Universidade Federal de Alfenas

Transcrição

1 Uiversidade Federal de Alfeas Projeto e Aálise de Algoritmos Aula 07 Notações θ, Ω, ω, ο humberto@bcc.uifal-mg.edu.br

2 Última aula Notação O Uma fução f domia assitoticamete outra fução g se existem duas costates positivas c e 0

3 Última aula Notação O Uma fução f domia assitoticamete outra fução g se existem duas costates positivas c e 0 tais que, para qualquer >= 0,

4 Última aula Notação O Uma fução f domia assitoticamete outra fução g se existem duas costates positivas c e 0 tais que, para qualquer >= 0, temos g <= c. f

5 Outras otações Assim como a otação O forece uma maeira assitótica de dizer que uma fução é meor ou igual a outra, existem outras otação que forecem outras coclusões sobre a complexidade de algoritmos;

6 Outras otações Assim como a otação O forece uma maeira assitótica de dizer que uma fução é meor ou igual a outra, existem outras otação que forecem outras coclusões sobre a complexidade de algoritmos; Θ

7 Outras otações Assim como a otação O forece uma maeira assitótica de dizer que uma fução é meor ou igual a outra, existem outras otação que forecem outras coclusões sobre a complexidade de algoritmos; Θ Ω

8 Outras otações Assim como a otação O forece uma maeira assitótica de dizer que uma fução é meor ou igual a outra, existem outras otação que forecem outras coclusões sobre a complexidade de algoritmos; Θ Ω ω

9 Outras otações Assim como a otação O forece uma maeira assitótica de dizer que uma fução é meor ou igual a outra, existem outras otação que forecem outras coclusões sobre a complexidade de algoritmos; Θ Ω ω ο

10 Notação Ω

11 Notação Ω A otação Ω é bem parecida com a otação O; O defie um limite assitótico superior, e; Ω defie um limite assitótico iferior.

12 Notação Ω A otação Ω é bem parecida com a otação O; O defie um limite assitótico superior, e; Ω defie um limite assitótico iferior. Exemplos: 4 3

13 Notação Ω A otação Ω é bem parecida com a otação O; O defie um limite assitótico superior, e; Ω defie um limite assitótico iferior. Exemplos: 4 3 1

14 Notação Ω A otação Ω é bem parecida com a otação O; O defie um limite assitótico superior, e; Ω defie um limite assitótico iferior. Exemplos: log log

15 Notação Ω A otação Ω é bem parecida com a otação O; O defie um limite assitótico superior, e; Ω defie um limite assitótico iferior. Exemplos: log log 11

16 Notação Ω A otação Ω é bem parecida com a otação O; O defie um limite assitótico superior, e; Ω defie um limite assitótico iferior. Exemplos: log log 11!

17 Notação Ω Limite assitótico iferior g {f: c e 0 c g f }

18 Notação Ω Limite assitótico iferior

19 Notação Ω Na prática a otação Ω ão é vista soziha em aálises de algoritmos;

20 Notação Ω Na prática a otação Ω ão é vista soziha em aálises de algoritmos; Pelo motivo de ão iteressar para a aálise de algoritmos;

21 Notação Ω Na prática a otação Ω ão é vista soziha em aálises de algoritmos; Pelo motivo de ão iteressar para a aálise de algoritmos; A otação O possui sua importâcia, pois o programador coclui que seu algoritmo é o máximo tão complexo a uma fução.

22 Notação Ω Na prática a otação Ω ão é vista soziha em aálises de algoritmos; Pelo motivo de ão iteressar para a aálise de algoritmos; A otação O possui sua importâcia, pois o programador coclui que seu algoritmo é o máximo tão complexo a uma fução. Mas o míimo tão complexo, como a otação Ω descreve, ão é importate para coclusões práticas sobre algoritmos.

23 Notação Ω Na prática a otação Ω ão é vista soziha em aálises de algoritmos; Pelo motivo de ão iteressar para a aálise de algoritmos; A otação O possui sua importâcia, pois o programador coclui que seu algoritmo é o máximo tão complexo a uma fução. Mas o míimo tão complexo, como a otação Ω descreve, ão é importate para coclusões práticas sobre algoritmos. Ω vem a maioria das vezes acompahada a otação Θ; Como um complemeto a aálise, uca soziha...

24 Notação θ

25 Notação θ Cohecida também como limite firme ou limite assitoticamete restrito.

26 Notação θ Cohecida também como limite firme ou limite assitoticamete restrito. A otação O, apesar de forecer iformações sobre a complexidade do algoritmo, em sempre os revela algo importate;

27 Notação θ Cohecida também como limite firme ou limite assitoticamete restrito. A otação O, apesar de forecer iformações sobre a complexidade do algoritmo, em sempre os revela algo importate; Não faz setido, para algum algoritmo, dizer que suas complexidade é por exemplo O!. Ou faz?

