Resoluçaõ de exercícios de Programação Linear Inteira

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1 Resoluçaõ de exercícios de Programação Liear Iteira Carlos Eduardo Ramisch - N.º Cartão: PESQUISA OPERACIONAL I (ADM01120) Turma B Professor Deis Borestei 19 de juho de 2006 Problema 1: Exercício 1 da Lista de Exercícios 1) Uma certa idústria decidiu se expadir, costruido uma ova fábrica em Los Ageles ou em Sa Fracisco. Também está sedo cosiderada a costrução de um ovo depósito a cidade que for selecioada para a ova fábrica. O valor presete líquido (lucraticviadade total cosiderado o valor do diheiro o tempo) de cada uma destas alterativas está apresetado a tabela abaixo. A última colua dá o capital requerido para os respectivos ivestimetos, ode o capital total dispoível é de US$ ,00 *. O objetivo é ecotar a combiação viável de alterativas que maximize o valor presete líquido total. Decisão Valor presete líquido Capital Requerido Fábrica em Los Ageles 7 milhões 20 milhões Fábrica em Sa Fracisco 5 milhões 15 milhões Depósito em Los Ageles 4 milhões 12 milhões Depósito em Sa Fracisco 3 milhões 10 milhões Modelagem: Cosiderado as seguites variáveis de decisão: FL = 1, se a fábrica é costruída em Los Ageles. FS = 1, se a fábrica é costruída em Sa Fracisco. DL = 1, se o depósito é costruído em Los Ageles. DS = 1, se o depósito é costruído em Sa Fracisco. O modelo proposto é (cosiderado os coeficietes e costates medidos em milhões de dólares): MAXIMIZE 7FL + 5FS + 4DL + 3DS 20FL + 15FS + 12DL + 10DS <= 25 FL + FS = 1!impede fábrica em S.F. e em L.A. DL + DS = 1!impede depósito em S.F. e em L.A. FL + DS = 1!impede fábrica em L.A. e depósito em S.F. FS + DL = 1!mpede fábrica em S.F. e depósito em L.A. FL <= 1 FS <= 1 DL <= 1 DS <= 1 END GIN 4 * No euciado, o valor é de US$ ,00, porém foi alterado para que o problema tivesse solução. Com US$ ,00, seria impossível expadir a idústria, fosse em Los Ageles, fosse em Sa Fracisco.

2 Resolução: A resolução do problema pelo método simplex o programa LINDO é mostrada a seguir: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE VALUE = NEW INTEGER SOLUTION OF AT BRANCH 0 PIVOT 2 BOUND ON OPTIMUM: ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES= 0 PIVOTS= 2 LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST FL FS DL DS ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) ) ) ) NO. ITERATIONS= 2 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0 Iterpretação: A melhor alterativa é costruir a fábrica e o depósito em Sa Fracisco, uma vez que o objetivo é maximizar o valor presete líquido.

