1 - Corpos de números

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1 1 - Corpos de úmeros Caria Alves Atoio Aparecido de Adrade SciELO Books / SciELO Livros / SciELO Libros ALVES, C., ad ANDRADE, AA. Corpos de úmeros. I: Reticulados via corpos ciclotômicos [olie]. São Paulo: Editora UNESP, 2014, pp ISBN Available from SciELO Books < All the cotets of this work, except where otherwise oted, is licesed uder a Creative Commos Attributio 4.0 Iteratioal licese. Todo o coteúdo deste trabalho, exceto quado houver ressalva, é publicado sob a liceça Creative Commos Atribição 4.0. Todo el coteido de esta obra, excepto dode se idique lo cotrario, está bajo licecia de la licecia Creative Commos Recoocimeto 4.0.

2 1 CORPOS DE NÚMEROS 1.1 Itrodução Neste capítulo, apresetamos uma coletâea de resultados básicos de teoria algébrica dos úmeros. O objetivo é forecer a base teórica para o desevolvimeto dos demais capítulos. Aqui itroduzimos os coceitos de módulos, elemetos iteiros sobre um ael, elemetos algébricos sobre um corpo e extesões algébricas, orma e traço em uma extesão, discrimiate, aéis oetheriaos e aéis de Dedekid, orma de um ideal e formas quadráticas sobre o R. 1.2 Módulos Iiciamos esta seção com as deições de módulos e submódulos. Em seguida apresetamos um teorema que será de grade utilidade posteriormete.

3 24 CARINA ALVES ANTONIO APARECIDO DE ANDRADE Defiição Seja A um ael. Um A-módulo M é um grupo abeliao (aditivo) muido de uma aplicação A M M, deotada por (a, m) am, tal que, para quaisquer a, b A e x, y M, tem-se: i) a(x + y) = ax + ay; ii) (a + b)x = ax + bx; iii) (ab)x = a(bx); iv) 1x = x. Defiição Sejam A um ael e M um A-módulo. Um subcojuto N M ão vazio é um A-submódulo de M se, com as operações herdadas de M, também é um A-módulo. Um A-módulo M é dito fiitamete gerado se existem x 1,, x r M tais que M = Ax Ax r e, este caso, dizemos que x 1,, x r formam um sistema de geradores de M. Um cojuto de elemetos y 1,, y s M são liearmete idepedetes s (sobre A) se a igualdade a j y j = 0, com a j A, implicar que j=1 a 1 = = a s = 0. Mas, se além disso, y 1,, y s formarem um sistema de geradores de M, etão eles formam uma base de M. Porém, é importate otar que em todo módulo fiitamete gerado possui um base. Um A-módulo que possui uma base é chamado de um A-módulo livre, e o úmero de elemetos da base é chamado de posto de M. Teorema Sejam A um ael pricipal, M um A-módulo livre de posto, e M um A-submódulo de M. Etão: i) M é livre de posto q, 0 q. ii) Se M 0, etão existe uma base {e 1,, e } de M e elemetos

4 RETICULADOS VIA CORPOS CICLOTÔMICOS 25 ão ulos a 1,, a q A tais que {a 1 e 1,, a q e q } é uma base de M e que a i divide a i+1, 1 i q 1. Demostração. (Samuel, 1976, p.21, Teo.1). 1.3 Elemetos iteiros sobre um ael Nesta seção apresetamos as defiições de elemeto algébrico, extesão algébrica e poliômio miimal. Defiição Sejam B um ael e A B um subael. Um elemeto α B é chamado iteiro sobre A se α é raiz de um poliômio môico com coeficietes em A. Se A = Z e B C, dizemos que α é um iteiro algébrico. Observação Deotaremos o cojuto dos elemetos que estão em B e são iteiros sobre A por A B, ou seja, A B = {α B α é iteiro sobre A}. Observação A B é chamado fecho iteiro de A em B ou ael dos iteiros de A em B. Se A é um domíio e B = K é o corpo de frações de A, dizemos que A K é o fecho iteiro de A em K. Exemplo O elemeto α = é iteiro sobre Z, pois é raiz do seguite poliômio X 4 10X Z[X]. Defiição Sejam B um ael e A B um subael. Seja p(x) B[X] um poliômio môico tal que p(α) = 0, com α B. A relação p(α) = 0 é chamada uma equação de depedêcia iteira de α sobre A. Exemplo O elemeto α = 2 R é iteiro sobre Z. A relação α 2 2 = 0 é uma equação de depedêcia iteira.

5 26 CARINA ALVES ANTONIO APARECIDO DE ANDRADE Teorema (Samuel,1967, p.27, Teo.1) Sejam B um ael, A um subael de B e α um elemeto de B. Etão as seguites codições são equivaletes: 1) α é iteiro sobre A. 2) O ael A[α] é um A-módulo fiitamete gerado. 3) Existe um subael R de B tal que R é um A-módulo fiitamete gerado cotedo A e α. Demostração (1) (2) Como α B é iteiro sobre A, etão α A B, ou seja, α é raiz de um poliômio môico com coeficietes em A. Logo existem a 0, a 1,, a 1 A ão todos ulos tal que α + a 1 α a 1 α + a 0 = 0. Seja M = [1, α, α 2,, α 1 ] o A-módulo fiitamete gerado. Vamos mostrar que A[α] = M. Por defiição A[α] = i a i α i a i A e assim, pelo modo como defiimos M, segue que M A[α]. Por outro lado, α = (a 1 α a 1 α + a 0 ) (1.1) e assim α M. Portato 1, α, α 2,, α 1, α M. Agora provaremos por idução sobre j que α j M, j = + 1, + 2,. Para j = 0,, vimos acima que o resultado é válido. Agora supohamos que o resultado seja válido para j > e provemos que o resultado vale para j + 1. Sedo α j = b 0 + b 1 α + + b 1 α 1 com b i A, etão α j+1 = b 0 α + b 1 α b 2 α 1 + b 1 α. (1.2) Substituido (1.1) em (1.2) temos

6 RETICULADOS VIA CORPOS CICLOTÔMICOS 27 α j+1 = b 1 a 0 + (b 0 b 1 a 1 )α + + (b 2 b 1 a 1 )α 1 e assim α j+1 M. Portato A[α] M. Portato A[α] = M. (2) (3) Como A A[α], α A[α] e, por hipótese, A[α] é um A-módulo fiitamete gerado, etão é suficiete tomar R = A[α]. (3) (1) Seja R um A-módulo fiitamete gerado que cotém A e α e sejam {y 1, y 2,, y } os geradores de R, ou seja, R = Ay Ay. Como α R e como R é um subael de B segue que αy i R, i = 1,,. Assim, αy 1 = a 11 y 1 + a 12 y a 1 y αy 2 = a 21 y 1 + a 22 y a 2 y αy = a 1 y 1 + a 2 y a y, a ij A. Daí segue que (δ ij α a ij )y j = 0; ode δ ij = 1 se i = j e δ ij = 0 j=1 se i j. Cosidere o sistema liear homogêeo defiido pelas equações as variáveis y 1,, y. Ou seja, (α a 11 )y 1 a 12 a 1 = 0 a 21 + (α a 22 )y 2 a 2 = 0 a 1 a 2 + (α a )y = 0 Seja d = det(δ ij α a ij ). Por Cramer dy i = 0, i = 1,,. Portato db = 0, b R. Em particular d 1 = d = 0. Mas d é uma expressão poliomial em α e o coeficiete da maior potêcia de α é 1, pois o termo de maior grau aparece a expasão do produto (α a ii ) das etradas da diagoal pricipal. Portato α é iteiro sobre A.

