Prof. Rafael A. Rosales 24 de maio de Exercício 1. De quantas maneiras é possível ordenar um conjunto formado por n elementos?

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1 USP-FFCLRP Fudametos de Matemática DCM Iformática Biomédica Prof. Rafael A. Rosales 24 de maio de 20 Combiatória Exercício. De quatas maeiras é possível ordear um cojuto formado por elemetos? Exercício 2. De quatas maeiras podemos escolher k elemetos de um cojuto com elemetos? (este caso a ordem ão é cosiderada) Exercício 3. Qual é o úmero de bijeções de um cojuto de elemetos a um cojuto de m elemetos? Exercício 4. Qual é o úmero de todas as relações (ão uicamete as bijeções) de um cojuto de elemetos a um cojuto de m elemetos? Exercício 5. Determie o úmero de quadrados com vértices o arreglo de 0 0 potos apresetado a figura abaixo. Exercício 6. Quatos pares ordeados de iteiros positivos (a, b) existem tais que o meor múltiplo comum de a e b é ? Exercício 7. Determie o úmero de proteías formadas por 7 amioácidos de maeira que: (i) ehum amioácido esteja repetido, e (ii) os amioácidos G (glicia) e I (isoleucia) ão sejam adjacetes. Exercício 8. Uma permutação circular é simplesmetes uma permutação dos objetos quado dispostos sobre um circulo. Duas permutações são cosideradas iguais se uma pode ser obtida da outra por rotação. Mostre o seguite resultado. por exemplo, os múltiplos de 4 são: 4, 8, 2, 6, 20, 24, 28, 32, 36,..., e os múltiplos de 6 são: 6, 2, 8, 24, 30, 36,.... Os múltiplos comus de 4 e 6 são 2, 24, 36,..., logo o meor múltiplo comum de 4 e 6 é 2

2 Lema. O úmero de permutações circulares (diferetes) de objetos é ( )!. Exercício 9. Vite e cico dos cavalheiros do Rei Artur são setados a távola redoda. Três cavalheiros são escolhidos (ao acaso) para lutar cotra um dragão. De quatas maeiras podem ser escolhidos os cavalheiros de maeira que pelo meos dois destes se ecotram em cadeiras adjacetes? Exercício 0. Seja L o cojuto dos potos com coordeadas (x, y, z), ode x, y e z são os iteiros tais que 0 x 2, 0 y 3, e 0 z 4. Dois potos de L devem ser escolhidos. De quatas maeiras podemos fazer a escolha de forma que o poto médio do segmeto determiado pelos potos se ecotre em L? Exercício. Mostre que ( ) < 0 ( ) < Exercício 2. Mostre as seguites idetidades ( ) ( ) ( ) < < 2 2 = 2 ( ) /2 ( ) (i) ( ) k = 0. (iii) = 2, se é par. k 2k ( ) /2 ( ) (ii) = 2. (iv) = 2, se é par. k k Exercício 3. Cosiderado as idetidades j=0 ( + x) m ( + x) = ( + x) m+, ( + x) m ( + x) 2 = ( + x) m 2, mostrar que k ( )( ) ( ) m m + (i) =. (ii) j k j k Exercício 4. Mostre que ( )( )( ) + k = r r + 2k r + k m ( m ( ) m k k ( r + k )( + k r )( ) ( ) + k =. + m )( ) + 2k. r + 2k (i) Iterprete esta idetidade utilizado triâgulo de Pascal. Lembre que o triâgulo de Pascal é apresetado pelo seguite arrajo de coeficietes biomiais, C m, C 0 0 C 0 C C2 0 C2 C2 2 C3 0 C3 C3 2 C3 3 C4 0 C4 C4 2 C4 3 C =

