PESADELO DE FUBINI E SISTEMAS DINÂMICOS. 2 n
|
|
- Vergílio Casado Estrada
- 5 Há anos
- Visualizações:
Transcrição
1 PESADELO DE FUBINI E SISTEMAS DINÂMICOS ALI TAHZIBI 1. Laçameto de Moeda e Sistemas Diâmicos Seja ω (0, 1] e (d 1 (ω), d 2 (ω), ) a expasão biária de ω, i.e d (ω) ω = = 0, d 2 1 (ω)d 2 (ω). =1 Vamos combiar que 1 = 0, 0111 e ão 0, É claro que 2 ambas represetam o úmero 1/2, etretato vamos somete escolher represetações que ão termiam com ifiitos zero s. Imagie uma moeda com adesivos os lados cara e coroa. Ao laçar a moeda vamos obter uma sequêcia de zero e um s. Portato se laçarmos a moeda ifiitas vezes (se trabalharmos teremos tempo para isto!) podemos correspoder um úmero ω a este experimeto de laçametos. Recordado oções básicas de probabilidade podemos calcular a probabilidade de que os primeiros laçameto o resultado seja ω i, i = 1,, ω i {0, 1}. Se a moeda ão for viciada essa probabilidade é igual a 1. Agora vamos calcular a medida de 2 cojuto dos úmeros que correspodem a estes laçametos. Se ω represeta um laçameto mecioado acima: d i (ω) = ω i, i = 1, e portato i=1 ω i 2 < ω i=1 ω i 2 + i=+1 Etão o cojuto {ω : d i (ω) = ω i, i = 1,, } = ( i=1 1 2 i ω i, ω i 2 i=1 + 1 ] = 2 2 A. Observe que o comprimeto do itervalo A é igual a 1 2 que coicide com a probabilidade de laçar uma moeda ão viciada e obter ω i em i ésimo laçameto, i = 1, 2,. Exercício 1. Prova que a medida de cojuto {ω : i=1 d i (ω) = k} é igual ( ) 1. k 2 { 1 ω = 1, Seja ω (0, 1]. Defiimos r (ω) = 2d (ω) 1 = 1 ω = 0. Agora cosidere s (ω) = i=1 r i (ω). Obviamete s (ω) e portato 1 s (ω) 1. Vamos defiir úmeros ormais ou balaceados 1
2 2 ALI TAHZIBI aqueles ω tais que s (ω) lim = 0. Se iterpretarmos ω = (0, ω 1 ω 2 ) 2 como um laçameto iifiito de moeda, ω é ormal se ao logo prazo, em média úmero das vezes que obtemos cara é igual ao úmero das coroas! Exercício 2. Seja ω = ( ), ode zero s e um s aprecem a sequêcia com multiplicidade 2 k. Mostre que ω ão é um úmero ormal. Teta apesetar mais exemplos de úmeros que ão são ormais. É iteressate apresetar exemplos de úmeros ormais. Apresetar exemplos de úmeros ormais ão é uma tarefa trivial. Para ver algus exemplos veja (Uma coleção de resultados sobre úmeros ormais, Dissertação de Mestrado J. Kras, UFRGS 1 ) Um Teorema de E. Borel que vamos provar esta seção afirma que o cojuto de úmeros ormais é muito grade o setido de teoria de medidas. Defiição 1. Um cojuto N tem medida ula se para qualquer ɛ > 0 exista uma cobertura (fiita ou eumerável ifiita) por itervalos N k I k tal que k I k ɛ. Um cojuto é dito de medida de Lebesgue total, se seu complemetar seja de medida ula. Teorema 1. (Teorema de Números ormais de Borel) O cojuto de úmeros ormais tem medida total. Precisamos provar que o cojuto 1 N := {ω : lim s (ω) = 0} tem medida total. Para isto precisamos provar que N c tem medida ula. Usado desigualdade de Chebychev para {S (.) 4 4 ɛ 4 } 2 obtemos m({ω : s (ω) ɛ}) 1 1 s 4 4 ɛ (ω)dω. (1.1) 4 0 Lema s4 (ω)dω = + 3( 1) α Chebychev : Seja f : (X, m) R + itegrável e α > 0, etão m({x : f (x) α}) 1 f dm 0
3 PESADELO DE FUBINI 3 1 Para demostrar o lema basta observar que r 2 i = 1, i = 1, e 0 r ir j dω = 0, i j. Agora basta observarmos a expasão de s (ω) 4 aparecem seguites termos r 4, i = 1,, i r 2 i r2, i j, i, j = 1,, j r 3r i j, i j, i, j = 1,, r 2r i jr k, distict i, j, k r i r j r k r s for disticts i, j, k, s. Somete os termos de primeiro e segudo item itegram ão ulo e 1 i=1 0 r4dω =, 1 i i j 0 r2 i r2 dω = 3( 1). Usado 1.1 e lema 1 j cocluimos que m({ω : 1 s (ω) ɛ}) 3 2 ɛ 4. (1.2) Fixa uma sequêcia ɛ tal que ɛ 4 2 <. Podemos tomar ɛ = 1/8. Seja A := {ω : s (ω) ɛ }. Usado 1.2 cocluimos que m(a ) <. Afirmamos que para qualquer m N =ma c N. Para provar afirmação observe que pela defiição, somete observe que ɛ 0. Agora basta observar que N c =ma. Dado ɛ > 0 escolhemos m tal que =m m(a ) ɛ. Cada A é uma uião fiita de itervalos e cosequetemete podemos cobrir =ma por eumerável itervalos I k tal que k m(i k ) ɛ. Pela defiição isto demostra que N c é um cojuto de medida ula. Topologia versus Teoria de Medida: Apesar de cojuto de úmeros ormais ter medida total, este cojuto é de primeira categoria, i.e magra e pode ser provada que é subcojuto de uma uião eumerável de cojutos uca desos. A m = =m{ω : s (ω) < 1/2}. Pela defiição de úmeros ormais N A m. Por outro lado podemos mostrar que A m é um cojuto cujo fecho tem iterior vazio.
