Proposta de teste de avaliação

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1 Proosta de teste de avaliação Matemática A. O ANO DE ESOLARIDADE Duração: 9 miutos Data:

2 adero (é ermitido o uso de calculadora) Na resosta aos ites de escolha múltila, selecioe a oção correta. Escreva, a folha de resostas, o úmero do item e a letra que idetificam a oção escolhida.. A Sara recebeu de resete uma caixa cotedo dez bolas de Natal, sedo seis azuis e quatro bracas. As dez bolas distiguem-se aeas ela cor... Se forem retiradas, simultaeamete e ao acaso, cico bolas da caixa, qual é a robabilidade de saírem três bolas azuis e duas bracas? Aresete o resultado a forma de ercetagem, arredodado às uidades... Admita que se extraem, ao acaso, sucessivamete e sem reosição, duas bolas da caixa. Determie a robabilidade de as duas bolas extraídas serem azuis, sabedo que são da mesma cor. Aresete o resultado a forma de fração irredutível... osidere, agora, que da caixa são retiradas bolas azuis, ficado, ortato, com bolas azuis e quatro bolas bracas. Realiza-se a seguite exeriêcia: extraem-se simultaeamete duas bolas da caixa, ao acaso. Sabedo que a robabilidade de as duas bolas extraídas serem azuis é igual a 7, determie o valor de. Para resolver este roblema, ercorra a seguites etaas: equacioe o roblema; resolva a equação. Proosta de teste de avaliação Matemática A,. o ao Págia

3 .. Suoha agora que as dez bolas iicialmete existetes a caixa são retiradas e colocadas uma fila, ecostadas umas ao lado das outras. Sabedo que bolas da mesma cor ão se distiguem, quatas filas diferetes é ossível formar em que haja elo meos duas bolas bracas seguidas? (A)!!! (B) 7 ()!! 7 A (D). Um dos termos do desevolvimeto de Determie o valor de k. x + é um moómio da forma k x.. Relativamete a uma liha do Triâgulo de Pascal sabe-se que o.º elemeto é igual ao.º. Qual é o maior valor dessa liha? (A) 8 (B) 8 7 () 7 (D) 9 78 Fim do adero OTAÇÕES (adero ) Item otação (em otos) Proosta de teste de avaliação Matemática A,. o ao Págia

4 adero (ão é ermitido o uso de calculadora) Na resosta aos ites de escolha múltila, selecioe a oção correta. Escreva, a folha de resostas, o úmero do item e a letra que idetificam a oção escolhida.. Uma turma do.º ao com aluos tem igual úmero de raazes e raarigas. Nessa turma, 8 aluos têm a discilia de Física e os restates têm, em alterativa, a discilia de Psicologia. Nove dos aluos que têm Psicologia são raarigas. Escolhe-se ao acaso um aluo dessa turma. Qual é a robabilidade de:.. o aluo escolhido ser uma raariga que frequeta a discilia de Física? (A) (B) () (D).. o aluo escolhido ser raaz, sabedo que ão tem a discilia de Psicologia? (A) (B) () (D). Escolhe-se, ao acaso, um aluo de uma turma do.º ao. Relativamete a esta exeriêcia aleatória, cosidere os acotecimetos: A: O aluo é um raaz B: O aluo usa óculos P A B =. Sabe-se que ( ) Qual das afirmações seguites é ecessariamete verdadeira? (A) P( A B) = P( A) + P( B ) (B) P( A B) < P( A) + P( B ) () P( A B ) (D) P( A ) = > Proosta de teste de avaliação Matemática A,. o ao Págia

5 . Seja E um cojuto fiito, P uma robabilidade em P ( E) e sejam A e B dois acotecimetos ossíveis ( A, B ( E) ) P... Mostre que ( ) ( ) ( ) = ( ) P A B P A P B A P B... Sabe-se que: P( A B ) P( B A ) P( A B ) = = = Determie o valor de P( B ). 7. osidere a fução g defiida em R or g ( x) = x + x. 7.. Mostre que a fução g é estritamete crescete. 7.. Sabedo que g é a seguda derivada de uma determiada fução f, mostre que o gráfico da fução f tem um e um só oto de iflexão e que a sua abcissa ertece ao itervalo ],[. 7.. Sabe-se que uma fução h é tal que R, ( ) ( ) x g x h x. O valor de ( ) h( x) g ( x) g x lim x é: (A) (B) () (D) + 8. Utilize o teorema das sucessões equadradas ara calcular o limite da sucessão Fim da rova u + =. + OTAÇÕES (adero ) Item otação (em otos) TOTAL (adero + adero) Proosta de teste de avaliação Matemática A,. o ao Págia

6 ... Azuis Bracas Total Número de casos ossíveis: = Proosta de resolução adero Número de casos favoráveis: = = Probabilidade edida: 8%.. Sejam os acotecimetos: A A rimeira bola extraída é azul B : A rimeira bola extraída é braca : : A A seguda bola extraída é azul B : A seguda bola extraída é braca A : As duas bolas extraídas são azuis : As duas bolas extraídas são da mesma cor Pretede-se determiar P( A ). ( ) P A ( ) ( ) ( ) ( ) + ( ) P A P A A = = = P P A A P B B P( A ) P ( A A ) ( ) ( ) + ( ) ( ) = = P A P A A P B P B B = = = = = Número total de bolas: ; úmero de bolas azuis: Número de casos ossíveis: Número de casos favoráveis: (úmero de maeiras de escolher bolas etre as existetes a caixa) (úmero de maeiras de escolher bolas azuis etre as existetes a caixa) A robabilidade de as duas bolas serem azuis é igual a A ( )( ) A =! =! = 7 7 ( )( 9 ) 7!! ( )( ) ( )( ) = = ( ) 7 + = = 9 ± = 9 + = = 9 ± 9 ± = = = = omo é um úmero iteiro e, vem =. A B A B A B Proosta de teste de avaliação Matemática A,. o ao Págia

