SUCESSÕES DE NÚMEROS REAIS. Sucessões

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1 SUCESSÕES DE NÚMEROS REAIS Sucessões Chama-se sucessão de úmeros reais ou sucessão em IR a toda a aplicação f do cojuto IN dos úmeros aturais em IR, f : IN IR f ( ) = x IR Chamamos termos da sucessão aos elemetos do cotradomíio de f e chamamos x = f. termo geral da sucessão a ( ) Desigamos a sucessão f por ( x ) IN, mais simplesmete por ( x ) ou x. Para cohecer a sucessão basta ecotrar um processo de exprimir o seu termo geral x que gera a sucessão. A fução : IN IR f defiida por f ( ) =, f ( ) =, f ( ) =, f ( ) a sucessão de termo geral + x =. 4 4 = 5 4,... é Existem casos em que para cohecer a sucessão é útil optar por um processo de recorrêcia, isto é, dar o primeiro termo da sucessão e uma regra que permita determiar um termo da sucessão a partir do termo aterior, por exemplo,, x = x x = +. Neste caso os termos da sucessão são =, x =, x =, x4 =, x5 = x,... Não se fique o etato com a ideia que só se pode cosiderar defiida uma sucessão quado se cohece o termo geral ou quado ela se pode defiir por recorrêcia. Por exemplo a sucessão x =, x =, x = 5, x = 7, x =, x =, x 7,K = ão é susceptível de ser defiida porehum dos processos ateriores. Para a defiir bastará dizer "a sucessão dos úmeros primos". Subsucessões Chama-se subsucessão de ( x ) a uma sucessão ( y ) de termos de ( x ) iicial. costituída por uma ifiidade, todos distitos e escolhidos de forma a respeitar a sua ordeação

2 Por exemplo, a sucessão dos úmeros pares, 4, 6, 8, 0, e a sucessão dos úmeros impares,,, 5, 7, 9, costituem subsucessões da sucessão dos úmeros aturais,,, 4, 5, Mas, de acordo com a defiição adoptada, a sucessão costate,,,, e a sucessão 4,, 8, 5,, 7, 6, 9, ão são subsucessões da sucessão dos úmeros aturais, porque a ordeação iicial ão é respeitada. Sucessões limitadas Seja ( x ) uma sucessão real e X o cojuto dos seus termos, X = { x : IN}. A sucessão ( x ) é limitada se o cojuto X, é um cojuto limitado.

3 Assim, a sucessão( x ) é limitada se e só se existem úmeros reais a e b X a, b. que [ ] Se ( ) x é limitada, tomado M max{ a, b } sedo etão x Reciprocamete, se é limitada. Tem-se pois: M, IN. x = tem-se que [ a, b] X [ M M ] X, M, IN, tem-se que X [ M, M ] tais e a sucessão ( ) Uma sucessão real ( x ) é limitada se e só se existe um úmero real positivo M tal que x M, IN. x si( ) termos está cotido o itervalo ] [ está cotido o itervalo ],] u ( ) termos se reduz a {,} que é limitado. x = é limitada porque o cojuto dos seus,, sedo portato limitado. y = é limitada porque o cojuto dos seus termos 0, sedo portato limitado. = é limitada porque o cojuto dos seus v = + ão é limitada porque o cojuto dos seus termos (cojuto dos úmeros impares) ão é majorado. Sucessões covergetes A sucessão real ( x ) coverge para a IR ou a é limite de ( x ) x a ou lim x = a, quado, e escreve-se

4 δ > 0, p IN : p x a < δ ou δ > 0, IN : p x V ( a) Uma sucessão ( x ) diz-se covergete se existe IR Uma sucessão que coverge para zero diz-se um ifiitésimo. p δ a tal que lim x = a. Observações : ) A ordem p depede óbviamete do úmero real δ tomado e é tato maior quato meor é δ. ) No complemetar do itervalo] a δ, a + δ[ existe apeas um úmero fiito de termos da sucessão. ) Dizer que uma sucessão ( x ) coverge para a é equivalete a dizer que a sucessão de termo geral x a é um ifiitésimo. tomado p IN tal que sedo + que p. x = coverge para zero. Com efeito, dado δ > 0, > x δ, δ sempre que p. δ y = coverge para porque = e, p, tem-se que ] [, tomado p IN tal que p, tem-se que ] δ, δ[ > δ x sempre Propriedades das sucessões covergetes ) O limite duma sucessão covergete ão se altera se modificarmos um úmero fiito dos seus termos. ) O limite duma sucessão costate é a própria costate.

5 ) O limite duma sucessão, quado existe, é úico. 4) Toda a subsucessão duma sucessão covergete para a, coverge também para a. 5) Sejam ( x ) e ( ) úmeros reais : y duas sucessões tais que lim x = a e lim y = b, com a e b (i) Se a < b existe p IN tal que p x < y. + A recíproca é falsa: Se x =, y = tem-se x < y e lim x = lim y =. (ii) Se existe p IN tal que x < y a partir da ordem p, etão a < b. (iii) A sucessão de termo geral x + y coverge para a + b. Esta propriedade geeraliza-se, por idução, a um úmero fiito qualquer de sucessões covergetes. (iv) A sucessão de termo geral x coverge para ab. Esta propriedade y geeraliza-se, por idução, a um úmero fiito qualquer de sucessões covergetes. (v) Se ( y ) tiver todos os termos diferetes de zero e se o seu limite b também fôr diferete de zero, a sucessão de termo geral (vi) A sucessão de termo geral x y x coverge a. 6) Toda a sucessão covergete é limitada 7) Se x y u é um ifiitésimo. etão ( ) u = em que ( x ) é um ifiitésimo e ( ) é covergete para b a. y é uma sucessão limitada,