Problema de Fluxo de Custo Mínimo

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1 Problema de Fluo de Custo Míimo The Miimum Cost Flow Problem Fluo de Custo Míimo

2 O Problema de Fluo de Custo Míimo (The Miimum Cost Flow Problem) Este problema possui papel pricipal etre os modelos de otimização em redes, uma vez que este egloba uma eorme quatidade de aplicações e pode ser resolvido de maeira etremamete eficiete. O Problema de Trasporte, de Desigação, de Camiho Mais Curto e de Fluo Máimo (vistos ateriormete) são casos especiais do Problema de Fluo de Custo Míimo. A úica eceção é o Problema de Árvore Geradora Míima. A eemplo dos problemas acima (com eceção do Problema de Árvore Geradora Míima), o Problema de Fluo de Custo Míimo é um Problema de Programação Liear, logo o Simple pode ser utilizado para sua resolução. Uma versão específica do Simple, deomiada Método Simple de Redes pode ser utilizada de maeira aida mais eficiete de que o próprio Simple. Fluo de Custo Míimo 2

3 Algumas Cosiderações. A rede é represetada por um Dígrafo (orietada) e coectada. 2. No míimo um dos ós é um ó de forecimeto (origem). 3. No míimo um dos ós é um ó de demada (destio). 4. Todos os ós restates são ós Trasshipmet (etreposto, itermediário). 5. A rede possui arcos, tato quato forem ecessários, com capacidade suficiete para habilitar todos os fluos gerados os ós de forecimeto para alcaçar os ós de demada. 6. O custo do fluo através de cada arco é proporcioal a quatidade daquele fluo, ode o custo por uidade de fluo é cohecido. 7. O objetivo é miimizar o custo total de eviar o forecimeto dispoível através da rede para satisfazer a demada dada (um objetivo alterativo é maimizar o lucro total para fazer isto). Fluo de Custo Míimo 3

4 Eemplos de Aplicações: A mais importate aplicação está em plaejar a operação de uma rede de distribuição de uma compahia. Este tipo de aplicação evolve determiar um plao para trasportar bes a partir das fotes (fábricas, etc) para locais de armazeagem itermediárias (quado ecessário) e etão para os clietes (demada). Fluo de Custo Míimo 4

5 Formulação do Modelo Cosidere um Dígrafo coectado, ode os ós icluem-se o míimo um ó de forecimeto e o míimo um ó de demada. As variáveis de decisão (de cotrole) são fluo o arco (i,j). As iformações ecessárias são: c custo por uidade de fluo o arco (i,j) u capacidade de fluo o arco (i,j) b i > 0 se o ó i é um ó de forecimeto b i fluo a rede gerado o ó i A fução-objetivo é: Miimizar Z c i Sujeito a para cada ó i 0 u e para cada arco (i,j) ji b i b i < 0 se o ó i é um ó de demada b i 0 se o ó i é um ó trasshipmet ji fluo fluo sai chega ó i ó i Fluo de Custo Míimo 5

6 Em algumas aplicações, faz-se ecessário ter um limite iferior L >0 para o fluo o arco (i,j). Para evitar alterações a formulação do modelo, utiliza-se: L L Propriedade de Soluções Iteiras com substituido Para Problemas de Fluo de Custo Míimo, ode todo b i e u são valores iteiros, todas as variáveis básicas em toda solução básica viável também são valores iteiros. Propriedade de Soluções Viáveis Uma codição ecessária para um Problema de Fluo de Custo Míimo ter alguma solução viável é que b i 0, isto é, o fluo total gerado os ós de forecimeto i deve ser igual ao fluo total absorvido os ós de demada. Quado este fato é violado sigifica que os forecimetos ou as demadas represetam limites superiores ao ivés de quatidades eatas. No caso do Problema de Trasporte, por eemplo, um destio (origem) auiliar é criado a fim de absorver a oferta (demada) em ecesso. De maeira aáloga, o Problema de Fluo de Custo Míimo cria-se um ó de demada (forecimeto) auiliar para absorver o forecimeto (demada) em ecesso. Fluo de Custo Míimo 6

7 Eemplo O dígrafo abaio ilustra uma rede de distribuição de uma compahia, ode os ós A e B são duas fábricas desta compahia, os ós D e E são dois estoques e o ó C é um cetro de distribuição (trasshipmet). Fluo de Custo Míimo 7

8 O modelo de Programação Liear para este eemplo fica: Miimizar Sujeito a Z 2 AB 4 AC 9 AD 3 BC CE 3 DE 2 ED e AB AB AB AC AC AD AD BC BC CE CE CE DE DE ED ED Fluo de Custo Míimo 8

9 Casos Especiais (demais Problemas de Redes como Problema de Fluo de Custo Míimo). Problema de Trasporte Um ó de forecimeto para cada fote Um ó de demada para cada destio Nehum ó Trasshipmet u mi sujeito a: m Z c ji i b 0 i s d i i j dispoibilidade demada ( i,..., m; j,...) u 0 2. Problema de Desigação Igual ao Problema de Trasporte, com: úmero de ós de forecimeto é igual ao úmero de ós de demada b i para cada ó de forecimeto b i - para cada ó de demada mi sujeito a: m Z c i ji b 0 u i dispoibilidade demada i se i desigado para j 0 caso cotrário Fluo de Custo Míimo 9

10 3. Problema de Camiho Mais Curto Apeas um ó de forecimeto (origem) com forecimeto Apeas um ó de demada (destio) com demada Todos demais ós são ós Trasshipmet Todo arco permite fluo em ambos setidos (i j e j i), com eceção dos arcos que saem da origem e dos arcos que chegam o destio mi sujeito a: 0 m Z c i ji i origem 0 i origem i destio ou para cada arco (i,j) destio Distâcias são os custos c e c ji u Fluo de Custo Míimo 0

11 4. Problema de Fluo Máimo Apeas um ó de forecimeto (origem) Apeas um ó de demada (destio) Todos demais ós são ós Trasshipmet c 0 para todo (i,j) Adicioar um arco coectado o ó de demada ao ó de forecimeto (este setido) com: u demada,forecimeto e c demada,forecimeto > 0 (ormalmete utiliza-se c demada,forecimeto para simplificar cálculos). Obs: a adição deste arco auiliar tora os ós de forecimeto e de demada também ós Trasshipmet. ma ji 0 Z sujeito a: m 0 u i Fluo de Custo Míimo c mi Z para cada arco (i,j) destio,origem

12 Modelo de Fluo Máimo a partir do modelo de Fluo de Custo Míimo para o eemplo do Parque Seervada (código Lido). MIN TO!MAX TO!PODE USAR MAX TO OU MIN -TO SUBJECT TO R) OA OB OC - TO 0 VARIABLE VALUE R2) AB AD - OA 0 TO R3) BD BE BC - AB - OB 0 OA R4) CE - BC - OC 0 OB R5) DT - AD - BD - ED 0 OC R6) ED ET - BE - CE 0 AB R7) TO - DT - ET 0 AD END BD !LIMITES SUPERIORES BE SUB OA 5 BC SUB OB 7 CE SUB OC 4 DT SUB AB ED SUB AD 3 SUB BC 2 ET SUB BD 4 SUB BE 5 SUB CE 4 SUB DT 9 SUB ED Fluo de Custo Míimo 2 SUB ET 6