7 28 CARINA ALVES ANTONIO APARECIDO DE ANDRADE Corolário (Samuel, 1967, p.28, Prop.1) Sejam B um ael, A um subael de B e {α 1, α 2,, α } B. Se α i é iteiro sobre A[α 1, α 2,, α i 1 ], em particular, se α i é iteiro sobre A para todo i = i,,, etão A[α 1, α 2,, α ] é um A-módulo fiitamete gerado. Demostração. A demostração será feita por idução sobre. Para = 1 segue do Teorema 1.3.1, pois se α 1 é iteiro sobre A, etão A[α 1 ], é um A-módulo fiitamete gerado. Assim, supohamos que o teorema seja verdadeiro para 1 elemetos e provaremos que o teorema é válido para elemetos. Por hipótese de idução temos que R = A[α 1,, α 1 ] é um A-módulo fiitamete gerado, isto é, R = j=1 Av j, ode v 1,, v R. Visto que α é iteiro sobre R temos, pelo Teorema 1.3.1, que R[α ] é um R-módulo fiitamete gerado, isto é, R[α ] = s Rw i, ode w 1,, w s R[α ]. Etão A[α 1,, α ] = R[α ] = Rw i = Av j w i = j=1 Av j w i. Portato {v j w i } gera A[α 1,, α ] como um A-módulo. i, j Portato A[α 1,, α ] é um A-módulo fiitamete gerado. s s Teorema (Stewart; Tall, 1987, p.47, Teo.2.9) Se α é uma raiz de um poliômio môico, ode os coeficietes são iteiros algébricos, etão α é um iteiro algébrico. Demostração. Seja α + a 1 α a 1 α + a 0, tal que a i, i = 1,, 1 perteça ao cojuto de todos os úmeros complexos que são raízes de poliômios môicos com coeficietes em Z. Fazedo B = Z[a 0,, a 1, α] e b 0 = a 0,, b 1 = a 1 e b = α e temos, pelo Corolário 1.3.1, que Z[b 0,, b ] é um Z-módulo fiitamete gerado e portato α é um iteiro algébrico.

8 RETICULADOS VIA CORPOS CICLOTÔMICOS 29 Corolário (Samuel, 1967, p.29, Corol.1 ) Sejam B um ael e A um subael de B. Se α, β B são iteiros sobre A, etão A, αβ A B. Demostração. Pela Observação 1.3.1, temos que mostrar que A, αβ são iteiros sobre A. Temos que A, αβ A[α, β]. Como α, β são iteiros sobre A temos etão, pelo Corolário 1.3.1, que A[α, β] é um A-módulo fiitamete gerado. Assim, existe um A-módulo fiitamete gerado, A[α, β], que cotém A e αβ. Deste modo, pelo Teorema 1.3.1, A e αβ são iteiros sobre A, isto é, A, αβ A B. Corolário (Samuel, 1967, p.29, Corol.2) Sejam B um ael e A um subael de B. O cojuto A B dos elemetos de B que são iteiros sobre A é um subael de B que cotém A. Demostração. Pelo Corolário 1.3.2, segue que A A B e αβ A B, α, β A B, assim A B é subael de B. Por outro lado A A B, pois se a A, etão a é raiz do poliômio môico p(x) = X a, que tem coeficietes em A, isto é, a é iteiro sobre A e assim a A B. Defiição Sejam B um ael e A um subael de B. Dizemos que B é iteiro sobre A, se todo elemeto de B é iteiro sobre A, isto é, se A B = B. Exemplo Detre os aéis que satisfazem esta codição, citamos o ael dos iteiros de Gauss cotedo Z, pois todo elemeto a+bi de Z[i] é raiz do poliômio X 2 2aX+(a 2 +b 2 ) Z[X]. Proposição (Samuel, 1967, p.29, Prop.2) Sejam R um ael, B um subael de R e A um subael de B. Etão R é iteiro sobre A se, e somete se, R é iteiro sobre B e B é iteiro sobre A.

9 30 CARINA ALVES ANTONIO APARECIDO DE ANDRADE Demostração. Supohamos R iteiro sobre A e seja α B. Como B R, segue que α é iteiro sobre A, ou seja, B é iteiro sobre A. Para mostrar que R é iteiro sobre B, seja α R. Etão existem a 0, a 1,, a 1 A tal que α + a 1 α a 1 α + a 0 = 0. Como A B, segue que α é iteiro sobre B, ou seja, R é iteiro sobre B. Por outro lado, seja α R. Como R é iteiro sobre B, etão existem b 0, b 1,, b 1 B, ão todos ulos tal que α +b 1 α 1 + +b 1 α+ b 0 = 0. Seja C = A[b 0, b 1,, b 1 ]. Logo α é iteiro sobre C, pois α é raiz de um poliômio môico com coeficietes em C. Como B é iteiro sobre A, segue que os b i s B são iteiros sobre A. Daí pelo Corolário temos que A[b 0,, b 1, α] = C[α] é um A-módulo fiitamete gerado e pela parte (c) do Teorema 1.3.1, segue que α é iteiro sobre A. Portato R é iteiro sobre A. Proposição (Samuel, 1967, p.29, Prop.3) Sejam A B aéis com B um domíio e iteiro sobre A. Etão A é um corpo se, e somete se, B é um corpo. Demostração. Supoha que A seja um corpo. Seja α B, α 0. Como B é iteiro sobre A etão α é iteiro sobre A e portato pelo Teorema segue que A[α] é um espaço vetorial fiitamete gerado sobre A, pois A é um corpo. Seja φ A[α] A[α] b bα, b A[α]. Temos que φ é A-liear e Ker(φ) = {b A[α] φ(b) = 0} = {0}, pois φ(b) = 0 se, e somete se, bα = 0 e como B é um domíio e α 0 segue que b=0. Deste modo, φ é ijetora e como estamos cosiderado espaços de mesma dimesão fiita, segue que φ é sobrejetora. Portato φ é bijetora. Assim, como 1 A[α] segue

10 RETICULADOS VIA CORPOS CICLOTÔMICOS 31 que exite b A[α] tal que b α = 1, ou seja, α é iversível em B. Portato B é um corpo. Por outro lado, seja α A, α 0. Como A B etão α B e como B é um corpo segue que α 1 B. Como B é iteiro sobre A, e α 1 B segue que (α 1 ) + a 1 (α 1 ) a 1 (α 1 ) + a 0 = 0, com a i A ão todos ulos. Multiplicado por α 1, obtemos α 1 + a a 1 α 2 + a 0 α 1 = 0 e etão α 1 = (a a 1 α 2 + a 0 α 1 ) A. Portato A é um corpo. Defiição Um ael A é chamado itegralmete fechado quado A é um domíio e é seu próprio fecho iteiro. Em outras palavras, um ael A é itegralmete fechado se todo elemeto do seu corpo de frações que é iteiro sobre A está em A. Proposição (Samuel, 1967, p.30, Ex.1) Se A é domíio, etão A B é itegralmete fechado. Demostração. Segue do fato de que o fecho iteiro de A B é iteiro sobre A B, portato sobre A. Proposição (Samuel, 1967, p.30, Ex.2) Se A é um domíio pricipal etão A é itegralmete fechado. Demostração. Seja K o corpo de frações de A. Seja α K iteiro sobre A, isto é, α A K tal que α = a, a, b A, b 0 e b mdc(a, b) = 1. Etão existem a i A, i = 0, 1,, 1, ão todos ulos, tal que Substituido α por a b temos α + a 1 α a 1 α + a 0 = 0.

11 32 CARINA ALVES ANTONIO APARECIDO DE ANDRADE a a 1 a b + a 1 b + + a1 b + a 0 = 0. Multiplicado por b ambos os lados, obtemos e assim a + a 1 a 1 b + + a 1 ab 1 + a 0 b = 0, a = b(a 1 a a 1 ab 2 + a 0 b 1 ). Portato b a e como mdc(a, b) = 1 segue que b a, ou seja, a = bc. Sedo mdc(a, b) = 1 etão existe x 0, y 0 A tal que ax 0 + by 0 = 1 bcx 0 +by 0 = 1 b(cx 0 +y 0 ) = 1. Portato b é iversível em A. Assim, α = ab 1 A. Portato A K A e como A A K segue que A = A K. Portato A é itegralmete fechado. Exemplo O ael Z dos úmeros iteiros é itegralmete fechado, pois é pricipal. Exemplo Todo domíio fatorial é itegralmete fechado, uma vez que é pricipal. 1.4 Elemetos algébricos sobre um corpo e extesões algébricas Nesta seção apresetamos as defiições de elemeto algébrico, extesão algébrica e poliômio miimal. Para isso, sejam A um ael e K um corpo de A. Dizemos que um elemeto α A é algébrico sobre K, se α é raiz de um poliômio ão ulo, com coeficietes em K. Se todo elemeto de A for algébrico sobre K, dizemos que A é algébrico sobre K. Um elemeto de A que ão é algébrico sobre K é dito trascedete sobre