7 .. Número de filas que é ossível formar: : úmero de maeiras de, etre os dez lugares da fila, escolher seis ara as bolas azuis Os restates quatro lugares serão ocuados elas bolas bracas (ou, que é o úmero de maeiras de, etre os dez lugares da fila, escolher quatro ara as bolas bracas). Número de filas que é ossível formar em que ão aareçam duas bolas bracas seguidas: 7 : úmero de maeiras de, etre os sete lugares determiados elas bolas azuis ( 7 ) escolher quatro ara as bolas bracas. A A A A A A, Portato, o úmero de filas diferetes que é ossível formar em que haja elo meos duas bolas bracas seguidas é dado or: 7 Resosta: (B). x = x + = x x + T = = = x = = = T = x = + 79 x = 79 x = 8 x Logo, k = 8 x = x. A liha de ordem é formada or elemetos da forma, com. Sabe-se que o.º elemeto ( ) é igual ao.º ( ) = = = 9, ou seja: A liha de ordem 9 tem elemetos. omo é ímar (e o úmero de elemetos é ar), o maior valor é o dos dois elemetos cetrais: Resosta: (D) 9 = = adero. Na tabela seguite resumem-se os dados do roblema. Física Psicologia Raazes Raarigas (M) 9 8 : = 8 = 9 = = 8 =.. Em aluos há raarigas que frequetam a discilia de Física. A robabilidade edida é =. Resosta: ().. Há 8 aluos que ão têm a discilia de Psicologia, dos quais são raazes. Portato, a robabilidade de o aluo escolhido ser raaz, sabedo que ão tem a discilia de Psicologia, é igual a =. 8 Resosta: (A) Proosta de teste de avaliação Matemática A,. o ao Págia 7

8 . P ( A B) = P ( A) + P ( B ) aeas se ( ) = raaz usa óculos). Logo, esta afirmação ode ser verdadeira ou falsa. P ( A B) = P ( A) + P ( B) P ( A B ) omo P( A B ) = >, vem ( ) < ( ) + ( ) Logo, a afirmação é verdadeira. P A B, o que ão se ode garatir (ão é dado que ehum P A B P A P B. = = = P( A B) P( A B) P( A B ) P A B, elo que a afirmação é falsa. Portato, ( ) P( A B) P( A) P( A) P( A) P( A ) Logo, a afirmação ( ) Resosta: (B) P A > é falsa... P( A B) P ( A) P( B A ) = = P( A) + P( B) P( A B) P( A B ) = ( ) ( ) = P B + P A P A B P A B = = P( B) + P( A B) P( A B ) = = P( B ) ( ) = ( ) + ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) P A B P A P B P A B P A P B A P A B ( ) = ( ) + ( ) P( A) P ( A B) P ( A B) P A P A B P A B =.. ( ) 7.. ( ) ( B) P( B) P A P A B = = P A B = P B ( A) P( A) P B P( B A) = = P A = P B A P A = P A B P( A B) = P( A B) = P( A B) = P( A B ) = () P( A B) = P( A) + P( B) P( A B ) = P( A B) + P( B) P( A B) = P ( A B) + P( B ) () e () = P ( B) + P( B ) () = P( B) P ( B) = P( B) = g x = x + x ; D g =R ( ) g x = x + omo g ( x) >, x R, odemos cocluir que a fução g é estritamete crescete. () () Proosta de teste de avaliação Matemática A,. o ao Págia 8

9 7.. A fução g é cotíua R or ser uma fução oliomial. Logo, g é cotíua em [, ]. g ( ) = + = ; g ( ) g g <. Assim, = + = omo g é cotíua em [, ] e cocluir que existe elo meos um x ],[ tal que ( ) = g g <, elo corolário do Teorema de Bolzao-auchy odemos g x. Atededo a que a fução g é estritamete crescete em R, etão é ijetiva, elo que o zero cuja existêcia se rovou é úico. x, o zero de g. Seja ] [ Sedo a fução g estritamete crescete, vem que g ( x ) <, qualquer que seja x ], x [ e g ( x ) >, qualquer que seja ] + [ x x., x x + f = g + f P.I. Portato, como a fução g é a seguda derivada da fução f, odemos cocluir que o oto do gráfico de f cuja abcissa é ] [ x, é o seu úico oto de iflexão. y O x g x lim g x = lim x + x = lim x = = 7.. x x x Se lim g ( x) e x R, g ( x) h( x ), etão lim ( ) x = g x h x g x h x lim = lim = lim ( ) = x x x h x g x g x g x g x = lim lim h( x) = ( ) = + = + x g x x Resosta: (D) ( ) h x = (teorema de comaração de fuções) x = + = é o termo geral de uma sucessão estritamete decrescete de termos ositivos. + Assim, ara qualquer N : + + < < < < < + < + < < < < < < + + omo lim = lim = sucessões equadradas, que lim u =. e, ara todo o N, < u <, odemos cocluir, elo teorema das Proosta de teste de avaliação Matemática A,. o ao Págia 9