1 Cálculo combinatório e probabilidades

Transcrição

1 álculo combiatório e robabilidades Ficha ara raticar A ( A B A ( A B Leis de De Morga Pág A ( A B B B ( A A B Proriedade associativa U B A A U U Elemeto absorvete ( A B B ( A B B Leis de De Morga ( A B B B B A ( B B Proriedade associativa A B B Elemeto absorvete ( A B ( A B A ( B B A U B B U Proriedade distributiva A Elemeto eutro ( A B ( A B Leis de De Morga ( A B ( A B ( A A ( B B Proriedade associativa U U A A U e B B U U Idemotêcia A B B A A B B B A Proriedade distributiva ( A B A B B ( A B A Elemeto eutro ( A A B Proriedades associativa e comutativa B A A ( ( A B B ( ( A B A A ( ( A B ( B B ( A A B A A Proriedade distributiva ( U U A B B A A ( A B ( B A A A ( A B A ( A B B B U e A A U Elemeto eutro Proriedades distributiva e comutativa ( A A B ( A A B Proriedade associativa ( A B ( U B A A A e A A U ( A B U Elemeto absorvete A B Elemeto eutro A ( B A ( A B ( A A Proriedade distributiva, A B, ois A e B são disjutos e A A Idemotêcia ( A B A ( A B A Leis de De Morga A A B U A U A Elemeto eutro A B,,,,,, { } { } {,,,,,, } A B {,,, } {,,, } { } A {,,, } B {,,, } A\ B {,,, }\{,,, } {,, } B\ A {,,, }\{,,, } {,, } B ( B A B ( B A B ( B A ( B B A A ( A B ( A B A B A B A A B A B U ( B A B B A B ( B B A U A U ( A B A ( A B A ( A A B U B U ( A B ( A\ B ( A U ( A B ( A B A A ( B B A A U A A A U B B Total A A Total Pág

2 álculo combiatório e robabilidades A B {( a,, ( a,, ( b,, ( b,, ( c,, ( c, } B {(,, (,, (,, (, } ( A B ( B {( a,, ( a,, ( b,, ( b,, ( c,, ( c,, (,, (,, (,, (, } A {( a,, ( a,, ( b,, ( b,, ( c,, ( c, } B A {(, a, (, b, (, c, (, a, (, b, (, c } ( A ( B A {( a,, ( a,, ( b,, ( b,, ( c,, ( c,, (, a, (, b, (, c, (, a, (, b, (, c } Pelo riciio de adição o D que a ristia irá levar ara casa da amiga ode ser escolhido de + maeiras diferetes O úmero edido é, elo ricíio da multilicação: A ristia ode vestir-se de duas formas: T-shirt, calça e saatos T-shirt, saia e saatos Portato, o úmero edido é: + O codutor será um raaz, elo que, existem duas alterativas e ara cada uma destas existem três alterativas ara escolher a raariga que vai viajar a seu lado Para estas, existem alterativas ara os joves que vão viajara atrás Assim existem maeiras de ocuar os lugares Esquematizado: ª escolha: oções (,,, ou ª escolha: oções ª escolha: oções Pág ª escolha: oção (igual ao algarismo dos milhares ª escolha: oção (igual ao algarismo das dezeas de milhar Existem caicuas Há escolhas ara o rimeiro algarismo; o seguite e o terceiro são quaisquer úmeros ímares, logo há, também, escolhas; ara o quarto e o quito ão há escolha orque vão reetir, resetivamete, o segudo e o rimeiro Existem caicuas Os lugares das otas odem ser ocuados de duas maeiras diferetes: A Aa uma ota e o arlos a outra e trocado de otas Os restates quatro lugares odem ser ocuados de maeiras diferetes Podem ocuar os lugares de maeiras A Beatriz ode escolher lugar de maeiras diferetes (lugares,, e ; O arlos e o Diis têm duas maeiras de escolher lugar ao lado da Beatriz (BD ou DB; Os restates três elemetos odem escolher lugar de maeiras diferetes Podem ocuar os lugares de maeiras Esquematizado: raariga raariga raariga raariga raaz raaz (as raarigas odem setar-se de maeiras diferetes e os dois raazes de maeiras diferetes De modo aálogo, ode ser: raaz raariga raariga raariga raariga raaz ou raaz raaz raariga raariga raariga raariga Podem ocuar os lugares de maeiras ºA ºA ºA ou a elemetos omo é ímar, a soma dos outros dois algarismos do úmero tem de ser ímar Tal só é ossível se os dois algarismos forem um ar e outro ímar Esquematizado: ar ímar ou ímar ar,,,,,,,,,,,,,, + elemetos todos exceto, e todos exceto e, + + elemetos No baralho existem quatro damas, ortato, odemos retirar de maeiras Esquematizado: ª carta ª carta ª carta ª carta Paus Não é de Paus Não é de Paus Paus Podemos retirar de + maeiras No baralho existem figuras, ortato, odemos retirar de maeiras Para cada aie existem maeiras de retirar duas cartas e, como há aies, odemos retirar de maeiras Pág Para que as quatro bolas extraídas teham a mesma cor, aeas ode ser a cor vermelha ou a cor azul Existem maeiras diferetes de extrair quatro bolas vermelhas e maeiras diferetes de extrair quatro bolas azuis É ossível obter + maeiras

