TEORIA DE SISTEMAS LINEARES

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1 Ageda. Algebra Liear (Parte II). Atividades V Profa. Dra. Letícia Maria Bolzai Poehls 8// Potifícia Uiversidade Católica do Rio Grade do Sul PUCRS Faculdade de Egeharia FENG Programa de Pós-Graduação em Egeharia Elétrica PPGEE. Álgebra Liear. Álgebra Liear Combiações Lieares: Dado os vetores v, v,..., v do R e os escalares c, c,..., c, o vetor y defiido or: y = c v c v é chamado combiação liear de v,..., v com esos c,..., c Combiações Lieares (cot.): A equação vetorial (), tem o mesmo cojuto solução do sistema liear cuja matriz comleta é (): xa + xa x a = b () [ a... a ] () b Em articular, b ode ser gerado or uma combiação liear de a,... a sss existe uma solução ara o sistema liear corresodete a (). Álgebra Liear. Álgebra Liear Equação Matricial (Ax=b): Defiição: Se A é uma matriz mx com coluas a,..., a e x ertece a R, etão o roduto de A e x, deotado or Ax, é a combiação liear das coluas de A usado as comoetes de x como esos, isto é: x Ax =... + x [ a a... a ] M = xa + xa + xa Equação Matricial (Ax=b) (cot.): TEOREMA: Se A é uma matriz mx com coluas a,..., a e b ertece a R, a equação matricial Ax=b tem o mesmo cojuto solução da equação vetorial: xa + xa x a = b Que or sua vez tem o mesmo cojuto solução que o sistema de equações lieares cuja matriz comleta é: [ a a... a b]

2 . Álgebra Liear. Álgebra Liear Existêcia de Soluções: A equação Ax=b tem solução sss b é uma combiação liear das coluas de A Cojuto de Soluções de Sistemas Lieares: Um sistema liear é homogêeo se ele ode ser escrito a forma Ax= ode A é uma matriz mx e é o vetor ulo do R m Ax= tem SEMPRE elo meos uma solução que é vetor ulo do R SOLUÇÃO TRIVIAL Existe uma solução ão trivial? A equação Ax= tem solução ão trivial sss a equação tem elo meos variável livre. Álgebra Liear. Álgebra Liear Ideedêcia Liear: RESUMO: Um cojuto de vetores {x, x,..., x m }, xi R é dito Liearmete Deedete (LD) se existe úmeros reais α i, tais que: α x + α x α x m m = Etretato, se o úico cojuto de α i ara que a igualdade acima seja reseitada é α = α =...= α m = (solução trivial), etão o cojuto de vetores é dito Liearmete Ideedete (LI) Base: É o cojuto de vetores LI que formam um esaço vetorial. Por exemlo, ara o R cosidere o seguite cojuto de vetores LI: {q,..., q}. Todo o vetor x R ode ser reescrito da seguite forma: = α q + α q α q x Defiido a matriz Q:=[q q... q], etão o vetor x ode ser reresetado or: α α x = Q : = Qx, ode x é a reresetação do vetor x a base Q M α. Álgebra Liear Base (cot.): Etão é ossível associar a cada R a seguite base ortoormal BASE ORTONORMAL: os vetores que comõem a base são as coluas da matriz idetidade (I) x = = = x i =, i=,..., i x : xi xi... xi I M M M M x A reresetação de qualquer vetor x com relação a base ortoormal é igual ao rório vetor Sistema de Equações Lieares: Cosidere o cojuto de equações abaixo: α x + αx αx = β α x + α x α x = β M α x + αx α x = β O sistema acima ode ser reescrito a Forma Matricial Ax=b, ode: Ax = b A Ax = A b x = A b Portato, A - deve existir

3 Sistema de Equações Lieares (cot.): Resolução através do método de elimiação de Gauss através da alicação de fuções elemetares, a matriz do sistema [A b] é triagularizada Troca da i-ésima liha ela j-ésima liha (li lj) Substituição de uma liha or uma combiação dela com a múltila de outra (li li + αjlj) Substituição da j-ésima liha or uma múltila dela mesma (li αili) Determiate: O determiate de uma matriz A R x é o somatório de arcelas evolvedo o roduto da ermutação dos elemetos de cada uma das coluas de A Relação etre determiate e rak: det(a) rak ( A) = Determiate (cot.): Cálculo: det(a) = a ij c ij i aij R são elemetos de A cij são os cofatores corresodetes a osição aij e dados or: i+ j c ij = ( ) det( M ij= ) Determiate (cot.): Exemlo: Calcule o determiate da matriz abaixo A = 5 Mij é obtida descosiderado a liha i e a colua j de A Determiate (cot.): Se A é diagoal ou triagular, etão o det(a) é o roduto da diagoal ricial Uma matriz quadrada A R x é dita ser ão sigular se det(a). Neste caso, existe uma matriz A - tal que: - A A = AA = I Se A for sigular o det(a)= e A - ão existe - Matriz Iversa: Se A é uma matriz x, muitas vezes existe uma outra matriz C x tal que: AC=I e CA=I, ode I é a matriz idetidade x. Nesse caso, dizemos que A é iversível e que C é uma iversa de A Assim quado A é iversível, sua iversa é úica e coseqüetemete: - AA = I e - A A = I