12 RETICULADOS VIA CORPOS CICLOTÔMICOS 33 K. Se A é um corpo etão A é chamado uma extesão algébrica de K. Um corpo de úmeros é uma extesão fiita dos racioais. Sabemos, pelo Teorema do Elemeto Primitivo, que um corpo de úmeros K de grau é da forma Q(α) para algum elemeto α K. Como o poliômio miimal de α sobre Q é de grau, segue que Q(α) = {a 0 + a 1 α + + a 1 α 1 a i Q, i = 0,, 1}, e esta represetação é úica, ou seja, {1, α,, α 1 } é uma base para o espaço vetorial Q(α) sobre Q. Segudo a defiição, sedo α um elemeto algébrico sobre um corpo K, α satisfaz uma equação do tipo, a α +a 1 α 1 + +a 1 α+ a 0 = 0, com a i K, a 0. Multiplicado essa equação por a 1, obtemos uma equação de depedêcia iteira, α + a 1 a 1 α a 1 a 1 α + a 1 a 0 = 0, e portato, sobre um corpo, o coceito de elemeto algébrico coicide com o de elemeto iteiro. Exemplo O elemeto α = é algébrico sobre Q, pois é raiz do poliômio X 4 + 4X Q[X]. Defiição Sejam K L uma extesão de corpos e α um elemeto de L. O poliômio môico e de meor grau em K[X] que tem α como raiz é chamado de poliômio miimal de α sobre K e seu grau é [K(α) K]. 1.5 Norma e traço em uma extesão Nesta seção apresetamos os coceitos de orma e traço, ode a Proposição e o Corolário são os pricipais resultados. Sejam A um ael e B um A-módulo livre de posto. Sejam ψ B B um homomorfismo de aéis e {e 1, e 2,, e } uma

13 34 CARINA ALVES ANTONIO APARECIDO DE ANDRADE base de B sobre A. Etão ψ(e 1 ) = a 11 e 1 + a 12 e a 1 e ψ(e 2 ) = a 21 e 1 + a 22 e a 2 e ψ(e ) = a 1 e 1 + a 2 e a e, com a ij A, para todo i, j = 1,,. Assim ψ(e 1 ) ψ(e 2 ) ψ(e ) = a 11 a 12 a 1 a 21 a 22 a 2 a 1 a 2 a e 1 e 2 e. Defiição Defiimos o traço de ψ por Tr(ψ) = a ii, a orma de ψ por N(ψ) = det(a ij ) e o poliômio característico de ψ por g(x) = det(x.i ψ) = det(xδ ij a ij ). Como cosequêcia imediata desta defiição tem-se: Tr(ψ + ψ ) = Tr(ψ) + Tr(ψ ), N(ψψ ) = N(ψ)N(ψ ), det(x.i ψ) = X Tr(ψ)X ( 1) det(ψ). Defiição Sejam A um ael e B um A-módulo livre. Seja o edomorfismo ψ α B B defiido por ψ α (x) = αx, para todo x B. Defiimos o traço (respectivamete, orma e poliômio característico) de α B relativo a A, como o traço (respectivamete, determiate e poliômio característico) do edomorfismo ψ α. Usaremos as otações Tr B/A (α), N B/A (α), ou simplesmete, Tr(α), N(α) quado ão houver possibilidade de cofusão. Observação i) O traço e a orma são elemetos de A.

14 RETICULADOS VIA CORPOS CICLOTÔMICOS 35 ii) O poliômio característico é um poliômio môico com coeficietes em A. iii) Para α, α B e a A temos que ψ α + ψ α = ψ α+α e ψ α ψ α = ψ αα e ψ aα = aψ α. Além disso, a matriz de ψ a com respeito a uma base de B sobre A é a matriz diagoal cujas etradas ão ulas são a. Proposição (Samuel, 1967, p.36, Prop.1) Sejam K um corpo de característica zero ou um corpo fiito, L uma extesão algébrica de K de grau, α um elemeto de L e α 1,, α as raízes do poliômio miimal de α sobre K. Etão Tr L/K (α) = α α, N L/K (α) = α 1 α e g(x) = (X α 1 ) (X α ). Demostração. Cosideraremos primeiramete o caso em que α é um elemeto primitivo de L sobre K. Seja f(x) o poliômio miimal de α sobre K. Etão L é K-isomorfo a K[X]/ < f(x) > e {1, α,, α 1 } é uma base de L sobre K. Tomado f(x) = X + a 1 X 1 + +a 0, com a i K, temos que a matriz do edomorfismo ψ α com respeito a esta base é dada por ψ α (1) = α ψ α (α) = α 2 ψ α (α 1 ) = α M = a a a a 1 Assim, det(x.i ψ α ) é o determiate da matriz X.I M = X 0 0 a 0 1 X 0 a X a X + a 1..

15 36 CARINA ALVES ANTONIO APARECIDO DE ANDRADE Expadido esse determiate como um poliômio em X, obtemos o poliômio característico de α, que é igual a f(x) e temos que Tr(α) = a 1 e N(α) = ( 1) a 0. Como α é primitivo, segue que f(x) = (X α 1 ) (X α ) e igualado os coeficietes vemos que Tr(α) = α α e N(α) = α 1 α. Cosideremos agora o caso geral. Se r = [L K[α]], é suficiete mostrarmos que o poliômio característico g(x) de α, com relação a L sobre K, é igual a r-ésima potêcia do poliômio miimal de α sobre K. Seja {y i },,q uma base de K[α] sobre K e seja {z j } j=1,,r uma base de L sobre K[α]. Etão {y i z j } é uma base de L sobre K com = qr. Se M = (a ih ) é a matriz de multiplicação por α em K[α] com relação a base {y i }, temos que αy i = a ih y h h. Etão temos, α(y i z j ) = h a ih y h z j = h a ih y h z j. Logo, αy 1 z 1 = a 11 y 1 z 1 + a 12 y 2 z a 1q y q z 1 αy 2 z 1 = a 21 y 1 z 1 + a 22 y 2 z a 2q y q z 1 αy q z 1 = a q1 y 1 z 1 + a q2 y 2 z a qq y q z 1. Assim, a matriz do edomorfismo de α em L com relação a base {y i z j }, ordeada lexicograficamete é dada por M 1 = M M M, isto é, M aparece r-vezes a diagoal como blocos a matriz M 1. Daí, a matriz XI M 1 cosiste de r blocos diagoais, cada um tem a forma XI q M, e cosequetemete, det(xi M 1 ) = det(xi q

16 RETICULADOS VIA CORPOS CICLOTÔMICOS 37 M 1 ) r. Assim g(x) = det(xi q M) e det(xi q M) é o poliômio característico de α sobre K, de acordo com a primeira parte da demostração. Proposição (Samuel, 1967, p.38, Prop.2) Sejam A um domíio, K seu corpo de frações com característica zero, L uma extesão fiita de K e α um elemeto de L iteiro sobre A. Etão os coeficietes do poliômio característico g(x) de α relativo a L sobre K, em particular, Tr L/K (α) e N L/K (α), são iteiros sobre A. Demostração. Pela Proposição 1.5.1, temos que g(x) = (X α 1 ) (X α ). Como os coeficietes de g(x) a meos de sial, são somas de produtos dos α i s, é suficiete mostrarmos que cada α i é iteiro sobre A. Mas cada α i é um cojugado de α sobre K, ou seja, existe um K-isomorfismo σ i K[α] K[α i ] tal que σ i (α) = α i. Como α é iteiro sobre A, etão α + a 1 α a 1 α + a 0 = 0, com a i A ão todos ulos. Aplicado σ i, obtemos σ i (α) + a 1 σ i (α) a 1 σ i (α) + a 0 = 0, ou seja, σ i (α) = α i é iteiro sobre A, portato Tr L/K (α) e N L/K (α), são iteiros sobre A. Corolário (Samuel, 1967, p.38, Corol.1) Nas codições da Proposição 1.5.2, se A é um ael itegralmete fechado, etão os coeficietes do poliômio característico de α, e em particular, Tr L/K (α) e N L/K (α) são elemetos de A. Demostração. Por defiição esses coeficietes são elemetos de K. Pela Proposição são iteiros sobre A. Logo, são elemetos de A, pois A é itegralmete fechado.