4 4 ALI TAHZIBI Para mostrar isto observe que A m =m{ω : s (ω) 1/2} e portato =m{ω : s (ω) > 1/2} ( A m ) c Agora observe que dado qualquer α (0, 1] e uma vizihaça dele, podemos achar ω a vizihaça de α tal que S (ω) > 1/2 para algum suficietemete grade. Para isto basta que α e ω teham primeiros dígitos iguais (tal que ω perteça a vizihaça de α) e ω ter bastate dígitos um). Isto implica que =m{ω : s (ω) > 1/2} é um cojuto deso e completamos a demostração do fato de que o fecho de A m tem iterior vazio Moedas viciadas. Até agora estavamos supodo que a probabilidade de obter cara ou coroa um laçameto de moeda é igual a 1. Etretato, cosiderado uma moeda viciada podemos supor que 2 a probabilidade de ocorrer cara seja 0 p 1 e cosequetemete a probabilidade de obter coroa seja 1 p. Vamos deotar por 0 o lado cara e 1 o lado coroa da moeda. Assim em liguagem de prbabilidade p(0) = p, p(1) = 1 p. Dada uma sequecia (b 1, b 2,, b ) a probabilidade de (b 1,, b ) (i.e uma sequecia de laçametos) é igual a p(b i ). Emile Borel, provou (Lei de grades úmeros) que a frequecia de obter 1 asitoticamete é igual a p(1), mais precisamete: b 1 + b b lim = p(1) (1.3) para quase toda sequêcia ifiita (b 1, b 2, ) {0, 1} N. O termo quase toda sequêcia acima deve ser compreedido com medida de Beroulli o esapço {0, 1} N. É óbvio que 1.3 ão é válida para uma sequêcia arbitrária 2. Teorema de Fubii e exemplos Imagie o quadrado uitário Q := [0, 1] 2 e supohamos que pitemos um subcojuto de medida de Lebesgue total de Q em azul. Sela L um segmeto horizotal e arbitrário L y0 := {(x, y 0 ) : 0 x 1}. Qual é a medida dos potos azuis so segmeto L? Claramete que depededo do cojuto azul e a escolha do segmeto horizotal, a medida (uidimesioal de Lebesgue) de cojuto azul iterceptado com L y0 pode ser qualquer úmero α [0, 1]. Etretato para quase todo segmeto horizotal temos que α = 1. Isto é uma aplicação
5 PESADELO DE FUBINI 5 simples do Teorema de Fubii, Leb(A) = 1 A (x)dleb(x) = 1 0 L y 1 A (x, y)dxdy = 1. Ou seja para quase todo y [0, 1] temos que para quase todo x [0, 1] temos que (x, y) A. Podemos fazer a mesma perguta para segmetos oblíquos em vez de segmetos horizotais. Teta provar que temos um resultado similar este caso, usado mudaça de variáveis. 3. Exemplo de Partição e Folheações Seja f : [0, 1] [0, 1] uma fução bijetora com f (0) = 0, f (1) = 1. Usado essa fução podemos costruir uma folheação (ada mais de que uma partição do quadrado por segmetos) de Q := [0, 1] 2 ode as folhas são segmetos F x := {(t, (1 t)x + t f (x)) : 0 t 1}. x fox fx t1 t2 Figura 1 Lema 2. Sejam L ti, i = 1, 2 dois segmetos trasversais t i 0. Etão H t1,t 2 é uma fução absolutamete cotíua, ode H t1,t 2 (z) = F z L t2, z L t1. Demostração. Seja A L t1, m(a) = 0. Deotamos por Z := H 1 0,t 1 (A).É simples ver que e m(a) = (1 t 1 )m(z) + t 1 m( f (Z)) m(h t1,t 2 (A)) = (1 t 2 )m(z) + t 2 m( f (Z)). Já que m(a) = 0 e t 1, t 2 0 temos que m(z) = 0 e m( f (Z)) = 0. Dai cocluimos que m(h t1,t 2 (A)) = 0 ou seja H t1,t 2 é absolutamete cotíua.
6 6 ALI TAHZIBI Equato as aplicações H t1,t 2 são absolutamete cotíua para t i 0 é simples selecioar f tal que H 0,1 ão seja absolutamete cotíua. Basta escolher f tal que f (K 1 ) = K 2 ode K 1, K 2 são dois cojutos de Cator e m(k 1 ) = 0, m(k 2 ) > 0. Podemos mostrar que se A é um cojuto de medida de Lebesgue ulo, etão A F x tem medida (uidimesioal) zero para quase todo x [0, 1]. 4. Costrução de Exemplo e Sistemas Diâmicos Vamos iterpretar a lei de grades úmeros usado úmeros reais e uma fução do itervalo (0, 1]. Para cada p (0, 1) defiimos a fução liear por pedaço f p como seguite: { x x I p 0 := (0, p] f p (x) = x p 1 p x I 1 := (p, 1] 4.1. Codificação. Dado um úmero real x [0, 1) a órbita (positiva) de x é o cojuto { f p (x), = 0, 1, }. Podemos correspoder a cada x um código, que é uma sequêcia (que depede de f p ) de 0 e 1 s de seguite forma: O código correspodete é (b 0, b 1, b 2, ) se somete se f (x) I b. Por exemplo o código de x = 1 é (1, 1,, 1, ) e o código correspodete a x = p é igual a (0, 1, 1, 1,, 1, ). Observe que por f p ser crescete o itervalo (0, p] sequêcias que termiam com ifiitos 0 s ão podem correspoder a ehum x (0, 1]. Exercício 3. Mostre que qualquer sequêcia que tem ifiitos 1 s é código correspodete algum x [0, 1). Agora vamos aalisar a ação da fução f p estes códigos. Seja x := (b 0, b 1,, b, ) etão pela defiição o código de f (x) é (b 1, b 2,, ). Isto defie uma trasformação deotada por Shift o espaço {0, 1} N Medida de Beroulli e cilidros. Com esses códigos podemos defiir a medida de Beroulli o espaço {0, 1} N. Por exemplo a medida do cojuto C b0,b 1,,b 1 := {(x i ) i N : x i = b i, i = 0, 1, 2,, 1} é igual a p(b 0 )p(b 2 ) p(b 1 ). É fácil ver que o cojuto dos x cujos códigos pertecem ao cojuto (cilidro) C b0,b 1,,b 1 é um itervalo com medida de Lebesgue p(b 0 )p(b 1 ) p(b 1 ). Exercício 4. Pode imagiar porque estes cojutos são chamados de cilidros?
7 PESADELO DE FUBINI Frequêcia asitótica de um símbolo. Dada uma sequêcia (b i ) i N {0, 1} N a frequêcia asitótica de 1 s é igual ao b 0 + b 1 + b 2 + b 1 lim = lim Card{0 i < b i = 1} quado tal limite existe. Agora vamos iterpretar a lei de grades úmeros utilizado os códigos apresetados. Seja p um parâmetro fixo. Etão para Lebesgue quase todo x (0, 1] asitoticamete, a frequêcia de 1 s o código associado a f p é igual a 1 p. Mais precisamete b 0 + b 1 + b 2 + b 1 lim = 1 p. Agora cosidere E (0, 1) (0, 1] cojuto de todos pares (p, x) tais que a frequêcia de 1 o código correspodete a x pela diâmica f p seja igual a 1 p. Seja V p := {(p)} (0, 1]. Observe que o cojuto V p é um segmeto vertical e pode ser idetificado com itervalo (0, 1]. Pelo teorema de grades úmeros iterpretado diamicamete cocluimos que dado p fixo etão o cojuto E V p tem medida total, m 1 (E V p ) = 1. A medida cosiderada é a medida de Lebesgue uidimesioal. Usado Teorema de Fubii para coleção de segmetos verticais cocluimos que E tem medida de Lebesgue bi-dimesioal igual a um, m 2 (E) = 1 0 m 1 (E V p )dp = 1. Até agora temos um subcojuto de medida total detro de quadrado (0, 1) (0, 1]. Em seguida vamos costruir uma família de curvas que cada uma delas itersecta este cojuto o máximo um poto!! 4.4. Curvas patológicas. Vamos defiir uma família de curvas aalíticas idexadas por β (0, 1]. Dado β cosidere a expasão biária de β = (b 0, b 1, b 2,, b, ), i.e β = =0 b Etão defiimos Γ β como sedo cojuto de todos os potos (p, x) tais que o código correspodete a x pela diâmica de f p seja exatamete igual a (b 0, b 1, b 2,, b, ). Claro que Γ β s são disjutas e a uião delas é (0, 1) (0, 1]. Vamos mostrar que cada Γ β é uma curva aalítica.