3 A otação utilizada é a usual, isto é C m = ( ) m =! m!( m)! (com C0 0 =, pois 0! = ). (ii) Mostre as idetidades do Exercicio 2 utilizado o triâgulo de Pascal. Exercício 5. Um tabuleiro com lados iguais é dividido em 9 (3 3) quadrados. Cada um destes quadrados deve ser pitado de azul ou laraja. De quatas maeiras pode ser pitado o tabuleiro de maeira que este ão apresete um quadrado de 2-por-2 da cor laraja? [Sugestão: utilice o Pricipio da Iclusão-Exclusão.] 2 Probabilidade 2. Espaços amostrais Ω Exercício 6. Descrever os espaços amostrais, Ω, dos seguites experimetos: (i) uma moeda é laçada vezes ( < ) (ii) duas bolas são retiradas de uma ura que iicialmete cotem duas bolas pretas e duas vermelhas. Cosidere todas as posíveis situações: as bolas podem ser retiradas com reposição ou sem reposição, e a ordem a qual são retiradas as bolas pode ser cosiderada ou ão. (iii) selecioa-se um poto, ao acaso, do quadrado uitário {(x, y) : 0 x, 0 y } (iv) Retiram-se cartas sucessivamete de um baralho de 52 cartas, ao acaso e com reposição, até retirar-se o primeiro rei. Exercício 7. Um toreio de têis começa com 2 competidores e apreseta etapas. Descreva o espaço Ω de todos os possíves toreios. (Observe que ão se trata de calcular (Ω), que de fato foi respodido em aula. Aqui você deve forecer uma descrição do próprio cojuto Ω.) 2.2 Evetos Exercício 8. Sejam A, B e C evetos de Ω. Idetifique as seguites equações e frases, uido cada equação expressa a otação de cojutos com a correspodete frase a liguagem de evetos, (a) A B C = A B C (i) A e B ou C são icompatíveis (b) A B C = A (ii) Os evetos A, B, C são idêticos (c) A B C = A (iii) A ocorrêcia de A implica a de B e C (d) (A B C) \ (B C) = A (iv) A ocorrêcia de A decorre de B ou C Exercício 9. Sejam A, B, C evetos de Ω. Mostre que A\(B \C) A\B C. Ecotrar uma expreção mais simples para A \ B C. Exercício 20. Sejam A, B e C três evetos em Ω. Ecotrar as expressões para os seguites evetos: (a) acoteceu somete A (b) acoteceram A e B mas ão C (c) acoteceram os três evetos 3

4 (d) acoteceu ao meos um dos evetos (e) acoteceram ao meos dois evetos (f) acoteceu só um dos evetos (g) ocorreram só dois evetos (h) ão acoteceu ehum dos evetos (i) ão acoteceram mais de dois evetos Exercício 2. Dois dados são laçados. Sejam os evetos E = {a soma dos dados é impar} 2, F = {pelo meos um dado tem o úmero a face superior}, e G = {a soma dos dados é 5}. Descreva os evetos E F, E F, F G, E F c, e E F G. 2.3 Probabilidade (simetria) Exercício 22. Um dado equilibrado e jogado duas vezes. Qual é a probabilidade de que: (i) o úmero 6 ocorre só uma vez, (ii) ambos resultados sejam um úmero par, (iii) a soma dos resultados é 4, (iv) a soma dos resultados é divisível por 3. Exercício 23. Dois dados equilibrados são jogados simultaeamete. Qual é a probabilidade dos seguites evetos: (i) a soma dos resultados é 2, 3 ou 2, (ii) a soma dos resultados é impar, (iii) o produto é impar, (iv) a difereça e impar, (v) o resultado de um dado é meor que o outro, (vi) os resultados serem diferetes e o meor dos dois úmeros é r, para r 6. [É importate distiguir os dois dados. No caso que isto ão seja tomado em cota, o espaço amostral Ω = {(i, j) : i j 6}, apreseta 2 possibilidades, Ω = 2, cada uma com probabilidades diferetes do caso o qual os dados são diferetes.] Exercício 24. Uma sala de aula tem 7 homes e 8 mulheres. (i) Se duas pessoas são selecioadas ao acaso para sair da sala, qual é a probabilidade destas serem do mesmo sexo? (ii) Em duas ocasioes diferetes uma pessoa é selecioada para sair da sala. Qual a probabilidade das escolhas resultar em pessoas de sexo diferete? Exercício 25. Uma moeda equilibrada é jogada repetidas vezes. Qual é a probabilidade de que a -ésima jogada: (i) o resultado seja uma cara pela primeira vez, (ii) o úmero de caras e coroas é o mesmo, (iii) ocorreram exatamete duas caras, (iv) ocorreram pelo meos duas caras. Exercício 26. Uma moeda equilibrada é jogada quatro vezes. Qual é a probabilidades de: (i) o resultado cotem pelo meos três caras, (ii) o resultado cotem exatamete três caras, (iii) o resultado cotém três o mais caras cosecutivas, (iv) o resultado tem exatamete três caras cosecutivas. Exercício 27. Uma ura cotem bolas bracas, b, e de cor laraja, l. Duas bolas são retiradas ao acaso. (i) Ecotrar P(bb) quado o espaço amostral é formado por todos os pares ão ordeados de bolas idistiguíveis. (ii) Qual é a probabilidade de que a primeira bola seja braca? e da seguda braca?. (iii) A metade das bolas são removidas e colocadas em uma caixa. Se das bolas restates uma é escolhida ao acaso, qual é a probabilidade de que esta última seja laraja?. (iii) Um dado hoesto com lados é jogado. Se a r-ésima face é o resultado, r bolas são removidas da ura e colocadas um saco. Qual é a probabilidade de que uma bola removida ao acaso do saco seja de cor laraja? 2 Esta otação é a forma abreviada de {ω Ω : ω que apresetam soma impar}. Em geral {ϕ} deota o cojuto dos evetos elemetares {ω Ω : ω ϕ} ode ϕ é um predicado qualquer (da lógica de primeira ordem). 4