17 38 CARINA ALVES ANTONIO APARECIDO DE ANDRADE Observação Observado a Proposição temos que Tr(α) = σ i (α), N(α) = σ i (α) e g α (X) = (X σ i (α)), ode σ i, i = 1,, são os K- moomorfismos de L em C. Sejam K L M corpos de úmeros, α, α M e a K. Etão valem as seguites propriedades: 1. Tr M/K (α + α ) = Tr M/K (α) + Tr M/K (α ) 2. Tr M/K (aα) = atr M/K (α) 3. Tr M/K (a) = [M K]a 4. Tr M/K (α) = Tr L/K (Tr M/L (α)). 5. N M/K (αα ) = N M/K (α)n M/K (α ) 6. N M/K (a) = a [M K] 7. N M/K (aα) = a [M K] N M/K (α) 8. N M/K (α) = N L/K (N M/L (α)). 1.6 Discrimiate Nesta seção apresetamos o coceito de discrimiate efocado suas pricipais propriedades, e o Teorema é o pricipal resultado. Defiição Sejam B um ael e A um subael de B tal que B é um A-módulo livre de posto fiito. Dado (α 1, α 2,, α ) B, defiimos o seu discrimiate por D B/A (α 1, α 2,, α ) = det(tr(α i α j )). Exemplo Sejam K = Q( 3) um corpo de úmeros e {1, 3} uma base de K sobre Q. Etão D B/A (1, 3) = Tr(1) Tr( 3) Tr( 3) Tr( 3) 2 = = 12.

18 RETICULADOS VIA CORPOS CICLOTÔMICOS 39 Proposição (Samuel, 1967, p.38, Prop.1) Seja (α 1,, α ) B. Se (β 1,, β ) B é um cojuto de elemetos de B tais que β i = a ij α j, com a ij A, etão j=1 D B/A (β 1,, β ) = (det(a ij )) 2 D B/A (α 1,, α ). Demostração. Sejam β p = a pi α i e β q = a qj α j, com a pi, a qj j=1 A. Assim, β p β q = a pi α i a qj α j = j=1 i,j=1 a pi a qj α i α j, e etão Tr(β p β q ) = Tr( a pi a qj α i α j ) = a pi a qj Tr(α i α j ). Na forma matricial, temos i,j i,j (Tr(β p β q )) = (a pi )(Tr(α i α j ))(a qj ) t. Pela Defiição temos que D B/A (β 1,, β ) = det(tr(β p β q )). Logo D B/A (β 1,, β ) = det((a pi )(Tr(α i α j ))(a qj ) t ) = det(a pi )det(tr(α i α j ))det(a qj ) t = det(a ij ) 2 D B/A (α 1,, α ). Exemplo Pelo exe vimos que o discrimiate da base {1, 3} do corpo de úmeros K = Q( 3) é igual a 12. Agora, cosiderado uma outra base para o corpo K, por exe, {2 3, }, segue pela Proposição 1.6.1, que 2 3 = ( 1) 3 e = Assim D K/Q (2 3, 3+4 3) = det D K/Q (1, 3) = (11) Observação A Proposição implica que o discrimiate das bases de B sobre A são associados, isto é, a matriz (a ij ) que expressa uma base em termos da outra tem uma matriz iversa com etradas em A. Portato, ambos det(a ij ) e det(a ij ) 1 são iversíveis em A.

19 40 CARINA ALVES ANTONIO APARECIDO DE ANDRADE Defiição Sejam B um ael e A um subael de B tal que B é um A-módulo livre de posto fiito. O discrimiate de B sobre A é um ideal de A, dado por D B/A = D B/A (α 1,, α ), ode {α 1,, α } é base de B sobre A. Proposição (Samuel, 1967, p.39, Prop.2) Supohamos que D B/A cotém um elemeto que ão é um divisor de zero. Etão, para que (α 1,, α ) B seja uma base de B sobre A, é ecessário e suficiete que, D B/A (α 1,, α ) gera D B/A. Demostração. Se {α 1, α 2,, α } é uma base de B sobre A, etão pela Proposição 1.6.1, segue que D B/A (α 1,, α ) gera D B/A. Reciprocamete, supohamos que d = D B/A (α 1,, α ) gera D B/A. Sejam {e 1,, e } uma base de B sobre A, d = D B/A (e 1,, e ) e α i = a ij e j com a ij A, 1 i. Pela Proposição 1.6.1, se- j=1 gue que d = det(a ij ) 2 d. Por hipótese, Ad = D B/A = Ad. Logo, existe um elemeto b A tal que d = bd. Etão d = det(a ij ) 2 bd, e portato d(1 det(a ij ) 2 b) = 0. Temos que d ão é um divisor de zero, pois se fosse todo elemeto de Ad = D B/A seria um divisor de zero, cotrariado a hipótese. Logo, 1 det(a ij ) 2 b = 0, e portato det(a ij ) é iversível. Assim, a matriz M = [a ij ] é iversível. Portato, {α 1,, α } é uma base de B sobre A. Lema ( Lema de Dedekid) (Samuel, 1967,p.39) Sejam G um grupo, K um corpo e σ 1,, σ homomorfismos distitos de G o grupo multiplicativo K. Etão {σ 1,, σ } são liearmete m idepedetes sobre K. Demostração. Supohamos que os σ i s sejam liearmete depedetes. Seja a i σ i = 0, a i K uma combiação liear mí-

20 RETICULADOS VIA CORPOS CICLOTÔMICOS 41 ima com a i 0, i. Logo, para qualquer x G, temos que a 1 σ 1 (x) + a 2 σ 2 (x) + + a m σ m (x) = 0. (1.3) Como os homomorfismos são distitos, etão existe c G tal que σ 1 (c) σ m (c). Agora, como cx G, segue que a 1 σ 1 (cx) + a 2 σ 2 (cx) + + a m σ m (cx) = 0 (1.4) e etão a 1 σ 1 (c)σ 1 (x) + a 2 σ 2 (c)σ 2 (x) + + a m σ m (c)σ m (x) = 0. (1.5) Multiplicado (1.3) por σ 1 (c), obtemos a 1 σ 1 (c)σ 1 (x) + a 2 σ 1 (c)σ 2 (x) + + a m σ 1 (c)σ m (x) = 0. (1.6) Subtraido (1.5) de (1.6) obtemos a 2 σ 2 (x)(σ 2 (c) σ 1 (c)) + + a m σ m (x)(σ m (c) σ 1 (c)) = 0. (1.7) Como isso vale para todo x G e m é míimo, segue que a m (σ m (c) σ 1 (c)) = 0, ou seja, σ m (c) = σ 1 (c) para todo c G, visto que a m 0, o que cotradiz a hipótese de que os homomorfismos são distitos. Proposição (Samuel, 1967, p.39, Prop.3) Sejam K um corpo, L uma extesão fiita de K de grau e σ 1,, σ os Kisomorfismos distitos de L em um corpo algebricamete fechado F cotedo K. Se {α 1,, α } é uma base de L sobre K, etão D L/K (α 1,, α ) = (det(σ i (α j ))) 2 0. Demostração. Temos que D L/K (α 1,, α ) = det(tr(α i α j )). Como o traço de α i α j é a soma dos seus cojugados, segue que D L/K (α 1,

21 42 CARINA ALVES ANTONIO APARECIDO DE ANDRADE α ) = det(tr(α i α j )) = det σ k (α i α j ) = det σ k=1 k (α i )σ k (α j ) = k=1 det(σ k (α i )) det(σ k (α j )) = (det(σ i (α j ))) 2, uma vez que σ 1 (α 1 ) σ 2 (α 1 ) σ (α 1 ) σ 1 (α 2 ) σ 2 (α 2 ) σ (α 2 ) σ 1 (α ) σ 2 (α ) σ (α ) σ 1 (α 1 ) σ 1 (α 2 ) σ 1 (α ) σ 2 (α 1 ) σ 2 (α 2 ) σ 2 (α ) σ (α 1 ) σ (α 2 ) σ (α ) = = σ k (α i α j ). k=1 Supoha por absurdo que det(σ k (α j )) = 0. Etão existem a 1,, a F, ão todos ulos, tal que a i σ i (α j ) = 0 para todo j. Se α L, etão α = b i α i, com b i K, e por liearidade cocluímos que a i σ i (α) = 0. Mas isto cotradiz o Lema de Dedekid e portato det(σ k (α j )) 0. Corolário (Ribeiro, 2013, p.21, Corol.2.4.1) Sejam K um corpo, L uma extesão fiita de K de grau e σ 1, σ 2,, σ os Kisomorfismos distitos de L em um corpo algebricamete fechado F cotedo K. Etão a forma biliear ψ L L R defiida por ψ(α, β) = Tr(αβ) é ão degeerada, isto é, se Tr(αβ) = 0 para todo β L, etão α = 0. Demostração. Seja {α 1,, α } uma base de L sobre K. É suficiete mostrar que se Tr(αα j ) = 0, para todo j = 1,,, etão α = 0. Temos que α = a 1 α 1 +a 2 α 2 + +a α, com a i K, i = 1,,. Assim, se a 1 Tr(α 1 α j ) + a 2 Tr(α 2 α j ) + + α Tr(α α j ) = Tr(αα j ) = 0, para todo j = 1,,, etão obtemos o seguite sistema liear