3 álculo combiatório e robabilidades V V V AB A bola azul ou braca ode sair em º, º, º ou º lugar maeiras É ossível obter Esquematizado: {, } É ossível obter úmeros Esquematizado: {,, } É ossível obter úmeros Esquematizado: {, } ou É ossível obter + úmeros Existem oções de escolha ara o resosável elos trasortes (a turma tem raazes, oções de escolha ara o resosável elo alojameto e oções de escolha ara o resosável ela gestão ecoómica Ao todo são comissões que odem ser formadas Há oções de escolha ara o Atóio e ara cada uma das oções existem oções de escolha ara os outros dois cargos É ossível costituir a comissão de maeiras Podem ser formadas + comissões Esquematizado: ou ou,,,,, ou,,,,, ou,,,, ou Em qualquer das três oções ateriores o e o odem trocar de osição, ortato, o úmero edido é: + + O úmero é ímar, elo que a soma dos restates três algarismos tem se ser ar ara que a soma dos quatro algarismo seja ímar A soma de três algarismos é ar o caso de os três algarismos serem ares ou o caso de dois serem ímares e o terceiro ar: P P P ão ode ser P I I I P I I I P O úmero edido é: Ficha ara raticar Pág Pelo ricíio da multilicação odem estar devidamete idetificados: livros A B D E Assim, elo ricíio de multilicação, odem escolher os bolos de maeiras Há maeiras de escolher o algarismo que se reete e maeiras de escolher o algarismo diferete O algarismo diferete ode aarecer o º, º, º ou º lugar Existem códigos de multibaco diferetes ºA ºA º A ºA Existem diferete do º A diferete do º A diferete do º A códigos de multibaco diferetes As duas vogais odem ficar jutas em situações (ou ocuam as duas rimeiras osições, ou ocuam a seguda e a terceira osições, ou ocuam a terceira e quarta osição, ou ocuam a quarta e quita osições ou ocuam a quita e sexta osições É ossível formar códigos diferetes Esquematizado: A A V V A A É ossível formar códigos diferetes Esquematizado: A A V V A A igual à aterior É ossível formar códigos diferetes Esquematizado a vogal O algarismo ode ocuar qualquer uma das quatro rimeiras osições e as duas vogais odem trocar de osição É ossível formar códigos diferetes ºA ºA O ºA é diferete de ºA ºA + úmeros O é um úmero ímar e, como tal, a soma dos dois restates algarismo terá de ser ímar ara que a soma dos três algarismos seja ar Assim, os dois restates algarismos têm de ser um ar e o outro ímar Temos hióteses de escolha de algarismo ar e aeas hiótese de escolha de algarismo ímar (ão ode ser o e estes dois algarismos odem, aida, trocar de osição (dezeas-uidades úmeros

4 álculo combiatório e robabilidades Pág a b c Os divisores de são da forma com a {,,,,, }, {, } b e {,, } c Portato, tem-se seis ossibilidades ara a, duas ossibilidades ara b e três ossibilidades ara c O úmero de divisores aturais de é Os divisores ares de são aqueles em que o exoete da otêcia de base ão é ulo, elo que existem cico ossibilidade ara a, as mesmas duas ossibilidades ara b e as mesmas três ossibilidades ara c O úmero de divisores aturais é subcojutos subcojutos {, }, {, }, {, }, {, } {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, } e {, }, { }, { }, { }, { }, { }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {, }, {,, }, {,, }, {,, }, {,, }, {,, }, {,, }, {,, }, {,, }, {,, }, {,,, }, {,,, }, {,,, }, {,,, } e {,,,, } Dado ossibilidades Moeda ossibilidades Esta exeriêcia tem resultados ossíveis ª extração ossibilidades ª extração ossibilidades A exeriêcia tem resultados ossíveis dado octaédrico ossibilidades dado cúbico ossibilidades dado dodecaédrico ossibilidades A exeriêcia tem resultados ossíveis, elo que o cardial de A é, isto é, # A O úmero de subcojutos de A com exatamete três elemetos é igual a Pág!!!!!!!!! (! (!!!!!!!!!!!!!! ( ( ( +!! +! ( +!!!! + (!!!! +!!!!!! ( + + ( + ( + + ( + ( + ( +! ! + +!!!!!!!!!! ( ( ( (!!! ( ( ( (! ( +! ( + ( + (!! ( (! (! (! ± omo, ( ( ( ( (! (! (!! ± omo, ( ( ( ( ( (! + +!! + +!!!! (! + +! + +!! + + omo, ( + ( (!!!!! +!!! ( ( ( ( (! ( (! ( + +! +!! ± omo,

5 álculo combiatório e robabilidades O Atóio ode escolher um livro de Matemática e um livro de Física, ou um livro de Matemática e um livro de Programação ou, aida, um livro de Física e um livro de Programação O Atóio ode escolher os livros de + + maeiras diferetes Pág É ossível formar úmeros Temos duas hióteses: exatamete três algarismos iguais úmero de osições que o algarismo ode ocuar; úmero de maeiras de escolher o algarismo diferete; úmero de maeiras de escolher os algarismos iguais exatamete quatro algarismos iguais: Temos ove hióteses É ossível formar + úmeros + + (ar A soma de todos os algarismos é ar se os restates dois algarismos são ambos ares ou são ambos ímares: É ossível formar + úmeros + + Existem maeiras diferetes de fazer a badeira Em cada questão existem quatro alterativas, assim, elo riciio da multilicação tem chaves O úmero de chaves sem qualquer resosta com a oção (B é chaves ão ode ser É ossível formar úmeros, ou ão ode ser É ossível formar úmeros É ossível formar igual ao rimeiro igual ao segudo ão ode ser úmeros Ficha de teste (A A ( A B ( A A ( A B ( A B A B A\ B (B A ( B\ A A ( B A ( A B ( A A ( A B U A B A B A B A B B A A ( (D ( A B ( A B B ( A A B U B Pág Resosta: ( Restam cico ares:,,,, quatro ímares:,,, Números de maeiras de escolher dois ares: Número de maeiras de escolher dois ímares: No segudo caso, temos: Número de maeiras de escolher os dois algarismos diferetes de : + Número de maeiras de escolher dois lugares a sequêcia de seis ara os algarismos diferetes de : {, },{, }, {, }, {, },{, } {, },{, },{, },{, } {, }, {, },{, } {, },{, } {, } Há ossibilidades Resosta: ( a b c Os divisores de são da forma com a {,,, }, {,,, } b e c {, } Para que o divisor seja ímar o exoete da otêcia de base tem de ser ulo elo que só há uma ossibilidade ara o valor de a Portato, há quatro ossibilidade ara b e ara cada uma destas há duas ossibilidades ara c O úmero edido é Resosta: (A Subcojutos do cojuto A com dois ou meos elemetos: cojuto vazio; cojutos com um elemeto; cojutos com dois elemetos: V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V V Por outro lado,, ou seja, o cojuto A tem o total cojutos e destes ( + + têm elo meos três elemetos Resosta: (D