8 8 ALI TAHZIBI Proposição 1. Dado β (0, 1] existe uma fução aalítica x(., β) : (0, 1) Γ β : (0, 1) (0, 1) tal que Γ β = Graf(x(., β)). Primeiramete vamos aalisar algus Γ β s. Para β = 1 = (1, 1, ) é fácil ver que Γ 1 = {(p, 1), p (0, 1)}. Cosidere β = 1 = (0, 1, 1,, 1 ). Agora para cada p, x = p é o úico 2 poto tal que x I 0 e fp (x) I 1, 1. Portato Γ 1 2 é igual ao diagoal do quadrado Átomos. Vamos verificar que dado qualquer β, a curva Γ β itersecta o cojuto E o máximo em um úico poto (p, x(p, β)). Desevolvedo β a base biária obtemos sequêcia (b i ) e pela defiição (p, x) Γ β se o código correspodete a x pela diâmica f p seja igual a (b i ). Se (b i ) ão possuir limite de frequêcia de 1 s etão o poto (p, x) E. Observe que E := p (0,1) V p E ode (p, x) V p E se somete se o limite de frequêcia do código de x pela diâmica f p seja igual a 1 p. Portato se o limite de frequêcia de (b i ) existir, ele é igual a 1 p para um úico p e assim Γ β itersecta E um poto que deotamos por (p, x(p, β)). Agora vamos provar a proposição 1. Fixamos β (0, 1), β = (b i ) i 0. Seja (p, x) Γ β e x = x 0, x 1, x 2, sua órbita i.e, x = f (x). Etão pela defiição de f p e o fato x I b cocluimos que x = b p(0) + x +1 p(b ), ode p(0) = p, p(1) = 1 p. Usado idução podemos ver que x = x(p, β) = p(0)(b 0 + p(b 0 )(b 1 + p(b 1 )(b 2 + ) ) ) = p(0)(b 0 + b 1 =1 j=0 p(b j )) Colocado p(0) = p = 1+t e p(1) = 1 p = 1 t. Se t c < 1, etão 2 2 o -ésimo termo da série acima tem valor absoluto meor ou igual a [ 1+c 2 ]. Já que 1+c < 1, pelo critério de covergêcia uiforme de 2 Wierstrass temos que para cada β fixo x é uma fução aalítica de t o itervalo 1 < t < 1 ou equivaletemete aalítica em termos de p ode 0 < p < 1.
9 PESADELO DE FUBINI 9 5. Holoomia e cojugação Na seção aterior explicamos como costruir exemplo de uma partição (folheação) por curvas aalíticas de (0, 1) [0, 1) e um cojuto de medida (bi-dimesioal) um que itersecta cada curva o máximo em um poto. Na verdade é fácil ver (ou, é fácil dizer...) que a holoomia é uma aplicação que ão é absolutamete cotíua. Vamos detalhar um pouco mais essa frase: Dado dois segmetos verticais V p, V q (0, 1) [0, 1) podemos defiir a holoomia H p,q : V p V q usado a caroa da folheação. Isto é. H p,q (z) é igual a Γ β V q ode Γ β é a úica curva que passa pelo poto z. Vamos cosiderar a imagem de V p E pela holoomia H p,q. Proposição 2. Para 0 < p q < 1 temos m 1 (V p E) = 1 equato m 1 (H p,q )(V p E) = 0. Portato achamos um cojuto de medida total em V p cuja imagem tem medida ula em V q. Demostração. A demostração é um corolário das defiições. De fato lembramos que pelo teorema de grades úmeros m 1 (E V t ) = 1 para todo 0 < t < 1. Por outro lado pela defiição das curvas Γ β e H p,q o códigos correspodetes aos potos z e H p,q (z) pelas diâmicas de f p e f q (respectivamete) coicidem. Portato a frequêcia de 1 o código de H p,q (z) é igual a 1 p que é exatamete a frequêcia de 1 o código correspodete a z pela diâmica de f p. Por outro lado sabemos que existe um cojuto de medida um E V q tal que todo poto deste cojuto tem frequêcia de 1 igual a 1 q pela diâmica de f q. Cosiderado dois parágrafos acima cocluimos que m 1 (H p,q (V p E)) = 0. A proposição acima mostra quão irregular as curvas Γ β estão empilhadas uma em cima da outra. Agora vamos iterpretar a aplicação de holoomia H p,q de uma forma mais diâmica.
10 10 ALI TAHZIBI 5.1. Cojugação Topológica. Chamamos duas aplicações f p e f q cojugadas, se existir um homeomorfismos H p,q : [0, 1] [0, 1] tal que H p,q f p = f q H p,q. isto quer dizer que mudado as coordeadas (utilizado H p,q ) as duas diâmicas f p e f q são idêticas ou o seguite diagrama é comutativa: [0, 1] f p [0, 1] H p,q H p,q [0, 1] f q [0, 1] Teorema 2. Para quaisquer 0 < p, q < 1 as aplicações f p e f q são cojugadas pelo homeomorfismo H p,q. Dividimos a prova em dois passos: Passo 1: Mostramos que H p,q de fato deixa o diagrama acima mecioado comutativo. Passo 2: H p,q é um homeomorfismo. Para isto, costruimos um homeomorfismo que deixa o diagrama comutativo e pela uicidade de cojugação provamos que H p,q é um homeomorfismo. A demostração do primeiro item é baseada a uicidade de poto com um código dado pelas trasformação f p. De fato dado z [0, 1] com código (b 1, b 2,, b, ), etão H p,q (z) é um poto que tem o mesmo código pela f q e portato o código de f q (H p,q (z)) pela f q é exatamete (b 2, b 3, ) que por sua vez coicide com o código de f p (z) pela trasformação f p. Agora pela uicidade de potos com código dado, cocluimos que f q (H p,q (z)) = H p,q ( f p (z)) Valores especiais. Vamos aalisar agora algus valores de H p,q usado a fórmula de cojugação. Pela cojugação temos H( f p (0)) = f q (H(0)) e portato H(0) = f q (H(0)) e portato H(0) = 0. Logo cocluímos que 0 = H( f p (p)) = f q (H(p)) e portato H(p) = q. Similarmete podemos ver que H(1) = 1. É bom (e ão é difícil) verificar que as pré images de p pela f p são trasformados (por H)
11 PESADELO DE FUBINI 11 em pré images de q pela f q. Por exemplo as duas pré images de p são p 2 e p + p(1 p) = 2p p 2 e H(p 2 ) = q 2, H(2p p 2 ) = 2q q 2. Exercício 5. Ache uma fórmula para todas os potos que formam ésima pré imagem de p pela f p. Para mostrar que H p,q é um homemomorfismo, basta observar que ela é ijetiva e sobrejetora (H p,q (0) = 0, H p,q (1) = 1.) e estritamete crescete. 6. Sobre Curvas Γ β Mostramos que se b < b? etão a curva Γ β esta abaixo da curva Γ β? ou seja dado p (0, 1) etão x(p, b) < x(p, b? ). Como variam átomos (desitegração de medida de Lebesgue ao logo de curvas Γ β ) quado variamos β. Referêcias [1] Joh Milor, Fubii foiled: Katok s paradoxical example i measure theory, Math. Itelligecer,19, 1997, pg 30-32