22 RETICULADOS VIA CORPOS CICLOTÔMICOS 43 homogêeo Tr(α 1 α 1 ) Tr(α 1 α 2 ) Tr(α 1 α ) Tr(α 2 α 1 ) Tr(α 2 α 2 ) Tr(α 2 α ) Tr(α α 1 ) Tr(α α 2 ) Tr(α α ) a 1 a 2 a = Da Proposição 1.6.3, temos que det(tr(α i α j )) 0, e portato o sistema possui solução úica dada por a 1 = a 2 = = a = 0. Portato, α = 0. Corolário (Ribeiro, 2013, p.22, Obs.2.4.1) A aplicação ψ L Hom L (L, K) defiida por ψ(α) = S α, ode S α (β) = Tr(αβ), β L, é um isomorfismo. Assim, se {α 1,, α } é uma base de L sobre K, etão existe {ψ β1,, ψ β } base dual de Hom L (L, K) tal que Tr(αα j ) = ψ βi (α j ) = δ ij. Demostração. i) ψ é K-liear, uma vez que para β L temos que S α1 +α 2 (β) = Tr((α 1 + α 2 )β) = Tr(α 1 β) + Tr(α 2 β) = S α1 (β) + S α2 (β) = (S α1 + S α2 )(β). Portato ψ(α 1 + α 2 ) = S α1+α 2 = S α1 + S α2 = ψ(α 1 ) + ψ(α 2 ). Por outro lado, S kα (β) = Tr((kα)β) = Tr(kαβ) = ktr(αβ) = ks α (β). Portato ψ(kα) = S kα = ks α = kψ(α). ii) ψ é ijetora: Seja α L tal que ψ(α) = 0. Etão ψ(α) = S α = 0, e isto implica que S α (β) = Tr(αβ) = 0, β L. Pelo Corolário segue que α = 0. Portato Ker(ψ) = {0}, ou seja, ψ é ijetora. iii) ψ é sobrejetora: Como dim K L = dim K L, ode L = Hom(L, K), segue que ψ é sobrejetora. Por (i), (ii), e (iii) cocluímos que ψ é um isomorfismo. Teorema (Samuel, 1967, p.40, Teo.1) Sejam A um ael itegralmete fechado, K seu corpo de frações com característica

23 44 CARINA ALVES ANTONIO APARECIDO DE ANDRADE zero, L uma extesão fiita de K de grau e A L o fecho iteiro de A em L. Etão A L é um A-submódulo de um A-módulo livre de posto. Demostração. Seja {α 1,, α } uma base de L sobre K. Como toda extesão fiita é algébrica, segue que cada α i é algébrico sobre K e assim existem a i A, i = 1,,, ão todos ulos tal que a α i + a 1 α 1 i + + a 1 α i + a 0 = 0. Supohamos que a 0 e multiplicado esta equação por a 1, temos que ou seja, a 1 (a αi + a 1 αi a 1 α i + a 0 ) = 0, (a α i ) + a 1 (a α i ) a 1 a 2 (a α i ) + a 1 a 0. Portato a α i A L, ou seja, a α i é iteiro sobre A. Logo, a α i = z i, com z i A L. Portato {z 1,, z } forma uma base de L sobre K cotida em A L, uma vez que se b 1 z b z = 0 com b i K, etão b 1 (a α 1 )+ +b (a α ) = 0, ou seja, (b 1 a )α 1 + +(b a )α = 0. Como {α 1,, α } é base de L sobre K, segue que b i a = 0, para todo i, e como a 0, segue que b i = 0, para todo i, o que prova que {z 1,, z } é liearmete idepedete, e como possui elemetos, segue que é uma base de L sobre K. Pelo Corolário existe uma base {β 1,, β } de L sobre K, tal que Tr(z i β j ) = δ ij. Tomado ρ A L, e como {β 1,, β } é uma base de L sobre K, escrevemos ρ = c j β j com c j K. Para todo i temos j=1 z i ρ A L, uma vez que z i A. Portato, pelo Corolário 1.5.1, temos que Tr(z i ρ) A. Assim, como Tr(z i ρ) = Tr j c j z i β j =

24 RETICULADOS VIA CORPOS CICLOTÔMICOS 45 j c j Tr(z i β j ) = j c j δ ij = c i, cocluímos que c i A, para todo i, o que implica que A L é um submódulo do A-módulo livre Aβ j. j=1 Corolário (Samuel, 1967, p.40, Corol.1) Cosiderado as hipóteses do Teorema 1.6.1, se A é um ael pricipal, etão A L é um A-módulo livre de posto. Demostração. Pelo Teorema temos que um submódulo de um A-módulo livre com A pricipal, é livre com posto. Pelo Teorema vimos que A L cotém uma base com elemetos de L sobre K. Logo A L tem posto. Exemplo Sejam K uma extesão fiita de Q e A = Z. O ael A K dos iteiros algébricos de K é um Z-módulo livre de posto [L Q], visto que Z é pricipal. Defiição Sejam K uma extesão fiita de Q, A = Z e A K o ael dos iteiros algébricos de K. Temos que A K é um Z-módulo livre de posto [K Q], cuja base é chamada de base itegral, e seu discrimiate é chamado de discrimiate absoluto e deotamos por D K. Observação Qualquer base itegral de A K é uma Q-base de K mas em toda Q-base de K cosistido de iteiros algébricos é uma base itegral de A K. Exemplo Temos que {1, 5} é uma Q-base de K = Q( 5), mas ão é uma base itegral de A K, pois o elemeto é raiz 2 de X 2 X + 1 e portato iteiro algébrico, mas ão é combiação liear, com coeficietes em Z, de 1 e 5.

25 46 CARINA ALVES ANTONIO APARECIDO DE ANDRADE Proposição (Ribeiro, 2013, p.23, Prop.2.4.4) Sejam K um corpo, L = K[α] uma extesão fiita de K de grau e f(x) o poliômio miimal de α sobre K. Etão, D L/K (1, α,, α 1 ) = ( 1) 1 2 ( 1) N L/K (f (α)), ode f (α) é a derivada de f(α). Demostração. Se α 1,, α são as raízes de f(x) em alguma extesão de K, etão são cojugados de α. Pela Proposição temos que D L/K (1, α,, α 1 ) = det(σ i (α j )) 2 = det(α j i ) 2, com i = 1,, e j = 0,, 1. Como det(α j i ) é um determiate de Vadermode segue que det(α j i ) 2 = (α i α k ) = [(α 1 k<i i 1 k<i α k )(α i α k )] = ( 1) 1 2 ( 1) (α i α k ) = ( 1) 1 2 ( 1) k=1, k i ( 1) 1 2 ( 1) N L/K (f (α)). 1 k<i, i k (α i α k ) = ( 1) 1 2 ( 1) 2 f (α i ) = Exemplo Sejam K = Q, L = Q( 3) e f(x) = X 2 3 o poliômio miimal de 3 sobre Q. Etão D L/K (1, 3) = ( 1) N L/K (f ( 3)) = N L/K (2 3) = 2 2 N L/K ( 3) = 4( 3)( 3) = Aéis Noetheriaos e aéis de Dedekid Os pricipais objetivos desta seção são provar que o ael dos iteiros algébricos de um corpo de úmeros é um domíio de Dedekid e mostrar a uicidade da fatoração de um ideal ão ulo como um produto de ideais primos este domíio. Defiição Sejam A um ael e M um A-módulo. Dizemos