3 Problema 2: Exercício 2 da Lista de Exercícios 2) Um jovem casal, Eva e Estêvão, quer dividir suas pricipais tarefas domésticas (compras, cozihar, lavar pratos e lavar roupas) etre si, de modo que cada um teha duas tarefas, mas que o tempo total gasto em tarefas domésticas seja míimo. Suas eficiêcias essas tarefas diferem, sedo que o tempo que cada um gastaria para desempehar uma tarefa dado pela seguite tabela: Agete Compras Cozihar Lavar Pratos Lavar Roupas Eva 3,2 7,4 4,1 2,5 Estêvão 3,9 6,8 4,5 2,7 Modelagem: Cosiderado as seguites variáveis de decisão: EV COM = 1, se a agete Eva é desigada para a tarefa Compras. EV COZ = 1, se a agete Eva é desigada para a tarefa Cozihar. EV PRA = 1, se a agete Eva é desigada para a tarefa Lavar Pratos. EV ROU = 1, se a agete Eva é desigada para a tarefa Lavar Roupas. ES COM = 1, se o agete Estêvão é desigado para a tarefa Compras. ES COZ = 1, se o agete Estêvão é desigado para a tarefa Cozihar. ES PRA = 1, se o agete Estêvão é desigado para a tarefa Lavar Pratos. ES ROU = 1, se o agete Estêvão é desigado para a tarefa Lavar Roupas. O modelo proposto é: MINIMIZE 3.2EV COZ + 7.4EV COZ + 4.1EV PRA + 2.5EV ROU + 3.9ES COZ + 6.8ES COZ + 4.5ES PRA + 2.7ES ROU EV COM + ES COM = 1!somete um deles pode fazer compras EV COZ + ES COZ = 1!somete um deles pode cozihar EV PRA + ES PRA = 1!somete um deles pode lavar os pratos EV ROU + ES ROU = 1!somete um deles pode lavar as roupas EV ROU + EV PRA + EV COZ + EV COM = 2!Eva precisa realizar duas tarefas ES ROU + ES PRA + ES COZ + ES COM = 2!Estêvão precisa realizar duas tarefas EV ROU <= 1 EV PRA <= 1 EV COM <= 1 EV COZ <= 1 ES PRA <= 1 ES ROU <= 1 ES COM <= 1 ES COZ <= 1 END GIN 8

4 Resolução: A resolução do problema pelo método simplex o programa LINDO é mostrada a seguir: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE VALUE = FIX ALL VARS.( 3) WITH RC > E+00 NEW INTEGER SOLUTION OF AT BRANCH 0 PIVOT 4 BOUND ON OPTIMUM: ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES= 0 PIVOTS= 4 LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST EVCOZ EVPRA EVROU ESCOZ ESPRA ESROU EVCOM ESCOM ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) NO. ITERATIONS= 4 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0 Iterpretação: Eva deve realizar as seguites tarefas: Lavar pratos e Lavar Roupas. Estêvão deve realizar as seguites tarefas: Fazer compras e Cozihar. Dessa forma, o tempo gasto por ambos em tarefas domésticas é igual a 17.3 (míimo).

5 Problema 3: Exercício 3 da Lista de Exercícios 3) Formule o problema 2 como um problema de desigação e ecotre a solução que miimize o custo. Modelagem: Um modelo de desigação é um modelo o seguite formato: MINIMIZE m j =1 i=1 N i=1 x ij =1 i=1..m x ij c ij x ij =1 j=1.. Portato, para trasformar o problema 2 um modelo de desigação, precisamos elimiar a variável 2 do lado direito de duas restrições. Isso pode ser feito se adicioarmos à tabela de custos mais duas lihas, ou seja, dois agetes artificiais para realizarem essas tarefas. Esses agetes serão Eva' e Estêvão', que irão fucioar como cloes de Eva e Estêvão. Dessa forma, Eva realiza apeas uma tarefa, equato seu cloe Eva' realiza também apeas uma tarefa. Ao fial, teremos ecotrado que Eva realiza duas tarefas, uma vez que ela e seu cloe são, o mudo real, a mesma pessoa. O raciocíio aálogo é feito para Estêvão e Estêvão'. O modelo proposto cosidera as variáveis do problema 2 adicioadas de mais oito variáveis para os agetes artificiais, omeadas com um 2 o após as duas primeiras letras do ome da variável para idicar que a variável se refere ao agete cloe. Por exemplo, EV2 COZ vale 1 se o cloe de Eva realiza a tarefa Cozihar, e vale 0 caso cotrário. O modelo fica da seguite forma: MINIMIZE 3.2EV COZ + 7.4EV COZ + 4.1EV PRA + 2.5EV ROU + 3.9ES COZ + 6.8ES COZ + 4.5ES PRA + 2.7ES ROU + 3.2EV2 COZ + 7.4EV2 COZ + 4.1EV2 PRA + 2.5EV2 ROU + 3.9ES2 COZ + 6.8ES2 COZ + 4.5ES2 PRA + 2.7ES2 ROU EV COM + ES COM + EV2 COM + ES2 COM = 1!somete um deles pode fazer compras EV COZ + ES COZ + EV2 COZ + ES2 COZ = 1!somete um deles pode cozihar EV PRA + ES PRA + EV2 PRA + ES2 PRA = 1!somete um deles pode lavar os pratos EV ROU + ES ROU + EV2 ROU + ES2 ROU = 1!somete um deles pode lavar as roupas EV ROU + EV PRA + EV COZ + EV COM = 1!Eva deve fazer uma tarefa ES ROU + ES PRA + ES COZ + ES COM = 1!Estêvão deve fazer uma tarefa EV2 ROU + EV2 PRA + EV2 COZ + EV2 COM = 1!o cloe de Eva deve fazer uma tarefa ES2 ROU + ES2 PRA + ES2 COZ + ES2 COM = 1!o cloe de Estêvão deve fazer uma tarefa EV ROU <= 1 EV PRA <= 1 EV COM <= 1 EV COZ <= 1 ES PRA <= 1 ES ROU <= 1 ES COM <= 1 ES COZ <= 1 END GIN 16 EV2 ROU <= 1 EV2 PRA <= 1 EV2 COM <= 1 EV2 COZ <= 1 ES2 PRA <= 1 ES2 ROU <= 1 ES2 COM <= 1 ES2 COZ <= 1