TEOREMA DE BAIRE. 1. Conceitos Preliminares Exemplos de Aplicações do Teorema de Baire 5 Referências 8
TEOREMA DE BAIRE JONAS RENAN MOREIRA GOMES BOLSISTA SANTANDER-USP Sumário 1. Coceitos Prelimiares 1 2. Defiição de Espaço de Baire 2 3. Exemplos de Aplicações do Teorema de Baire 5 Referêcias 8 Esse texto
Leia maisConsiderações finais
Cosiderações fiais Bases Matemáticas Defiições prelimiares Defiição 1 Dizemos que y é uma cota superior para um cojuto X se, para todo x X é, verdade que y x. Exemplo 1 os úmeros 2, 3, π e quaisquer outros
Leia maisMedidas, integração, Teorema da Convergência Monótona e o teorema de Riesz-Markov
Medidas, itegração, Teorema da Covergêcia Moótoa e o teorema de Riesz-Markov 28 de Agosto de 2012 1 Defiições de Teoria da Medida Seja (Ω, F, ν) um espaço de medida: isto é, F é σ-álgebra sobre o cojuto
Leia maisExponenciais e Logaritmos (MAT 163) - Notas de Aulas 2 Prof Carlos Alberto S Soares
Expoeciais e Logaritmos (MAT 163) - Notas de Aulas 2 Prof Carlos Alberto S Soares 1 Prelimiares Lembremos que, dados cojutos A, B R ão vazios, uma fução de domíio A e cotradomíio B, aotada por, f : A B,
Leia maisPreliminares 1. 1 lim sup, lim inf. Medida e Integração. Departamento de Física e Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales. 8 de março de 2009.
Medida e Itegração. Departameto de Física e Matemática. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales 8 de março de 2009. 1 lim sup, lim if Prelimiares 1 Seja (x ), N, uma seqüêcia de úmeros reais, e l o limite desta
Leia maisINTEIROS DE GAUSS E INTEIROS DE EISENSTEIN Guilherme Fujiwara, São Paulo SP
Nível Avaçado. INTEIROS DE GAUSS E INTEIROS DE EISENSTEIN Guilherme Fujiwara, São Paulo SP Vamos abordar esse artigo a aritmética de dois cojutos de iteiros algébricos: os Iteiros de Gauss e os Iteiros
Leia maisAUTO AVALIAÇÃO CAPÍTULO I. 1. Assinale com V as proposições que considere verdadeiras e com F as que considere
AUTO AVALIAÇÃO CAPÍTULO I. Assiale com V as proposições que cosidere verdadeiras e com F as que cosidere falsas : a. Sedo A e B cojutos disjutos, ambos majorados, os respectivos supremos ão podem coicidir
Leia maisS E Q U Ê N C I A S E L I M I T E S. Prof. Benito Frazão Pires. Uma sequência é uma lista ordenada de números
S E Q U Ê N C I A S E L I M I T E S Prof. Beito Frazão Pires Uma sequêcia é uma lista ordeada de úmeros a, a 2,..., a,... ) deomiados termos da sequêcia: a é o primeiro termo, a 2 é o segudo termo e assim
Leia maisConjuntos Infinitos. Teorema (Cantor) Se A é conjunto qualquer, #A #P(A). Mais precisamente, qualquer
Cojutos Ifiitos Teorema (Cator) Se A é cojuto qualquer, #A #P(A). Mais precisamete, qualquer f : A P(A) ão é sobrejetora. Cosequêcia. Existe uma herarquia de cojutos ifiitos. Obs. Existe uma bijeção etre
Leia maisXIX Semana Olímpica de Matemática. Nível U. Algumas Técnicas com Funções Geratrizes. Davi Lopes
XIX Semaa Olímpica de Matemática Nível U Algumas Técicas com Fuções Geratrizes Davi Lopes O projeto da XIX Semaa Olímpica de Matemática foi patrociado por: Algumas Técicas com Fuções Geratrizes Davi Lopes
Leia maisSéquências e Séries Infinitas de Termos Constantes
Capítulo Séquêcias e Séries Ifiitas de Termos Costates.. Itrodução Neste capítulo estamos iteressados em aalisar as séries ifiitas de termos costates. Etretato, para eteder as séries ifiitas devemos ates
Leia mais1. Revisão Matemática
Sequêcias de Escalares Uma sequêcia { } diz-se uma sequêcia de Cauchy se para qualquer (depedete de ε ) tal que : ε > 0 algum K m < ε para todo K e m K Uma sequêcia { } diz-se ser limitada superiormete
Leia maisFundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Sequência Infinitas
Fudametos de Aálise Matemática Profª Aa Paula Sequêcia Ifiitas Defiição 1: Uma sequêcia umérica a 1, a 2, a 3,,a,é uma fução, defiida o cojuto dos úmeros aturais : f : f a Notação: O úmero é chamado de
Leia maisFUNÇÕES CONTÍNUAS Onofre Campos
OLIMPÍADA BRASILEIRA DE MATEMÁTICA NÍVEL III SEMANA OLÍMPICA Salvador, 19 a 26 de jaeiro de 2001 1. INTRODUÇÃO FUNÇÕES CONTÍNUAS Oofre Campos oofrecampos@bol.com.br Vamos estudar aqui uma ova classe de
Leia maisNotas de aula de Probabilidade Avançada
Notas de aula de Probabilidade Avaçada Adilso Simois (professor) Tássio Naia dos Satos (aluo) primeiro semestre de 2012 compilado 2 de abril de 2012 Notas de aula de Tássio Naia dos Satos, aluo do curso
Leia maisNúmeros primos, números compostos e o Teorema Fundamental da Aritmética
Polos Olímpicos de Treiameto Curso de Teoria dos Números - Nível 3 Carlos Gustavo Moreira Aula 4 Números primos, úmeros compostos e o Teorema Fudametal da Aritmética 1 O Teorema Fudametal da Aritmética
Leia maisAnálise Matemática I 2 o Exame
Aálise Matemática I 2 o Exame Campus da Alameda LEC, LET, LEN, LEM, LEMat, LEGM 29 de Jaeiro de 2003, 3 horas Apresete todos os cálculos e justificações relevates I. Cosidere dois subcojutos de R, A e
Leia mais(def) (def) (T é contração) (T é contração)
CAPÍTULO 5 Exercícios 5 (def) (T é cotração) a) aa Ta ( ) Ta ( 0) aa0, 0 Portato, a a aa0 (def) (def) (T é cotração) b) a3a Ta ( ) Ta ( ) TTa ( ( ) TTa ( ( 0)) (T é cotração) Ta ( ) Ta ( ) 0 aa0 Portato,
Leia maisI 01. Sequência Numérica. para a qual denotamos o valor de x em n por x n em vez de x ( n ).