6 álculo combiatório e robabilidades + +!!!!!!!! +!!!! +!!!!!! Resosta: ( Pretede-se obter elo meos três cartas vermelhas, ou seja, exatamete três cartas vermelhas e uma reta ou quatro cartas vermelhas Esquematizado: V V V P Número de osições em que ode ser extraída a carta reta ( \ A B A A B A ( A A ( B A ( B A Pág B A B\ A Portato, ( A B\ A B\ A e ão igual a B, elo que a roosição é falsa ( \ ( A B ( A A A B A A B A ( A B U A B A B\ A A B e ão é igual a U elo que Portato, a roosição q é falsa Por outro lado, a roosição q é verdadeira, já que as roosições e q têm o mesmo valor lógico A O T Podemos formar úmeros Temos duas situações: caso em que o algarismo das uidades é caso em que o algarismo das uidades ão é {, } Podemos formar + úmeros Um baralho de cartas tem figuras e ases, ortato, é ossível obter de maeiras diferetes Um baralho de cartas tem quatro ases e cartas vermelhas que ão são ases Ás V V V úmero de osições que o ás ode ocuar É ossível obter de maeiras diferetes V V V V É ossível obter de: + maeiras diferetes (! ( ( (!!! omo, Ficha ara raticar A ( ( + + ( + ( + ( + ( + A A A Pág Pretede-se o úmero de diferetes maeiras de distribuir oito tios diferetes de gelado em dez comartimetos distitos Podem-se colocar de A maeiras distitas Existem A maeiras de disor o gelado de bauilha e o gelado de caramelo elos cico comartimetos da fila de trás Arrumados estes, temos A formas de arrumar os restates seis sabores os oito lugares que ficam disoíveis Desta forma, odem-se colocar de A A maeiras distitas O úmero total de maeiras de colorir as oito faces usado oito das dez cores disoíveis é A Qualquer uma das oito faces do octaedro ode ser colorida de amarelo, elo que existem oito oções ara o fazer e ara cada uma destas, as restates sete faces odem ser coloridas usado sete das ove cores disoíveis (já ão ode ser usada a cor amarela, o que ode ser feito de A maeiras diferetes Pode-se colorir de A maeiras diferetes A rateleira de cima tem esaço ara oito livros e os de Física são seis, elo que existem A maeiras diferetes de disor os livros de Física a rateleira de cima Para cada uma destas maeiras existem! maeiras de disor os livros de Matemática elos lugares disoíveis Pode-se disor de A! maeiras diferetes

7 álculo combiatório e robabilidades Pág O úmero total de disosições diferete que se odem obter é A Esquematizado: A Podem-se obter A disosições diferetes Esquematizado: ou ou São três hióteses, mais outras três, ois os cartões com os úmeros e odem trocar etre si as osições Para cada osição que eles ocuem, os outros dois cartões odem ser disostos de A maeiras diferetes Podem-se obter A disosições Disomos de dez algarismos (do ao Os úmeros de três algarismos diferetes edidos são os arrajos dos dez algarismos, três a três, exceto os que começar or dez É ossível formar A A ou A úmeros O e o etram obrigatoriamete, elo que odem ocuar A osições diferetes Os restates lugares são reechidos or dois algarismos escolhidos etre oito: A O úmero total é A A No etato, há que subtrair os úmeros em que o algarismo dos milhares é Esses úmeros são: o úmero de osições diferetes do e do dado or A e o úmero de maeiras de escolher o outro algarismo que é Assim, o úmero a subtrair é A É ossível formar A A A úmeros Os algarismos, e odem ermutar etre si de! maeiras diferetes Por outro lado, a sequêcia destes algarismos ode disor-se das seguites formas:! A! A A O ão ode ocuar a casa das dezeas de milhar, elo que temos de retirar os úmeros de cico algarismos as codições edidas mas começados or ou! A ou! A É ossível formar: A +! A +! A A úmeros Numa semirreta, o setido é imortate Por exemlos, as semirretas AB ɺ e BA ɺ são diferetes Portato, cada ar ordeado de duas letras diferetes corresode a uma semirreta om cico otos ão colieares, ou seja, com cico letras, odemos formar A ares ordeados de duas letras distitas omo A, cosideramos que odemos defiir semirretas, logo a roosição é verdadeira Por outro lado, o caso de uma reta ão iteressa o setido, or exemlo, a reta AB é igual à reta BA Assim, o úmero de retas que odem ser defiidas com os cico otos é igual a Logo, a roosição q é falsa e, ortato, a roosição q também é falsa Três otos defiem um triâgulo omo ão iteressa a ordem ela qual as letras se disõem, odem-se defiir triâgulos distitos Pág Pretede-se escolher um cojuto de aluos de etre, o que ode ser feito de maeiras diferetes A escolha ode ser feita de maeiras diferetes Pretede-se escolher raarigas de etre e raazes de etre, tal ode ser feito de maeiras diferetes A escolha ode ser feita de maeiras diferetes Pretede-se que a comissão seja costituída or cico aluos dos dois géeros, mas que teha mais raazes do que raarigas, tal acotece quado a comissão é costituída or três raazes e duas raarigas ou or quatro raazes e uma raariga A escolha ode ser feita de + maeiras diferetes No caso de etre os otos ão haver otos colieares, o úmero de retas distitas defiidas or estes otos era igual a A este úmero devemos retirar os cojutos de dois elemetos que é ossível defiir com os cico otos colieares à exceção de um deles, já que todos defiem a mesma reta Assim, odemos defiir + ou + + retas distitas Três otos ão colieares defiem um triâgulo º caso: ehum dos cico otos colieares é vértice do triâgulo Neste caso, odemos defiir triâgulos diferetes º caso: o triâgulo tem dois vértices etre os cico otos colieares Neste caso, odemos defiir triâgulo diferetes º caso: o triâgulo tem um e um só vértice etre os cico otos colieares Neste caso, odemos defiir triâgulos diferetes Assim, odemos defiir triâgulos distitos + +

