π me h ε π me + U 0 Assim, a eergia das diferetes órbitas serão dadas por: 4 me 8ε h ou 1 ou 13,6 E 0 r r 0 r 0 0, 591 mv e e + 4πε 0 r 8πε 0 ev Å r

13 As freqüêcias emitidas as trasições seriam: Portato, Bohr prevê que: sedo um êxito para a sua teoria! ,74 8 cm c h me R H ε ' ' 1 ' 1 8 h me h E E ε ν O modelo atômico de Bohr (1913) H ' ' ' 1 1 R 1 ' 1 c h 8 me c 1 ε ν λ

14 O sistema pode passar de um estado para um, de eergia meor, emitido um fóto de frequêcia: hν ΔE E E ' E E O estado de eergia mais baixa é chamado de estado fudametal. E 4 E 3 E E 1 Pode também trasicioar para um estado 4 E 4 de eergia maior 3 E 3 absorvedo um E fóto. 1 E 1

15 O modelo de Bohr explicou as raias espectrais, cohecidas para o átomo de hidrogêio, e mostrou que deveriam existir outras, fora do espectro visível.

16 Pricípio da Correspodêcia de Bohr: No limite dos úmeros quâticos muito elevados, os resultados da física quâtica tedem para os resultados da física clássica.

17 Partícula sujeita a um potecial harmôico: Oscilador harmôico e estados coeretes

18 A equação de Schrödiger e o átomo de H O poço de potecial ode o elétro está cofiado tem a forma U () r e 4πε 0 1 r A equação de Schrödiger esse potecial é h m r r Ψ ( ) + U( r ) Ψ ( ) EΨ ( r )

19 A equação de Schrödiger e o átomo de H Como o potecial só depede de r, a fução de oda pode ser separada (em coordeadas esféricas) Isto produz 3 equações separadas, para as coordeadas eletrôicas do átomo de H! Ψ ( r, θ, φ) ψ ( r) P( θ ) F( φ) úmero quâtico pricipal l úmero quâtico orbital m úmero quâtico magético símbolo valores 1,,3, l 0,..,-1 m -l,..,l

20 A equação de Schrödiger e o átomo de H O úmero quâtico orbital l correspode aos estados: l 0, 1,, 3, 4 s, p, d, f, g 3s 3p 3d E 0 / 9 (3,0,0) (3,1,0) (3,1,1) (3,1,-1) (3,,0) (3,,1) (3,,-1) (3,,) (3,,-) (,0,0) (,1,0) (,1,1) (,1,-1) E 0 / 4 s p lm (r r ψ ) E 0 1s (1,0,0) (,l,m)

21 ) r ( E ) r ( ) r U( dr ) r ( d r dr ) r ( d m r r r r h ψ ψ ψ ψ + + Para o estado fudametal ( 1, l 0, m 0) temos e equação radial () r r e r r π ψ é o raio de Bohr ; r 0 A fução de oda radial do estado fudametal (1,0,0): A equação de Schrödiger e o átomo de H

22 A equação de Schrödiger e o átomo de H A desidade de probabilidade associada à fução de oda: Probabilidade de medir o volume dv à distâcia r desidade de probabilidade Ψ(r) à distâcia r x dv P () r dr ψ ( r) dv ψ () r 4πr dr ode P 4 r r () r r e 0 3 r 0

23 Desidade de probabilidade do H Estado 1s 1 l0 m0 Estado p l1 m0 Estado s l0 m0 Estado p l1 m±1

24 Orbitais atômicos orbitais atômicos

25

26 Elétro cofiado O cofiameto de uma oda leva à quatização, ou seja, à existêcia de estados discretos, com eergias discretas. Aalogia: Odas estacioárias em uma corda estados estacioários Exemplos: Armadilhas em 1, e 3 dimesões; Átomos

27 Exemplos de poteciais diversos: U 0 Poço quadrado U(x) 0 L x Átomo de hidrogêio

28 Equação de Schrödiger Equação de Schrödiger idepedete do tempo h m r r r ψ ( ) + V( ) ψ ( ) Eψ ( r ) Sempre que r E V( ) < 0 r ou E < V( ) teremos estados ligados; que são quatizados.