IME ITA Apostila ITA I 0 Sequêcia Numérica Defiição 4..: Uma sequêcia de úmeros reais é uma fução x : para a qual deotamos o valor de x em por x em vez de x ( ). Geralmete usamos a otação ( x ). Às vezes
Leia maisProvas de Matemática Elementar - EAD. Período
Provas de Matemática Elemetar - EAD Período 01. Sérgio de Albuquerque Souza 4 de setembro de 014 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CCEN - Departameto de Matemática http://www.mat.ufpb.br/sergio 1 a Prova
Leia maisSucessões. , ou, apenas, u n. ,u n n. Casos Particulares: 1. Progressão aritmética de razão r e primeiro termo a: o seu termo geral é u n a n1r.
Sucessões Defiição: Uma sucessão de úmeros reais é uma aplicação u do cojuto dos úmeros iteiros positivos,, o cojuto dos úmeros reais,. A expressão u que associa a cada a sua imagem desiga-se por termo
Leia mais2. COMBINAÇÃO LINEAR E DEPENDÊNCIA LINEAR DE VETORES
CAPITULO II COMBINAÇÃO LINEAR E DEPENDÊNCIA LINEAR DE VETORES Acreditamos que os coceitos de Combiação Liear (CL) e de Depedêcia Liear serão melhor etedidos se forem apresetados a partir de dois vetores
Leia mais(i) (1,5 val.) Represente na forma de um intervalo ou de uma união disjunta de intervalos cada um dos conjuntos seguintes:
Istituto Superior Técico Departameto de Matemática o TESTE DE CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL I - Versão A MEAero o Sem. 0/3 0//0 Duração: h30m RESOLUÇÃO. 3,0 val. i,5 val. Represete a forma de um itervalo
Leia maisCálculo III - SMA 333. Notas de Aula
Cálculo III - SMA 333 Notas de Aula Sumário 1 Itrodução 2 2 Seqüêcias Numéricas 6 2.1 Defiição, Exemplos e Operações........................ 6 2.2 Seqüêcias Limitadas e Ilimitadas........................
Leia mais3. Seja C o conjunto dos números complexos. Defina a soma em C por
Eercícios Espaços vetoriais. Cosidere os vetores = (8 ) e = ( -) em. (a) Ecotre o comprimeto de cada vetor. (b) Seja = +. Determie o comprimeto de. Qual a relação etre seu comprimeto e a soma dos comprimetos
Leia maisSequências Reais e Seus Limites
Sequêcias Reais e Seus Limites Sumário. Itrodução....................... 2.2 Sequêcias de Números Reais............ 3.3 Exercícios........................ 8.4 Limites de Sequêcias de Números Reais......
Leia maisAlguns autores também denotam uma sequência usando parêntesis:
Capítulo 3 Sequêcias e Séries Numéricas 3. Sequêcias Numéricas Uma sequêcia umérica é uma fução real com domíio N que, a cada associa um úmero real a. Os úmeros a são chamados termos da sequêcia. É comum
Leia maisCÁLCULO I. Exibir o cálculo de algumas integrais utilizando a denição;
CÁLCULO I Prof Edilso Neri Júior Prof Adré Almeida Aula o 9: A Itegral de Riema Objetivos da Aula Deir a itegral de Riema; Exibir o cálculo de algumas itegrais utilizado a deição; Apresetar fuções que
Leia mais4 Teoria da Probabilidade
48 4 Teoria da Probabilidade Apresetam-se este capítulo coceitos de probabilidade e de estimação de fuções desidade de probabilidade ecessários ao desevolvimeto e compreesão do modelo proposto (capítulo
Leia maisInstituto de Matemática - UFRJ Análise 1 - MAA Paulo Amorim Lista 2
Istituto de Matemática - UFRJ Lista. Sejam (x ), (y ) sequêcias covergetes, com x y,. Mostre que se tem lim x lim y. Sabemos das aulas teóricas que se uma sequêcia z verifica z 0, etão lim z 0 (caso exista).
Leia maisConstrução do anel de polinômios em uma indeterminada utilizando módulos
Costrução do ael de poliômios em uma idetermiada utilizado módulos Costructio of the rig of polyomials i oe idetermiate usig modules ISSN 2316-9664 Volume 12, jul. 2018 Christia José Satos Goçalves Uiversidade
Leia maisDesigualdades Clássicas
Desigualdades Clássicas Márcio Nascimeto da Silva 9 de maio de 009 Resumo As desigualdades são de extrema importâcia as ciêcias. Sua utilização vai desde a estimativa de uma gradeza com um certo erro pré-defiido,
Leia maisNOTAS DE AULA DO PICME EM COMBINATÓRIA. Anotado por: Henrique Stagni 1 o semestre de 2016
NOTAS DE AULA DO PICME PROGRAMA DE INICIAÇÃO CIENTÍFICA E MESTRADO EM COMBINATÓRIA http://www.ime.usp.br/~tcco/picme Aotado por: Herique Stagi 1 o semestre de 2016 Coteúdo 1 Paradoxo de Baach-Tarski 1
Leia maisCAPÍTULO IV DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE
CAPÍTUO IV DESENVOVIMENTOS EM SÉRIE Série de Taylor e de Mac-auri Seja f ) uma fução real de variável real com domíio A e seja a um poto iterior desse domíio Supoha-se que a fução admite derivadas fiitas
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 12.º Ano Versão 4
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ao Versão 4 Nome: N.º Turma: Apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias. Quado, para
Leia maisMaterial Teórico - Módulo de ESTATÍSTICA. As Diferentes Médias. Primeiro Ano do Ensino Médio
Material Teórico - Módulo de ESTATÍSTICA As Diferetes Médias Primeiro Ao do Esio Médio Autor: Prof Atoio Camiha Muiz Neto Revisor: Prof Fracisco Bruo Holada Nesta aula, pausamos a discussão de Estatística
Leia maisNotas do Curso Inferência em Processos Estocásticos. 1 Estimação de máxima verossimilhança para cadeias de Markov de ordem k
Notas do Curso Iferêcia em Processos Estocásticos Prof. Atoio Galves Trascrita por Karia Yuriko Yagiuma 1 Estimação de máxima verossimilhaça para cadeias de Markov de ordem k Seja (X ) =0,1,,... uma cadeia
Leia maisAlguns autores também denotam uma sequência usando parêntesis:
Capítulo 3 Sequêcias e Séries Numéricas 3. Sequêcias Numéricas Uma sequêcia umérica é uma fução real com domíio N que, a cada associa um úmero real a. Os úmeros a são chamados termos da sequêcia. É comum
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 12.º Ano Versão 2
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ao Versão Nome: N.º Turma: Apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias. Quado, para
Leia maisO TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF
O TEOREMA ERGÓDICO DE BIRKHOFF BRUNO SANTIAGO Resumo. Neste artigo expositório discutiremos a prova clássica do teorema ergódico de Birkhoff, via o teorema ergódico maximal. Buscaremos explorar os sigificados
Leia maisCapítulo II - Sucessões e Séries de Números Reais
Capítulo II - Sucessões e Séries de Números Reais 2 Séries de úmeros reais Sabemos bem o que sigifica u 1 + u 2 + + u p = p =1 e cohecemos as propriedades desta operação - comutatividade, associatividade,
Leia maisAnálise Complexa Resolução de alguns exercícios do capítulo 4
Aálise Complexa Resolução de algus exercícios do capítulo 4. Caso de C0, 0, : Caso de C0,, + : Exercício º z z i i z + iz iz iz porque iz < i + z i +3 z. z z i i z + iz iz porque iz > iz i z 3 i 3 z..