8 álculo combiatório e robabilidades O tabuleiro disões de casas com um úmero ímar e de casas com um úmero ar omo estas eças são todas iguais, o úmero de maeiras diferetes de as disor o tabuleiro é Por outro lado, as eças diferetes devem ocuar uma casa com um úmero ar, elo que o úmero de maeiras diferetes de as disor é A Assim, é ossível disor as eças de A maeiras diferetes Pretedemos disor o tabuleiro ove fichas, umeradas de a, ortato há cico fichas umeradas com um úmero ímar Estas devem ocuar uma e uma só diagoal ada diagoal do tabuleiro é costituída or cico casas, tatas quatas as fichas umeradas com um úmero ímar, logo, estas fichas odem ser disostas o tabuleiro, em cada diagoal, de! maeiras diferetes Nas restates casas disoíveis, irão ser colocadas quatro fichas umeradas com um úmero ar, elo que existem A maeiras diferetes de as colorir As fichas odem ser colocadas de! A maeiras Pág Existem maeiras diferetes de escolher as três osições do algarismo Para cada uma destas, existem! maeiras diferetes de escolher as osições ara os restates algarismos, que são diferetes (,, e É ossível formar! úmeros Nos úmeros ares, o algarismo das uidades é, ou Para cada uma destas três escolhas, existem maeiras diferetes de escolher as três osições do algarismo e ara cada uma destas existem! maeiras diferetes de escolher as osições ara os restates três algarismos É ossível formar! úmeros ares Para que o úmero teha quatro algarismos e seja meor que, o algarismo dos milhares ode ser ou Para cada uma destas hióteses, existem cico hióteses ara o algarismo das ceteas, quatro hióteses ara o algarismo das dezeas e três hióteses ara o algarismo das uidades O cojuto A tem elemetos Os elemetos de A odem ser de dois tios: {, } {,, } São úmeros ares Existem maeiras diferetes de escolher dois reis, de etre quatro Para cada uma destas, existem maeiras de escolher duas damas, de etre quatro maeiras diferetes Existem quatro escolhas ossíveis ara a rimeira carta da sequêcia, ois existem quatro damas Para cada uma destas, existem! maeiras diferetes de disor as restates cartas É ossível costruir! sequêcias diferetes! A (! ± omo, ( ( (!! ( A!! + ± omo, As três rimeiras bolas extraídas são bracas é o úmero de maeiras diferetes de as quatro restates bolas bracas oderem ocuar quatro lugares, de etre os sete disoíveis; as três bolas retas ocuarão, ara cada uma das maeiras de colocar as bracas, os restates lugares de modo úico A extração ode ser feita de maeiras O úmero de maeiras diferetes de disor as duas rimeiras bolas é (braca, reta ou reta, braca é o úmero de maeiras diferetes de as restates oito bolas (duas retas e seis bracas oderem ocuar os restates oito lugares (as duas bolas retas odem ser colocadas os restates oito lugares de maeiras diferetes e as seis bolas bracas ocuarão, ara cada uma das maeiras de colocar as retas, os restates lugres, de modo úico A extração ode ser feita de maeiras Ficha ara raticar!! + + +!!!! ( ( ( + Pág multilicado ambos os termos da rimeira fração or + e os da seguda or :! ( +! ( ( ( + ( ( ( +! ( +! ( (!( +! (!( +!! ( + +! (! ( + + (!( +! (!( +!! ( + ( +! + + (!( +! (!( +! +!!!! + Se a massa dos três últimos elemetos é, etão a soma dos três rimeiros também é, elo que a soma do segudo com o terceiro é, já que o rimeiro é omo a soma do segudo com o terceiro elemeto de uma liha é igual ao terceiro elemeto da liha seguite, este é igual a

9 álculo combiatório e robabilidades Existem subcojutos:, a, b, c, d, e, a, b, a, c, a, d, a, e, { } { } { } { } { } { } { } { } { } { b, c},{ b, d},{ b, e},{ c, d},{ c, e},{ d, e},{ a, b, c }, { a, b, d}, { a, b, e},{ a, c, d},{ a, c, e},{ a, d, e }, { b, c, d},{ b, c, e},{ b, d, e},{ c, d, e},{ a, b, c, d}, { a, b, c, e},{ a, b, d, e},{ a, c, d, e},{ b, c, d, e } e { a, b, c, d, e } exclui-se o cojuto vazio um cojuto com elemetos é ossível defiir subcojutos A ristia ode fazer saladas Por outro lado: ,, Portato, ( Por outro lado: + + Portato, A liha do Triâgulo de Pascal que tem elemetos é a liha de ordem, ou seja, é a liha que cotém todos os elemetos da forma omo,, e, somete os três rimeiros e os três últimos elemetos são meores do que Portato, elemetos são maiores do que O rimeiro elemeto de qualquer liha do Triâgulo de Pascal é e o segudo é, ortato,, elo que essa liha cotém todos os elemetos da forma O quarto elemeto da liha aterior é Os três últimos elemetos da liha seguite são:, e Assim, A liha é a de ordem e tem elemetos, elo que o maior elemeto dessa liha é o elemeto cetral, ou seja, Trata-se da liha de ordem A liha seguite é a de ordem, ode o maior elemeto é o cetral, que é omo,,,, e, somete os cico rimeiros e os cico últimos elemetos são meores do que Portato, elemetos são meores do que Pág A liha do Triâgulo de Pascal que tem elemetos é a liha de ordem, a qual cotém todos os elemetos da forma O sétimo elemeto dessa liha é A liha aterior é a de ordem, ortato, a soma de todos os elemetos dessa liha é Ora,,,,, e, logo, somete os cico rimeiros e os cico últimos elemetos dessa liha são meores que omo a liha tem elemetos, odemos cocluir que tem cico elemetos maiores que Seja a ordem dessa liha, etão, elo que, ois A liha de ordem cotém todos os elemetos da forma, já a liha seguite cotém todos os elemetos da forma e o maior elemeto desta liha é o cetral, ou seja, O segudo elemeto de qualquer liha do Triâgulo de Pascal é igual a, ordem da liha Por outro lado, o segudo elemeto é igual ao eúltimo, elo que e, ortato, Assim, o quito elemeto desta liha é A liha seguite é a de ordem, elo que o quarto e o sétimo elemeto dessa liha são e, resetivamete Portato, + A liha de ordem que tem elemetos são todos os elemetos da forma Assim,,, Há ove ares de elemetos iguais A soma dos três últimos elemetos de uma liha do Triâgulo de Pascal é igual à soma dos três rimeiros a + + a + + a + a + a O terceiro elemeto da liha seguite é a + + a + + a+ + a Portato, o terceiro elemeto da liha seguite é Seja a ordem da liha A liha seguite é a de ordem + + e o seu terceiro elemeto é, logo Resolvedo a equação: + ( + + ± omo, temos A liha de ordem tem elemetos

