Construção do anel de polinômios em uma indeterminada utilizando módulos

Transcrição

1 Costrução do ael de poliômios em uma idetermiada utilizado módulos Costructio of the rig of polyomials i oe idetermiate usig modules ISSN Volume 12, jul Christia José Satos Goçalves Uiversidade Estadual de Marigá - DMA - UEM chrisssgocalves@gmail.com Resumo O coceito de módulos sobre um ael comutativo com uidade A é uma geeralização da oção de espaço vetorial. Como em álgebra liear, é possível defiir cojuto liearmete idepedete, base e dimesão de maeira bem semelhate. O objetivo deste artigo é costruir o ael de poliômios A[X]. Ele será gerado como A-módulo pelo cojuto liearmete idepedete {1,X,X 2,...} de elemetos de S(A), cojuto das sequêcias em A. Palavras-chave: Aéis de poliômios. Módulos. Sequêcias quase ulas. Rea Willia Prado Uiversidade Estadual de Campias - Imecc - Uicamp reawilliaprado@gmail.com Abstract The cocept of modules over a commutative rig with idetity A is a geeralizatio of the otio of vector space. As i liear algebra, it is possible to defie liearly idepedet set, base ad dimesio i a very similar way. The objective of this article is costruct the rig of polyomials A[X]. It will be geerated as A- module by the liearly idepedet set {1,X,X 2,...} of elemets of S(A), set of the sequeces i A. Keywords: ull. Rig of polyomials. Modules. Sequeces almost Artigo recebido em abr e aceito em jul. 2018

2 1 Itrodução É fato que em toda a história da matemática, os primeiros coceitos sobre poliômios, sobretudo as equações poliomiais se deram ates mesmo do formalismo matemático modero. Um poliômio é uma expressão da forma a x + a 1 x a 1 x + a 0, ode os coeficietes a,a 1,...a 0 são elemetos de um ael comutativo com uidade e o x é chamado de idetermiada. Nosso objetivo será formalizar este coceito, assim como fez Peao com os úmeros aturais o século XIX, por exemplo. O estudo de aéis se origiou a partir de duas importates classes, a classe dos aéis de poliômios em variáveis sobre o corpo dos úmeros complexos, e a classe dos aéis de iteiros algébricos de um corpo de úmeros algébricos. Essas duas classes são resposáveis por vários resultados, muito sofisticados e um tato quato elegates. Neste artigo, precisaremos somete de algus coceitos básicos de módulos, a qual itroduziremos a primeira seção. Para um estudo mais aprofudado veja [1] ou [2]. Na seção seguite, o cojuto S(A) das sequêcias de elemetos em A, será aida um ael comutativo com uidade. O subcojuto X N := {X S(A) N} de elemetos de S(A) defiido pelas potêcias de X x ) tal que x = 0, se 1 e x = 1, se = 1, será um cojuto liearmete idepedete, assim, defiiremos A[X] como sedo o cojuto gerado por X N. Tal sequêcia X, é chamada de idetermiada. É possível costruir o ael de poliômios apeas com o coceito de sequêcias quase ulas como feito em [2] e [3], ou de modo mais ituitivo, como em [4]. No etato, a costrução feita aqui é mais algébrica do que em termos de sequêcias, um coceito mais aalítico. 2 A-módulos Defiição 1. Seja A A,+, ) um ael comutativo com uidade e M M, ) um grupo comutativo. Dizemos que M é um A-modulo se existe uma operação adicioal, : A M M, tal que dados a 1,a 2 A e dados m 1,m 2 M vale 1 m 1 = m 1, (a 1 a 2 ) m 1 = a 1 (a 2 m 1 ), (a 1 + a 2 ) m 1 = a 1 m 1 a 2 m 1 ; a 1 (m 1 m 2 ) = a 1 m 1 a 1 m 2. Para simplificar, daqui em diate escreveremos a 1 m 1 = a 1 m 1 e m 1 m 2 = m 1 + m 2. Defiição 2. Seja A um ael e M um A-módulo. Um subgrupo N de M é um A-submódulo, se a multiplicação por escalar do módulo M preserva N, isto é, se a N, a A e N. Abaixo segue dois exemplos clásicos de A-módulos. Estes exemplos mostram que A-módulos geeralizam a oção de espaço vetorial e que em todos os A-módulos são espaços vetoriais. Exemplo 3. Seja K um corpo e V um espaço vetorial. Etão V é um K-módulo, ode é o produto por escalar e V é grupo abeliao com a soma de vetores. GONÇALVES, C. J. S.; PRADO, R. S. Costrução do ael de poliômios em uma idetermiada utilizado módulos. C.Q.D. Revista Eletrôica Paulista de DOI: /cqdvol cjsgrwp4756 Dispoível em: 48