28 Notação θ Cohecida também como limite firme ou limite assitoticamete restrito. A otação O, apesar de forecer iformações sobre a complexidade do algoritmo, em sempre os revela algo importate; Não faz setido, para algum algoritmo, dizer que suas complexidade é por exemplo O!. Ou faz? 3 O Exemplos da falta de precisão de O: O O O O O!

29 Notação θ Uma fução f pertece ao cojuto θg se existem costates positivas 0, c 1 e c

30 Notação θ Uma fução f pertece ao cojuto θg se existem costates positivas 0, c 1 e c tais que ela possa ser impresada etre c1.g e c.g, para um valor de suficietemete grade. Θg {f: 0 c 1 c 1,c e 0 g f 0 c g 0 }

31 Notação θ Exemplo: Θg {f: 0 c 3 Θ 1 c 1,c g e 0 f 0 c g 0 } Para isso, devemos defiir costates c 1, c e 0 tais que: c c Ecotre costates que satisfaça as duas desigualdades...

32 Notação θ Exemplo de costates: 1 c1 3 c Dividido por... c c

33 Exemplo de costates: Portato, se existem tais costates Notação θ c c Θ c c c c Dividido por...

34 Notação θ Observação: f x Θg x sse f x O g x e f x g x

35 Notação ο o miúsculo

36 Notação ο O limite assitótico superior forecido pela otação O ó-zão pode:

37 Notação ο O limite assitótico superior forecido pela otação O ó-zão pode: Ser assitoticamete restrito;

38 Notação ο O limite assitótico superior forecido pela otação O ó-zão pode: Ser assitoticamete restrito; Não ser assitoticamete restrito;

39 Notação ο O limite assitótico superior forecido pela otação O ó-zão pode: Ser assitoticamete restrito; Não ser assitoticamete restrito; Exemplos: Assitoticamete restrito: O Não assitoticamete restrito: O log O c

40 Notação ο Todas as fuções de O ó-zão que ão defiem um limite assitoticamete restrito pertecem a o ó-ziho

41 Notação ο Todas as fuções de O ó-zão que ão defiem um limite assitoticamete restrito pertecem a o ó-ziho se f O g e f g f g etao

42 Notação ο Todas as fuções de O ó-zão que ão defiem um limite assitoticamete restrito pertecem a o ó-ziho se f O g e f g f g etao log

43 Notação ο g {f: 0 c 0, f 0 c g 0 0 } Comparativo com a otação O; Não é <=, é somete < f f O g, o limite 0 f cg sematém válido para alguma costatec 0 g, o limite 0 f cg é válido para todas as costates c 0

44 Notação ο Facilitado o etedimeto... Se f οg lim f 0 g etão

45 Notação ω omega miúsculo

46 Notação ω O limite assitótico iferior forecido pela otação Ω omegazão pode: Ser assitoticamete restrito; Não ser assitoticamete restrito; Exemplos: Assitoticamete restrito: 3 Não assitoticamete restrito:

47 Notação ω Todas as fuções de Ω omegazão que ão defiem um limite assitoticamete restrito pertecem a ω se f O g e f g f g etao 1 log

48 Notação ω g {f: c 0 c g 0, 0 f 0 0 } Não é <=, é somete <

49 Notação ω Facilitado o etedimeto... Se f g lim f g etão

50 Exercícios

51 Exercícios V ou F f g sse g f g f etao g f se a b c d e f g h i g f etao g f se g f etao g f se g f etao g O f se g f etao g f se g f etao g f se g f etao g f se g f etao g f se

52 Exercício para próxima aula Descreva e implemete 3 algoritmos para a seguite espiral: Eles devem ter respectivamete as seguites complexidades: Θ; Θsqrt; Θ1. Eu iformo, e você iforma as coordeadas x, y do -ésio poto.

53 Leitura para próxima aula Livro: Algoritmos Corme 4 Recorrêcias; 4.1 O método de substituição; 4. O método de árvore de recursão 4.3 O método mestre

54 Bibliografia CORMEN, T. H.; LEISERSON, C. E.; RIVEST, R. L.; 00. Algoritmos Teoria e Prática. Tradução da ª edição americaa. Rio de Jaeiro. Editora Campus. TAMASSIA, ROBERTO; GOODRICH, MICHAEL T Projeto de Algoritmos - Fudametos, Aálise e Exemplos da Iteret.