Um estudo das permutações caóticas

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1 Um estudo das permutações caóticas Trabalho apresetado como atividade do PIPE a disciplia Matemática Fiita do Curso de Matemática o 1º semestre de 2009 Fabrício Alves de Oliveira Gabriel Gomes Cuha Grégory Dura Cuha Tatiae de Medeiros Resumo: Iremos tratar aqui de Permutações Caóticas dado êfase à abordagem de Euler para este tema Explicitaremos a dedução da fórmula do cálculo do úmero de desarrajos para ites e apresetaremos um método para calcular a probabilidade de ocorrêcia de uma permutação caótica sem cohecer o úmero de ocorrêcias 1 Itrodução A bricadeira de amigo oculto, muito comum em ossa sociedade, traz cosigo uma itrigate questão que o séc XVIII motivou o célebre matemático Leohard Euler a empehar-se em um egehoso e surpreedete trabalho com o ituito de solucioá-la Esta questão cohecida como O Problema das Cartas mal edereçadas cosiste em descobrir de quatas formas distitas pode-se colocar cartas em evelopes, edereçados a destiatários diferetes, de modo que ehuma das cartas seja colocada o evelope correto Figura 11: Leohard Euler Voltado ao amigo oculto, o problema equivale a ivestigar de quatas formas diferetes pessoas podem sortear aleatoriamete papeizihos de modo que ehuma delas sorteie o próprio ome Estamos diate de um cohecido problema de Aálise Combiatória, as Permutações Caóticas Uma vez resolvido este problema iremos estedê-lo ao cálculo da probabilidade de ocorrêcia de uma Permutação Caótica, ou seja, ivestigaremos qual a probabilidade de um sorteio ser bem sucedido a bricadeira do amigo oculto

2 150 FAMAT em Revista 2 Número de Permutações Caóticas Defiição: Uma permutação de a 1, a 2,, a é chamada de caótica quado ehum dos a i s se ecotra a posição origial, isto é, a i-ésima posição Uma permutação com tal característica também é chamada de um desarrajo de a 1, a 2,, a Seja D o úmero de permutações caóticas, isto é, a quatidade de permutações das letras a, b, c, as quais ehuma delas ocupa sua posição origial Quado = 1, temos somete uma letra Logo ão existe forma de desarrajá-la e, portato, D 1 = 0 Quado = 2, podemos desarrajar as letras a e b apeas de uma forma: ba Assim, D 2 = 1 Quado = 3, podemos permutar as letras a, b, c de 6 maeiras: abc, acb, bac, bca, cab, cba, ode bca e cab são os úicos desarrajos Portato, D 3 = 2 Cotiuado a aálise de casos particulares, verifica-se que D 4 = 9 e D 5 = 44, mas, a partir daí, as alterativas toram-se muito umerosas de tal modo que é preciso deduzir matematicamete qual a lei de formação de D Vejamos como Euler raciociou para ecotrar o valor de D Seja a, b, c, d, e, um arrajo iicial de letras Rearrajado-as de modo que ehuma retore à sua posição origial, existem 1 opções para a primeira letra, já que ela ão pode ser o a Supoha que a primeira letra seja b Assim, D será dado pelo produto do úmero de variações das demais letras por 1 (já que existem 1 opções para a primeira letra) Sedo b a primeira letra de um desarrajo, temos duas possibilidades: 1 A seguda letra é o a Nesse caso, precisamos rearrajar as 2 letras restates de modo que ehuma volte à sua posição de origem Ora, esse é o mesmo problema do qual partimos, reduzido de 2 letras, havedo portato, D 2 formas de fazê-lo 2 A seguda letra ão é o a O problema agora é rearrajar as 1 letras restates que ficarão à direita de b, isso pode ser feito de D 1 maeiras Como os rearrajos das duas alterativas pertecem a cojutos disjutos, temos que, quado b é a primeira letra, existem D 1 + D 2 desarrajos possíveis Como há 1 opções para a primeira letra, pelo Pricípio Multiplicativo de Cotagem temos: D = ( 1)(D 1 + D 2 ) (21) Obtemos assim, uma fórmula de recorrêcia que resolve o problema, mas tem o icoveiete de ão forecer D como uma fução explícita do úmero Fazedo = 3 em (21), temos: Reescrevedo a expressão, obtemos: D 3 = 2(D 2 + D 1 ) D 3 = 2D 2 + 2D 1 D 3 = ( D 2 + 3D 2 ) + 2D 1 D 3 3D 2 = D 2 + 2D 1 D 3 3D 2 = (D 2 2D 1 ) Aalogamete, para = 4 e = 5, temos: para qualquer iteiro, 3, têm-se: D 4 4D 3 = (D 3 3D 2 ) D 5 5D 4 = (D 4 4D 3 ) D 3 3D 2 = (D 2 2D 1 ) D 4 4D 3 = (D 3 3D 2 ) D 5 5D 4 = (D 4 4D 3 ) D D 1 = (D 1 ( 1)D 2 ) Número de Permutações Caóticas Uiversidade Federal de Uberlâdia