3 Exemplo 4. Todo grupo G G,+) comutativo é um Z módulo dotado da operação : Z G G com g = g i=1 g. Motivado pelos coceitos em espaços vetoriais, podemos defiir um subcojuto gerado por um subcojuto S, subcojuto liearmete idepedete e base. Defiição 5. Seja S M, M um A-módulo, etão o gerado por S é o cojuto (S) tal que (S) = {v M {a s } s S A, v = s S a s s e S S é fiito}. Quado (A) = M, diremos que M é gerado por S ou que S é um gerador de M e quado S é fiito diremos que M é fiitamete gerado, ou quado se quer explicitar S, diremos que M é fiitamete gerado por S. Além disso, se v S diremos que v é combiação liear de elemetos de S. Claramete (S) é um submódulo de M, assim temos a mesma oção que em espaços vetoriais ode o gerado por um subcojuto também é subespaço. Defiição 6. Seja S um subcojuto de M, um A-módulo, dizemos que S é liearmete idepedete se para qualquer família fiita {s i } i I de elemetos de S e qualquer família {a i } i I de elemetos de A vale que a i s i = 0 a i = 0, i I. i I Exemplo 7. Todo subcojuto S liearmete idepedete de V, um K espaço vetorial, é liearmete idepedete de vedo V como K-módulo. Defiição 8. Uma base S de um A-módulo M, é um subcojuto liearmete idepedete e gerador de M. Nesse caso, diremos que M é um A-módulo livre. Chamamos a cardialidade de S, deotamos por S = #S, um posto de M ou uma dimesão de M. O Lema abaixo será essecial para demostrar que a dimesão de um A-módulo está bem defiido. Lema 9. Seja M um A-módulo e I um ideal de A. Etão IM = { j=1 i jm j i j I e m j M, 1 j } é um A-módulo e M/IM é um A/I-módulo segudo a operação: Demostração. Temos iicialmete que : A/I M/IM M/IM (λ + I,m + IM) λm + IM. IM = { j=1 i j m j i j I e m j M, 1 j }. Temos que IM é fechado para soma por um oposto, pois dados dois elemetos x,y IM temos que x = i=1 i jm j e y = +m i=+1 i jm j = +m i=+1 ( i j)m j e assim x y = i=1 i jm j + +m i=+1 ( i j)m j = +m i=1 sig( j)i jm j. Portato IM é também grupo abeliao. Além disso, dado a A, vale que ax = a( i=1 i jm j ) = i=1 a(i jm j ) = i=1 (ai j)m j, mas para cada j, com 1 j, temos ai j I, pois I é um ideal de A. Logo vale que a operação A IM tem imagem cotida em IM, logo IM é, também, um A-módulo. GONÇALVES, C. J. S.; PRADO, R. S. Costrução do ael de poliômios em uma idetermiada utilizado módulos. C.Q.D. Revista Eletrôica Paulista de DOI: /cqdvol cjsgrwp4756 Dispoível em: 49

