ABORDAGEM PARA A SOLUÇÃO DE DESIGUALDADES VARIACIONAIS: A FUNÇÃO GAP

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1 ABORDAGEM PARA A SOLUÇÃO DE DESIGUALDADES VARIACIONAIS: A FUNÇÃO GAP SARA MEIRA MOUTTA RABELO (UESC) saramoutta@hotmail.com gudelia g. morales de arica (UENF) gudelia@uef.br O trabalho apreseta uma descrição sobre a fução de mérito ou de decisão, chamada fução gap, utilizada o cálculo de soluções de modelos defiidos por Problemas de Desigualdades Variacioais (PDV). A resolução se baseia o uso dos métodos da Programação Matemática, defiido um modelo de otimização equivalete ao (PDV). Palavras-chave: desigualdades variacioais, otimização, fução gap

2 1. Itrodução Em Programação Matemática, que cosiste de uma variada coleção de métodos para a resolução de problemas de otimização (miimização ou maximização) de fuções f: R R reais de variável vetorial, ode se aplicam os coceitos: potos críticos, multiplicadores de Lagrage e direções de descida (subida). Essa fução que se deseja miimizar (maximizar) recebe diferetes omes as aplicações, pois forece um idicador ou critério de decrescimeto (crescimeto). Assim, se ecotra a literatura defiida como fução de mérito, fução de decisão e comumete em programação matemática como fução objetivo. Este trabalho apreseta uma relação de coceitos e defiições de cálculo diferecial de várias variáveis ligadas ao estudo da Programação Matemática, fazedo uma descrição da fução de mérito chamada fução gap, utilizada o cálculo de soluções de modelos defiidos por Problemas de Desigualdades Variacioais (PDV). A possibilidade de uso de uma fução gap para resolver um PDV é de grade valia, visto que em sempre os PDV podem ser facilmete resolvidos. Etretato, ao reformular o PDV, utilizado uma fução gap, obtém-se um problema de otimização, cujo cojuto solução é exatamete igual ao cojuto solução do PDV. Sedo assim, este trabalho busca desevolver alterativas de resolução de problemas de otimização que podem ser represetados por um PDV, reformulado este PDV como um problema de otimização equivalete através de uma fução gap. A estrutura do trabalho é a seguite: Na seção 2 apreseta-se uma itrodução ao estudo de desigualdades variacioais. Na seção 3 apreseta-se um estudo sobre a fução de mérito chamada fução gap, suas propriedades e um exemplo umérico o qual se aplica fuções gap para o cálculo de soluções de modelos defiidos por Problemas de Desigualdades Variacioais (PDV). Na seção 4 apresetam-se algumas coclusões sobre o tema abordado. Este trabalho usa algumas defiições matemáticas como desigualdade de Youg-Fechel, fução idicadora I c ( e fução cojugada I * c (y) que são defiidas em Auchmuty (1989). 2

3 2. Desigualdades variacioais Historicamete, Hartma e Stampacchia (1966) (apud Trujillo (2003)) itroduziram a teoria das desigualdades variacioais como uma ferrameta para o estudo de problemas mecâicos formulados usado equações difereciais parciais. Etretato, um dos evetos que marcou o iício da teoria das desigualdades variacioais acoteceu a década de 80, quado Dafermos (1980) recoheceu que uma codição de equilíbrio em redes de trasporte, formulada por Smith (1979), apresetava a estrutura de uma desigualdade variacioal. Daí em diate, a teoria das desigualdades variacioais foi amplamete utilizada para o estudo das codições de equilíbrio em problemas de diferetes aturezas, tais como: ecoomia, ciêcia admiistrativa/pesquisa operacioal, mecâica, física, egeharia do tráfego e a teoria de cotrole ótimo. Defiição 1: Seja um cojuto C R, ão vazio, covexo e fechado, e F: C R uma fução cotíua dada. O problema de desigualdade variacioal da aplicação F sobre C, deotado PDV(F,C), é defiido como: Ecotrar um vetor x C que satisfaz, (y - 0, y C (1) Observar os seguites casos quado C R e F: C R Se = 1, a desigualdade variacioal tora-se: (y- 0. Se = 2, F = (F 1, F 2 ), a desigualdade variacioal tora-se: (F 1 (, F 2 (),((y 1 x 1 ), (y 2 x 2 )) 0 que é equivalete a F 1 ((y 1 x 1 ) + F 2 ((y 2 x 2 ) 0 Se ão for explicitado, a desigualdade variacioal se escreve, etão: (2) Geometricamete, a relação (1) diz que: deve-se ecotrar um vetor x* C tal que o vetor x*), imagem da aplicação F em x*, forme um âgulo agudo com os vetores (x x*) para cada x C. Figura 1 - Iterpretação geométrica do problema de desigualdade variacioal 3

