INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO

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1 INSTITUTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSTICA UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO MAT-44 Cálculo Diferecial e Itegral II (Escola Politécica) Terceira Lista de Exercícios - Professor: Equipe de Professores 0.1. Vide Lista, Seção 4. BONS ESTUDOS! POLINÔMIOS DE TAYLOR 1. SUPERFÍCIES DE NÍVEL, PLANOS TANGENTES E DERIVADAS DIRECIONAIS 1.1. Em cada caso, esboce a superfície de ível c da fução F : R R: a. F(x, y, z) = x + y + z e c = 1 b. F(x, y, z) = x e y + z e c = 0 c. F(x, y, z) = x + y z e c = 0 d. F(x, y, z) = x + y z e c = 1 e. F(x, y, z) = x + y z e c = 1 f. F(x, y, z) = x y e c = 1 g. F(x, y, z) = x y + z e c = 1 Alguma dessas superfícies é o gráfico de uma fução f : D R R? 1.. Ache os potos do hiperbolóide x y + z = 1 os quais a reta ormal é paralela à reta que ue os potos (, 1, 0) e (,, 6). 1.. Seja a > 0 e cosidere o plao tagete à superfície xyz = a um poto do primeiro octate. Mostre que o tetraedro formado por este plao e os plaos coordeados tem volume idepedete do poto de tagêcia Mostre que o elipsóide x + y + z = 9 e a esfera x + y + z 8x 6y 8z + 4 = 0 se tageciam o poto (1, 1, ) (isto é, que elas têm o mesmo plao tagete este poto). 1.. Ache a reta tagete à iterseção do gráfico de f (x, y) = x + y + com o cilidro x + y = o poto (1, 1, 4) Sejam f : R R e γ : R R, difereciáveis com f (1, 0) = (, 1) e γ (t) = (0, 0, 0), para todo t R. Supoha que a imagem de γ esteja cotida a iterseção do gráfico de f com a superfície z + x + yz + xy = 0. Sabedo que (1, 0, 1) a imagem de γ, determie uma equação para a reta tagete a γ este poto Determie a equação da esfera que tagecia a superfície (x 1) + os potos (,, ) e (,, 0). (y ) 4 (z 1) = Supoha que sobre um certo aberto A R o potecial elétrico V : A R é dado por V(x, y, z) = x xy + xyz. a. Ache a taxa de variação do potecial em P = (, 4, ) a direção do vetor v = i + j k. b. Qual a direção e setido em que a taxa do potecial elétrico, em P, é a maior possível? E a meor possível? c. Qual o valor dessa taxa máxima?. CLASSIFICAÇÃO DE PONTOS CRÍTICOS EM ABERTOS DE R.1. Determie os potos críticos das fuções abaixo e classifique-os: a. z = x + xy + y + 10x 9y + 11 b. z = x y c. z = l(x + 4y x + 7) d. z = x y e. z = (x x )(y y ) f. z = xye x y 1

2 .. Determie os valores de a para os quais a fução f (x, y) = ax 4 + y ax y a. teha exatamete um poto de sela e dois potos de míimo local; b. teha exatamete dois potos de sela e um míimo local. c. Existe a R para o qual a fução teha ao meos um máximo local? d. Existe a R para o qual a fução teha mais de potos críticos?. MÁXIMOS E MÍNIMOS EM CONJUNTOS COMPACTOS.1. Esboce a região D e determie o máximo e o míimo absolutos da fução f : D R quado a. f (x, y) = x + 4y e D é o triâgulo (com iterior e lados iclusos) cujos vértices são (0, 0), (4, 0) e (4, ); b. f (x, y) = xye x y e D = { (x, y) R : x + y, x 0, y 0 } ; c. f (x, y) = xy e D = { (x, y) R : x y = 1, x [1, ] } ; d. f (x, y) = x + y 4 e D = { (x, y) R : x + y = 1, x [0, 1 4 ], y 0}. Você pode usar multiplicadores de Lagrage (apeas) para resolver os ites (c) e (d)?.. Determie o valor máximo e o valor míimo da fução f sujeita às restrições explicitadas: a. f (x, y) = xy, sujeito a x + y + 6xy 64 = 0; b. f (x, y, z) = xyz, sujeito a x + y + z = 6; c. f (x, y, z) = x y z, sujeito a x + y + z = 1... Determie o valor máximo e o valor míimo de f a região R sedo a. f (x, y, z) = x x + y 4y + z 6z e R = { (x, y, z) R : x + y + z 6 } ; b. f (x, y, z) = x + y + z 4xy 4z + x e R = { (x, y, z) R : x + y + z 4 e x, y, z 0 }..4. Ecotre os potos de