26 RETICULADOS VIA CORPOS CICLOTÔMICOS 47 que M é um A-módulo Noetheriao se satisfaz uma das seguites codições: i) Todo cojuto ão vazio de submódulos de M cotém um elemeto maximal. ii) Toda sequêcia crescete de submódulos de M é estacioária. iii) Todo submódulo de M é fiitamete gerado. Um ael A é chamado Noetheriao se quado cosiderado como um A-módulo for Noetheriao. Exemplo Todo ael pricipal é Noetheriao, uma vez que seus ideais são submódulos gerados por um elemeto. Proposição (Samuel, 1967, p.46, Prop.1) Sejam A um ael, M um A-módulo e M um submódulo de M. Etão M é Noetheriao se, e somete se, M e M M são Noetheriaos. Demostração. Supohamos que M é Noetheriao. Seja (M ) 0 uma sequêcia crescete de submódulos de M, que também é uma sequêcia de submódulos de M. Como M é Noetheriao, segue que (M ) 0 é estacioária, ou seja, M é Noetheriao. Para mostrarmos que M M é Noetheriao, sejam S = {cojuto dos submódulos de M cotedo M } e S = {cojuto dos submódulos de M M }. Temos que existe uma aplicação bijetora φ S S defiida por φ(h) = φ(h) ode φ M M M é o homomorfismo caôico. A iversa de φ é dada por θ S S, ode θ(h ) = φ 1 (H ). Através do isomorfismo φ temos que M M também é Noetheriao, uma vez que se (H ) 0 é uma sequêcia crescete de submódulos de M M, etão (θ(h )) 0 é uma sequêcia crescete de submódulos de M e como M é Noetheriao, segue que (θ(h )) 0 é estacioária, o que implica que (H ) 0 é estacioária, ou seja, M é Noetheriao. M

27 48 CARINA ALVES ANTONIO APARECIDO DE ANDRADE Reciprocamete, supoha que M e M M são Noetheriaos. Seja (M ) 0 uma sequêcia crescete de submódulos de M. Como M é Noetheriao, segue que a sequêcia (M M ) 0 é estacioária, e como M M é Noetheriao, segue que a sequêcia M + M M 0 é estacioária. Assim, a sequêcia (M + M ) 0 é estacioária e portato (M ) 0 é estacioária, ou seja, M é Noetheriao. Corolário (Samuel, 1967, p.47, Corol.1) Sejam A um ael e M 1,, M A-módulos Noetheriaos. Etão M 1 M é um A-módulo Noetheriao. Demostração. Faremos a prova por idução sobre. Para = 2 idetificado M 1 M 1 {0} M 1 M 2 e M 2 {0} M 2 M 1 M 2, temos que M 1 M 2 M 1 {0} é isomorfo a M 2. Como M 2 e M 1 {0} são Noetheriaos, segue da Proposição que M 1 M 2 é Noetheriao. Agora, supoha por hipótese de idução que M = M 1 M 1 é Noetheriao. Como M é Noetheriao, segue do caso = 2 que M = M 1 M é Noetheriao. Corolário (Samuel, 1967, p.47, Corol.2) Sejam A um ael Noetheriao e M um A-módulo fiitamete gerado. Etão M é um A-módulo Noetheriao. Demostração. Seja {e 1,, e } um cojuto de geradores de M sobre A. Temos que a aplicação φ A M defiida por φ(a 1, a 2,, a ) = a i e i é um homomorfismo sobrejetor e que A Ker(φ) é isomorfo a M. Pelo Corolário temos que A é Noetheriao, e da Proposição 1.7.1, segue que Ker(φ) e M são Noetheriaos.

28 RETICULADOS VIA CORPOS CICLOTÔMICOS 49 Proposição (Samuel, 1967, p.47, Prop.1) Sejam A um ael Noetheriao e itegralmete fechado, K seu corpo de frações com característica zero, L uma extesão de K de grau e A L o fecho iteiro de A em L. Etão A L é um A-módulo fiitamete gerado e um ael Noetheriao. Demostração. Segue do Teorema que A L é um A-submódulo de um A-módulo livre de posto, e portato A é um Amódulo fiitamete gerado. Pelo Corolário 1.7.2, segue que A L é um A-módulo Noetheriao. Como os ideais de A L são A-submódulos de A L, e sedo A L um A-módulo Noetheriao segue que os ideais de A L são Noetheriaos. Portato, A L é um ael Noetheriao. Proposição (Samuel, 1967, p.47, Lema 1) Sejam B um ael, A um subael de B e p um ideal primo de B. Etão p A é um ideal primo de A. Demostração. Cosideremos os seguites homomorfismos A B π B, ode i é a iclusão e π a projeção, e seja o homomorfismo θ = π i A B/p, defiido por θ(a) = a + p, a p A. Temos que θ é um homomorfismo, pois é composição de homomorfismos, e que Ker(θ) = A p, pois se x Ker(θ) etão x A e θ(x) = 0 o que implica que x A e x + p = 0, ou seja, x A p. Logo, Ker(θ) A p. Por outro lado, se y A p etão θ(y) = (π i)(y) = π(y) = y + p = 0 e assim y Ker(θ), ou seja, A p Ker(θ). Portato, Ker(θ) = A p. Logo, pelo Teorema do Isomorfismo de aéis, temos que A/A p Im(θ) B/p. Mas como B/p é um domíio, Im(θ) é um domíio. Portato, A/A p é um domíio, ou seja, A p é um ideal primo. Proposição (Samuel, 1967, p.48, Lema 2) Se um ideal primo p de um ael A cotém um produto a 1 a de ideais de A, etão p cotém pelo meos um dos ideais a i. i

29 50 CARINA ALVES ANTONIO APARECIDO DE ANDRADE Demostração. Supohamos que a i p, i = 1,,. Etão para cada i = 1,, existe um elemeto α j a i p. Assim α 1 α p, pois p é um ideal primo, e α 1 α a 1 a p o que é um absurdo uma vez que α i p, i = 1,,. Portato, a i p, para algum i = 1,,. Proposição (Samuel, 1967, p.48, Lema 3) Se A é um ael Noetheriao, etão todo ideal ão ulo de A cotém um produto de ideais primos ão ulos de A. Demostração. Sedo A Noetheriao, seus ideais são A-módulos Noetheriaos. Seja F o cojuto de todos os ideais ão ulos de A que ão cotém um produto de ideais primos ão ulos de A. Supoha que F. Como A é Noetheriao segue que F possui um elemeto maximal M. Temos que M ão é primo, pois caso cotrário, M ão perteceria a F. Além disso, temos que M A. Por M ão ser um ideal primo, existem elemetos x, y A M tais que xy M, e que os ideais < x > +M e < y > +M cotém M propriamete. Pela maximalidade de M estes ideais ão estão em F, e assim existem ideais p 1,, p r, q 1,, q s primos ão ulos de A, tais que < x > +M p 1 p r e < y > +M q 1 q s. Assim, M < xy > +M p 1 p r q 1 q s, o que é um absurdo. Assim F = e portato todo ideal ão ulo de A cotém um produto de ideais primos ão ulos de A. Defiição Um ael A é chamado um ael de Dedekid, se A é Noetheriao, itegralmete fechado e se todo ideal primo ão ulo de A é maximal. Exemplo Todo domíio A de ideais pricipais é um domíio de Dedekid. De fato, do exe segue que A é Noetheriao. Da Proposição segue que é A itegralmete fechado. Além