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 12.º Ano Versão 1
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ao Versão Nome: N.º Turma: Apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias. Quado, para
Leia maisUniversidade do Estado do Amazonas
Uiversidade do Estado do Amazoas Professor Alessadro Moteiro 6 de Julho de 08 PROJETO DE EXTENSÃO Resoluções de Problemas de Aálise Real I 5º Ecotro/Parte I: Limites de Fuções 5. O Limite de uma Fução
Leia maisINSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO
INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-44 Cálculo Diferecial e Itegral II (Escola Politécica) Terceira Lista de Exercícios - Professor: Equipe de Professores 0.1. Vide Lista,
Leia mais( ) ( ) ( ) (19) O ELITE RESOLVE IME 2010 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS. MATEMÁTICA QUESTÃO 01 Sejam os conjuntos P 1
(9) 5-0 wwwelitecampiascombr O ELITE RESOLVE IME 00 MATEMÁTICA - DISCURSIVAS MATEMÁTICA QUESTÃO 0 Sejam os cojutos P, P, S e ( P S) P e ( S S) ( P P) Demostre que ( S S ) ( P P ) S tais que ( ) P S P,
Leia mais2.2. Séries de potências
Capítulo 2 Séries de Potêcias 2.. Itrodução Série de potêcias é uma série ifiita de termos variáveis. Assim, a teoria desevolvida para séries ifiitas de termos costates pode ser estedida para a aálise
Leia maisδ de L. Analogamente, sendo
Teoremas fudametais sobre sucessões Teorema das sucessões equadradas Sejam u, v e w sucessões tais que, a partir de certa ordem p, u w v lim u = lim v = L (fiito ou ão), a sucessão w também tem limite,
Leia mais1- Resolução de Sistemas Lineares.
MÉTODOS NUMÉRICOS PR EQUÇÕES DIFERENCIIS PRCIIS 1- Resolução de Sistemas Lieares. 1.1- Matrizes e Vetores. 1.2- Resolução de Sistemas Lieares de Equações lgébricas por Métodos Exatos (Diretos). 1.3- Resolução
Leia maisSéries e aplicações15
Séries e aplicações5 Gil da Costa Marques Fudametos de Matemática I 5. Sequêcias 5. Séries 5. Séries especiais 5.4 Arquimedes e a quadratura da parábola 5.5 Sobre a Covergêcia de séries 5.6 Séries de Taylor
Leia maisESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS 11º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema III Sucessões Reais
ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS º ANO DE ESCOLARIDADE DE MATEMÁTICA A Tema III Sucessões Reais Tarefa º. Desta figura, do trabalho da Olívia e da Susaa, retire duas sequêcias e imagie o processo
Leia maisAGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE MORTÁGUA
AGRUPAMENTO DE ESCOLAS DE MORTÁGUA Ficha de Trabalho Sucessões/Fuções - º ao Eames e Iterm 000-06. Cosidere uma fução f de domíio IR +. Admita que f é positiva e que o eio O é assítota do gráfico de f.
Leia maisFundamentos de Análise Matemática Profª Ana Paula. Números reais
Fudametos de Aálise Matemática Profª Aa Paula Números reais 1,, 3, cojuto dos úmeros aturais 0,1,,3, cojuto dos úmeros iteiros p q /p e q cojuto dos úmeros racioais a, a 0 a 1 a a, a e a i 0, 1,, 3, 4,
Leia maisFICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A 12.º Ano Versão 3
FICHA de AVALIAÇÃO de MATEMÁTICA A.º Ao Versão Nome: N.º Turma: Apresete o seu raciocíio de forma clara, idicado todos os cálculos que tiver de efetuar e todas as justificações ecessárias. Quado, para
Leia maisPROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 635) 2ª FASE 22 DE JULHO 2016 GRUPO I
PROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 65) ª FASE DE JULHO 016 GRUPO I 1. Sabe-se que: P ( A B ) 0, 6 P A B P A Logo, 0, + 0, P A B Como P P 0, 6 P A B 1 0,
Leia maisBÁRBARA DENICOL DO AMARAL RODRIGUEZ CINTHYA MARIA SCHNEIDER MENEGHETTI CRISTIANA ANDRADE POFFAL SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS. 1 a Edição
BÁRBARA DENICOL DO AMARAL RODRIGUEZ CINTHYA MARIA SCHNEIDER MENEGHETTI CRISTIANA ANDRADE POFFAL SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS 1 a Edição Rio Grade 2017 Uiversidade Federal do Rio Grade - FURG NOTAS DE AULA DE CÁLCULO
Leia maisUm Estudo Sobre Curlicues
Um Estudo Sobre Curlicues Ali Tahzibi 5, Bruo R. Carvalho, Dioata R. Schmidt 2, Heitor A. S. Pereira 3, Jair M. Freitas 4, Lucas A. Satos 3 Uiversidade Federal de Goiás Goiâia, GO 2 Uiversidade Federal
Leia maisAplicações lineares. Capítulo Seja T: a) Quais dos seguintes vectores estão em Im( T )? 1 i) 4. 3 iii) ii)
Capítulo Aplicações lieares Seja T: R R a multiplicação por 8 a) Quais dos seguites vectores estão em Im( T )? i) ii) 5 iii) b) Quais dos seguites vectores estão em Ker( T)? i) ii) iii) c) Qual a dimesão
Leia maisNúmeros Complexos. David zavaleta Villanueva 1
Material do miicurso a ser lecioado o III EREM-Mossoró-UERN UFRN - Uiversidade Federal do Rio Grade do Norte Edição N 0 outubro 011 Números Complexos David zavaleta Villaueva 1 1 CCET-UFRN, Natal, RN,
Leia maisn ) uma amostra aleatória da variável aleatória X.
- Distribuições amostrais Cosidere uma população de objetos dos quais estamos iteressados em estudar uma determiada característica. Quado dizemos que a população tem distribuição FX ( x ), queremos dizer
Leia maisE X A M E ª FASE, V E R S Ã O 1 P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O
Preparar o Eame 0 Matemática A E X A M E 0 4 ª FASE, V E R S Ã O P R O P O S T A D E R E S O L U Ç Ã O GRUPO I ITENS DE ESOLHA MÚLTIPLA Tem-se que A e B são idepedetes, portato, P A B P A PB Assim: 0,48
Leia mais4.2 Numeração de funções computáveis
4. Numeração de fuções computáveis 4.1 Numeração de programas 4.2 Numeração de fuções computáveis 4.3 O método da diagoal 4.4 O Teorema s-m- Teresa Galvão LEIC - Teoria da Computação I 4.1 4.1 Numeração
Leia mais= o logaritmo natural de x.