10 álculo combiatório e robabilidades O segudo elemeto dessa liha do Triâgulo de Pascal é, elo que a ordem desta liha é, também, Assim, a ordem da liha seguite é e, ortato, o vigésimo elemeto da liha seguite é A liha do Triâgulo de Pascal de ordem tem elemetos e é a liha que cotém todos os elemetos da forma omo,, e, somete os três rimeiros elemetos e os três últimos elemetos são meores que dez milhões Portato, elemetos dessa liha são maiores do que dez milhões Pág i i, ortato,, ois Logo, substituido or em : i + i , elo que, substituido-se or em + ( x ( x ( ( x ( + +, x + x + x + x + x + x + x x x x x x x x ( x x + x + x + x + x x x x x x x + x x x x x x x x x + x x x x x x x x x x + + x x x + x x + + x x x ( x ( x + ( x + ( x + x x x + ( x + ( x + x x + ( x + ( x x x x + x + x + x x x ( ( ( ( + + ( ( ( ( + ( + ( + + ( + ( x x x + x x x x + x ( x ( x ( x ( x ( x ( x x x + x x x x x x + + x x + x x x x x x x x x x x

11 álculo combiatório e robabilidades x x x x x x + + x + x + x x + x + x + x + x + x+ x + x + x + x+ x + x+ x + x+ ± x x x T + x x x x + x x x T x x x O º termo é x + T x x x x x x x x x T x x x + O º termo é x ( T x x x x + x + x x x x T x + x O º termo é T + x x x x x ( x x ( x ( x x ( x ( x T x + x x O º termo é x x T + x ( x ( Pág O termo ideedete de x é aquele em que o exoete x de é igual a Assim: T x + Portato, o termo ideedete de x é ( T x + T O termo de grau é aquele em que o exoete de igual a Assim: T x + x Portato, o termo de grau é x x x + ( x ( x x x x x x + T x x x x O º termo é x x O termo de grau é aquele em que Assim: + T+ x x x O coeficiete do termo em x é O termo de grau é aquele em que Assim: T+ x x x O termo de grau é x x é

12 álculo combiatório e robabilidades T + x x x x x ( x x x x x x x O termo de grau, caso exista, é aquele em que Assim: T + x x O termo de grau é x A soma dos coeficietes dos termos de uma forma reduzida de um oliómio P( x obtém-se substituido x or Assim: A soma edida é A soma edida é A soma edida é A soma edida é k k k k k k k k k ( ( ( k k se é ar se é ímar k k k Ficha de teste k + Pág Existem maeiras diferetes de escolher três osições ara o algarismo Para cada uma destas, existem maeiras diferetes de escolher as duas osições do algarismo Uma vez selecioadas as osições que os algarismos e vão ocuar, restam duas osições disoíveis, que são obrigatoriamete reechidas com o algarismo Existem, assim, ao todo, úmeros diferetes que satisfazem as codições euciadas Resosta: ( O úmero de maeiras diferetes de escolher os lugares da fila de trás ode as quatro raarigas se vão setar é A Para cada uma destas maeiras, existem! maeiras diferetes de os oito raazes ocuarem os restates oito lugares disoíveis O úmero edido é A! Resosta: ( Vamos cotar os casos em que está reechida, com eças vermelhas, a diagoal idicada a figura Restam duas eças vermelhas ara distribuir or seis quadrículas e, evidetemete, as quatro eças amarelas vão ocuar as quadrículas restates Temos tabuleiros com esta diagoal reechida e, como é óbvio, há outros tatos tabuleiros com a outra diagoal reechida Todavia, há um tabuleiro como o da figura que se segue que foi cotado duas vezes Trata-se do tabuleiro que tem as duas diagoais reechidas Assim, existem tabuleiros as codições euciadas Resosta: (B Há duas letras A e duas letras S Assim, existem maeiras diferetes de colocar as duas letras A e ara cada uma destas maeiras existem maeiras diferetes de colocar as duas letras S e ara cada maeira de colocar as letras A e as letras S, existem! maeiras de colocar as restates letras O úmero edido é! Resosta: (A Os úmero rimos de a são:,, e Duas das quatro faces da irâmide já têm os úmeros e, elo que resta umerar as outras duas faces com os úmeros e ; existem! maeiras de o fazer Para cada uma destas maeiras, existem! maeiras de umerar as faces restates do oliedro (com os úmeros,,, e O úmero edido é!! Resosta: (B Há três casos a cosiderar I I P I P I P I I É ossível formar Pág ão ode ser + úmeros ; ; ( + + ode ser ou Existem úmeros

