CAPÍTULO VI MOMENTOS ESTÁTICOS, BARICENTROS E MOMENTOS DE INÉRCIA

Transcrição

1 52 CPÍTULO VI MOMENTOS ESTÁTICOS, BRICENTROS E MOMENTOS DE INÉRCI I.MOMENTOS ESTÁTICOS Mometo Estático de um elemeto de superfície, em relação a um eio, situado o mesmo plao que a superfície cosiderada, é o produto da área do elemeto pela sua distâcia ao eio cosiderado. Sejam: d - elemeto de área compoete da superfície e - coordeadas deste elemeto em relação ao sistema de eios s =. d s =. d Mometo Estático de uma superfície, em relação a um eio, situado o mesmo plao que a superfície cosiderada, é a itegral dos mometos estáticos de todos os elemetos de superfície, cotidos a superfície fiita. S =. d S =. d II. DETERMINÇÃO DO BRICENTRO DE SUPERFÍCIE utilização dos coceitos de mometo estático se dá o cálculo da posição do cetro de gravidade de figuras plaas. Seja: G - baricetro da superfície com coordeadas à determiar (G; G)

2 53 por defiição: S =. d se o baricetro da superfície fosse cohecido poderíamos calcular o mometo estático desta superfície pela defiição: S = G. G = S ou como (área total) pode ser calculado pela soma dos elemetos de área que a costituem: = d etão : G =. d d aalogamete: G =. d d O cetro de gravidade de uma superfície é o poto por ode passam todas as retas do plao da superfície, em relação as quais é ulo o mometo estático. Para algumas figuras é obvia a posição do cetro de gravidade; assim, se a figura é simétrica, o cetro de gravidade coicide com o cetro geométrico da figura. Nos casos mais comus, quado a superfície em estudo for a seção trasversal de um elemeto estrutural, ormalmete seções costituidas por elemetos de área cohecidos (perfilados), podemos substituir as equações a itegral por seu similar que é o somatório, e as epressões ficam: G = i. i i ou G = i. i i III. MOMENTO DE INÉRCI

3 54 Mometo de iércia de um elemeto de superfície, em relação a um eio de seu plao, é o produto da área deste elemeto pelo quadrado de sua distâcia ao eio cosiderado. j = 2. d j = 2. d Mometo de iércia de uma superfície em relação a um eio é a soma dos mometos de iércia em relação ao mesmo eio dos elemetos de área que a costituem. 2 = d 2. ou = d. IV. TRNSLÇÃO DE EIXOS (TEOREM DE STEINER) Este teorema os permite relacioar mometos de iércia em relação a eios quaisquer com mometos de iércia relativos a eios baricêtricos, desde que eles sejam paralelos. = G +.d2 = G +.d2

4 55 V. DECOMPOSIÇÃO DE SUPERFÍCIES O mometo de iércia de uma superfície é a soma dos mometos de iércia das diversas superfícies as quais ela pode ser decomposta.isto evita, muitas vezes, a ecessidade de itegrações,desde que se decompoha a superfície dada em figuras geométricas básicas tais como retâgulos, círculos, etc, para os quais já se cohecem previamete o valor dos mometos de iércia. VI.RIO DE GIRÇÃO Sedo o mometo de iércia de uma superfície, de área, em relação a um eio, etão: i=/ é, por defiição, o raio de giração, relativamete a este eio. VII. EIXOS E MOMENTOS PRINCIPIS CENTRIS DE INÉRCI Vimos que o Mometo de Iércia de uma área muda com a mudaça do eio em que o mesmo é calculado.deomia-se EIXOS PRINCIPIS CENTRIS DE INÉRCI os eios que passam pelo baricetro da área e em relação aos quais o Mometo de Iércia admite valores etremos (máimo e míimo). Com o objetivo de projetar de forma mais racioal possível, os iteressa cohecer os eios em relação aos quais a peça estrutural apreseta maior e meor Mometo de Iércia, assim como o valor destes Mometos de Iércia. O estudo da variação desta gradeza os permite demostrar e cocluir que: -Os EIXOS PRINCIPIS CENTRIS DE INÉRCI são ortogoais. -Se a área apresetar 2 (dois) eios de simetria os eios baricêtricos horizotal e vertical serão os EIXOS PRINCIPIS CENTRIS DE INÉRCI. -Se a área apresetar somete (um) eio de simetria este eio é um EIXO PRINCIPL CENTL DE INÉRCI o outro eio é perpedicular a ele passado pelo baricetro. EXERCÍCIOS:. Determiar a posição do cetro de gravidade das figuras abaio (medidas em cm): a. b.

5 56 R: XG = 5,00 R: XG = 6,00 Y G = 9,66 Y G = 9,7 c. d. R: Y G = 2,60 R: Y G = 27 X G = 6,57 X G = Determiar o mometo de iércia das figuras em relação aos eios baricêtricos horizotal e vertical. (medidas em cm) a. b.

6 57 R: = 3.54,33 cm4 R: = 553 cm4 =.69,33 cm4 = 279,08 cm4 c. d. R: = 687,65 cm4 R: =.372,29 cm4 = 207,33 cm 4 =.050,27 cm 4 TBELS:

7 58 =. =. G =. =. G 2 2 =. =. 2 2 G =. =. G =. 3 2 =. =. G G R = = π. 4 4