4 Temos que se (λ 1 + I,m 1 + IM) λ 2 + I,m 2 + IM), etão λ 1 λ 2 I e m 1 m 2 IM. Assim, como λ 1 m 1 λ 2 m 2 = λ 1 m 1 λ 1 m 2 + λ 1 m 2 λ 2 m 2 = λ 1 (m 1 m 2 ) + (λ 1 λ 2 )m 2, etão como cada parcela está em IM, temos que a soma também está. Assim, M/IM é um A/I-módulo. Proposição 10. Sejam S e S duas bases de M, um A-módulo, etão S = S, isto é, o posto é úico e está bem defiido. Demostração. Seja I um ideal maximal de A, que existe pelo lema de Zor, e seja Z qualquer base de M, um A-módulo. Cosidere {z + IM} z Z. Temos que é base de M/IM, um A/I-módulo, e Z = {z + IM} z Z. De fato, dada {z+im} z Zi uma família fiita de elemetos de {z+im} z Z e {a z +I} z Zi também uma família fiita de elemetos de A/I, se z Z i (α z + I)(z + IM) = 0 + IM, etão z Zi α z z IM. Logo, como Z é base de M e reagrupado, caso ecessário, existe um segudo subcojuto fiito Z j de Z e existem i z I z Z j tal que aida vale α z z = i z z. z Z i z Z j Assim, cada α z I, com z Z i. Temos portato, α z + I = 0 + I para todo z Z i. Mostraremos que {z+im} z Z gera M/IM. De fato, seja m M, temos que existe subcojuto fiito Z k de Z, por Z ser base de M, e elemetos a z A para todo z Z k, tal que m = z Z k a z z. Assim, m + IM z Zk a z z) + IM = z Zk (a z z + IM) = z Zk (a z + I)(z + IM). Falta mostrar que Z = {z + IM} z Z, mas isso é claro, pois, como {z + IM} z Z é base de M/IM, se z z, etão z + IM z + IM. Logo Z = {z + IM} z Z. Como I é ideal maximal, temos que A/I é corpo, assim M/IM é corpo sobre A/I, segue, portato, que toda base de M/IM tem a mesma cardialidade. Assim, fialmete, dadas duas bases S e S de um A-módulo M, segue que, pelos cometários ateriores, S = {s +IM} s S = {s + IM} s S = S, como queríamos demostrar. Abaixo daremos um exemplo de um módulo M que ão é livre, isto é, um módulo que ão possui base. Exemplo 11. Seja > 1 um úmero iteiro, o grupo abeliao Z ão é um Z-módulo livre. Apesar de ser, claramete, um Z-módulo, Z, > 1, ão é livre. De fato, dado z Z, z = 0. Logo ehum subcojuto S de Z pode ser liearmete idepedete sobre Z. A proposição seguite diz que, como em espaços vetoriais, que todo elemeto é escrito de modo úico como combiação liear de vetores da base. Proposição 12. Seja S M uma base para M. Todo elemeto de M se escreve, de modo úico, como combiação liear ão ula de elemetos de S, i.e., dados X e Y, dois pares de subcojutos fiitos de S, {a x } x X e {b y } y Y, dois subcojutos fiitos de elemetos ão ulos de A, tais que x X a x x = y Y b y y, etão X = Y e {a x } x X = {b y } y Y. GONÇALVES, C. J. S.; PRADO, R. S. Costrução do ael de poliômios em uma idetermiada utilizado módulos. C.Q.D. Revista Eletrôica Paulista de DOI: /cqdvol cjsgrwp4756 Dispoível em: 50

5 Demostração. Dados X e Y, {a x } x X e {b y } y Y tais como o euciado, etão x X a x x = y Y b y y. Logo, a x x b y y = 0. x X y Y Dado x X, supoha, por absurdo, que x ão está em Y, etão, ( x X {x } a x x y Y b y y) + a x x = 0. Como x X {x } a x x y Y b y y ((X {x }) Y), i.e., está o espaço gerado por (X {x }) Y, segue que existe uma família fiita {c z } z (X {x }) Y de elemetos de A tal que x X {x } a x x y Y b y y = z (X {x }) Y c z z. Logo, c z z + a x x = 0. z (X {x }) Y Assim, ecessariamete a x = 0, o que é um absurdo. Da mesma forma, se prova que dado y Y, etão y X. Temos, portato, que X = Y. Agora como X = Y, a x x x X y Y b y y = (a x b x )x = 0. x X Assim, a x = b x, x X, dode {a x } x X = {b y } y Y, como queríamos demostrar. Fialmete temos todas as ferrametas ecessárias para se defiir poliômios em uma idetermiada. 3 Poliômios em uma idetermiada Seja um ael A comutativo com uidade e cosidere o cojuto S(A) das sequêcias com elemetos em A, isto é, S(A) = { s N A s é fução}. Deotaremos s, um elemeto de S(A), por (s ) para dizer que s() = s para todo N. Defiição 13. Em S(A) cosideremos duas operações e, chamadas de adição e produto por escalar respectivamete, da seguite forma: f, g S(A) e a A, : S(A) S(A) S(A) : A S(A) S(A) ( f,g) f g (a, f ) a f Com ( f g) f + g ) e (a f ) a f ). Em algumas mometos usaremos as otações f + g e a f para as operações f g e a f respectivamete. Proposição 14. Com as operações e defiidas acima segue que S(A) é um A-módulo. Demostração. De fato, é fácil provar que S(A) é grupo comutativo com a operação. Falta mostrar que a,b A e f,g S(A), vale as codições da defiição (1): 1 f 1 f ) f ) = f, (ab) f (ab) f ) a(b f )) = a(b f ) = a(b f ), GONÇALVES, C. J. S.; PRADO, R. S. Costrução do ael de poliômios em uma idetermiada utilizado módulos. C.Q.D. Revista Eletrôica Paulista de DOI: /cqdvol cjsgrwp4756 Dispoível em: 51