13 álculo combiatório e robabilidades Seja o úmero de variedades de fruta existetes essa frutaria Uma equação que traduz o roblema é ( ± omo, Na frutaria existem variedades de fruta Pretede-se escolher, de etre as variedades de frutas disoíveis a frutaria, seis Assim, existem maeiras diferetes de fazer uma salada de fruta as codições euciadas No cojuto das cartas, retede-se que os reis estejam icluídos, elo que resta escolher ove cartas das restates cartas do baralho que ão são reis maeiras diferetes R D Outras maeiras diferetes Por exemlo: Uma emresa tem fucioários, dos quais são mulheres e são homes Pretede-se formar uma comissão de trabalhadores ara orgaizaram a festa de Natal Sabe-se que a comissão terá obrigatoriamete três mulheres e dois homes, e que a Maria e o Miguel, trabalhadores desta emresa, ão querem fazer arte da comissão em simultâeo Quatas comissões diferetes se odem formar? Ficha ara raticar V B Total Números de casos ossíveis: Número de casos favoráveis: + P I P Número de casos ossíveis: P om úmero ar há bolas vermelhas e bracas V B Número de casos ossíveis: + + P % Pág Número de casos ossíveis: Número de casos favoráveis: P, há ossíveis lugares ara o Número de casos favoráveis: ódigos com exatamete dois algarismos iguais a zero: ódigos com exatamete três algarismos iguais a zero: ódigos com exatamete quatro algarismos iguais a zero: Existe aeas um código, cocretamete o O úmero de casos favoráveis é + + O úmero de casos ossíveis é A robabilidade edida é, ela regra de Lalace, Número de casos ossíveis: Número de casos favoráveis: O algarismo das uidades é ou O algarismo das uidades é O úmero de casos favoráveis é, ortato, + A robabilidade edida é, ela regra de Lalace, De cordo com a Regra de Lalace, dado um esaço de resultados E, fiito, se os acotecimetos elemetares forem equirováveis, a robabilidade de um A P E, é igual ao quociete etre o acotecimeto úmero de casos favoráveis ao acotecimeto A e o úmero de casos ossíveis O úmero de casos ossíveis é, ois ara o rimeiro algarismo temos ove escolhas; ara o segudo também temos ove escolhas orque, se or um lado ão odemos utilizar o algarismo as dezeas de milhar, já o odemos usar como algarismo dos milhares O úmero de casos favoráveis é A + A já que: um úmero é ar quado o algarismo das uidades é,,, ou A arcela A é o úmero total de úmeros de cico algarismos diferetes termiados em : A é o úmero de sequêcias de quatro algarismos diferetes escolhidos de a

14 álculo combiatório e robabilidades A arcela A corresode aos úmeros de cico algarismos diferetes termiados em,, ou O fator corresode recisamete às quatro hióteses que existem ara o algarismo das uidades Para cada uma dessas escolhas, temos hióteses ara o algarismo das dezeas de milhar, que ão ode ser zero, em o algarismo que já escolhemos ara as uidades Fialmete, ara cada ar de escolhas já feitas temos A maeiras de escolher a sequêcia dos três algarismos do meio de etre os que estão disoíveis A robabilidade edida é, ela regra de Lalace, A A Número de casos ossíveis: Número de casos favoráveis: B A Mais fichas bracas do que azuis + + Assim, a robabilidade edida ela Regra de Lalace + + Número de casos favoráveis: + Número de casos ossíveis: + P Pág omo as fichas são todas iguais, o úmero de casos ossíveis é o úmero de maeiras de escolher um cojuto de quadrículas de etre : No etato retede-se que as duas diagoais fiquem reechidas Observe-se a figura que se segue Restam cico fichas ara distribuir or quadrículas Temos quadros com esta colua reechida e, evidetemete, há outros tatos quadros com cada uma das outras quatro coluas reechidas No etato, há quadros como o da figura que ão devem ser cotado, uma vez que aresetam duas coluas totalmete reechidas e ão uicamete uma, como se retede O úmero total de quadros em que as duas coluas estão totalmete reechidas é (escolher duas coluas de etre O úmero de casos favoráveis é A robabilidade edida, ela Regra de Lalace, é, O úmero de casos ossíveis é otemos agora os casos favoráveis, ou seja, aqueles em que elo meos uma diagoal fica reechida omecemos or cotar os quadros em que está reechida a diagoal idicada a figura Restam cico eças ara distribuir or quadrículas Temos quadros com esta diagoal reechida e, como é óbvio, há outros tatos quadros com a outra diagoal reechida No etato, há quadros como o da figura seguite que foram cotados duas vezes Resta uma eça ara distribuir or quadrículas Temos casos favoráveis Assim, e recorredo à regra de Lalace, a robabilidade edida é O úmero de casos ossíveis é O úmero de casos favoráveis são aqueles em que uicamete uma colua fica totalmete reechida omecemos or cotar os quadros em que está reechida a colua reresetada a figura Esses quadros são os que têm as duas diagoais reechidas Já estão ove eças as diagoais e, ortato, ocuadas ove quadrículas Resta uma eça ara distribuir or quadrículas, o que ode ser feito, obviamete, de maeiras diferetes Há, etão, caos ossíveis e a robabilidade edida, recorredo à regra de Lalace, é, A liha do Triâgulo de Pascal em que a soma dos dois rimeiros elemetos com os dois últimos elemetos é igual a, como o rimeiro e o último úmeros são, a

15 álculo combiatório e robabilidades soma do segudo com o eúltimo é, sedo estes iguais etre si, e or isso iguais a Na liha do Triâgulo de Pascal em que o segudo elemeto é, os elemetos são da forma k, elo que a comosição da liha é: Assim, escolhedo, ao acaso, um elemeto desta liha, a robabilidade de ele ser ímar é O úmero de casos ossíveis é O roduto dos dois elemetos ão é suerior a, aeas quado são escolhidos: os dois um caso: um e um quatro casos: O úmero de casos favoráveis é A robabilidade edida é Pág A equação x + kx+ é imossível em R se e só se k < < k < Sedo k o valor que se obtém o laçameto do dado, k aeas toma os valores:, e omo o dado tem três faces com o úmero e uma face com o úmero, existem quatro casos favoráveis Etão, a robabilidade edida é P( A B P( A B P( A B,, Portato, P( A B, P( A B P( A + P( B P( A B P( B P( A B P A +,+,,, Portato, P( A B, P( A B P( A B P( A B,, Portato, P( A B, P( A B P( A + P( B P( A B P( B P( A B P( B P A B P A +,,+, P( B,, P( B, Portato, P( B, P( A B + P( A P( B P( A + P( B P( A B + P( A P( B P( A + P( B P( A B + P( A P( B P( A B P( A B P( A B P( A B P( A B P( A P( B P( A B P( A P( B P( A B + + P( B P( A P( A B P( A P( B ( P( B P( A B P( B + P( B P( A B P A + + P A + P B P A + P A B + P A P( A P( B P( A B + P( A B P( A B + P( A P( A B [ P( A P( B P( A B ] P( A P( A B + + P( A P( B + P( A B + P( A P( A B P( B P( B P( A B + P( A P( A B P( A B P( A + P( B P( A B P( A + P( B P( B + P( A B P A + P B P B P A B P( A B + P( A P( A + P( B P( A B P( A P( B P( A B P( A P( B P( A B P( A + P( B P( A B P( A B P( A B + Esta desigualdade é verdadeira, quaisquer que sejam os acotecimetos A e B, ois a robabilidade de qualquer acotecimeto uca é suerior a um +, omo P( A B P( A P( B P( A B odemos afirmar que esta desigualdade é verdade, quaisquer que sejam os acotecimetos A e B P A B, P( A P( B ( P( B P A B P( A B P( A B P( B Por outro lado, P( A B P( A + P( B P( A B P( B + P( B P( B P( B P( B : P( B