máximo e de míimo de f em C, sem parametrizar C, quado a. f (x, y) = x y e C = { (x, y) R : x + y = 1}; b. f (x, y, z) = x z e C = { (x, y, z) R : x + y = z e z = y } ; c. f (x, y, z) = x + y + z e C = { (x, y, z) R : x + y = 1 e 4x + 4y = z } ; d. f (x, y, z) = x + y + z e C = { (x, y, z) R : x + y + z = 1 e x + y + z = 1 }. Resolva também os ites a. e b. acima parametrizado C... Ecotre o máximo e o míimo de f (x, y, z) = x + y z o compacto C. a. C = { (x, y, z) R : 4x + y z + 1 = 0, z > 0 e z = x + y + 4 } ; b. C = { (x, y, z) R : 4x + y z + 1 = 0, z > 0 e z x + y + 4 } ;.6. Seja f (x, y, z) = x + y + z 4xy 4z. Determie o máximo e o míimo de f em: a. { (x, y, z) R : x + y + z = 4 } ; b. { (x, y, z) R : x + y + z 4 } ; c. { (x, y, z) R : x + y + z = 4 e z 1 } ; d. { (x, y, z) R : x + y + z 4 e z 1 } ; e. { (x, y, z) R : x + y + z = 4 e z x + y }. 4. MÁXIMOS E MÍNIMOS EM CONJUNTOS ARBITRÁRIOS CADA UM DOS PROBLEMAS ABAIXO TEM SOLUÇÃO. JUSTIFIQUE SUA A EXISTÊNCIA E, EM SEGUIDA, DETERMINE-A Ecotre os potos da elipse x + xy + y = mais próximos de (0, 0). 4.. Qual o poto do plao x + y z + 4 = 0 que está mais próximo do poto (1, 1, 1)? 4.. Determie o maior produto de úmeros reais positivos cuja soma é 100. Exiba tais úmeros Sedo α, β e γ os âgulos de um triâgulo, calcule o valor máximo de si α + si β + si γ. MAT 44 (017) de 6

3 4.. Determie as dimesões do paralelepípedo de volume máximo, com faces paralelas aos plaos coordeados, iscrito o elipsóide 9x + 6y + 4z = Determie as dimesões do paralelepípedo de volume máximo, com faces paralelas aos plaos coordeados, de modo que uma das faces está cotida o plao z = 0 e a correspodete face oposta tem os seus vértices o parabolóide z = 4 x y, z > Um petágoo com 1cm de perímetro é costruído colocado-se um triâgulo isósceles sobre um retâgulo. Detre esses petágoos, determie as medidas dos lados daquele que tem área máxima Determie a equação do plao que passa por (,, 1) e que delimita o primeiro octate o tetraedro de meor volume Detre todos os plaos que são tagetes à superfície xy z = 1 ecotre aqueles mais distates da origem Dê as dimesões da caixa retagular sem tampa de maior volume que pode ser costruída com 7cm de papelão Um quarto de armazeameto aquecido tem a forma de uma caixa retagular e tem o volume de 1000 pés cúbicos. Como o ar quete sobe, a perda de calor por uidade de área pelo teto é cico vezes maior que a perda de calor pelo chão. A perda de calor pelas quatro paredes é três vezes maior que a perda de calor pelo chão. Determie as dimesões do quarto que miimiza a perda de calor e, portato, miimiza o custo do aquecimeto.. MÁXIMOS E MÍNIMOS - CÁLCULO 1 CÁLCULO.1. É impossível para uma fução cotíua de R em R ter máximos locais e ehum míimo local. Por quê? O mesmo ão ocorre com uma fução f : R R. Verifique que f (x, y) = (x 1) (x y x 1) tem exatamete dois potos críticos, ambos máximos locais. Faça um esboço de uma superfície com tais características e tete compreeder como isso ocorre... Mostre que a fução f (x, y) = x + y (1 + x) possui um úico poto crítico, que este poto crítico é um míimo local, e que f ão possui poto de míimo global... Seja f : R R dada por f (x, y) = ax + by + cxy + dx + ey + l, ode a, b, c, d, e, l são costates ão todas ulas. Prove que se (x 0, y 0 ) for um extremate local de f, etão será um extremate global de f. Dica. Dados (h, k) R, observe que a fução g(t) = f (x 0 + th, y 0 + tk) é uma parábola. 6. COMPLEMENTARES E APLICAÇÕES (SÓ DEPOIS DE FAZER TUDO, OK?) 6.1. (Método dos Míimos Quadrados). Fixado N,, sejam P i = (x i, y i ) R, com 1 i, tais que x i = x j, se i = j. Estes potos represetam os resultados de algum experimeto, e gostaríamos de ecotrar uma fução liear afim f : R R, f (x) = ax + b para a, b R a serem determiados, tal que o gráfico de f coteha P i para 1 i. Nem sempre existe uma tal fução; com efeito, o sistema liear as variáveis a e b dado por ax i + b = y i, 1 i, é, em geral, impossível se. O objetivo deste exercício é verificar que é possível ecotrar uma solução aproximada deste sistema, o setido de miimizar o erro quadrático médio, dado por E(a, b) = [y i (ax i + b)]. MAT 44 (017) de 6