6 (a + b) f (a + b) f ) a f + b f ) a f ) + (b f ) = a( f ) + b( f ) = a f + b f, a( f +g) = a( f +g ) a( f +g )) a f +ag ) a f ) +(ag ) = a( f ) +a(g ) = a f + a f. Nosso próximo passo será fazer com que S(A) passe a ser um ael comutativo com uidade, para isso precisaremos defiir uma seguda operação em S(A): Defiição 15. Em S(A) defiimos : S(A) S(A) S(A) tal que se f e g estão em S(A), etão f g = c, ode c = f i g i, N. Deotamos f g por f g, isto é, f g = f g. Proposição 16. S(A) S(A),, ) é um ael comutativo com uidade. Demostração. Já sabemos que S(A) é grupo comutativo com a operação e portato falta mostrar que existe 1 S(A) tal que para quaisquer f,g,h S(A) vale 1. 1 f = f, 2. f g = g f, 3. ( f g) h = f (g h), 4. f (g + h) = f g + f h. Tome 1 s ), s = 1, se = 0, e s = 0, caso cotrário. Temos que para quaisquer f,g,h em S(A) vale 1. 1 f = f. De fato, 1 f s ) ( f ) j=0 s j f j ) s 0 f ) 1 f ) f ) = f. Da mesma forma, f 1 j=0 f js j ) f s ) f 1) f ) = f, 2. f g = g f. De fato, temos que f g f ) (g ) j=0 f jg j ) j=0 f jg j ) = ( j=0 g j f j ) g ) ( f ) = g f, 3. ( f g) h = f (g h). Temos que ( f g)h f i g i ) h ( j j=0 j=i j=i i f i ( f i g j i )h j ) f i g j i h j ) = f i g j i h j ) k=0 f i g i ) (h ) = j j=0 f i ( j=i g k h i k )) f ) ( f ) ((g ) (h ) ) = f (gh). f i g j i h j ) = g j i h j )) = k=0 g k h k ) = GONÇALVES, C. J. S.; PRADO, R. S. Costrução do ael de poliômios em uma idetermiada utilizado módulos. C.Q.D. Revista Eletrôica Paulista de DOI: /cqdvol cjsgrwp4756 Dispoível em: 52

7 Aqui vale a pea fazer um cometário do que foi feito. Note que {(i, j) Z Z 0 j,0 i j} = {(i, j) Z Z 0 i,i j }, fazedo uma mudaça de coordeadas tal como feita em Cálculo ao trocar a ordem de itegração da itegral dupla. Por essa razão j=0 j a i, j = j=i a i, j, pela comutatividade da operação adição. 4. f (g + h) = f g + f h. De fato, f (g + h) f ) ((g ) + (h ) ) f ) ((g + h ) ) f i g i + f i h i )) f i g i ) + ( f i (g i + h i )) = f i h i ) = f i g i + f ) (g ) + ( f ) (h ) = f g + f h. Portato S(A) é ael com as operações dadas, como queríamos demostrar. f i h i ) = Defiição 17. A sequêcia X x ) tal que x = 0, se 1 e x = 1, se = 1, é chamada idetermiada. Defiição 18. Para mater a uiformidade daqui em diate, defia X 0 = 1, ode 1 S(A) é a uidade deste ael. Defiição 19. Defia, idutivamete, para cada 1, X +1 = XX. A proposição seguite descreve como é a lei da sequêcia X e será importate as próximas proposições e demostrações. Proposição 20. Dado 1, vale X δ m, ) m, ode δ m, é a fução delta de Kroecker, defiida por, δ m, = 0, se m e δ m, = 1, se m =. Demostração. A lei, por defiição, vale para = 1. Assim, supoha por idução que a lei valha para, qualquer atural dado, temos que X +1 = XX x m ) m (δ m, ) m m x iδ m i, ) m = (x 1 δ m 1, ) m 1δ m 1, ) m δ m 1, ) m δ m,+1 ) m, como queríamos demostrar. Abaixo vamos provar que vale a regra da soma da potêcia da idetermiada. Proposição 21. Dados i, j N, X i X j = X i+ j. Demostração. Dados i, j N, temos que X i X j δ,i ) (δ, j ) k=1 δ k,i δ k, j ) δ i,i δ i, j ) como queríamos demostrar. δ i, j ) δ,i+ j ) = X i+ j, Proposição 22. O subcojuto de elemetos de S(A) dado por {X S(A) N} é um cojuto liearmete idepedete de S(A). GONÇALVES, C. J. S.; PRADO, R. S. Costrução do ael de poliômios em uma idetermiada utilizado módulos. C.Q.D. Revista Eletrôica Paulista de DOI: /cqdvol cjsgrwp4756 Dispoível em: 53