16 álculo combiatório e robabilidades P A P B e, como P( A e P( A B Temos, aida, P( A B P( A P( B, coclui-se que os acotecimetos A e B são ideedetes P( B P( A B + P( B P( A B P( A B P( A B P( B P( B P( B P( B P( A B + P( A B P( A B + P( A B + P( A P( A B P( A ( P A B P( B ( P( B ( P( B P( A B P( B P B P A B P B P A B P B P A B Se A e B são acotecimetos icomatíveis, etão: P A B P A + P B Logo: P( A + P( A P( A Se A e B são acotecimetos ideedetes etão: P( A B P( A P( B P( A Por outro lado, sabe-se que: P A B P A + P B P A B, logo P( A + P( A P( A P( A P( A P( A : P( A Sejam A e B os acotecimetos: A : O aluo escolhido é raaz B : O aluo escolhido é moreo Sabe-se que: P( A ; P( A P B A, P B A e P( B P( A B + P( A B P( A P( B A P( A P( B A +,+ +,+ + + P B A robabilidade edida é, ortato, Pág Sejam A, B, e D os acotecimetos: A: O articiate é miistro B : O articiate é secretário de estado : O articiate é homem D : O articiate é mulher Sabemos que: P( A P( B, P( A, P( D B, Pretede-se determiar P( B D Através do teorema da robabilidade total, temos: P( B D P( B P( D B P( B D P D P A D + P B D P( B P( D A ( + ( P A P D A P B P D B omo P( D A P( A P A,,,, P( B D,,+,, A robabilidade edida é Número de casos ossíveis: Número de casos favoráveis ao acotecimeto cotrário (saírem duas cartas de aus: P P( ( A B sigifica a robabilidade de sair uma carta de coas que ão seja figura a seguda extração, sabedo que saiu o ás de coas a rimeira extração Tem-se, assim, que o úmero de casos favoráveis é (úmero de cartas existetes o baralho, aós a extração da rimeira carta, a qual ão foi reosta o baralho; o úmero de casos favoráveis é (úmero de cartas de coas existetes o baralho que ão são figuras, aós a extração da rimeira carta, a qual, or ser o ás de coas, faz com que o baralho tivesse aeas cartas de coas das quais três são figuras A robabilidade edida é, or alicação da Regra de Lalace, Ficha ara raticar A V Total Número de casos ossíveis: Número de casos favoráveis: + + P Pág

17 álculo combiatório e robabilidades A V Número de casos favoráveis é P Ao laçar um dado equilibrado, com as faces umerada de a, a robabilidade de sair úmero múltilo de é igual a Portato, a robabilidade de ão sair um úmero múltilo de é igual a Por outro lado, o úmero de osições, em que as três faces que têm um úmero múltilo de odem ocuar a sequêcia de seis laçametos é igual a A robabilidade edida é, em laçametos ão sai múltilo de em laçametos sai múltilo de O Atóio retira, simultaeamete e ao acaso, duas moedas do bolso A quatia, em euros, corresodete às moedas retiradas é igual a euros, quado e aeas quado, ele retira duas moedas de um euro Assim, o úmero de casos favoráveis é igual a já que o úmero de casos ossíveis é igual a Assim, a robabilidade edida é, de acordo com a regra de Lalace, Sejam A e B dois acotecimetos: A: As duas moedas retiradas elo Atóio são iguais B : A quatia, em euros, corresodete às duas moedas retiradas elo Atóio é igual a euros P B A Pretede-se determiar O úmero de maeiras diferetes de retirar duas moedas iguais é dado or + (ou retira duas moedas das três de um euro ou retira duas moedas das quatro de cêtimos Portato, a robabilidade edida, or alicação da regra de Lalace é + Em alterativa: P( B A P( B A P( A + Número de casos ossíveis:! Número de casos favoráveis:!! ode ser raazes os ares e raarigas os ímares maeiras de setar raarigas os lugares ares maeiras de setar raazes os lugares ímares!! P! P P( A B P( A + P( B P( A B P A + P B P B P A B P( A P( A B P A B + Substituido P( A B or, e P A or,:,,+ P A B P A B, P( A B P( A + P( B P( A B P A + P B P A P A B P( A + P( B P( A + P( A B P( B + P( A B Substituido P( B or, e ( P( A B,+,, P( A\ B P( A B P A B or,: Pág P( A P( A B P( A B P( A P( A P A,P B P B, Por outro lado, P( A B P( A + P( B P( A B P( A P( A P( A + P( A, P( A P( A,, Portato, P( A, P( A B P( A B P( B P( A B P( A,,,, P( B,,, P A B,, Assim, P A P A B P A P A B P B P( B P( A ( P( A B P( B P( A P( A B P( B P( A P( A P( B P( A B P( B ( P( B P B P A B ( ( P( A B P( B P B A P A B P B +,

