Sobre a Existência de Soluções para Problemas de Controle Ótimo em Escalas Temporais

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1 Sobre a Existêcia de Soluções para Problemas de Cotrole Ótimo em Escalas Temporais Geraldo N. Silva Depto de Ciêcias de Computação e Estatística, IBILCE, UNESP, , São José do Rio Preto, SP gsilva@ibilce.uesp.br Iguer Luis D. dos Satos Departameto de Matemática, FEIS, UNESP, , Ilha Solteira, SP iguerluis@hotmail.com. Resumo: Neste trabalho ivestigamos a existêcia de soluções para uma classe de problemas de cotrole ótimo em escalas temporais. Usado uma estesão do Lema de Filippov e um resultado de compacidade das trajetórias para iclusões diâmicas vetoriais em escalas temporais, provamos a existêcia de soluções para essa classe de problemas de cotrole ótimo. Palavras-chave: Aálise e Aplicações, Iclusões Diâmicas em Escalas Temporais, Cotrole Ótimo 1 Itrodução O cálculo em escalas temporais foi itroduzido por Hilger [12] para uificar o cálculo de difereça e o cálculo diferecial. Uma escala temporal T R é um cojuto ão-vazio e fechado. A teoria de escalas temporais admite diversas aplicações em várias áreas, como pode ser observado em [1]. Resultados de existêcia de soluções para iclusões diâmicas em escalas temporais, podem ser ecotrados em [2], [3], [5], [9] e [19]. Recetemete, problemas de cotrole ótimo em escalas temporais foram cosiderados, por exemplo, em [11], [13], [16] e [21]. Mas o trabalho [13] ão aborda a existêcia de soluções para problemas de cotrole. Em [11] obtem-se a existêcia de soluções para problemas de cotrole ótimo descritos por equações diâmicas lieares em escalas temporais. Já em [16] e [21] é abordado a existêcia de soluções para problemas de cotrole ótimo escalares. Neste trabalho provamos a existêcia de soluções para uma classe de problemas de cotrole ótimo descritos por equações diâmicas ão-lieares em escalas temporais. Para isso usamos uma estesão do Lema de Filippov [10] e um resultado de compacidade das trajetórias para iclusões diâmicas vetoriais em escalas temporais [19]. Utilizaremos uma escala temporal T compacta, sedo a = mi T < b = max T. 2 Prelimiares Nessa seção cosideramos coceitos e resultados básicos que são utilizados ao logo do trabalho. 1289

2 2.1 Cálculo em escalas temporais Defiição 2.1. Defie-se a fução σ : T T como σ(t) = if{s T : s > t}. Estamos supodo que if = sup T. Se A R, deotamos por AT o cojuto A T. Defiimos Tκ = T \ (ρ(sup T), sup T]T. Defiição 2.2. Cosidere uma fução f : T R e t Tκ. Se existe ξ R tal que, para todo ε > 0 existe δ > 0 de modo que f (σ(t)) f (s) ξ(σ(t) s) ε σ(t) s para todo s (t δ, t + δ)t, diz-se que ξ é a derivada delta de f em t e deota-se ξ = f (t). Defiição 2.3. Se f : T R e t Tκ, diz-se que f é -difereciável em t se cada fução coordeada fi : T R for -difereciável em t. Neste caso f (t) = (f1 (t),..., f (t)). Resultados básicos sobre o cálculo em escalas temporais podem ser ecotrados em [6]. 2.2 Cojutos -mesuráveis Abaixo defiimos uma σ-álgebra de subcojutos de T. Cosidere a escala temporal T = [a, b]t. Deote por F a coleção de subitervalos de T da forma [a, b )T = {t T : a t < b }, sedo a, b T. O itervalo [a, a )T é etedido como o cojuto vazio. Seja E T um subcojuto qualquer. Se existe pelo meos uma sequêcia de itervalos S [aj, bj )T F tal que E j [aj, bj )T, defie-se a medida exterior de E como m (E) = if + X (bk ak ) : E [ k=1 [ak, bk )T, [ak, bk )T F. k Se ão existir uma tal cobertura de E defie-se m (E) = +. Além disso, covecioamos que m ( ) = 0. Defiição 2.4. Um cojuto E T é chamado de -mesurável (Lebesgue -mesurável) se m (A) = m (A E) + m (A (T \ E)) para cada cojuto A T. Proposição 2.1 ([8]). Tome E T. Etão E é -mesurável se, e somete se, E é Lebesgue mesurável. Corolário 2.1. A família de cojutos -mesuráveis é uma σ-álgebra em T. Usado [17] pode-se provar que a fução m : [0, + ] é uma medida. Essa fução será chamada de -medida de Lebesgue e deotada por m µ. Defiição 2.5. Diz-se que uma proposição P vale -quase todo poto ( -q.t.p.) em T \ {b}, se o cojuto N dado por N = {t T \ {b} : P ão vale em t} é tal que µ (N ) =