3 Um estudo das permutações caóticas 151 Multiplicado essas 2 igualdades, temos: (D 3 3D 2 )(D 4 4D 3 )(D 5 5D 4 ) (D D 1 ) = ( 1) 2 (D 2 2D 1 )(D 3 3D 2 )(D 4 4D 3 ) (D 1 ( 1)D 2 ) D D 1 = ( 1) 2 (D 2 2D 1 ) (22) Como ( 1) 2 = ( 1), Z e D 2 2D 1 = 1 20 = 1, logo, substituido em (22): D D 1 = ( 1) D = D 1 + ( 1), 3 (23) Note que (23) é verdadeira para = 2 De fato, sabemos que D 2 = 1 Por outro lado, D 2 = 2D 1 + ( 1) 2 = = 1 (23) é válida para = 2 Observe aida, que o mesmo ão ocorre para = 1, já que D 1 = 1D 0 + ( 1) 1 = 10 1 = 1 0 Da igualdade (23), temos: D 3 = 3D 2 1 D 4 = 4D = 4(3D 2 1) + 1 = 43D = D 5 = 5D4 1 = 5( ) 1 = Observe que: Daí, = 5! D 5 = 5! 5! 5! D 6 = 6D = 6( ) + 1 = = 6! Vamos mostrar que: De fato, para = 2, tem-se: 2! 1 3! + 1 4! 1 5! + 1 ) 6! D = 2! 1 3! + 1 4! 1 5! ) ( 1), 2 (24) D 2 = 2! = 1, que é claramete verdadeira 2! Supoha que (24) seja verdadeira para 1, ou seja D 1 = ( 1)! 5! ( 1) 1 ( 1)! Daí, multiplicado ambos os membros da igualdade por : D 1 = ( 1)! 5! ( 1) 1 ( 1)! De (23), temos que: D 1 = D ( 1) Faculdade de Matemática Número de Permutações Caóticas