4 Matriz Iversa (cot.): TEOREMA: Seja a b A = c d Se ad-bc, etão A é iversível e A - d = ad - bc c b a A - = AdjA det(a) = Matriz Iversa (cot.): det(a) c M c K c K M K c ' det(a) Matriz Iversa (cot.): TEOREMA: Se A for uma matriz iversível etão A - é iversível e (A - ) - =A Se A e B são matrizes iversíveis x, etão AB também é, e a iversa de AB é o roduto das iversa de A e B com a ordem ivertida. Isto é (AB) - =B - A - Se A é uma matriz iversível, etão AT também é, e a iversa de AT é a trasosta de A -. Isto é (AT) - =(A - )T Matriz Iversa (cot.): Exemlo: Calcule a iversa de A = 5 6 A = Trasformação de Similaridade: Cosidere uma matriz A x. Ela maeia R detro dela mesma Associado R com a base ortoormal {i, i,..., i}, a i-ésima colua de A é a reresetação de Ai i com relação a base ortoormal Selecioado uma base diferete {q, q,..., q}, etão a matriz A tem uma reresetação diferete A Assim, a i-ésima colua de A é a reresetação Aq i relacioada a base {q, q,..., q} Trasformação de Similaridade (cot.): Caso Geral: A é uma matriz x. Se existe b x tal que vetores b, Ab,..., A-b são LI e se: - A = βb + βab +... β A b etão a reresetação de A em relação a base {b, Ab,..., A-b} é: Matriz a forma comaheira A = M K β K β K β M O M M K β K β

5 Trasformação de Similaridade (cot.): Caso Geral (cot.): Cosiderado Ax=y A maeia x em R ara y em R em relação a base {q, q,..., q} e a equação fica: A x = y ode x e y são reresetações de x e y a base {q, q,..., q} x = Qx ode Q = e y = Qy Relação: { q, q,..., q } é uma matriz ão sigular x Trasformação de Similaridade (cot.): Caso Geral (cot.): Substituido em Ax=y, temos AQx = Qy ou - Q AQx = y comarado com: - A = Q AQ ou A = A x = y QAQ Trasformação de similaridade - Trasformação de Similaridade (cot.): Caso Geral (cot.): Assim A e A são ditas similares e escrevemos: AQ = QA A[q A[Aq q Aq ou... q ] = [q q... Aq ] = [q q... q ]A... q ]A Trasformação de Similaridade (cot.): Uma das riciais alicações das trasformações de similaridade é a ossibilidade de reresetar uma matriz A em uma ova forma com as mesmas roriedades da diagoal, mas com uma estrutura esecifica, or exemlo A a forma diagoal Isso mostra que a i-ésima colua de A é aida a reresetação de Aqi em relação a base {q, q,..., q} Forma Diagoal: A matriz A tem diferetes reresetações em relação a diferetes cojutos e bases Um úmero λ, real ou comlexo, é deomiado autovalor de uma matriz A x s existe um vetor ão zero x tal que Ax= λ i x Qualquer vetor ão zero x satisfazedo Ax= λx é deomiado autovetor de A associado ao autovalor λ FORMA EQUIVALENTE: ( A - λ i I)x = Forma Diagoal (cot.): Assim ara que a equação abaixo teha solução ão zero ara x, a matriz (A-λI) deve ser sigular, ou seja, ter o determiate igual a zero λ i ( A - I )x = Assim todos λ os que satisfazem a equação acima são raízes da equação abaixo: É um oliômio môico em λ de grau cujas icógitas λi são os autovalores de A ( λ) = det( λi - A) = deomiada Poliômio Característica (PC) do sistema 5