4 Existem vários métodos para resolver um problema de desigualdade variacioal, um deles obtémse reformulado o problema de desigualdade variacioal como um problema de otimização equivalete (este caso, miimização), de apeas um ível, através de uma fução associada. A fução objetivo do modelo de otimização associada ao PDV(F,C) é o idicador de decrescimeto (crescimeto) em relação à proximidade do poto solução do PDV(F, C). Assim, vai ser chamada este trabalho de fução de mérito. A fução de mérito associada ao PDV(F,C) em (1) foi chamada de fução gap (Hear (1981), Auchmuty (1989), Morales (1997)). Um caso particular do problema de desigualdade variacioal é estabelecido, quado a fução F é o gradiete de alguma fucioal f: R R, covexa e difereciável, isto é, = f(. Neste caso, o problema pode ser escrito como: Ecotrar x C, tal que, f(,(y - 0, y C. (3) Notar que a relação (3), sob as hipóteses acima idicadas para f, ão é mais do que a codição ecessária e suficiete de otimalidade de primeira ordem. 3. Fuções gap Como um método alterativo para resolver problemas de desigualdades variacioais Ausleder (1976) (apud Trujillo (2003)) reformulou o problema de desigualdade variacioal PDV (F, C) apresetado em (1) como um problema equivalete de otimização. Para isto, foi utilizada uma fução de mérito, defiida por: G( sup,( x y) yc Ode o cojuto C R é um cojuto ão vazio, covexo e fechado, e F: C R é uma fução vetorial cotíua dada. A fução G( defiida acima é chamada de fução gap. (4) Se o cojuto C adicioalmete for limitado, pode-se reformular G( como: G( max,( x y) yc (5) G( mi,( y yc 4

5 No caso particular ode = f(, para alguma f: R R covexa e difereciável a fução gap associada ao problema de desigualdade variacioal PDV (F, C) em (3) é defiida por: G( max f (,( x y) (6) Em seguida será mostrada a propriedade mais útil, do poto de vista computacioal, da fução G( que é a de ser ão egativa o cojuto C e ter o valor G( = 0 se, e somete se, y C resolve o problema PDV (F, C) defiido em (1). Assim a desigualdade variacioal PDV (F, C) pode ser reformulada como um problema de otimização equivalete ode será procurado o valor míimo igual a zero: yc mi xc G( (7) Observação: a verdade a miimização, para a fução gap em (6), é um problema mi xc max yc f( T (x - y). 3.1 Propriedades da fução gap Seja C R um cojuto ão vazio, covexo e fechado, e F: C R uma fução cotíua dada. Cosidere a fução : C R {} defiida, Auchmuty (1989), por: * ( x, I ( C ) Procura-se miimizar em C e ecotrar o valor: if ( xc Aplicado a desigualdade de Youg para a fução idicadora I c ( e substituido o vetor y por a sua fução cojugada I * c (y), obtém-se: I C ( + I* C ( ) x, para todo x em R I C ( + I* C ( ) - x, 0 I C ( + I* C ( ) + x, 0 Da defiição da fução idicadora, I C ( 0, logo: ( x, I ( ) 0 Portato o valor ífimo de, represetado por, é: if ( 0 xc * C Observar que da defiição da fução cojugada da fução idicadora I c : ( x, sup z, I ( z) zr C (8) (9) (10) (11) 5

6 Em particular, para z C, tem-se: Etão, sup z, I C ( z) sup z, zr zr ( x, sup z, x z Logo, pela relação R em (4), pode-se cocluir que a fução tem codições de se chamar uma fução gap. Agora, cosidere C R um cojuto ão vazio, covexo e fechado, f: R R {} uma fução covexa semi-cotíua iferior, cotíua e difereciável uma vizihaça aberta de C. Seja g: R R {} a extesão covexa da fução f restrita a C sobre R defiida por: g( = f( + I C ( (12) Seja h: C R {} defiida por: h( = f( + g*( f( ) + x, - f( (13) Queremos ecotrar: if h( (14) xc Tomado a desigualdade de Youg para g, temos: g( + g*(y) x,y para todo x,y em R (15) Substituido g( por seu valor em (12), tem-se: f( + I C (+ g*(y) - x,y 0 (16) Tomado y = f( aplicado em (15) f( + I C (+ g*( f( ) - x, f( 0 (17) Para x C, I C ( 0. Logo: h( = f( + g*( f( ) + x, - f( 0 (18) if h( 0 (19) xc zr ( sup x, z, x zr ( sup ( x z ) ) Note que quado f 0 a fução h( tora-se igual à fução (. Após as relações desevolvidas de (12)-(19) podem ser formuladas as seguites propriedades: ) 6