4 152 FAMAT em Revista D ( 1) = ( 1)! D = 5! ( 1) 1 ( 1)! ) + ( 1) 2! 1 3! + 1 4! 1 5! ( 1) 1 ( 1)! D = 2! 1 3! + 1 4! 1 5! ( 1) ), como queríamos Lembrado que D 1 = 0, fialmete, temos que o úmero procurado é: ( D = 1 1 1! + 1 2! 1 3! + 1 4! 1 5! ) ( 1) 1 (25) 3 Vimos que o úmero de permutações caóticas de elemetos, com Z + é dado por: ( D = 1 1 1! + 1 2! 1 3! + 1 4! 1 5! ) ( 1) Sabedo disso, podemos resolver o seguite problema: Em uma bricadeira de amigo oculto, a qual pessoas escrevem seu ome em um pedaço de papel e o depositam um recipiete, de ode cada um retira aleatoriamete um dos pedaços de papel Qual a probabilidade de iguém pegar seu próprio ome? Em outras palavras, o problema equivale a: Se um cojuto ordeado de ites é permutado aleatoriamete, qual a probabilidade que ehum deles volte à sua posição origial? Como o úmero total de maeiras dos ites serem permutados sem que ehum volte à sua posição de origem é D e o úmero total de permutações dos ites é, temos que a probabilidade de iguém retirar seu próprio ome é dada por: P = D = 1 2! 1 3! + 1 4! 1 5! ( 1) a resposta do problema do amigo oculto, isto é, a probabilidade de ehuma das pessoas retirar o pedaço de papel com seu próprio ome é: P = D = 1 2! 1 3! + 1 4! 1 5! + + ( 1) 1 A resposta ao problema foi facilmete obtida utilizado-se do fato de cohecermos uma expressão que calcula o D Supoha etão, que essa expressão ão fosse cohecida Vejamos como obter a resposta esse caso, pesado as permutações de uma forma distita da aterior Para facilitar o raciocíio, cosideremos um caso particular quado = 9, ou seja, quado 9 pessoas participam da bricadeira do amigo oculto Podemos dizer, que cada sorteio, defie uma fução f do cojuto das 9 pessoas em si mesmo f(x) = y sigifica que x deve presetear y Como duas pessoas diferetes ão podem tirar o mesmo amigo oculto (o sorteio é feito sem reposição), e todas as 9 pessoas serão preseteadas, f é uma bijeção do cojuto A das 9 pessoas sobre si mesmo, ou seja, uma permutação desse cojuto Alguém será amigo oculto de si mesmo quado existir em Número de Permutações Caóticas Uiversidade Federal de Uberlâdia

5 Um estudo das permutações caóticas 153 A um certo x tal que f(x) = x Na omeclatura usual de fuções, um tal x é chamado poto fixo de f O problema agora cosiste em determiar, detre o total das 9! permutações dos elemetos de A, quatas são as que têm poto fixo - correspodetes aos sorteios fracassados - e quatas ão têm poto fixo - correspodetes aos sorteios que deram certo Vamos itroduzir uma forma de represetar as permutações Adotado o símbolo a b para desigar que f(a) = b, e umerado as pessoas de 1 a 9, uma possível permutação é, por exemplo: Observe que podemos colocar essas iformações a seguite ordem: Note que as pessoas 1; 8; 2; 1 formam, essa ordem, um ciclo: 1 preseteia 8, que preseteia 2, que preseteia 1 Represetaremos esse ciclo por (182) O mesmo ciclo poderia ser represetado também por (821) ou (218), mas ão por (128), que sigificaria: , que é diferete Situação aáloga ocorre com os elemetos 4; 9; 5; 7, que formam o ciclo (4957) Os potos fixos 3 e 6 podem ser cosiderados como ciclos de tamaho 1 Desse modo, essa permutação pode ser represetada por: (182) (3) (4957) (6) Repare que, se trocarmos os ciclos de lugar, ada muda as iformações, de modo que a mesma permutação poderia ser represetada, por exemplo, por (4957) (6) (3) (182) Já trocar a ordem das pessoas detro dos ciclos pode alterar ou ão a permutação, como vimos Podemos aida, represetar graficamete as permutações através de seus ciclos Na situação acima temos: Figura 31: Represetação gráfica das permutações do exemplo aterior Etão, podemos cocluir que, quado procuramos as permutações que ão possuem potos fixos, estamos procurado quais as permutações que ão apresetam ciclos de tamaho 1 Temos que a probabilidade procurada é: P = D, ode é o úmero de pessoas e D o úmero de permutações do cojuto dessas pessoas, que ão têm elemetos fixos Para = 1, a úica permutação que existe é: 1 1, ou, a ossa otação: (1), a qual tem poto fixo É claro etão que D 1 = 0 e P = 0 Para = 2, as duas permutações são: (1) (2) e (12) Só a seguda é caótica; portato: D 2 = 1 e P 2 = 1 Para = 3, existem 6 permutações: (1)(2)(3), (1)(23), 2 (2) (13), (3) (12), (123) e (132) Dessas, só as duas últimas ão têm ciclos de tamaho 1, isto é, ão têm potos fixos D 3 = 2 e P 3 = 1 3 Não podemos cotar dessa maeira para o caso = 9, com um total de mais de 300 mil permutações Vamos etão fazer um raciocíio mais sutil, para esse caso Imagiemos todas as permutações caóticas das 9 pessoas Fixemos a ateção a pessoa de úmero 9 Em qualquer das 9! permutações, essa pessoa tem que estar em algum ciclo de tamaho maior que 1 (lembre-se que ão há poto fixo uma permutação caótica!) Chamemos etão de B 9 o úmero de permutações caóticas (das 9 pessoas) em que a pessoa 9 está um ciclo de tamaho 2, e de,c 9 o úmero de permutações caóticas (das 9 pessoas) em que a pessoa 9 está um ciclo de tamaho maior que 2 É claro que D 9 = B 9 + C 9 Se tomarmos uma permutação caótica em que 9 esteja um ciclo de tamaho maior que 2 (por exemplo, (15) (3246) (798)) e suprimirmos o 9, obteremos uma permutação caótica das 8 pessoas Faculdade de Matemática