29 Partícula cofiada em um poço quadrado Na região em que E - U(x) < 0 ou E < U(x) a fução de oda Ψ(x) deve teder a zero, pois a probabilidade de ecotrar a partícula esta região é muito pequea. Esta imposição faz com que tehamos um cojuto discreto Ψ (x), de soluções para a equação de Schrödiger, cada uma delas associadas a uma eergia E (similar aos modos ormais em uma corda clássica): U 0 Poço quadrado E U(x) h m d ψ dx ( x) [ E U ( x) ] ψ ( ) 0 + x 0 L x

30 Partícula em uma Caixa Vamos resolver a eq. de Schrödiger para uma partícula cofiada a uma caixa de paredes impeetráveis. Isto é, partícula sujeita a um potecial de forma: U(x) 0, para 0 < x < L U(x), para x < 0 ou x > L U(x) 0 L x Como o potecial é ifiito, a partícula deve ecotrar-se rigorosamete o iterior da caixa, portato devemos ter Ψ(x) 0, para x 0 e x L (codição de cotoro).

31 No iterior da caixa, temos: ou d h m d ψ dx ( x) ( x) Eψ ( x) A solução geral desta eq. pode ser escrita como: ψ me ψ dx h ( x) k ψ ( x) k me h ψ ( x ) Asekx + B cos kx A codição de cotoro Ψ(0) 0 leva à: ψ ( x ) Asekx A codição de cotoro Ψ(L) 0 leva à: ψ ( L) AsekL 0 kl π k π L

32 Escrita em termos dos comprimetos de oda: k π λ π L L λ L λ λ λ λ λ,,3,4,5,... que correspode justamete à codição de formação de odas estacioárias. As fuções de oda serão etão dadas por: ψ ( ) ( ) x A se k x A se Para cada temos uma ψ (x); ode é um úmero quâtico. Como temos um sistema uidimesioal, ψ(x) é completamete determiada por apeas um úmero quâtico. π x L

33 Fuções de oda ψ ( ) ( ) x A se k x A se π x L 1,, 3,

34 As eergias associadas a estas fuções são dadas por: p ( hk ) π E k L m m E k h m h 8mL 5 4 5E 1 16E 1 O sistema pode passar de um estado para um, de eergia meor, emitido um fóto de freqüêcia: h Δ ν E E E ' 3 1 9E 1 4E 1 E 1

35 O sistema pode passar de um estado para um, de eergia meor, emitido um fóto de frequêcia: hν ΔE E E ' E E O estado de eergia mais baixa é chamado de estado fudametal. E 4 E 3 E E 1 Pode também trasicioar para um estado 4 E 4 de eergia maior 3 E 3 absorvedo um E fóto. 1 E 1

36 Normalização da Fução de Oda A probabilidade de ecotrarmos uma partícula, descrita por Ψ(x), em um poto qualquer do espaço (com x etre - e + ) deve ser igual a um. Portato, devemos ter: Esta é a codição de ormalização da fução de oda. No caso de uma partícula o iterior de uma caixa, por exemplo, obtivemos: ψ ( ) ( ) x A se k x A se dxψ ( x) 1 A codição de ormalização é o que os permite determiar A. π x L

37 Devemos ter: dxψ L 0 ( x) A se dx 1 πx L Portato, temos: A L ψ ( ) πx x se L L

38 Desidade de Probabilidade para o Potecial Ifiito ψ L ( ) π x se x L Poço quadrado

39 Pricípio da Correspodêcia de Bohr: No limite dos úmeros quâticos muito elevados, os resultados da física quâtica tedem para os resultados da física clássica.

40 Prob. 1: E k h m h 8mL ψ πx ( ) x se L L E 1 [6, [9, Js] kg][10 10 m] 4, , E 6,0 10 J 37, 63 ev

41 Prob. 1: hν ( E E k h m 8mL h E E ν ' ' ) ' h E ' 1 λ ' E E h c ' λ ' ( E hc E ' ) Como: λ3 1 λ3 λ 1 hc 10 5 Jm 1,4 evμm 1,4/(300,8) µm 4,1 m 1,4/(188,0) µm 6,60 m 1,4/(11,8) µm 11,0 m '

42 Eergia de poto zero A eergia do estado fudametal acotece para 1 E 1 h 8mL Estados cofiados ão podem ter 0 pois isto daria Ψ (x) 0, ausêcia de elétros o poço todo. Sistemas cofiados ão podem ter eergia zero, existe sempre uma eergia míima, chamada eergia de poto zero

43 Partícula sujeita a um potecial harmôico: Oscilador harmôico e estados coeretes

44 Partícula em um Poço Fiito Cosidere agora uma partícula classicamete aprisioada em um poço de potecial, com profudidade fiita U 0 : U 0 U(x) h d ψ m dx ( x) [ E U ( x) ] ψ ( ) 0 + x 0 L x As fuções de oda ão se aulam mais em x 0 ou x L.