30 RETICULADOS VIA CORPOS CICLOTÔMICOS 51 disso, em um domíio de ideais pricipais todo ideal primo ão ulo é maximal. Portato A é um domíio de Dedekid. Teorema (Samuel, 1967, p.49, Teo.1) Sejam A um ael de Dedekid, K seu corpo de frações, L uma extesão de grau fiita de K e A L o fecho iteiro de A em L. Etão A L é um ael de Dedekid. Demostração. Sabemos que A L é itegralmete fechado, Noetheriao e é um A-módulo fiitamete gerado. Falta mostrar que todo ideal primo p 0 de A L é maximal. Pela Proposição 1.7.3, temos que p A é um ideal primo de A. Seja x p 0 e cosideremos a equação de depedêcia iteira de x sobre A dada por x + a 1 x a 1 x + a 0 = 0, com a i A, i = 1,, 1, ão todos ulos, de grau míimo. Assim a 0 0, pois caso cotrário obteríamos uma equação de grau meor. Portato temos que a 0 = x(x 1 + a 1 x a 1 ) A L x A p A, ou seja, p A 0. Como A é Dedekid, segue que p A é um ideal maximal de A e portato A/(p A) é um corpo. Além disso, A/p A pode ser idetificado com um subael de A L /p, e como A L é iteiro sobre A, segue que A L /p é iteiro sobre A/p A. Assim, pela Proposição temos que A L /p é corpo e portato p é maximal. Exemplo Segue do Teorema que o ael do iteiros de um corpo de úmeros é um ael de Dedekid. Exemplo Seja o ael Z[ 5]. Temos que Z[ 5] ão é fatorial, uma vez que 6 = 2 3 = (1 + 5)(1 5). Além disso, Z[ 5] ão é um ael pricipal. De fato, temos que N(1+ 5) = N(1 5) = 6, N(2) = 4 e N(3) = 9, e que 1+ 5 ão possui um divisor ão trivial em Z[ 5] pois se a + b 5 é um

31 52 CARINA ALVES ANTONIO APARECIDO DE ANDRADE divisor ão trivial de 1+ 5, ou seja, se 1+ 5 = (a+b 5)y, com y Z[ 5], y ±1 e y 1 + 5, etão 6 = N(1 + 5) = N(a + b 5)N(y) e que N(a + b 5) seria um divisor ão trivial de 6, mas isto é impossível, pois a 2 + 5b 2 = 2 e a 2 + 5b 2 = 3, ão possui solução em Z. Assim, é um elemeto primo. Agora, se Z[ 5] fosse pricipal e como divide 6 = 2 3, segue que divide 2 ou 3. Tomado as ormas temos que 6 divide 4 ou 9, o que é um absurdo. Portato Z[ 5] ão é um ael pricipal. Defiição Sejam A um domíio e K seu corpo de frações. Um A-submódulo I de K é chamado de ideal fracioário de A se existe um d A {0} tal que d I A. Quado d = 1 dizemos que I é um ideal iteiro. Observação Segue da Defiição que os elemetos de um ideal fracioário I tem um deomiador comum d A. Proposição (Ribeiro, 2013, p.29) Se A é um domíio Noetheriao etão todo ideal fracioário I de A é um A-módulo fiitamete gerado. Demostração. Como I é um ideal fracioário, etão existe d A {0} tal que d I A. Assim, I d 1 A. Além disso, d 1 A é um A-módulo e a fução φ A d 1 A tal que φ(x) = d 1 x defie um isomorfismo etre A e d 1 A, e como A é Noetheriao etão cocluímos que d 1 A é Noetheriao. Logo, I é um A-módulo fiitamete gerado. Proposição (Ribeiro, 2013, p.29) Sejam A um domíio e K seu corpo de frações. Todo A-submódulo fiitamete gerado de K é um ideal fracioário.

32 RETICULADOS VIA CORPOS CICLOTÔMICOS 53 Demostração. Se {x 1,, x } é um cojuto fiito de geradores de I, etão os x i s tem um deomiador comum d dado pelo produto dos deomiadores d i, ode x i = a i di 1, com a i, d i A. Assim di A e portato I é um ideal fracioário. Observação O produto II de dois ideais fracioários I e I é defiido como o cojuto das somas x i y i i com x i I e y i I. Sedo I e I ideais fracioários com deomiadores comus d e d, etão os cojutos I I, I + I e II são ideais fracioários, os quais são A-submódulos de K e tem deomiadores comus d ou d, dd e dd, respectivamete. Lema (Ribeiro, 2013, p.31, Lema 2.7.1) Sejam A um ael de Dedekid que ão é um corpo e K seu corpo de frações. Seja m um ideal maximal de A. Etão m = {x K xm A} é um ideal fracioário de K. Demostração. Como A ão é um corpo, temos que m {0} e que m, pois 0 m. Sejam x, y m. Etão pela defiição de m, temos que xm A e ym A, e portato (x + y)m = xm + ym A, ou seja, x + y m. Agora, sejam x m e a A. Assim xm A, e portato (xa)m = a(xm) A, ou seja, xa m. Fialmete, temos que dm A, para todo d A {0}, ou seja, m é um ideal fracioário de K. Teorema (Samuel, 1967, p.50, Teo. 2) Sejam A um ael de Dedekid que ão é um corpo e K seu corpo de frações. Todo ideal maximal de A é iversível o cojuto dos ideais fracioários de A. Demostração. Seja m um ideal maximal de A. Pelo Lema temos que m = {x K xm A} é um ideal fracioário de K.

33 54 CARINA ALVES ANTONIO APARECIDO DE ANDRADE Pela defiição de m, segue que m m A, e como m é um ideal de A, segue que m = ma mm A. Desde que m é maximal, temos que mm = m ou mm = A. Vamos mostrar que mm m. Para isto supohamos que mm = m. Seja x m. Etão xm m; x 2 m m; ; x m m. Se d m é ão ulo, temos que x d A, para todo N. Assim, A[x] é um ideal fracioário de A, e como A é Noetheriao, segue da Proposição que A[x] é um A-módulo fiitamete gerado. Portato, pelo Teorema segue que x é iteiro sobre A, e como A é itegralmete fechado, segue que x A, ou seja, m A. Como A m, segue que A = m. Por outro lado, se a m < 0 >, etão pela Proposição 1.7.5, o ideal aa cotém um produto de ideais primos ão ulos p 1 p, de A com o meor possível. Assim, m aa p 1 p. Pela Proposição temos que m p i, para algum i = 1,,, e sem perda de geeralidade, digamos que m p 1. Como p 1 é maximal pois A é Dedekid, segue que m = p 1. Tomado b = p 2 p, temos que aa mb e aa b devido a miimalidade de. Assim, existe z b tal que z aa. Como mb aa segue que m z a A. Assim, z a m, e como z aa, temos que z a A, ou seja, m A, o que cotradiz o fato de m = A. Portato, mm = A, ou seja, m é o iverso de m. Teorema (Samuel, 1967, p.50, Teo.3(a)) Sejam A um ael de Dedekid e a A um ideal ão ulo de A. Etão existem ideais primos ão ulos p 1,, p t de A e iteiros positivos e 1,, e t tal que a = t p e i i, e esta expressão é úica. Demostração. p 1, Pela Proposição 1.7.5, existem ideais primos, p v ão ulos de A tal que p 1..p v a. Provemos que a é um

34 RETICULADOS VIA CORPOS CICLOTÔMICOS 55 produto de ideais primos por idução sobre v. Se v = 1, temos que a p 1, mas como p 1 é maximal, pois A é Dedekid, etão a = p 1, e assim a é primo. Agora, supohamos que todo ideal que cotém um produto com v 1 ideais primos ão ulos de A é um produto de ideais primos de A. Temos que p 1 p v a, e como A é Dedekid segue que a está cotido em um ideal maximal m de A. Seja m 1 o ideal fracioário iverso de m. Como m a p 1 p v, segue da Proposição 1.7.4, que m cotém um dos p is, para i = 1, v. Supohamos que m p v, e assim, m = p v, pois p v é maximal. Portato p 1 p v 1 am mm = A. Da hipótese de idução decorre que am 1 = q 1 q s, com q js, para j = 1,, s, ideais primos ão ulos de A, e portato a = q 1 q s p v, como queríamos. Para provar a uicidade supohamos que t p ei = h j=1 p ej. Etão A = p e i e j. Se e i e j 0, podemos separar os expoetes positivos e os expoetes egativos e reescrevê-los como p α 1 1 pα 2 2 pα r r = q β 1 1 qβ 2 2 qβ v v, com p i, q j ideais primos ão ulos de A e α i, β j > 0 para p i q j, i, j. Portato p 1 cotém q β 1 1 qβ 2 2 qβ v v e pela Proposição segue que p 1 q j, para algum j. Supohamos sem perda de geeralidade que p 1 q 1. Como p 1 e q 1 são ideais maximais, segue que p 1 = q 1. Portato e i e j = 0, isto é, e i = e j, o que é uma cotradição pois p i q j, i, j e assim cocluímos que a expressão é úica. Corolário Se A é um ael de Dedekid, etão o cojuto dos ideais fracioários ão ulos de A formam um grupo com relação a multiplicação. Demostração. (Samuel, 1967, p.50, Teo.3(b)).