VI OLIMPÍ IEROMERIN E MTEMÁTI UNIVERSITÁRI 8 E NOVEMRO E 00 PROLEM [5 potos] Seja f ( x) log x 0 = o logaritmo atural de x efia para todo 0 f+ ( x) = f() t dt = lim f() t dt x 0 ε 0 ε Prove que o limite
Leia maisResolva os grupos do exame em folhas separadas. O uso de máquinas de calcular e telemóveis não é permitido. Não se esqueça que tudo é para justificar.
Eame em 6 de Jaeiro de 007 Cálculo ATENÇÃO: FOLHAS DE EXAME NÃO IDENTIFICADAS NÃO SERÃO COTADAS Cálculo / Eame fial 06 Jaeiro de 007 Resolva os grupos do eame em folhas separadas O uso de máquias de calcular
Leia maisCapítulo I Séries Numéricas
Capítulo I Séries Numéricas Capitulo I Séries. SÉRIES NÚMERICAS DEFINIÇÃO Sedo u, u,..., u,... uma sucessão umérica, chama-se série umérica de termo geral u à epressão que habitualmete se escreve u u...
Leia mais1. Revisão Matemática
Se x é um elemeto do cojuto Notação S: x S Especificação de um cojuto : S = xx satisfaz propriedadep Uião de dois cojutos S e T : S T Itersecção de dois cojutos S e T : S T existe ; para todo f : A B sigifica
Leia mais11 Aplicações da Integral
Aplicações da Itegral Ao itroduzirmos a Itegral Defiida vimos que ela pode ser usada para calcular áreas sob curvas. Veremos este capítulo que existem outras aplicações. Essas aplicações estedem-se aos
Leia mais5 DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE DE POTÊNCIAS
5 DESENVOLVIMENTOS EM SÉRIE DE POTÊNCIAS Na secção aterior cocluímos que uma fução aalítica um determiado poto é holomorfa uma viihaça desse poto. Iremos mostrar que o iverso é igualmete válido. Nesta
Leia maisProf. Fabrício Maciel Gomes Departamento de Engenharia Química Escola de Engenharia de Lorena EEL
Prof. Fabrício Maciel Gomes Departameto de Egeharia Química Escola de Egeharia de Lorea EEL Referêcias Bibliográficas Sistema de Avaliação Duas Provas teóricas Um Trabalho em Grupo MédiaFial 0,4 P 0,4
Leia maisLista de Exercícios #6 Assunto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação
Assuto: Propriedade dos Estimadores e Métodos de Estimação. ANPEC 08 - Questão 6 Por regulametação, a cocetração de um produto químico ão pode ultrapassar 0 ppm. Uma fábrica utiliza esse produto e sabe
Leia maisPROPOSTA DE RESOLUÇÃO DA PROVA DE MATEMÁTICA A DO ENSINO SECUNDÁRIO (CÓDIGO DA PROVA 635) 2ª FASE 22 DE JULHO 2016 GRUPO I
Associação de Professores de Matemática Cotactos: Rua Dr. João Couto,.º 7-A 1500-6 Lisboa Tel.: +51 1 716 6 90 / 1 711 0 77 Fa: +51 1 716 64 4 http://www.apm.pt email: geral@apm.pt PROPOSTA DE RESOLUÇÃO
Leia maisCálculo II Sucessões de números reais revisões
Ídice 1 Defiição e exemplos Cálculo II Sucessões de úmeros reais revisões Mestrado Itegrado em Egeharia Aeroáutica Mestrado Itegrado em Egeharia Civil Atóio Beto beto@ubi.pt Departameto de Matemática Uiversidade
Leia maisAULA Subespaço, Base e Dimensão Subespaço.
Note bem: a leitura destes apotametos ão dispesa de modo algum a leitura ateta da bibliografia pricipal da cadeira TÓPICOS Subespaço. ALA Chama-se a ateção para a importâcia do trabalho pessoal a realizar
Leia maisElementos de Análise - Verão 2001
Elemetos de Aálise - Verão 00 Lista Thomas Robert Malthus, 766-834, foi professor de Ecoomia Política em East Idia College e em seu trabalho trouxe à luz os estudos sobre diâmica populacioal. Um de seus
Leia mais1. Resolução da lista 1. Primeiro apresentaremos uma integral importante, obtida a partir da distribuição gama generalizada.
1. Resolução da lista 1. Primeiro apresetaremos uma itegral importate, obtida a partir da distribuição gama geeralizada. 1) J x a 1 e bxc dx Γa/c), a, b, c >. cba/c Demostração: fazedo a substituição y
Leia maisSumário. 2 Índice Remissivo 11
i Sumário 1 Esperaça de uma Variável Aleatória 1 1.1 Variáveis aleatórias idepedetes........................... 1 1.2 Esperaça matemática................................. 1 1.3 Esperaça de uma Fução de
Leia maisMAE Introdução à Probabilidade e Estatística II Resolução Lista 2
MAE 9 - Itrodução à Probabilidade e Estatística II Resolução Lista Professor: Pedro Moretti Exercício 1 Deotado por Y a variável aleatória que represeta o comprimeto dos cilidros de aço, temos que Y N3,
Leia mais6.1 Estimativa de uma média populacional: grandes amostras. Definição: Um estimador é uma característica amostral (como a média amostral
6 ESTIMAÇÃO 6.1 Estimativa de uma média populacioal: grades amostras Defiição: Um estimador é uma característica amostral (como a média amostral x ) utilizada para obter uma aproximação de um parâmetro
Leia mais( ) III) ESPAÇOS VETORIAIS REAIS. Definição: Denomina-se espaço vetorial sobre os Reais (R) ao conjunto não vazio. 1) Existe uma adição:
Elemetos de Álgebra Liear ESPAÇOS VETORIAIS REAIS III) ESPAÇOS VETORIAIS REAIS Defiição: Deomia-se espaço vetorial sobre os Reais (R) ao cojuto ão vazio + : V V V ) Existe uma adição: com as seguites propriedades:
Leia maisNumeração de funções computáveis. Nota
Numeração de fuções computáveis 4.1 Nota Os presetes acetatos foram baseados quase a sua totalidade os acetatos realizados pela Professora Teresa Galvão da Uiversidade de Porto para a cadeira Teoria da
Leia maisUMA INTRODUÇÃO À TEORIA DE PONTOS CRÍTICOS
UMA INTRODUÇÃO À TEORIA DE PONTOS CRÍTICOS INTRODUÇÃO Carlos Herique Togo e Atôio Carlos Nogueira Hoje em dia, um dos mais produtivos e atraetes ramos da Matemática é a Teoria de Sigularidades A Teoria
Leia maisInduzindo a um bom entendimento do Princípio da Indução Finita
Iduzido a um bom etedimeto do Pricípio da Idução Fiita Jamil Ferreira (Apresetado a VI Ecotro Capixaba de Educação Matemática e utilizado como otas de aula para disciplias itrodutórias do curso de matemática)
Leia maisGRAFOS E CONTAGEM DUPLA Carlos Yuzo Shine, Colégio Etapa
GRAFOS E CONTAGEM DUPLA Carlos Yuzo Shie, Colégio Etapa Nível Itermediário.. GRAFOS. O que são e para que servem grafos? Defie-se grafo como o par (V, A) ode V = {v, v,...,v } é um cojuto de vértices e
Leia maisUNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ NOTAS DE AULA PROFa. SONIA MÜLLER
PROBABILIDADE. DEFINIÇÕES BÁSICAS:.- INTRODUÇÃO: UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ NOTAS DE AULA PROFa. SONIA MÜLLER PROBABILIDADE POPULAÇÃO AMOSTRA ESTATÍSTICA Uiverso : Ω ou U Vazio: Uião: A B Itersecção:
Leia maisDessa forma, concluímos que n deve ser ímpar e, como 120 é par, então essa sequência não possui termo central.