5 Exercício 28. Um jogo de 4 xícaras e 4 pires cotém duas xícaras e dois pires da cor braca e as outras duas xícares e os seus pires da cor preta. (i) Qual é a probabilidade de que exatamete uma xícara esteja sobre um pires da mesma cor?. (ii) Qual é a probabilidade de que duas xícaras estejam sobre pires da mesma cor?. (iii) Qual é a probabilidade de que ehuma xícara esteja sobre um pires da mesma cor se o jogo cosiste de quatro cores diferetes em lugar de só dois? [Sugestão: coloque primeiro os pires e deixe estes fixos! (pese por que ão faz difereça se também cosideramos o casos ode os pires são colocados ao acaso em qualquer disposição)] Exercício 29. Para começar um jogo de azar com um dado, é preciso sacar um 6 o primeiro laçameto. (i) Qual é a probabilidade de que o 6 resulte pela primeira vez sé o terceiro iteto?. (ii) Qual é a probabilidade de que sejam requeridos mais de três itetos?. (iii) Qual é o úmero de itetos mais prováveis requeridos para obter um 6? Exercício 30. (Problema de Pepys) 3 Calcule a probabilidade dos seguites evetos: (i) pelo meos um 6 é obtido ao laçar dois dados, (ii) dois 6, ou seja (6, 6), são obtidos pelo meos uma vez ao jogar dois dados 2 vezes. (iii) Diga qual dos dois evetos acima é mais provável. Exercício 3. No jogo crabs mecioado a sala de aula, qual é a probabilidade dos seguites evetos: (i) gahar ou perder ates ou o segudo laçameto, (ii) gahar ou perder ates ou o terceiro laçameto, (iii) gahar se o primeiro laçameto o primeiro dado resulta em 2, (iv) gahar se o primeiro laçameto o primeiro dado resulta em 6, e (v) De ser possível fixar o resultado de um dos dados o primeiro laçameto, qual seria o úmero escolhido por você? Exercício 32. Uma ura cotem três tickets marcados com, 2 e 3. Se os tickets são retirados sem reposição, qual é a probabilidade de que exista um valor r (r =, 2, 3) tal que a r-ésima retirada resulte um tiket marcado com r? 2.4 Propriedades adicioais de P Exercício 33. Demostrar que a probabilidade de que ocorra exatamete A e B é P(A) + P(B) 2P(A B). Exercício 34. Demostre as seguites propriedades ( (i) Se P(A ) = 0 para =, 2,..., etão P A ) = 0, ) (ii) Se P(A ) = para =, 2,..., etão P A =. Exercício 35. Demostrar as seguites desigualdades, cohecidas como as desigualdades de Boole, ( ) ) P A i P(A i ), P A i P(A c i) 3 Esta questão foi feita por Pepys em 693 a Isaac Newto. Pepys ão quis aceitar e um primeiro mometo a resposta (correta) de Newto. Este problema foi icluido a primeira prova de Teoria de Probabilidade para IBM em