8 Demostração. Seja {X } η uma família fiita de elemetos de {X S(A) N} e seja {a } η uma família fiita de elemetos de A tal que η a X = 0. Claramete, η N é fiito. Pela Proposição 21, η a X = η a (δ m, ) m = η (a δ m, ) m η a δ m, ) m = 0. Logo, a δ m, = 0, m N. (1) η Seja η, por 1, η a δ, = 0, assim η a δ, = a δ, = a = 0, como queríamos demostrar. A seguir vem a pricipal defiição do presete artigo, ode a defiição vem de modo atural. Defiição 23. O cojuto gerado, veja Defiição 5, por X N = {X S(A) N} deotado por A[X], isto é, A[X] {X S(A) N}) = { x X a x x {a x } x X A com X X N fiito } é o cojuto dos poliômios com coeficiete em A. O cojuto A[X] é chamado ael dos poliômios em uma idetermiada. Segue que, como o esperado, pela Proposição 22, o cojuto X N é base para o ael dos poliômios. Assim, os poliômios tem dimesão ifiita eumerável e, pela Proposição 10, todas as bases tem dimesão ifiita eumerável. Além disso, ote que dado x X N, existe um úico i N tal que x = X i, assim podemos escrever as somas x X a x x por i η a ix i, ode η é um subcojuto fiito dos aturais e a x = a i, quado x = X i. Além disso, como η é fiito segue que η é limitado, digamos por N, logo defia b i = 0, se i e i η e b i = a i, se i e i η. Portato, x X a x x = i η a i X i = b ix i. Assim, os poliômios tem a forma usual de se escrever. Por essa razão, em geral, deotamos um poliômio por P(X). Defiição 24. Seja P(X) = a ix i A[X] um poliômio ão ulo. Dizemos que um úmero gr(p(x)) N é o grau do poliômio P(X), se P(X) = gr(p(x)) i=1 a i X i e a gr(p(x)) 0, isto é, gr(p(x)) é o maior, tal que a ão é ulo. Defiição 25. Diz-se que uma sequêcia (s ) N S(A) é quase ula se existe 0 N tal que s = 0, 0 ou, equivaletemete, o cojuto { N s 0} é fiito. O cojuto dessas sequêcias deotaremos por E. Proposição 26. O cojuto dos poliômios em uma idetermiada é o cojuto das sequêcias quase ulas. Demostração. Seja P(X) = a ix i A[X] um poliômio. Pela Proposição 20, P(X) = a i X i = a i (δ m,i ) m = (a i δ m,i ) m a i δ m,i ) m. Tome m + 1, para que δ m,i = 0, para todo 0 i, logo a iδ m,i = a i0 = 0 e assim P(X) E. Logo A[X] E. Seja (s ) E, temos que existe 0 N tal que s = 0, 0, mas assim temos que (s ) = s i(δ m,i ) m = s ix i. Portato, (s ) A[X]. Logo E A[X]. Dode A[X] = E. Abaixo daremos uma aplicação imediata da proposição acima. Corolário 27. O cojuto das sequêcias quase ulas os racioais é eumerável. GONÇALVES, C. J. S.; PRADO, R. S. Costrução do ael de poliômios em uma idetermiada utilizado módulos. C.Q.D. Revista Eletrôica Paulista de DOI: /cqdvol cjsgrwp4756 Dispoível em: 54