7 Propriedade 1 - Seja C R um cojuto ão vazio, covexo e compacto, F: C R uma fução cotíua e defiida em (8). Etão: (i) é ão egativa, semi-cotíua iferior e limitada em C; (ii) ( = 0 somete se x é uma solução de (1); (iii) if ( 0 e existe um x* em C que miimiza em C. x C Prova: ver Auchmuty (1989). A propriedade a seguir relaxa a hipótese de compacidade do cojuto viável C. Propriedade 2 - Seja C R um cojuto ão vazio, covexo e fechado, F:CR uma fução cotíua e defiida em (8). Etão: (i) é semi-cotíua iferior e ão egativa em C; (ii) ( = 0 se e somete se x é solução do PDV(F, C) defiido em (1). Prova: ver Auchmuty (1989). Propriedade 3 Seja C R um cojuto ão vazio, covexo e fechado; F: C R uma fução cotíua. Seja f : R R {} uma fução covexa semi-cotíua iferior que é cotiuamete difereciável uma vizihaça aberta de C e g(, h( e defiidos em 12,13 e 14 respectivamete. Etão: (i) h é ão egativa e semi-cotíua iferior em C; (ii) h ( = 0 se e somete se x é uma solução de (1); (iii) Quado C é compacto, etão = 0 e h atige seu ífimo em C a solução do PDV(F, C) defiido em (1). Prova: ver Auchmuty (1989). 4. Exemplo Cosidere o seguite problema: Ecotrar um x C que satisfaz 2x, (y - 0, y C (20) Ode C = [1,3]. A ossa proposta é mostrar que a solução deste PDV é igual à solução do problema: 7

8 Mi G( (21) s. a. x C Ode G( é uma fução gap associada ao problema de desigualdade variacioal (20). Para resolver o PDV (F, C), precisamos ecotrar x C tal que: 2x (y - 0, para todo y [1,3], 2xy - 2x 2 0 2xy 2x 2 Observação: Apesar de ão ser ecessário resolver esta desigualdade, ão é difícil cocluir que a solução deste PDV (F, C) é x = 1. A fução gap associada a este problema de desigualdade variacioal pode ser defiida por: Como foi visto, a solução do PDV (F, C) ocorre quado G( = 0; e o comportameto da fução gap é G( 0, etão para achar a solução do PDV (F, C) basta fazer: mi max 2x 2 2xy xc yc A solução deste problema ocorre o poto x=1 e y=1. Exatamete igual a solução do PDV. 5. Coclusão G( max 2x,( x y) yc 2 G( max 2x 2xy yc Os Problemas de Desigualdades Variacioais (PDV) em sempre podem ser facilmete resolvidos, pois depededo de qual seja a fução os cálculos podem se torar complicados. Sedo assim, a aplicação da fução gap a resolução destes problemas tora-se muito útil, visto que toda a maipulação para utilizá-la faz com que o PDV se trasforme em um problema de otimização equivalete, cuja solução pode ser ecotrada por algoritmos existetes. Neste setido, o estudo da fução gap tora-se muito importate para ampliar as áreas de aplicação a egeharia, ecoomia e trasporte, para as que poderão se ecotrar soluções a PDV utilizado os métodos de programação matemática que calculam soluções de modelos de otimização de sua fução gap associada. Este estudo itegra a preparação em ferrametas que a egeharia de produção precisará abordar para problemas de equilíbrio em redes ambietais, de migração e de cohecimetos. 6. Referêcias Bibliográficas (22) (23) 8

9 AUCHMUTY, G. Variatioal Priciples for Variatioal Iequalities. Numerical Fuctioal Aalysis ad Optimizatio, Texas, º 10, P AUSLENDER, A. Optimizatio: méthodes umériques. Masso S. A. 120 Bd Sait-Germai, Paris DAFERMOS, S. C. Treffic Equilibrium ad Variatioal iequalities. Trasportatio Sciece, º 14, P HARTMAN, P; STAMPACCHIA, G. O Some Noliear Elliptic Differetial Fuctioal Equatios. Acta Mathematica, º 115, P HEARN, D. W. The Gap Fuctio of a Covex Program. Operatios Research Letters, USA, P MORALES, G. O problema de programação matemática com restrições geeralizadas de Equilíbrio. Rio de Jaeiro: UFRJ, Tese (Doutorado) Programa de Pós-Graduação em Egeharia de Sistemas de Computação, Uiversidade Federal do Rio de Jaeiro, Rio de Jaeiro, SMITH, M. J. The existece, uiqueess ad stability of traffic equilibria. Trasportatio Research, P TRUJILLO, C. E. V. Algoritmos de Descida baseados em Fuções Gap para resolver Problemas Variacioais Moótoos. Campos dos Goytacazes: UENF, p. Tese (Mestrado) Programa de Pós- Graduação em Egeharia de Produção, Uiversidade Estadual do Norte Flumiese, Campos dos Goytacazes,