6 Resolução: A resolução do problema pelo método simplex o programa LINDO é mostrada a seguir: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 16 OBJECTIVE VALUE = NEW INTEGER SOLUTION OF AT BRANCH 0 PIVOT 18 BOUND ON OPTIMUM: ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES= 0 PIVOTS= 18 LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST EVCOZ EVPRA EVROU ESCOZ ESPRA ESROU EV2COZ EV2PRA EV2ROU ES2COZ ES2PRA ES2ROU EVCOM ESCOM EV2COM ES2COM NO. ITERATIONS= 18 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0 ROW SLACK OR SURPLUS PRICES 2) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) DUAL Uma vez que este é um modelo de desigação, uma forma alterativa de se resolver o problema é utilizado o método húgaro. Utilizaremos esse método para coferir a resposta ecotrada pelo LINDO. Método Húgaro: 1.a) Míimo das lihas: 3,2 7,4 4,1 2,5 2,5 3,9 6,8 4,5 2,7 2,7 3,2 7,4 4,1 2,5 2,5 3,9 6,8 4,5 2,7 2,7 1.b) Máximo das coluas: 0,7 4,9 1,6 0 1,2 4,1 1,8 0 0,7 4,9 1,6 0 1,2 4,1 1,8 0 0,7 4,1 1,6 0 2) Retas para cobrir zeros 0 0, ,5 0 0, , ,5 0 0,2 0

7 Iterpretação: Pela solução do simplex: Eva realiza a tarefa Lavar Pratos, Estêvão a tarefa Cozihar, Eva' a tarefa Lavar Roupas e Estêvão' a tarefa Fazer compras. Uma vez que o mudo real Eva e Eva' são a mesma pessoa, bem como Estêvão e seu cloe Estêvão', podemos afirmar que: Eva deve realizar as seguites tarefas: Lavar pratos e Lavar Roupas. Estêvão deve realizar as seguites tarefas: Fazer compras e Cozihar. Pela solução do método húgaro: Eva pode Fazer Compras, Lavar Pratos ou Lavar Roupas. Estêvão pode Fazer Compras ou Cozihar. Uma vez que estêvão ecessita de duas tarefas, Eva ão pode fazer compras. Portato, Eva é desigada para as tarefas Lavar Pratos ou Lavar Roupas equato Estêvão é desigado para as tarefas Fazer Compras e Cozihar. Ambas as respostas são exatamete iguais à resposta do problema 2, com o mesmo valor para a fução objetivo a resolução do Simplex (17.3), como era esperado.