6 Forma Diagoal (cot.): Assim cada raiz do oliômio característico é um autovalor de A Se o oliômio característico tem grau, a matriz A tem autovalores ão ecessariamete distitos Forma Diagoal (cot.): CASO : Autovalores Distitos Quado todos os autovalores de A, λi, com i=,,..,, são distitos, existe autovetores q R tais que: Aq = λ q = Aq i = λiqi, i =,..., Por exemlo: [ q q K q ] λ M Forma Diagoal (cot.): CASO : Autovalores Distitos (cot.) Como todos os autovetores são distitos e LI eles odem ser utilizados ara costruírem uma base com a seguite matriz de formação: Q = [ q q K ] q Forma Diagoal (cot.): CASO : Autovalores Distitos (cot.) Seja A uma reresetação de A a base dos autovalores, etão: λ K = = = λ K - AQ QA A Q AQ A M O O K λ Esta colua é a reresetação de Aq = λq em relação a base Q=[q, q,..., q] que é [λ... ] Forma Diagoal (cot.): CASO : Autovalores Distitos (cot.) Matrizes com autovalores distitos tem uma reresetação a forma de matriz diagoal utilizado os autovalores como base Forma Diagoal (cot.): CASO : Autovalores Distitos (cot.) Exemlo: Cosidere a matriz abaixo e ecotre a matriz a forma diagoal (A) A = 6

7 Forma de Jorda: CASO : Autovalores Reetidos Quado um dos autovalores de A tem multilicidade ou maior, ele é chamado autovalor reetido e esse caso ão é ossível ecotrar autovetores LI Uma matriz A x com autovalor λ e multilicidade A tem aeas um autovalor Forma de Jorda (cot.): CASO : Autovalores Reetidos (cot.) Exemlo: Assuma = e suoha que a matriz (A - λi) tem rak -= e ulidade, etão a equação: (A - λi)q = tem somete uma SI e coseqüetemete somete um autovetor associado a A Como recisamos -= autovetores LI ara formar a base R, os vetores q, q e q serão escolhidos com base as roriedades abaixo: (A - λi) q =, (A -λi) q =, (A -λi) q = Forma de Jorda (cot.): CASO : Autovalores Reetidos (cot.) Um vetor v é chamado autovertor geeralizado de grau se: (A - λi) v = e (A - λi) v Se =, ós reduzimos (A - λi)v= e v e v é um autovetor ordiário - Forma de Jorda (cot.): CASO : Autovalores Reetidos (cot.) Para = ós defiimos: v : = v v : = (A -λi)v = (A -λi)v v : = (A -λi)v = (A -λi) v v : = (A - λi)v = (A - λi) v Cadeia de Vetores Geeralizados de comrimeto = com as roriedades (A - λi) q =, (A -λi) q =, (A - λi) q = Estes vetores são LI e odem ser utilizados como base Forma de Jorda (cot.): CASO : Autovalores Reetidos (cot.) Assim é ossível obter: Av = λv Av = v + λv Av = v + λv Av = v + λv Forma de Jorda (cot.): CASO : Autovalores Reetidos (cot.) Etão A em relação a base {v, v, v, v} é: λ J = A º colua de J é a reresetação de Av = λv em relação a base {v, v, v, v} que é [λ ] λ λ λ A º colua de J é a reresetação de Av = v + v em relação a base {v, v, v, v} que é [ λ] λ 7

8 Forma de Jorda (cot.): Exemlo: Ecotre J ara a matriz abaixo A = Fuções de Matrizes Quadradas: Poliômio de uma matriz quadrada: Seja A uma matriz quadrada x. Se é um iteiro ositivo defie-se: f ( λ) = λ + λ 6 A : = AA...A ( termos), A := I etão : f (A) = A + A 6I Se f(λ) é um oliômio a forma: ou f ( λ) = ( λ + )(λ ) Fuções de Matrizes Quadradas: Equação Característica: Para uma matriz A x, qualquer vetor x diferete de zero que satisfaz a equação Ax=λx é um autovetor (vetor característico) e λ é um autovalor (valor característico) de A (A - λi)x = Fuções de Matrizes Quadradas: O Teorema de Cayley-Hamilto afirma que toda a matriz A x satisfaz sua rório EC e coseqüetemete a equação do PC é válida se λ for substituído or A (A) = A + α A α I Existe uma solução sss λ I A = Equação Característica (EC) Se λ i é um autovalor de A com multilicidade i, o oliômio característico de A é: ( λ ) = det( λi - A) = λ + α λ + + α λ +... α Fuções de Matrizes Quadradas: Assim o Teorema de Cayley-Hamilto ode ser utilizado ara calcular fuções de uma matriz quadrada A e At i= i = β (A) i Fuções de Matrizes Quadradas: Exemlo: Ecotre e At ara a matriz abaixo A = 8

9 . Atividade V. Atividade V Revisar: Teorema de Euler e Equação de Lyauov Exercícios.,.7 e. (Che, 999) Determie se os autovalores da matriz abaixo são egativos utilizado a equação de Lyauov ode Q=I. Justificar a resosta Determie a resosta ao degrau uitário ara o sistema abaixo: ẋ = x + u y = [ ]x se t, u( t) = se t < Etrega: de ovembro de 9