6 154 FAMAT em Revista restates (o exemplo aterior, obteríamos: (15) (3246) (78)); por outro lado, o camiho iverso, ou seja, iserir o 9 esta permutação caótica das 8 primeiras pessoas, para obter uma permutação caótica das 9 origiais, pode ser feito de 8 maeiras diferetes, como vemos o exemplo dado: (195)(3246)(78), ou (159)(3246)(78), ou (15)(39246)(78), ou (15)(32946)(78), ou (15)(32496)(78), ou (15)(32469)(78), ou (15)(3246)(798), ou (15)(3246)(789)) Na realidade, o processo descrito esse camiho iverso cosiste em substituir cada flecha a b por a 9 b No exemplo, fizemos isso, sucessivamete, com as flechas 1 5, 5 1, 3 2, 2 4, 4 6, 6 3, 7 8, 8 7, que são as oito flechas da permutação Portato, a coclusão é que cada permutação caótica de 8 pessoas gera, por esse processo, 8 permutações caóticas de 9 pessoas as quais a pessoa 9 está um ciclo de tamaho maior que 2, ou seja: C 9 = 8D 8 Se tomarmos agora uma permutação caótica em que 9 esteja um ciclo de tamaho igual a 2 (por exemplo, (178) (3426) (59)) e suprimirmos o 9, obteremos ão uma permutação caótica das 8 pessoas restates, e sim uma permutação das 8 pessoas com um úico poto fixo (o exemplo aterior, obteríamos: (178) (3426) (5)) Essa pode ser olhada como um poto fixo (o caso, o 5) justaposto a uma permutação caótica das outras 7 pessoas Como existem 8 cadidatos a serem o poto fixo, coclui-se que cada permutação caótica de 7 pessoas gerará, pelo processo de acrescetar o 9 ao poto fixo, 8 permutações caóticas de 9 pessoas as quais 9 está um ciclo de tamaho 2, ou seja: B 9 = 8D 7 Como D 9 = C 9 + B 9, segue que: D 9 = 8D 8 + 8D 7 Utilizado raciocíio aálogo, em uma bricadeira de amigo oculto com pessoas, temos que o úmero de permutações caóticas é dado pela seguite relação de recorrêcia: D = ( 1)D 1 + ( 1)D 2 (31) Dividido a equação (31) por temos: D = ( 1)D 1 + ( 1)D 2 P = ( 1)D 1 ( 1)! + ( 1)D 2 ( 1)( 2)! P = P = P 1 P P 1 = ( 1 1 ) P 1 + P 1 + P 1 + P 2 P 2 P 2 P P 1 = ( ) 1 (P 1 P 2 ) Seja: d = P P 1 (32) Uiversidade Federal de Uberlâdia