3 Diz-se que uma fução f : T [, + ] é -mesurável se para cada α R o cojuto {t T : f (t) < α} é -mesurável. A fução f : T R será -mesurável se cada fução coordeada fi : T R for mesurável. Para fuções f : T R a oção de itegração pode ser ecotrada, por exemplo, em [4], [17] e [18]. Deotamos a itegral de uma fução f : T R sobre um cojuto E por Z f (s) s. E Chamamos essa itegral de -itegral de Lebesgue de f sobre E. Deotaremos por L1 (E) o cojuto das fuções f : T R itegráveis sobre E. Quado f : T R é fução -mesurável e E, f será itegrável sobre E se cada fução coordeada fi : T R for itegrável sobre E. 2.3 Arcos em escalas temporais Abaixo defiimos arcos em escalas temporais. Os problemas de cotrole ótimo cosiderados este trabalho são estudados usado esta classe de fuções. Defiição 2.6. Diz-se que uma fução f : T R é absolutamete cotíua se para todo ε > 0 existe δ > 0 tal que X kf (bi ) f (ai )k < ε i=1 quado ai bi e {[ai, bi )T }i=1 são itervalos disjutos satisfazedo X (bi ai ) < δ. i=1 Defiição 2.7. Diz-se que a fução f : T R é um arco se f é absolutamete cotíua. Deotaremos o cojuto de todos os arcos com domíio T e cotradomíio R por AC([a, b]t, R ). Teorema 2.1 ([7]). Uma fução f : T R é absolutamete cotíua se, e somete se, as seguites codições são válidas: (i) -q.t.p. t [a, b)t a fução f é -difereciável e f L1 ([a, b)t, R ) ; (ii) para cada t T tem-se Z f (s) s. f (t) = f (a) + [a,t)t 3 Compacidade de Trajetórias Nessa Seção euciamos uma propriedade de compacidade de trajetórias para iclusões diâmicas em escalas temporais. Essa propriedade se emparelha ao correspodete resultado clássico, cosiderado por exemplo em [14] e [20]. Defiição 3.1. Cosidere uma multifução F : T R R ão-vazia. Dizemos que um arco x : T R é uma trajetória de F se satisfizer a seguite restrição x (t) F (t, x(t)) q.t.p. t [a, b)t. 1291