4 Mostre que E : R R assim defiida tem um úico poto de míimo global e ecotre tal poto. 6.. (Modelagem de Portfolios). Aqui daremos um roteiro para a solução de dois problemas relacioados a ivestimeto. Supoha que um ivestidor tem opções de ativos e pode escolher livremete um percetual de seu capital para aplicar em cada um deles. Tal escolha é chamada de um portfolio. O modelo assume que o ivestidor é averso a riscos, ou seja, etre dois ativos com um mesmo retoro médio ele vai preferir sempre o de meor risco. O valores de retoro médio (r i ) e risco/volatilidade/desvio padrão (σ i ) de cada ativo são tipicamete obtidos a partir de sua série histórica. Por comodidade escrevemos os vetores r = (r 1,..., r ) e σ = (σ 1,..., σ ). Se deotamos por ω = (ω 1,..., ω ) o vetor (de pesos) tal que ω i é o percetual de capital que o ivestidor aplica o i-ésimo ativo, temos que o retoro esperado desse portfolio é R p (ω) = ω, r. Além disso, se ρ = (ρ ij ) é matriz de correlação etre os retoros dos ativos, temos que a variâcia do retoro deste portfolio é σ p = ( ) 1 ω i ω j σ i σ j ρ ij. i,j=1 As pergutas aturais que surgem são: (i) Fixado um risco σ p determie ω tal que R p (ω) seja máximo. (ii) Fixado um retoro R p determie ω tal que σ p (ω) seja míimo. Ambas as pergutas podem ser reformuladas como problemas de máximos ou míimos codicioados, já que as coordeadas de ω devem satisfazer ω i = 1 (um hiperplao em R ) e temos que R p ou σ p é costate. Assim os problemas acima se reescrevem como (i) Dado um risco σ p > 0 arbitrário, (ii) Dado um retoro R p, maximize sujeito a miimize sujeito a R p (ω) ω i = 1 ω i 0, i = 1,..., ( ) 1 ω i ω j σ i σ j ρ ij = σ p. i,j=1 σ p (ω) ω i = 1 ω i 0, i = 1,..., ω, r = R p. Explicite as codições de Lagrage que um poto crítico deve satisfazer. O cojuto dos pares (σ p, R p ) para os quais o problema admite solução determia uma hipérbole, chamada Markowitz bullet. Você cosegue determiar uma expressão para essa hipérbole? 6.. Seja Q : R R uma forma quadrática, i.e. Q : x T x, x ode, é o produto itero usual de R e T : R R é um operador auto-adjuto. Seja g : R R dada por x x, x, de modo que a superfície de ível 1 de g coicide com a esfera uitária cetrada a origem de R, S 1. Mostre que: (i) Q tem potos de máximo e míimo em S 1 ; (ii) todos os potos de máximo e de míimo de Q em S 1 são auto-vetores de T; (iii) os valores máximo e míimo de Q em S 1 são, respectivamete, o maior e o meor auto-valor de T. MAT 44 (017) 4 de 6

5 Observação 6.1. Algumas aplicações deste exercício: (i) a Mecâica dos Meios Cotíuos, as chamadas tesões pricipais em um poto (i.e. os auto-valores do tesor das tesões) são tais que a maior tesão pricipal é a tesão ormal máxima e a meor tesão pricipal é a tesão ormal míima o poto em questão; (ii) aalogamete, os mometos pricipais de iércia de um corpo rígido (i.e. os auto-valores do tesor de iércia) com relação a um dado poto de referêcia são tais que o maior mometo pricipal correspode ao mometo de iércia máximo e o meor mometo pricipal correspode ao mometo de iércia míimo em relação a eixos que passam pelo poto em questão Use o exercício aterior para mostrar que todo operador auto-adjuto R R admite uma base ortoormal que o diagoaliza. 