6 Exercício 36. Mostre que se P(A k ) ε para k =,...,, etão, P A k ) ε. Exercício 37. Demostre o seguite fato: se A, A 2,... e B, B 2,... são evetos do mesmo espaço de probabilidade tais que P(A ) e P(B) p, quado, etão P(A B ) p. Exercício 38. Demostrar que P A i ) = P(A i ) P(A i A j ) + i<j i<j<k + + ( ) + P(A A 2 A ). P(A i A j A k ) 3 Probabilidade (combiatória) A codição de simetria também é válida esta seção, porém a difêça a respeito da seção aterior, agora é efatizado o emprego de um método de cotagem eficiete para determiar o úmero de evetos elemetares de um eveto. Exercício 39. Supoha que você tem dois pares de meias vermelhas, três pares de meias beije, e quatro com um atrativo motivo de arco-íris. Se são escolhida duas meias ao acaso, qual é a probabilidade destas serem do mesmo par? Exercício 40. Um estudate do DFM tem a livros de álgebra, b sobre bacos de dados, e c de cálculo. Se os livros são colocados uma prateleira ao acaso, qual será a probabilidade dos evetos: (i) os livros sobre um mesmo tema ão estam separados, (ii) os livros sobre um mesmo tema estam em ordem alfabético mas ão são ecessariamete adjacetes, (iii) os livros sobre o mesmo tema são adjacetes e seguem o ordem alfabético. Exercício 4. Um jogo de cartas 4 é bem embaralhado e uma mão de 3 cartas é oferecida a quatro jogadores. Ecotrar a probabilidade de que: (i) cada jogador teha um ás, (ii) um jogador teha todos os asses. Exercício 42. Supoha que as pessoas tem a mesma probabilidade de ascer em qualquer dia do ao. Dado um grupo de r pessoas selecioadas ao acaso, das quais é sabido que ehuma asceu o 29 de fevereiro, mostrar que a probabilidade de que ao meos duas destas teham aiversário em dias cosecutivos ou o mesmo dia é p r, ode p r = (365 r )! 365 r+, (2r < 365). (365 2r)! Mostre que para r = 3, a probabilidade de ter dois aiversários cosecutivos é /2. 4 Um baralho padrão cotém 52 cartas, as quais podem ser de um dos quatro posíveis aipes:,,,. Cada aipe a suas vez apreseta as seguites deomiações: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, J, Q, K, e A. Observe que aida é possível clasificar as cartas segudo a usa cor, geralmete os aipes, são pretos e os aipes, são vermelhos. 6

7 Exercício 43. Uma ura cotem 4 bolas, das quais são pretas, roxas, azuis e marros. Se r, r 4, bolas são retiradas sem reposiçãoão, qual é a probabilidade de que: (i) ao meos uma bola é preta? (ii) exatamete duas bolas são pretas? (iii) existe ao meos uma bola de cada cor? Exercício 44. De quatas maeiras diferetes r bolas distitas podem ser distribuídas, ao acaso, em uras umeradas de a? Qual é a probabilidade de que pelo meos uma ura teha duas bolas? Qual é a probabilidade de cada uma coter o máximo uma bola? Exercício 45. Um idivíduo tem chaves, das quais somete uma abre uma porta. Ele selecioa, a cada tetativa, uma chave ao acaso sem reposição e teta abrir a porta. Qual é a probabilidade de que ele abra a porta a k-ésima tetativa (k =, 2,..., )? Exercício 46. Dez pessoas são setadas ao acaso uma mesa redoda. Qual a probabilidade de que dois pessoas de um casal em particular estejam setadas uma ao lado da outra? [Sugestão: eumere as cadeiras do até o 0 ao igual que dez cartas bem embaralhadas, as quais serão repartidas etre as dez pessoas. O úmero total de resultados é igual a todas as permutações de 0 elemetos. Cote o úmero de evetos favoráveis.] Exercício 47. Você ecotra-se jogado Poker e recebe 5 cartas 5. Um full house costa de três cartas do mesmo valor e duas de outro, por exemplo (2, 2, 2, 4, 4 ). Uma quadra esta formada por quatro cartas do mesmo valor e uma quita carta de qualquer outro valor, por exemplo (5, 5, 5, 5, K ). O que é mais provável, que você receba um full house ou uma quadra? Exercício 48. Seis úmeros são escolhidos de um total de 49 (loteria). Qual a probabilidade dos seguites evetos (i) A = {os úmeros escolhidos são, 2, 3, 4, 5, 6}, (ii) B = {44 é um dos úmeros escolhidos}. Exercício 49. Qual é a probabilidade de formar a palavra ABRACADABRA se as letras A, A, A, A, A, B, B, C, D, R, e R são escolhidas ao acaso? Exercício 50. Um elevador carega 7 pessoas e para subsequetemete em 0 adares. (i) Qual a probabilidade de que ão desça mais de pessoa o mesmo adar? (ii) Os diferetes arrajos de descarga podem ser deotados como 3, 2, 2, caso 3 pessoas teham descido jutas em um adar, duas teham descido jutas em outro adar e fialmete as duas restates em outro adar. Calcule a probabilidade dos quize possíveis arrajos de descarga desde a cofiguração 7 até a,,,,,,. 5 em Poker, um baralho padrão é repartido etre vários jogadores. Usualmete cada jogador recebe 5 cartas. 7