Resoluções das atividades adicioais Capítulo Grupo A. a) a 9, a 7, a 8, a e a 79. b) a, a, a, a e a.. a) a, a, a, a 8 e a 6. 9 b) a, a 6, a, a 9 e a.. Se a 9 e a k são equidistates dos extremos, etão existe
Leia maisSolução Comentada Prova de Matemática
0 questões. Sejam a, b e c os três meores úmeros iteiros positivos, tais que 5a = 75b = 00c. Assiale com V (verdadeiro) ou F (falso) as opções abaixo. ( ) A soma a b c é igual a 9 ( ) A soma a b c é igual
Leia maisProva Parcial 1 Matemática Discreta para Computação Aluno(a): Data: 18/12/2012
Prova Parcial Aluo(a): Data: 8/2/202. (,5p) Use regras de iferêcia para provar que os argumetos são válidos. (usar os símbolos proposicioais idicados): A Rússia era uma potêcia superior, e ou a Fraça ão
Leia maisIndependência e espaços produtos
Capítulo 3 Idepedêcia e espaços produtos 3.1 Idepedêcia Nossa ituição os diz que quado jogamos duas moedas, o resultado de cada uma delas ão deve depeder um do outro. Dessa forma, a probabilidade de obtermos
Leia maisAMOSTRAGEM ALEATÓRIA DISTRIBUIÇÕES POR AMOSTRAGEM
6 AMOSTRAGEM ALEATÓRIA DISTRIBUIÇÕES POR AMOSTRAGEM Quado se pretede estudar uma determiada população, aalisam-se certas características ou variáveis dessa população. Essas variáveis poderão ser discretas
Leia maisBases e dimensão. Roberto Imbuzeiro Oliveira. 22 de Março de 2012
Bases e dimesão Roberto Imbuzeiro Oliveira 22 de Março de 2012 1 Defiições básicas Nestas otas X é espaço vetorial com mais de um elemeto sobre o corpo F {R, C}. Uma base (ão ecessariamete LI) de X é um
Leia maisCapítulo 3. Sucessões e Séries Geométricas
Capítulo 3 Sucessões e Séries Geométricas SUMÁRIO Defiição de sucessão Mootoia de sucessões Sucessões itadas (majoradas e mioradas) Limites de sucessões Sucessões covergetes e divergetes Resultados sobre
Leia maisMaterial Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Soma de Elementos em Linhas, Colunas e Diagonais. Segundo Ano do Ensino Médio
Material Teórico - Módulo Biômio de Newto e Triagulo de Pascal Soma de Elemetos em Lihas, Coluas e Diagoais Segudo Ao do Esio Médio Autor: Prof Fabrício Siqueira Beevides Revisor: Prof Atoio Camiha M Neto
Leia maisb) Fabrico de peças cilíndricas Capítulo 5 - Distribuições conjuntas de probabilidades e complementos X - comprimento da peça Y - diâmetro da peça
Capítulo 5 - Distribuições cojutas de probabilidades e complemetos 5.1 Duas variáveis aleatórias discretas. Distribuições cojutas, margiais e codicioais. Idepedêcia Em relação a uma mesma eperiêcia podem
Leia maisProbabilidade II Aula 12
Coteúdo Probabilidade II Aula Juho de 009 Desigualdade de Marov Desigualdade de Jese Lei Fraca dos Grades Números Môica Barros, D.Sc. Itrodução A variâcia de uma variável aleatória mede a dispersão em
Leia maisMatemática E Extensivo V. 1
Extesivo V. 0) a) r b) r c) r / d) r 7 0) A 0) B P.A. 7,,,... r a + ( ). a +. + 69 a 5 P.A. (r, r, r ) r ( r + r) 6r r r r 70 Exercícios 05) a 0 98 a a a 06) E 07) B 08) B 7 0 0; 8? P.A. ( 7, 65, 58,...)
Leia maisEscola Secundária com 3º ciclo D. Dinis 11º Ano de Matemática A Tema III Sucessões Reais. TPC nº 10 (entregar no dia 6 de Maio de 2011) 1ª Parte
Escola Secudária com º ciclo D. Diis º Ao de Matemática A Tema III Sucessões Reais TPC º 0 (etregar o dia 6 de Maio de 0) ª Parte As cico questões deste grupo são de escolha múltipla. Para cada uma delas
Leia maisMatemática. B) Determine a equação da reta que contém a diagonal BD. C) Encontre as coordenadas do ponto de interseção das diagonais AC e BD.
Matemática 0. Um losago do plao cartesiao oxy tem vértices A(0,0), B(,0), C(,) e D(,). A) Determie a equação da reta que cotém a diagoal AC. B) Determie a equação da reta que cotém a diagoal BD. C) Ecotre
Leia maisSucessão ou Sequência. Sucessão ou seqüência é todo conjunto que consideramos os elementos dispostos em certa ordem. janeiro,fevereiro,...
Curso Metor www.cursometor.wordpress.com Sucessão ou Sequêcia Defiição Sucessão ou seqüêcia é todo cojuto que cosideramos os elemetos dispostos em certa ordem. jaeiro,fevereiro,...,dezembro Exemplo : Exemplo
Leia maisMaterial Teórico - Módulo Binômio de Newton e Triangulo de Pascal. Soma de Elementos em Linhas, Colunas e Diagonais. Segundo Ano do Ensino Médio
Material Teórico - Módulo Biômio de Newto e Triagulo de Pascal Soma de Elemetos em Lihas, Coluas e Diagoais Segudo Ao do Esio Médio Autor: Prof Fabrício Siqueira Beevides Revisor: Prof Atoio Camiha M Neto
Leia maisMATEMÁTICA II. Profa. Dra. Amanda Liz Pacífico Manfrim Perticarrari
MATEMÁTICA II Profa. Dra. Amada Liz Pacífico Mafrim Perticarrari amada@fcav.uesp.br O PROBLEMA DA ÁREA O PROBLEMA DA ÁREA Ecotre a área da região que está sob a curva y = f x de a até b. S = x, y a x b,
Leia mais