Representação de Números em Ponto Flutuante

Transcrição

1 Represetação de Números em Poto Flutuate OBS: Esta aula é uma reprodução, sob a forma de slides, da aula em vídeo dispoibilizada pelo prof. Rex Medeiros, da UFRN/ECT, em

2 Notação CietíMica A otação cietífica é usada para represetar úmeros muito grades ou muito pequeos, frequetes em áreas como a física e a química. Massa do próto = 0, kg Massa do elétro = 0, kg Massa da Terra = kg Na base decimal, um úmero N expresso em otação cietífica tem a forma geral N = m x 10 e (ou N = mee), ode m = matissa (um valor etre 1 e 10) e = expoete (defie a ordem de gradeza do úmero) Exemplos 300 = 3 x 10 2 (m=3 e=2); = 3 x (m=2 e=11) ou 3E11 0, = 1,67x10-27 = 1,67E27 (m=1,67 e=-27) 0, = 5,86 x 10-8 ou 5,86E-8 (m=5,86 e=-8) = -1,2 x ou (m=-1,2 e=13) -1,2E13 2

3 Poto Flutuate a Forma Normalizada A otação em poto flutuate a forma ormalizada é aáloga à otação cietífica, com a difereça que a parte iteira é sempre igual a zero e o primeiro dígito após a vírgula (d1) é sempre diferete de zero. Ex: 0,5678 x 10 3 d 1 d 1 d 2 d p = matissa (5678) p = precisão (4), que determia o úmero de dígitos a matissa β = base de umeração (10) e = expoete (3) 3

4 Exemplos 1) Colocar a otação de poto flutuate em forma ormalizada, usado a base ,89 = 0,23589 x , = 0,586 x = - 0,12 x ) Colocar o úmero (-3,625) 10 a otação de poto flutuate em forma ormalizada, usado a base 2 Covertedo o úmero para a base 2: (-11,101) 2 Normalizado: (-0,11101 x 2 2 ) 4

5 Sistemas de Numeração em Poto Flutuate Os sistemas computacioais represetam os úmeros reais por meio de um sistema de umeração em poto flutuate, cuja forma padrão geral é: 5

6 Exemplos 1) Escrever o úmero (-3,625) 10 o sistema F(10,5,-3,3) 1 O passo: colocar o úmero a forma ormalizada, observado que ele já se ecotra a base do sistema em questão (-0,3625 x 10 1 ) 2 O passo: verificar se o úmero de dígitos a matissa é meor, igual ou maior do que a precisão do sistema de poto flutuate. Se for meor acrescetamos zeros, se for for igual já estará ok, e se for maior haverá um trucameto da matissa, com arredodameto do seu dígito meos sigificativo. No caso do exemplo, o úmero de dígitos da matissa (4) é meor do que a precisão (5) do sistema, etão teremos de acrescetar um zero à direita. (-0,36250 x 10 1 ) 6

7 Exemplos 2) Escrever o úmero (-3,625) 10 o sistema F(2,5,-3,3) 1 O passo: devemos primeiramete trasformar o úmero da sua base 10 para a base 2, que é a base de umeração do sistema (-0,3625) 10 = (-11,101) 2 2 O passo: colocar o úmero a forma ormalizada (-0,11101 x 10 2 ) 3 O passo: verificar se o úmero de dígitos a matissa é meor, igual ou maior do que a precisão do sistema de poto flutuate. Neste exemplo, o úmero de dígitos da matissa (5) é exatamete igual à precisão (5) do sistema, etão o úmero já está perfeitamete represetado este sistema de poto flutuate R: (-0,11101 x 10 2 ) 7

8 Armazeameto de Números em PF a Memória A estratégia de armazeameto mais usada é a IEEE 754. Como exemplo, dado o sistema de poto flutuate F(2,3,-3,3), quatos bits são ecessários para armazear os úmeros deste sistema a memória do computador? 8

9 Exemplo Como é represetado o úmero (1,75) 10 a memória de um computador que trabalha com o sistema de poto flutuate F(2,3,-3,3)? 1 o passo: devemos coverter o úmero (1,75) 10 para a base 2, que é a base usada pelo sistema (1,75) 10 = (1,11) 2 2 o passo: colocar o resultado a forma ormalizada: (0,111 x 2 1 ) 3 o passo: observar o úmero de dígitos da matissa (3) e comparar com a precisão do sistema (3). Como são iguais ão precisamos fazer ada, já que temos exatamete 3 dígitos a matissa. 4 o passo: observar se o expoete está detro do itervalo (-3,+3) do sistema, o que é o caso. O úmero (0,111 x 2 1 ) está etão perfeitamete represetado o sistema F. 9

10 Exemplo Represetação em memória do úmero (1,75) 10 = (0,111 x 2 1 ) 2 10

11 Números Máximos e Míimos em um Sistema de PF 1) Qual é o maior úmero represetável o sistema F(2,3,-3,3)? 0,111 x 2 3 = ( ) x 2 3 = ( ) = (4+2+1) = 7 2) Qual é o meor úmero represetável o sistema F(2,3,-3,3)? 0,100 x 2-3 = (2-1 ) x 2-3 = 2-4 = 1/16 = 0,

12 Fórmula Geral Maior 12

13 Exemplo 1 Represetar (8,25) 10 em F(2,3,-3,3). 1. Covertedo para a base 2: (8,25) = 1000, Normalizado: 0, x Acertado a matissa: 0,100 x 2 4 (o tamaho da matissa [6] é maior do que a precisão do sistema [3], etão ocorre o trucameto. Como o quarto dígito da matissa é zero, ão há ecessidade de arredodameto). Expoete: o valor do expoete do úmero ormalizado (4) é maior do que o maior expoete do sistema (3), ou seja, o úmero (8,25) 10 ão pode ser armazeado este sistema já que ele é maior do que o maior úmero positivo suportado pelo sistema. Coclusão: OVERFLOW 13

