O Átomo de Hidrogênio

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1 Física IV Poli geharia létrica: 11ª Aula (3/08/014) Pro. Alvaro Vaucci Na última aula vimos: h eito Compto: ' 0 (1 cos ) ( Lei decompto) mc e Ou seja, um óto (comportameto corpuscular), além de possuir eergia também trasportar mometo liear: h h p ; ou p c c K : h, h K O Átomo de Hidrogêio Desde 1860 até aproximadamete 1885, umas grade quatidade de dados experimetais haviam sido acumulados, relacioados com a aálise espectroscópica de gases aquecidos. O aquecimeto se azia através de descargas elétricas e, como resultado, raias lumiosas (característicos de cada gás) eram observados com requêcias bem deiidas. Iclusive, algumas vezes gases eram utilizados para absorver a radiação com certo comprimetos de oda especíicos (depedia de cada gás), deixado passar as restates (espectros de absorção). spectro cotíuo spectro de emissão spectro de absorção m 1885, Joha Balmer apresetou uma órmula que ele havia obtido empiricamete, e que orecia com precisão os valores dos comprimetos de oda correspodetes às quatro raias visíveis do hidrogêio:

2 1 1 1 RH ; 3, 4, 5 e 6 RH 7 1 1,097 m costatede Rydbe 10 rg Posteriormete, outras séries do hidrogêio puderam ser represetadas por equações semelhates: 1 1 Série de Lyma RH 1 ;,3, 4 5 e Série de Pasche RH ; 4,5,6 e RH ; 5,6,7 e 8 Série de Brackett 4 (situada o ultra-violeta) (situada o ira-vermelho) Niguém coseguia, o etato, explicar os mecaismos ísicos pelos quais estas raias (estas séries) se produziam. Até que, em 1913, Niels Bohr apresetou uma teoria revolucioária que explicava muito bem as observações experimetais com respeito ao átomo de hidrogêio. 1 ) No átomo de hidrogêio, o elétro move-se em órbitas circulares bem deiidas em toro do próto. ) Matedo-se em uma dada órbita, o elétro ada irradia, apesar da sua velocidade agular. 3 ) Radiação só se daria de orma quatizada (através da emissão de um óto), quado o elétro salta de uma órbita, correspodete a um estado de eergia, para outra órbita de eergia mais baixa. A requêcia relacioada com o óto emitido idepede da requêcia agular orbital dos elétros e é dada por: h iicial ial. 4 ) As órbitas permitidas são as que correspodem a certos valores do mometo h agular do elétro, que deve ser um múltiplo iteiro de : L L r p mvr mvr ; 1,,3,... (1) tão, a partir destes postulados, e lembrado que a eergia potecial do elétro o átomo de hidrogêio pode ser escrita: 1 pot UH qv e ; ode K r 4 0 Potecial devido ao próto calculado a posição do elétro

3 De orma que a eergia total do sistema: ci pot ci r () Quado à, como F F ( em módulo) ci cp e mv mv r r mv² ci r ( dividir tudo por ) ( Substituido (3) em (), temos que a eergia total do sistema próto-elétro que compõe o átomo de hidrogêio será: (4) r O sial egativo, como esperado, idica estado ligado do sistema; ou seja, para remover o elétro do poço de potecial em que se ecotra (criado pelo próto) é ecessário que se oreça eergia. r 3) Note, da equação (3): mv r quato que da equação (1): resultado acima: mr, que, substituido o mvr v m r r m r r m a 0 ; 1,,3,... Note que: a0 r 0,53 Å Raio de Bohr 1 m Agora, substituido este resultado a equação (4): Distâcia próto-elétro para o átomo de hidrogêio o estado udametal m 1 ; 1,,3,... ( ) H a0 Substituido os valores das costates: quatização da eergia do átomo de hidrogêio 13,6 ( H ) ( ev ) ; 1,,3,... Ou seja, os íveis de eergia do átomo de hidrogêio serão:

4 Note que o ível de eergia mais elevado correspode ao úmero quâtico =, correspodete à eergia total = 0. Nesta situação o elétro ecotra-se removido do sistema (sistema ão está mais ligado ), e o átomo de hidrogêio está agora ioizado. Ou seja, a eergia míima para se coseguir ioizar o átomo de hidrogêio é: 13,6 ev. ioiz De orma que, desses resultados podemos acilmete determiar as eergias dos ótos emitidos, correspodetes às trasições possíveis do sistema: óto h i a 0 i ha 0 i c c como ha0 i hca 0 i sta órmula explica todas as séries empíricas de decaimeto do átomo de hidrogêio obtidas ateriormete. Frete ao sucesso espetacular de sua teoria, Bohr geeralizou o modelo proposto para o átomo de hidrogêio, aplicado-o aos íos He +, Li ++, Be +++ (átomos hidrogeóides: têm apeas um elétro em órbita), com bos resultados experimetais. Nestes casos ode se tem um úcleo atômico com carga +Ze e apeas um elétro em órbita, os cálculos dos raios e eergias atômicos são dados por: a Z 0 r e Z a0 ; 1,,3,...

5 Se o modelo de Bohr or aplicado a átomos que possuem mais do que um elétro ao redor do úcleo, o etato, ão se cosegue bos resultados, devido pricipalmete às iterações que surgem etre os próprios elétros, como iremos discutir posteriormete. xercício capítulo 9: A série de Balmer correspode às trasições eletrôicas que termiam o estado correspodete ao úmero quâtico. a) Determie a eergia e o comprimeto de oda do óto de mais baixa requêcia da série. b) Calcule o mesmo para a raia espectral de meor comprimeto de oda. c) stado o átomo o ível, qual a eergia ecessária para ioizá-lo (em ev)? Resolução: a) h ; c quero máx (para mí ) RH mx á i 3 7 b) Igualmete: 1,1 mi 7 6 1,110 1, máx mi 433 m 5 c) Ioização: 0 sistema ,1 ioiz , 6 ioiz m m c Como e h : hc 19 ioiz 5,4510 J 3,4 ev ioiz Observe que seria esta mesma a eergia liberada pelo sistema caso o hidrogêio estivesse ioizado e capturasse um elétro de orma que o estado quâtico ial osse o de = : óto 13,6 ev 13,6 ev 3,4 ev

6 xemplo: m 1896, o cietista Pickerig utilizou técicas espectroscópicas para aalisar a luz emitida pela estrela da costelação de Puppis (Popa) e propôs uma órmula empírica para as raias espectrais que ele observou: R H i Mostre que estas lihas espectrais podem ser explicadas em termos das trasições ocorridas o He +. Resolução: Como o He + tem úmero atômico Z =, etão segudo o modelo de Bohr: ; e como hc h i 4 a hc a 0 i a0hc i