45 Partícula em um Poço Fiito As fuções de oda apresetarão a forma ao lado. Terão eergias um pouco meores que para U 0 ifiito. Várias formas de poços são costruídas em laboratório, para se estudar propriedades quâticas da matéria.

46 Partícula em um Poço Fiito E 450 ão quatizada E 3 80 ev 1 E 109 ev E 1 4 ev Eergias em um poço com L 100 pm e U ev. (lihas tracejadas: Poço Ifiito )

47 Existem aplicações de poços fiitos?

48 Poços Quâticos (QW) Poços quâticos foram primeiro apresetados (1970) pelos físicos L. Esaki e R. Tsu. Usado técicas como MBE ou MOCVD podemos produzir heteroestruturas de cristais Al x Ga (1-x) As-GaAs que se comportam como poços quâticos (QW) MBE (Molecular Beam Epitaxy) ou MOCVD (Metal Orgaic Chemical Vapor Depositio) produzem aoestruturas, depositado camadas de espessura em escala atômica (cotrole de moocamada).

49 Al x Ga (1-x) As-GaAs Al x Ga (1-x) As GaAs A lx Ga (1-x) As Aplicações QW: laser para leitores de CD e DVD QW duplo U 0 U(x) 0 L x

50 Equação de Schrödiger em 3D A geeralização da eq. de Schrödiger de uma para três dimesões é direta: h m ψ + x ψ + y ψ z + [ E V ( x, y, z) ] ψ 0 Caixa Retagular Se tivermos uma caixa retagular com poteciais ifiitos, a solução da eq. de Schrödiger, o iterior da caixa, pode ser escrita como: ψ ( x, y, z) Ase( k x) se( k y) ( k z) 3 1 se

51 As codições de cotoro : Assim, temos como solução: Observe que agora temos um sistema tridimesioal e portato são ecessários três úmeros quâticos para defiir cada estado: ( ) z y x L z L y L x A z y x π π π ψ 3 1 se se se,, 3 1 z y x L k L k L k π π π x y z L y L x L z

52 O íveis de eergia serão etão dados por: ( ) ,, 1 ml h E + + ( ) k k k m h m k E + + π h Se: : L L L L z y x + + z y x L L L m h E , 1, i i i L k π

53 O íveis de eergia são etão dados por: Quebra da Degeerescêcia Estados Degeerados E 1 h 8mL

54 Prob. Um elétro de massa m está cofiado em uma caixa cúbica de dimesões Lx Ly Lz L. a) Quatas frequêcias diferetes o elétro é capaz de emitir, ou absorver, ao sofrer uma trasição etre dois íveis que estejam etre os tres de meor eergia? Que múltiplo de h / 8mL correspode (b) à meor, e (c) à maior frequêcia? E hν ( + ) 1,, E ν ; i f f i i f E f Ei Δ( ' + ' ( h /8mL a) 3 frequêcias: Ver Figura ) E 1, E ( h E, 1 3 E /8mL h ( ) E 1 8mL ) ' E b) ν 6E1 3E1 9E1 6E mi 1 3 h /8mL ) E E ( 1 1 c) ν 9E1 3E max 1 6 h /8mL ) E ( 1 9E 1 6E 1 3E 1 E1,, E,1, E,, 1 E1,1, E 1,,1 E,1, 1 E 1,1,1

55 Outras Armadilhas Potos Quâticos (0-D) Fios Quâticos (1-D) Gás de elétros em -D Currais

56 Potos Quâticos

57 Microscópio de Tuelameto (STM) Como tudo começou (1985)...

58 Maipulação de átomos 35 átomos de Xeôio em superfície de Ni (D. Eigler et al, IBM)

59 Maipulado átomos Esquema do STM Imagem STM de Ag(001)

60 Microscopia de Tuelameto G. Medeiros-Ribeiro - LNLS

61 Maipulado átomos com STM 1- STM idetifica átomo - com a pota próxima selecioa o átomo 3- com a pota próxima movimeta o átomo 4-5 libera o átomo a posição desejada

62 Currais Quâticos Superfície de Cu(111) Átomos de Fe são depositados (physisorbed) A pota do STM é aproximada de um Fe a TC aumetada Átomo de Fe é levado até posição Atomo liberado abaixado a TC.

63 Curral de 48 átomos de Fe

64 Miragem quâtica Imagem de STM com Co o foco Resposta magética com Co o foco Imagem de STM com Co fora do foco Resposta magética com Co fora do foco