Jorge Figueiredo, DSC/UFCG. Análise e Técnicas de Algoritmos Jorge Figueiredo, DSC/UFCG. Análise e Técnicas de Algoritmos 2005.

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1 Ageda Aálise e Técicas de Algoritmos Jorge Figueiredo Relação de de Recorrêcia Derivado recorrêcia Resolvedo recorrêcia Aálise de de algoritmos recursivos Aálise de de Algoritmos Recursivos Itrodução A aálise de de um algoritmo recursivo requer a resolução de de uma recorrêcia. Uma recorrêcia é um algoritmo recursivo que calcula o valor de de uma fução em um poto dado. Uma recorrêcia defie T() em termos de de T(-), T(-2), etc. Exemplo: T() = T() = T( ) ) ,, para 2 Itrodução Exemplo 2: 2: Quatos pedaços com cortes? Cortes: Pedaços: 2 Itrodução Exemplo 2: 2: Quatos pedaços com cortes? Itrodução Exemplo 2: 2: Quatos pedaços com cortes? Cortes: Pedaços: 2 Cortes: 2 Pedaços: 4 Cortes: Pedaços: 2 Cortes: 2 Pedaços: 4 Cortes: 3 Pedaços: 7 Cortes: 4 Pedaços:

2 Itrodução É possível observar que o -ésimo corte cria ovos pedaços. Logo, o úmero total de de pedaços obtido com cortes, deotado por P(), é dado pela seguite relação de de recorrêcia: P() = 2 P() = P( ) ) +,, para 2 Derivado Relações de Recorrêcias Como proceder para derivar uma relação de de recorrêcia para a aálise do do tempo de de execução de de um algoritmo: Determiar qual o tamaho do do problema. Verificar que valor de de é usado como base da da recursão. Em geral é um valor úico (=, por exemplo), mas pode ser valores múltiplos. Vamos cosiderar esse valor como 0.. Determiar T( 0 ). ). Pode-se usar uma costate c, c, mas, em muitos, casos um úmero específico é ecessário. Derivado Relações de Recorrêcias T() é defiido como uma soma de de várias ocorrêcias de de T(m) (chamadas recursivas), mais a soma de de outras istruções efetuadas. Em geral, as as chamadas recursivas estão relacioadas com a subproblemas do do mesmo tamaho f(), defiido um termo a.t(f()) a a relação de de recorrêcia. A relação de de recorrêcia é defiida por: T() = c, c, se se = 0 T() = a.t(f()) + g(), caso cotrário Derivado Relações de Recorrêcias Exemplo: Torre de de Haoi Objetivo: trasferir os os discos de de A para C Regras: Mover um disco por vez. Nuca colocar um disco maior em cima de de um meor. Solução Recursiva: Trasferir - discos de de A para B Mover o maior disco de de A para C Trasferir - discos de de B para C Derivado Relações de Recorrêcias Derivado Relações de Recorrêcias Haoi(A, C, B, ) if > Haoi(A, B, C, -) Move(A, C) if > Haoi(B, C, A, -) Relação de Recorrêcia T() = T() = 2.T(-) + MergeSort(A, ) if retur A retur merge(mergesort(a, /2), MergeSort(A2, /2)) Relação de Recorrêcia T() = c T() = 2.T(/2) + d. 2