8 Problema 4: Problema da evacuação (ditado em aula) Numa certa região existe uma usia uclear para geração de eergia elétrica. Face à possibilidade da ocorrêcia de vazameto de material radioativo, é ecessária a preparação de um plao de evacuação de emergêcia para a região circumviziha. O plao deverá prever a retirada segura de pessoas, aimais e patrimôio essecial ates que os mesmos possam sofrer os efeitos ocivos da exposição radioativa. O modelo proposto para a evacuação idealiza a cocetração das pessoas, aimais e patrimôio em um cetro de triagem e evacuação. A determiação do úmero de cetros de triagem trascede a dimesão ecoômica. Se por um lado, um úmero excessivo de cetros dificulta a coordeação da evacuação e aumeta o risco da exposição dos seres humaos, por outro, um úmero pequeo ocasioará certamete isuficiêcia o atedimeto. As uidades de discretização possuem as seguites demadas: p i = úmero de pessoas a área i v i = úmero de aimais a área i o i = úmero de uidades de patrimôio a área i Cada cetro de evacuação pode ateder g pessoas, k aimais e l uidades de patrimôio. Formule o problema de miimizar o úmero de cetros de triagem do sistema de evacuação. Modelagem Cosiderado que o problema os dá apeas iformações geéricas sobre o problema, um primeiro mometo iremos costruir um modelo abstrato, e atribuiremos valores fictícios para a demostração do modelo um segudo mometo. Modelo Abstrato: Cosiderado as seguites variáveis e parâmetros: m = úmero de áreas = úmero de cetros de triagem a ij = 1, se o local j cobre a área i 0, caso cotrário x j = 1, se o local j é escolhido para a abertura de um cetro de evacuação O modelo proposto é: MINIMIZE j=1 j=1 j=1 j=1 x ij j=1 a ij x j 1 i=1..m a ij x j p i g j=1.. a ij x j v i k j=1.. a ij x j o i l j=1.. A primeira restrição garate que todas as áreas são cobertas e as três restates garatem que a demada das áreas obedece à capacidade dos cetros de evacuação. Modelo Exemplificado: A tabela abaixo modela os valores para a ij e para as demadas p i, v i e o i.

9 Áreas (ídice i) Locais (ídice j) L1 L2 L3 L4 p i v i o i A A A A Var. decisão x 1 x 2 x 3 x 4 Cosiderado os limites g = 30, k = 15 e l = 20, podemos formular o seguite modelo para exemplificar: MINIMIZE x 1 + x 2 + x 3 + x 4 x 2 + x 3 >= 1 x 2 >= 1 x 3 + x 4 >= 1 x 1 >= 1 27x 1 <= 30 3x 1 <= 15 9x 1 <= 20 10x x 2 <= 30 2x 2 + 7x 2 <= 15 8x 2 + 5x 2 <= 20 10x x 3 <= 30 2x x 3 <= 15 8x x 3 <= 20 20x 4 <=30 12x 4 <=15 11x 4 <= 20 x 1 <= 1 x 2 <= 1 x 3 <= 1 x 4 <= 1 END GIN 4

10 Resolução: A resolução do problema pelo método simplex o programa LINDO é mostrada a seguir: LP OPTIMUM FOUND AT STEP 6 OBJECTIVE VALUE = FIX ALL VARS.( 1) WITH RC > E+00 NEW INTEGER SOLUTION OF AT BRANCH 0 PIVOT 9 BOUND ON OPTIMUM: ENUMERATION COMPLETE. BRANCHES= 0 PIVOTS= 9 LAST INTEGER SOLUTION IS THE BEST FOUND RE-INSTALLING BEST SOLUTION... OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) VARIABLE VALUE REDUCED COST X X X X ROW SLACK OR SURPLUS DUAL PRICES 2) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) ) NO. ITERATIONS= 9 BRANCHES= 0 DETERM.= 1.000E 0 Iterpretação: Os locais L1, L2 e L4 devem ser escolhidos para a abertura de cetros de evacuação, de forma que todas as áreas sejam cobertas, as restrições de demada e capacidade sejam obedecidas e o úmero de cetros seja míimo.