14 Exemplo 2 Represetar (0,04) 10 em F(2,3,-3,3). Covertedo para a base 2: (0,04) = 0, Normalizado: 0, x 2-4 Acertado a matissa: 0,101 x 2-4 (como o tamaho da matissa é maior do que a precisão do sistema [3], ocorre o trucameto. O quarto dígito da matissa é zero, etão ão há arredodameto). Expoete: o valor do expoete do úmero ormalizado (-4) é meor do que o meor expoete do sistema (-3); por isso, o úmero (0,04) 10 ão pode ser armazeado este sistema. Coclusão: UNDERFLOW!! 14

15 Itervalos de Represetação em PF 15

16 Exemplo Maior úmero represetável o sistema F(2,3,-3,3)? 0,111 x 2 3 = ( ) x 2 3 = (4+2+1) = 7 10 Meor úmero represetável o sistema F(2,3,-3,3)? 0,100 x 2-3 = (2-1 ) x 2-3 = 2-4 = (4+2+1) = 0,

17 Erros de Arredodameto Represetar (2,8) 10 em F(2,3,-3,3). Covertedo para a base 2: (2,8) 10 = 10, Normalizado: 0, x 2 2 Acertado a matissa: ao se trucar a matissa o terceiro dígito observa-se que quarto dígito da matissa é 1, etão tem que haver um arredodameto. Arredodado: 0, x 2 2 = 0,110 x 2 2 Expoete: o valor do expoete do úmero ormalizado (2) é meor do que o maior expoete positivo do sistema (+3). Coclusão: o úmero (2,8) 10 pode ser armazeado este sistema de PF, observado-se que ocorre um erro de arredodameto. 17

18 Erros de Arredodameto (cot.) Covertedo o úmero (0,110 x 2 2 ) para a base 10, obtemos: (1x x2-2 ) x 2 2 = (2+1) = 3 Assim, o úmero real 2,8 é represetado pelo úmero iteiro 3 o sistema de poto Mlutuate F(2,3,-3,3). Ocorre, portato, um erro de arredodameto. Podemos quatimicar este erro de arredodameto através do cálculo do Erro Relativo. 18

19 Erro Relativo Er = (2,8 3) / 2,8 = 0,0714 = 0,07 = 7% 19

20 Epsilo ( ε ) do Sistema Dado um sistema de poto flutuate qualquer, qual é o erro relativo máximo (epsilo ε do sistema) que podemos ter? 20

21 Aritmética em Poto Flutuate Multiplicação: Multiplica-se as matissas e somam-se os expoetes Divisão: Divide-se as matissas e dimiuem-se os expoetes Calcular (0,2135 x 10 2 ) x (0,3064 x 10-2 ) em F(10, 4, -7, 7) Multiplicado: (0,2135 ) x (0,3064) x ( ) = 0, x 10 0 Normalizado: 0, x 10-1 Ajustado a precisão para 4 dígitos: 0,6542 x 10-1 Observe que houve a ecessidade de arredodameto Resultado Mial: 0,6542 x

22 Aritmética em Poto Flutuate (cot.) Soma e Subtração: Igualam-se os expoetes (i.e. iguala-se o valor do expoete meor ao maior) Soma-se/subtrai-se as matissas Calcular (0,1101 x 2 1 ) + (0,1010 x 2 0 ) em F(2, 4, -3, 3) Igualado-se o meor expoete ao maior: (0,1010 x 2 0 ) = (0, x 2 1 ) Somado-se as matissas: : (0,1101) + (0,01010) = 0, Resultado: (1,00100 x 2 1 ) Normalizado o resultado: (0, x 2 2 ) Ajustado a precisão para 4 dígitos: (0,1001 x 2 2 ) Não houve ecessidade de arredodameto Resultado Mial: (0,1001 x 2 2 ) 22

23 Operações Críticas Adição e Subtração de Números com Ordes de Gradezas Muito Diferetes Nestes casos, geralmete o meor úmero perde muita precisão pois esta situação seus dígitos meos podem ser descartados durate a operação. Calcular (0,1101 x 2 2 ) + (0,1010 x 2-1 ) em F(2, 4, -3, 3) Igualado-se os expoetes: (0,1010 x 2-1 ) = (0, x 2 2 ) Somado-se as matissas: : (0,1101) + (0, ) = 0, Resultado: 0, x 2 2 (já está ormalizado) Ajustado a precisão para 4 dígitos: (0,1110 x 2 2 ) Observe que ao ajustar a matissa para 4 dígitos, a cotribuição do segudo úmero para a soma foi apeas 0,0001, descartado-se os dígitos 010 meos sigigicativos. 23

24 Operações Críticas (cot.) Subtração de Números Quase Iguais Nestes casos, geralmete o meor úmero perde muita precisão pois esta situação seus dígitos meos podem ser descartados durate a operação. Calcular (0,1011 x 2-1 ) - (0,1010 x 2-1 ) em F(2, 4, -3, 3) Expoetes já são iguais Subtraido-se as matissas: : (0,1011) - (0,1010) = 0,0001 Resultado: (0,0001) x 2-1 Normalizado: (0,1 x 2-3 ) x 2-1 = 0,1 x 2-4 Ajustado a precisão para 4 dígitos: (0,1000 x 2-4 ) Observe que o expoete (-4) é meor do que o expoete míimo do sistema (-3). Coclusão: UNDERFLOW!! 24