18 álculo combiatório e robabilidades Sejam os acotecimetos: A: O habitate é um homem B : O habitate tem meos de aos, P A P( B A, elo que P( B A P A elo que,,,, P B A, elo que P( B A,, Pretede-se determiar P( A B P( A B ( P A B P( A P( B A P( B P( A B + P( A B P( A P( B A ( + ( P A P B A P A P B A,,,,,+,,, Pretede-se determiar P( A B P( A B P( A + P( B P( A B, (, P( A P( B A +,+,,,,+,, Os acotecimetos A e B são ideedetes se e P A B P A P B somete se ( P A B P A B P( A B P( A B P( A + P( B P( A B P( A + P( B P( A B Substituido P( A or e P( B or, vem + P( A B P( A B P A B Por outro lado, P( A P( B P( A P( B oclui-se, ortato, que A e B são acotecimetos P A B P A P B ideedetes, ois ( ( P A B sigifica a robabilidade de a seguda bola extraída ser vermelha ou verde sabedo que a rimeira bola extraída tiha um úmero ar e era vermelha O úmero de casos ossíveis é (deois de ser retirada a rimeira bola, restam bolas o saco O úmero de casos favoráveis é (existem o saco bolas verdes e bolas vermelhas, ois a rimeira bola extraída era vermelha e ão foi reosta o saco Portato e, or alicação da regra de Lalace, a robabilidade edida é Sejam os acotecimetos: E : a máquia teve roblemas elétricos M : a máquia teve roblemas mecâicos P( M, ; P( E M, e P E M, A máquia ara de fucioar imediatamete quado tem roblemas elétricos (odedo ou ão ter roblemas mecâicos Assim, retede-se determiar P( E ( + ( P E P M P E M P M P E M,,+ (,,, A robabilidade edida é Pretede-se determiar P( M E já que a robabilidade edida é a robabilidade de ter ocorrido um roblema mecâico a máquia sabedo que esta ão arou o seu fucioameto (se ão arou é orque ão teve roblema elétrico ostruido um diagrama de árvore, vem que: P( M E ( P( E P( M P( E M P( M E + P( M E P( M P( E M P( M P( E M + P( M P( E M P M E,,,,+,, A robabilidade edida é P( A B P( A P( B P( A B P A B P( B P( A B P( B P( B P( B P( A P( A P( B P B P A P B P B P A

19 álculo combiatório e robabilidades P( B A P B A P( A P( A B P( A P( A P( A P( B P( A P( A P A P A P B P( B P( B P A B B P( A B B P B P A B B P( A P( P B P B P B P B Por outro lado, P( A < P( B, daí que: P( A < P( B P A < P B P A < P B P( A > P( B P( A P( B, elo que P( A e robabilidades ão ulas Portato, < P( B < P( A, ou seja, (( < ( < ( \ P A B B P B A P A B P B são Sejam os acotecimetos: F : O automóvel é um grade familiar E : O automóvel é um executivo M : O automóvel é um moovolume A: O automóvel é reto P E,, P F,+,,,, P( A E,, P M, P A M, e P( A, Pretede-se determiar P( F A ostruido uma tabela, tem-se P A E P E P A E,,, P( A M P( M P( A M,,, F E M Total A,,,, A,,,, Total,,, P( A,, P( A E,,, P( A F,,,, P( F A, ( P F A P A, O úmero de casos ossíveis é igual a % de é igual a, elo que existem automóveis retos e, evidetemete, que ão são retos O úmero de casos favoráveis é igual a A robabilidade edida é, or alicação da regra de Lalace, % P( A B P( B P( A B P( A B P( B P( A B P( B P( A B P B P B P( A B P( ( B A P B A ( P( A ( ( P( A ( + ( P( A P B A P B A A P B A P A, ois B A e A são icomatíveis, uma vez que B Ficha de teste ( P( A ( P( A P B A P A P B A P A ( ( P B A P A Seja o segudo elemeto dessa liha, ortato, Pág Na liha do Triâgulo de Pascal em que o segudo elemeto é, os elemetos são da forma k, elo que, recorredo à calculadora, odemos verificar a comosição da liha: Assim, existem dez elemetos dessa liha que são meores que (os cico rimeiros e os cico últimos e como a liha de ordem tem elemetos, existem elemetos sueriores a, dode, a robabilidade edida é Resosta: (B O termo geral do desevolvimeto de A( x é: T + x x x x x ( x x

20 álculo combiatório e robabilidades Pretede-se determiar o coeficiete do termo em elo que: x, Trata-se do º termo, substituido or em T + : T x + T Portato, k Resosta: (D P A B P( A + P( B P( A B P( A B P( A B P( A B P( B P( A B,, P( A B,, (, P( B P( A B,,+,, P A B P( B, P A B, Dos valores das oções o úico que ode ser é, Resosta: (A Trata-se da robabilidade de comer a maçã sabedo que P A B e como esta ão tem fome, ou seja, robabilidade é igual a temos que P A B Resosta: (B Os acotecimetos A e B são ideedetes se e P A B P A P B somete se P( A B P( A + P( B P( A B P( A + P( B P( A P( B,+,,,, Resosta: ( No dado viciado a robabilidade de sair face com o úmero é igual a, ortato, este dado a robabilidade de ão sair face com o úmero é igual a omo as restates faces têm igual robabilidade de ocorrer, temos que a robabilidade de sair cada uma delas é igual a : Assim a robabilidade de sair face o daco viciado é igual a No dado equilibrado esta robabilidade é Sejam os acotecimetos: A: Laça o dado equilibrado B : Sai a face com o úmero Pretede-se determiar P( A B P( A B P( A B P( A B P( B P( A B + P( A B P( A P( B A P( A P( B A + P( A P( B A + A robabilidade edida é P A B B P A B B P A B B P B ( ( P A B B B P( B P( B ( P( B P( B P A B P A B que P A P B P A omo A e B são dois acotecimetos ideedetes, temos P A B P A P B Sejam os acotecimetos: A: Sair bola azul B : Sair face com úmero múltilo de o laçameto do dado P( B, ois {,} P( A B e ( B, logo, P A B P B Alicado o teorema da robabilidade total: ( ( P A P B P A B + P B P A B + A robabilidade edida é A caixa cotém, o total, + bolas Uma equação que traduz o roblema é: + ( + ( ± O valor de tem de ser um úmero atural, logo, elo que o roblema tem duas soluções