9 Demostração. Pela Proposição 26, temos que as sequêcias quase ulas são exatamete os poliômios com coeficietes racioais. Como Q[X] tem base eumerável e os racioais são eumeráveis, segue que o o cojuto das sequêcias é eumerável. A defiição de poliômios, como gerado por X N, permite provar facilmete que produtos de poliômios é também um poliômio, como demostrado a proposição seguite. Proposição 28. Dados P(X), Q(X) A[X], etão P(X)Q(X) A[X]. Demostração. Dados P(X), Q(X), existe duas famílias fiitas de elemetos de A, digamos, {a i } 0 i m e {b j } 0 j, tais que P(X) = m a ix i e Q(X) = j=0 b jx j, logo P(X)Q(X) m a i X i )( j=0 b j X j ) = m a i b j X i X j = j=0 Assim, P(X)Q(X) está o gerado por X N e portato está em A[X]. m a i b j X i+ j. j=0 Até agora ão está claro o motivo de se ter tomado um poliômio como uma sequêcia ifiita e ão como uma fução f : A A tal que f (X) = i=1 a ix i. A importâcia de tal costrução vai ser mostrada o exemplo a seguir. Exemplo 29. Seja N e cosidere Z o cojuto dos iteiros módulo. Seja f : Z Z tal que f (X) = i=1 (X ī). Temos que f (X) = 0 para todo X Z, isto é, a fução f é a fução ideticamete ula. No etato, o poliômio i=1 (X ī) S(A) ão é, claramete, poliômio ulo. O exemplo acima os motiva a defiir o valor de f (X) aplicado um elemeto de A. Defiição 30. Seja f (X) = a ix i um poliômio em A[X]. Chamamos de valor do poliômio f (X) em x A, deotado por f (x), o escalar f (x) A tal que f (x) = a ix i. Quado f (x) = 0, chamamos x de uma raiz ou um zero do poliômio f. Note que, como a represetação de um poliômio é úica, pois X N é base, pela Proposição 22, e pela uicidade da combiação liear, vide Proposição 12, dado um poliômio P(X) A[x] e x A, existe um úico valor P(x) A. Isso os permite defiir fução poliomial: Defiição 31. Chamamos de fução poliomial qualquer fução f : A A com f (α) = P(α) para todo α A com P(X) A[X]. Quado f (α) = 0, chamamos α de uma raiz ou um zero do poliômio P(X). Dizemos que, esse caso, f é uma fução poliomial determiada pelo poliômio P(X). 4 Coclusão É possível costruir o ael de poliômios apeas com o coceito de sequêcias quase ulas como feito em [2] e [3], ou de modo mais ituitivo, como em [4]. No etato, a costrução feita aqui é mais algébrica do que em termos de sequêcias, um coceito mais aalítico. Além disso, ossa costrução é bem mais geral, por exemplo, pode-se defiir uma família fiita elemetos de um A-módulo M, digamos {X i } 1 i que comutam o produto de vetores, a fim de defiir o cojuto poliômios de idetermiadas como sedo o gerado pelo cojuto liearmete idepedete { i=1 X α i i α i N, 1 i }. Temos portato uma grade liberdade de costrução de estruturas somete com a teoria básica de A-módulos. GONÇALVES, C. J. S.; PRADO, R. S. Costrução do ael de poliômios em uma idetermiada utilizado módulos. C.Q.D. Revista Eletrôica Paulista de DOI: /cqdvol cjsgrwp4756 Dispoível em: 55

10 Referêcias [1] ATIYAH, M. F.; MACDONALD, I. G. Itroductio to commutative algebra. Lodo: Addiso-Wesley Publishig Co., [2] GARCIA, A.; LEQUAIN, Y. Elemetos de álgebra. 5. ed. Rio de Jaeiro: Istituto Nacioal de Matematica Pura e Aplicada, [3] MONTEIRO, L. H. J. Elemetos de álgebra. Rio de Jaeiro: IMPA, [4] FRALEIGH, J. B. A first course i abstract algebra. 7. ed. Bosto. Pearso Educatio, Ic., [5] HOFFMAN, K.; KUNZE, R. Álgebra liear. São Paulo: Editora Polígoo, GONÇALVES, C. J. S.; PRADO, R. S. Costrução do ael de poliômios em uma idetermiada utilizado módulos. C.Q.D. Revista Eletrôica Paulista de DOI: /cqdvol cjsgrwp4756 Dispoível em: 56