6.. Sejam x 0 R e f : R R dada por x x x 0, ode deota a orma euclidiaa. Mostre que f é derivável o complemetar de {x 0 } e que, x R \ {x 0 }, f (x) = x x 0 x x Sejam X R aberto, g : X R de classe C 1 e c R um valor regular de g, i.e. tal que o gradiete de g ão se aule a superfície de ível c de g, S c (g). Seja x 0 R um poto fora de S c (g) e f : R R dada por x x x 0. Aplique o exercício aterior e o teorema dos multiplicadores de Lagrage para cocluir que, se x 1 S c (g) for poto de máximo ou de míimo local da restrição de f a S c (g), etão o segmeto que liga x 1 a x 0 é ormal a S c (g) em x 1. Isso ocorre, em particular, se x 1 S c (g) realizar a distâcia de S c (g) a x 0, i.e se x 0 x 1 = mi{ x 0 x : x S c (g)} Sejam X R aberto, g : X R de classe C 1 e c R valor regular de g. Sejam x 0, x 1 R tais que x 0 = x 1, x 0 / S c (g) e x 1 / S c (g), e f : R R dada por x x x 0 + x x 1. (1) Mostre que f é derivável em R \ {x 0, x 1 } e calcule o seu campo gradiete. () Aplique o item aterior e o teorema dos multiplicadores de Lagrage para cocluir que, se x S c (g) for poto crítico da restrição de f a S c (g), etão o plao gerado pelos segmetos [x 0, x ] e [x 1, x ] cotém a reta ormal a S c (g) em x e que os âgulos formados por estes segmetos com a ormal são cogruetes. Isso prova, em particular, a propriedade reflexiva das elipses: se x 0 e x 1 forem os focos de uma elipse S, etão x x 0 + x x 1 é costate em S, logo todo poto de S é poto de míimo da restrição de f a S, o que implica que, para todo x S, os segmetos que ligam x aos focos da elipse formam com a ormal a S em x âgulos cogruetes; outras palavras, se um raio de luz for emitido por um dos focos e se refletir a elipse, o raio refletido passará pelo outro foco. Essa propriedade é explorada, por exemplo, a costrução de whisper chambers e de refletores elipsoidais, usados em teatros. RESPOSTAS 1.1 Apeas a superfície do item a.. 1. ±(,, ). 1. X = (1, 1, 4) + λ( 1, 1, 0), λ R. 1.6 X = (1, 0, 1) + λ(, 9, ), λ R. 1.7 (x ) + (y ) + (z 1) = 1.8 a. ; b. (8, 6, 1); c a. poto de mí: (, ); b. potos de mí: (0, λ) e (λ, 0) com λ R; c. poto de mí: ( 1, 0); d. potos de sela: (0, λ) e (λ, 0) com λ R; e. potos de sela: (0, 0), (, 0), (0, ), (, ), poto de máx:(1, 1); f. potos de mí: ±( 1, 1 ), poto de sela: (0, 0), potos de máx: ±( 1 1, ).. a. a > 0; b. a < 0; c. ão existe; d. a = 0..1 a. valor mí: f (4, 0) = 7, valor máx: f (4, ) = 1; b. valor mí: f ( 1, 1 ) = 1 e, valor máx: f (x, 0) = f (0, y) = 0, com x [, 0] e y [0, ]; c. valor mí: f (, ) =, valor máx: f (, ) = ; d. valor mí: f ( 1 4, 1 4 ) = 1 ( + 1, 16) valor máx: f(0,1)= 1.. a. valor mí: 16, valor máx: 4; b. valor mí:, valor máx: ; MAT 44 (017) de 6

6 1 c. valor mí: 0, valor máx: 7 ;. a. valor mí: 14, valor máx: 11; b. valor mí: 11 4, valor máx: 8..4 a. potos de mí: ±(, 1 ), potos de máx: ±(, 1 ); b. poto de mí: ( 1, 1 +, + 4 ), poto de máx: ( 1, 1, 4 ); c. potos de mí: (0, 1, ) e (1, 0, ), poto de máx: ( 1, 1, 4 ); d. potos de mí: (,, 1 ), (, 1, ) e ( 1,, ), potos de máx: (0, 0, 1), (0, 1, 0) e (1, 0, 0).. a. valor mí: , valor máx: ; b. valor mí: , valor máx: 1..6 a. potos de mí: ( 4, 4, ) e ( 4, 4, ), poto de máx: (0, 0, ); b. os mesmos que em a.; c. potos de mí: ( 4, 4, ) e ( 4, 4, ), potos de máx: ( 1, 1, 1 ) e ( 1, 1, 1 ); d. os mesmos que em c.; e. poto de mí: ( 4, 4, ), potos de máx: ( 1 ± 1, 1 1, ). 4.1 (1, 1) e ( 1, 1); 4. (0, 1, ) = = = Os vértices são. ( ±, ± 1, ± ). 4.6 Os vértices são (±1, ±1, 0) e (±1, ±1, ) ( ), ( ) e 4( ). 4.8 x + y + z 6 = / x + 9/10 y + 9/10 z = ; / x 9/10 y + 9/10 z = ; / x + 9/10 y 9/10 z = e / x 9/10 y 9/10 z = base: cm cm, altura 1, cm largura, profudidade e altura iguais a 10 pés. MAT 44 (017) 6 de 6