3 Resolvedo Relações de Recorrêcia Resolver uma relação de de recorrêcia em sempre é fácil. Resolvedo uma relação de de recorrêcia, determia-se o tempo de de execução do do algoritmo recursivo correspodete. Relação de de recorrêcia: T() = T( )) + T( 2 )) T( a )) + f() É mais fácil quado temos a subproblemas de de mesmo tamaho que é uma fração de de (por exemplo, /b): T() = a.t(/b) + f() Como resolver: Método do do chute Método da da árvore de de recursão Método do do desdobrameto Método master Método do Chute e Prova por Idução Seja Seja a seguite relação de de recorrêcia: T() T() = T() T() = T( T( ) ) ,, para para 2 2 A relação de de recorrêcia é resolvida em em duas partes:.. Chute: T() T() = /2 /2 + 7/2 7/ Prova:.. Caso base é para para = = H.I.: H.I.: assumir que que é válido para para Provar T() T() Se Se a prova for for cofirmada, T() T() é O( O( 2 2 )) Método do Chute e Prova por Idução Seja Seja a seguite relação de de recorrêcia: T() T() = T() T() = 2.T(/2) +,, para para 2 2 A relação de de recorrêcia é resolvida em em duas partes:.. Chute: T() T() = +.log Prova:.. Caso base: +.log = H.I.: H.I.: assumir que que é válido para para valores até até Provar T(): =2.(/2 + /2.log /2) /2) + = = +.(log -) -) + = = +.log Logo, T() T() é O(.log) Talvez o método mais ituitivo. Cosiste em desehar uma árvore cujos ós represetam os os tamahos dos correspodetes problemas. Cada ível iicotém todos os os subproblemas de de profudidade i. i. Dois aspectos importates: A altura da da árvore. O úmero de de passos executados de de cada ível. A solução da da recorrêcia (tempo de de execução do do algoritmo) é a soma de de todos os os passos de de todos os os íveis. Resolver T() = 2.T(/2) + T() T(/2) T(/2) 3

4 /2 /2 /2 /2 T(/4) T(/4) T(/4) T(/4) /4 /4 /4 /4 T() /2 /2 /2 /2 h = log /4 /4 /4 /4 h = log /4 /4 /4 /4 /2 /2 2./2= /2 /2 2./2= h = log /4 /4 /4 /4 h = log /4 /4 /4 /4 4./4= 4

5 /2 /2 2./2= /2 /2 2./2= h = log /4 /4 /4 /4 4./4= h = log /4 /4 /4 /4 4./4= folhas.= folhas.= (log ). Método do Desdobrameto Esse método é o da da árvore de de recursão, represetado de de forma algébrica. Cosiste em: Usar (algumas poucas) substituições repetidamete até ecotrar um padrão. Escrever uma fórmula em termos de de e o úmero de de substituições i. i. Escolher iide de tal tal forma que todas as as referêcias a T() sejam referêcias ao ao caso base. Resolver a fórmula. Método do Desdobrameto Exemplo Solução para para o problema da da pizza: T() T() = 2 T() T() = T( T( ) ) +,, para para 2 2 Desdobrado a relação de de recorrêcia: T() T() = T(-) + T() T() = T(-2) + (-) + T() T() = T(-3) + (-2) + (-) T() T() = T(-i) + (-i+) (-) + Caso base alcaçado quado i=- T() T() = ( ( ) ) + T() T() = +.(-)/2 Logo, T() T() = O( O( 2 2 )) Método do Desdobrameto Exemplo 2 Método Master Solução para para o problema da da Torre de de Haoi: T() T() = T() T() = 2.T( ) ) +,, para para 2 2 Desdobrado a relação de de recorrêcia: T() T() = 2.T( ) ) + T() T() = 2.(2.T(-2) + ) ) + = 4.T(-2) T() T() = 4.(2.T(-3) + ) ) = 8.T(-3) T() T() = 2 i.t(-i) i + 2 i- i- + 2 i-2 i Caso base alcaçado quado i=- T() T() = Isso Isso é uma uma soma geométrica Logo, T() T() = 2 = O(2 O(2 )) Teorema que resolve quase todas as as recorrêcias. T() da da forma a.t(/b) + f(), a,b > Casos:.. Se Se f() O( loga loga b- b- ε ε ), ), para algum ε > 0, 0, temos que: T() Θ( loga loga b ). ) Se Se f() O( loga loga b ), ), temos que: T() Θ( loga loga b.log ). ) Se Se f() O( loga loga b+ b+ ε ε ), ), para algum ε > 0 e se se a.f(/b) c.f() para algum c > 0 e suficietemete grade, temos que: T() Θ(f()). 5

6 Método Master Exemplo Método Master Exemplo MergeSort: T() = 2.T(/2) + a = b = 2 f() = log a b =.. Cai o o caso Logo, T() = Θ(.log ) ) T() = 9.T(/3) + a = 9, 9, b = 3 f() = log a b = Se Se ε =,, Cai o o caso.. Logo, T() = Θ( 2 )) 6