35 56 CARINA ALVES ANTONIO APARECIDO DE ANDRADE 1.8 Norma de um ideal Sejam K uma extesão fiita de Q e A K o ael dos iteiros de K. Nesta seção apresetamos a orma de um ideal como uma geeralização da orma de um elemeto de A K. Defiição Seja a um ideal ão ulo de A K. A orma do ideal a, é defiida como o úmero de elemetos do ael quociete A K /a, isto é, N K/Q (a) = #(A K /a). Observação Quado ão houver dúvida quato ao ael que cotém o ideal a, usaremos N(a) ao ivés de N K/Q (a). Exemplo Seja a um ideal pricipal de Z[i], ode i 2 = 1, gerado por 2 i. Assim, Z[i] = {x + a; x Z[i]}. A orma de a é a o úmero das classes laterais de a. Uma vez que 2 i 0(mod a), segue que 2 i(mod a). Assim para x = a+bi, com a, b Z, temos que x = a + bi a + 2b(mod a). Como (2 + i)(2 i) = 5 a, segue que as classes laterais de a em Z[i] são {0, 1, 2, 1, 2}, ou seja, N(a) = 5. Proposição (Samuel, 1967, p.52, Prop.1) Se α A K, α 0, etão N(α) = #A K /A K α. Demostração. Seja α A K, α 0. Etão, pelo Corolário 1.5.1, temos que N(α) Z. Pelo Corolário temos que A K é um Z-módulo livre de posto. Além disso, como ψ A K A K α defiida por ψ(a) = aα, com a A K, é um isomorfismo, segue que A K α é um Z-submódulo livre de posto de A K. Pelo Teorema existe uma base {e 1, e 2,, e } do Z-módulo A K e elemetos c i N tal que {c 1 e 1, c 2 e 2,, c e } é uma base de A K α. Também temos que o grupo abeliao A K /A K α é isomorfo ao grupo abeliao Z/c i Z, cuja ordem é c 1 c 2 c. Agora seja a aplicação liear

36 RETICULADOS VIA CORPOS CICLOTÔMICOS 57 φ A K A K α defiida por φ(e i ) = c i α i, i = 1,,. Temos que det(φ) = c 1 c 2 c. Por outro lado, como {αe 1,, αe } também é uma base de A K α, segue que existe um edomorfismo de Z- módulo φ A K α A K α, defiido por φ(c i e i ) = αe i, i = 1,. Logo, como o det(φ) Z e é iversível, segue que det(φ) = ±1. Mas, a composição φφ é um homomorfismo, que é a multiplicação por α, e seu determiate é por defiição N(α). Portato, como det(φφ) = det(φ) det(φ), segue que N(α) = ±c 1 c = ±#(A K /A K α). Proposição (Samuel, 1967, p.52) Se a é um ideal ão ulo de A K, etão o quociete A K /a é fiito. Demostração. Seja α a, α 0. Temos que A K α a. Logo A K /a A K/A K α a/a K α. Assim, # A K A K α = #A K a # a <. Portato, A K α N(a) = # A K a é fiito. Proposição (Samuel, 1967, p.52, Prop.2) Se a e b são ideais ão ulos de A K, etão N(ab) = N(a)N(b). Demostração. Pelo Teorema 1.7.3, temos que b = i I p α i i, ode os p i s são ideais primos ão ulos de A K e α i 0, i I. Como A K é um domíio de Dedekid, etão os ideais p i, i I, são ideais maximais. Seja p i = m, para algum i I. Por idução sobre o úmero de fatores, é suficiete provar que N(am) = N(a)N(m). (1.8) Segue da defiição de orma que (1.8) se verifica se A K # am = # A K a # A K m. (1.9)

37 58 CARINA ALVES ANTONIO APARECIDO DE ANDRADE Mas, do homomorfismo sobrejetor φ A K am A K, defiido por a φ(x + am) = x + a, temos que Ker(φ) = a, e pelo Teorema do ap Isomorfismo temos que, A K am / a am A K/a. Logo, A K # am = # A K a # a am. (1.10) A De (1.9) e (1.10), podemos cocluir que (1.8) é verificado se # m = a a # am. Agora, mostremos que é um espaço vetorial sobre am A K de dimesão 1. De fato, sejam as operações m Estão bem defiidas: + a am a am a am (x + am, y + am) (x + y) + am. A K m a am a am (x + m, y + am) (αx) + am. Soma: x + am = x + am e y + am = y + am x x = 0 e y y = 0 x + y = x + y (x + am) + (y + am) = (x + am) + (y + am) (x + y) + am = (x + y ) + am. Produto: x + am = x + am e α + m = α + m x x am e α α m. Assim, α x αx = x (α α) + (x x)α am. Assim, a am é um espaço vetorial sobre A K m. Temos que os A K-submódulos a de são ideais e são do tipo b, ode b é um ideal tal que am am am b a. Mas, como todo ideal um domíio de Dedekid admite iverso, segue que a 1 am a 1 b a 1 a a 1 a=a K m a 1 b A K m maximal m = a 1 b ou a 1 b = A K am = b ou b = a.

38 RETICULADOS VIA CORPOS CICLOTÔMICOS 59 Portato, ão existe b tal que am b a. Assim, os A K -submódulos a de am, ou os subespaços do espaço vetorial a são apeas os am a triviais. Portato, dim A Km am = 1 e etão # A K am = # a am. 1.9 Formas quadráticas sobre o R Nesta seção apresetamos as formas quadráticas sobre o R, que serão muito útil o estudo das aplicações das formas quadráticas aos corpos ciclotômicos e desta forma calcular a desidade de cetro dos reticulados obtidos via esses corpos. Para cada iteiro, seja Q (X) a forma quadrática sobre o R defiida por Q (X) = Q (X 1,, X ) = X i 2 + (X i X j ) 2. 1 i<j Da igualdade 1 i<j obtém-se que (X i X j ) 2 = ( 1) X i 2 2 X i X j 1 i<j Q (X 1,, X ) = X i 2 2 X i X j. 1 i<j Observamos que Q (X) é uma fução positiva defiida e totalmete simétrica, isto é, Q (X 1,, X ) = Q (X σ(1),, X σ() ), ode σ é uma permutação qualquer do cojuto {1,, }. A próxima proposição é de grade importâcia o cálculo do raio de empacotameto de certos reticulados. Proposição (Flores, 1996, p.64, Prop.3.4.1) i) O meor valor que Q (X 1,, X ) assume com etradas iteiras ão todas

39 60 CARINA ALVES ANTONIO APARECIDO DE ANDRADE ulas é. ii) Para a Z, temos que Q (a) = quado a = ±(1, 1,, 1) ou a = ±e i, i = 1,, ; ode {e 1,, e } é a Z-base caôica de Z. Demostração. i) Observe que Q (X 1,, X ) = Q 1 (X 1,, X 1 ) + X 2 + (X i X ) 2. Se a 1 = = a 1 = 0, etão Q (a 1,, a ) = a 2 +( 1)a 2 = a 2, para a 0. Caso cotrário, por hipótese de idução, tem-se que Q 1 (a 1,, a 1 ) 1, 1 e este caso 1 a 2 + (a i a ) 2 1. De fato, se a 0 etão a 2 1. Caso cotrário, pelo meos uma das parcelas (a i a ) 2 será ão ula. ii) A prova se faz usado ovamete idução sobre. Para j = 1 temos que Q 1 (a) = Q 1 (a 1 ) = a 2 1 = 1, ode a 1 = ±1. Supohamos que o resultado seja válido para j = 1. Observe que 1 a 2 + (a i a ) 2 > 0. Assim temos que Q (a) = Q (a 1,, a ) = 1 Q 1 (a 1,, a 1 ) + a 2 + (a i a ) 2 > = 1. Agora, se 1 a 2 + (a i a ) 2 1 etão Q (a 1,, a ) assumiria um valor maior 1 que +1, o que cotraria o item (i). Portato, a 2 + (a i a ) 2 = 1 e assim Q (a) = Q (a 1,, a ) = =, se a = ±(1,, 1) ou a = ±e i, i = 1,, ode {e 1,, e } é a Z-base caôica de Z. Lema (Flores, 1996, p.80, Lema A.1) Se Q (X 1,, X ) = X i<j (X i X j ) 2, e a = (a 1,, a ) R, etão