4 R defiimos as hipóteses (H1) e (H2) como: Dada uma multifução F : T R (H1): F é uma multifução ão-vazia, compacta, covexa e B -mesurável. (H2): Existe uma fução c : T [0, + ) em L1 ([a, b)t ) tal que F (t, x) (γkxk + c(t))b para todo (t, x) T R, sedo γ > 0 Teorema 3.1. Seja F uma multifução que satisfaz as hipóteses (H1) e (H2). Supoha que q.t.p. t [a, b)t a multifução F (t,.) : R R possui o gráfico fechado. Tome uma sequêcia de arcos xi : T R tal que {xi (a)} é limitada. Cosidere também uma sequêcia de fuções -mesuráveis yi : T R tal que yi (t) 0 -q.t.p. t [a, b)t. Supoha que existe uma fução ϕ : T [0, + ) em L1 ([a, b)t ) de modo que kyi (t)k ϕ(t) para todo t T e todo i. Se para cada i temos x i (t) F (t, xi (t) + yi (t)) q.t.p. t [a, b)t etão existe uma subsequêcia {xik } {xi } e uma trajetória x de F tal que xik x. 4 Lema de Filippov Agora abordamos uma geeralização do Lema de Filippov em escalas temporais. Um outra geeralização desse lema é obtida em [15], mas exige-se que o campo vetorial do sistema de cotrole seja rd-cotíuo a variável tempo e cotíuo as variáveis de estado e cotrole. Cosidere a seguite restrição diâmica x (t) = f (t, x(t), u(t)) q.t.p. t [a, b)t (1) u(t) U (t) q.t.p. t [a, b)t. Se um par (x, u) satisfaz a restrição (1) etão x satisfaz a seguite diâmica x (t) {f (t, x(t), u) : u U (t)} q.t.p. t [a, b)t. (2) No Teorema abaixo euciamos uma afirmação iversa. Teorema 4.1 ([19]). Seja U : T Rm uma multifução ão-vazia, fechada e -mesurável. Cosidere uma fução f : T R Rm R cotíua em (x, u) para cada t fixado, e mesurável em t para cada (x, u) fixado. Se x AC([a, b]t, R ) satisfaz (2) etão existe uma seleção -mesurável u de U tal que (x, u) satisfaz (1). 5 Existêcia de Soluções Ótimas Nesta seção, fazemos uma breve discussão sobre uma das questões teóricas de maior relevâcia a teoria do cotrole: sob quais codições o problema de cotrole ótimo em escalas temporais possui solução ótima? O problema em questão é formulado sob o paradigma de iclusão diâmica em escalas temporais. A resposta a essa questão, como veremos a seguir, é cosequêcia imediata da compacidade das trajetórias para iclusões diâmicas em escalas temporais. 1292

5 Seja g : R R R uma fução semicotíua iferior e F : T R R uma multifução. Cosidere o problema de cotrole ótimo mi g(x(a), x(b)) sobre x AC([a, b]t, R ) x (t) F (t, x(t)) q.t.p. t [a, b)t (P ) (x(a), x(b)) A B sedo A, B R. Teorema 5.1. Seja F uma multifução que satisfaz as hipóteses (H1) e (H2). Supoha que q.t.p. t [a, b)t a multifução F (t,.) : R R possui o gráfico fechado. Supoha que A é um cojuto compacto e B é um cojuto fechado. Se o problema (P ) possui uma trajetória admissível etão existe uma trajetória ótima. Demostração. Basta usar o Teorema 3.1. Cosidere agora uma fução f : T R Rm R e uma multifução U : T Rm ão-vazia, compacta e -mesurável. Pode-se etão cosiderar o seguite problema de cotrole ótimo mi g(x(a), x(b)) sobre (x, u) x (t) f (t, x(t), u(t)) q.t.p. t [a, b)t (Q) u(t) U (t) q.t.p. t [a, b)t (x(a), x(b)) A B sedo x AC([a, b]t, R ) e u : T Rm uma fução -mesurável Teorema 5.2. Supoha que a fução f : T R Rm R satisfaça as seguites codições: (i) f é cotíua em (x, u) para cada t fixado, e -mesurável em t para cada (x, u) fixado. (ii) o cojuto f (t, x, U (t)) é covexo para cada t T. (iii) existem γ > 0 e c : T [0, + ) em L1 ([a, b)t ) tal que kf (t, x, u)k γkxk + c(t) para todo (t, x, u) T R U (t). Se o problema (Q) admite um processo factível (x, u) etão existe um processo ótimo (x, u ). Demostração. Seja F : T R R defiida como F (t, x) = {f (t, x, u) : u U (t)}. Usado o Teorema 4.1 e o Teorema 5.1 prova-se a existêcia de um processo ótimo (x, u ) para o problema (Q). 6 Coclusão O Teorema 5.2 cotribui para o avaço do cohecimeto a teoria do cotrole em escalas temporais. Pois até o osso cohecimeto, ão existe um trabalho a literatura que aborda a existêcia de soluções para problemas de cotrole ótimo em escalas temporais descritos por equações diâmicas ão-lieares. Referêcias [1] R. Agarwal, M. Boher, D. O Rega, A. Peterso, Dyamic equatios o time scales: a survey, J. Comput. Appl. Math., 141 (2002) [2] E. Aki-Boher, S. Su, Existece of solutios for secod-order dyamic iclusios, It. J. Dyamical Systems ad Differetial Equatios, 3 (2011)

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