7 Um estudo das permutações caóticas 155 Daí, d = ( ) 1 d 1 (33) Fazedo = 2 a equação (32), temos: d 2 = P 2 P 1 = = 1 2 = 1 2! Logo: d 2 = 1 2! Daí, de (33), temos: De (33), temos: d 3 = 1 3 d 2 = ( 1 3 d 4 = 1 4 d 3 = ) = = 1 3! d 3 = 1 3! ( 1 4 ) ( ) 1 = 1 3! 4! d 4 = 1 4! d = ( 1) 1 (34) Da equação (32), temos que: P = d + P 1 De (34), segue que: P = ( 1) 1 + d 1 + P 2 P = ( 1) 1 + ( 1) 1 1 ( 1)! + d 2 + P 3 P = ( 1) 1 + ( 1) 1 1 ( 1)! + ( 1) 2 1 ( 2)! + d 3 + P 4 P = ( 1) 1 + ( 1) 1 1 ( 1)! + ( 1) 2 1 ( 2)! + + d 2 + P 1 Faculdade de Matemática

8 156 FAMAT em Revista P = ( 1) 1 + ( 1) 1 1 ( 1)! + ( 1) 2 1 ( 2)! + + ( 1)2 1 2! + 0 P = 1 2! 1 3! + 1 4! 1 5! + + ( 1) 1 Assim, obtemos P através de um processo distito do visto ateriormete Euler observou que essa probabilidade praticamete se estabiliza a partir de valores relativamete baixos de Por exemplo, P 12 = 0, , equato P 24 = 0, , valores muito próximos P , 5 3 0, , , , , , Temos que os valores de P crescem (cada vez meos) quado passa de ímpar para par, e dimiuem (cada vez meos) quado passa de par para ímpar, sugerido que P deva teder a se aproximar de um certo valor (etre 0,36667 e 0,36806), ora por excesso, ora por falta E esse estraho úmero 0, , quem é ele? Surpreedetemete, temos que esse úmero é 1 De fato, das séries de potêcias, temos que: e e x x = Aplicado o teste da razão, temos: x +1 lim + = lim (+1)! x + =0 x +1 ( + 1)! x = lim x = 0 < 1 =0 x coverge, x R x Como coverge x R, etão podemos defiir uma fução f(x) = =0 o itervalo de covergêcia da série, ou seja, D f = R Assim, seja =0 x cujo domíio é f(x) = 1 + x2 2! + x3 3! + + x + Derivado termo a termo, temos que: Uiversidade Federal de Uberlâdia

9 Um estudo das permutações caóticas 157 f (x) = 1 + x + 3x2 3! + + x 1 ( 1)! + = f(x) Observe que: f(x) = f (x) f (x) f(x) = 1 Assim, f (x) f(x) = (l f(x)) (l f(x)) = 1 Itegrado ambos os termos da igualdade, temos: Como f(0) = 1, etão: E, portato, l f(x) = x + C f(x) = e x+c = e x k e 0 k = 1 k = 1 f(x) = e x f(x) = 1 + x2 2! + x3 3! + + x + = Agora, fazedo x = 1 em (35), obtemos: =0 x = ex (35) 1 e = Portato, =0 ( 1) = 1 1 1! + 1 2! 1 3! + 1 4! 1 5! ( 1) + = 0, P = 1 e como queríamos Referêcias Bibliográficas [1] Careiro, José Paulo C,, Revista do Professor de Matemática, º 28 - Sociedade Brasileira de Matemática, 1995 [2] Garbi, Gilberto, Uma pequea pérola de Euler, Revista do Professor de Matemática, º 50 - Sociedade Brasileira de Matemática, 2002 [3] Moreira, Carlos Gustavo TA, Amigo oculto, Revista do Professor de Matemática, º 15 - Sociedade Brasileira de Matemática, 1989 [4] Morgado, A C e outros, Aálise Combiatória e Probabilidade, Coleção do Professor de Matemática - Sociedade Brasileira de Matemática, Rio de Jaeiro, 1991 [5] Satos, J P O e outros, Itrodução à Aálise Combiatória, Editora da UNICAMP, Campias, 1995 Faculdade de Matemática