Análise de Tensões e Deformações

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1 RES MAT XI 8.0 Variação da tesão com a orietação do plao da seção. Nos capítulos precedetes apredemos a computar os valores das tesões alcaçadas em um certo poto de uma dada seção de uma viga ou barra submetida a variados tipos de esforços solicitates e suas combiações. Tais tesões são calculadas o plao da seção. Cabe idagar: - em outros plaos, que ão o da seção trasversal, quais seriam os valores atigidos pelas compoetes da tesão aqueles potos? 8.1 Estado Duplo de Tesões. Iicialmete estudaremos o caso mais simples (porém muito comum) de potos submetidos a um estado duplo (ou plao) de tesões (quado σ z = z = z = 0), sedo cohecidas as tesões: σ, σ e =. σ σ σ t σ d t σ ds t σ d dz θ t ds dz θ σ ds dz z dz d z σ σ d dz d dz (a) (b) (c) σ d dz Fig Variação da tesão com a orietação do plao da seção. (a) Estado duplo de tesões; (b) tesões em um plao icliado; (c) forças atuado em um elemeto prismático. Supoha um elemeto ifiitesimal submetido a um estado plao de tesões, como idicado a Fig (a) (ode todas as tesões foram supostas positivas). Em um plao qualquer (que tem como orietação a ormal ), formado um âgulo θ com o plao (que tem como ormal o eio ), as tesões reiates serão desigadas como: σ e t - Fig (b). Computado as forças reiates as faces do elemeto prismático em referêcia, pode-se cocluir, por seu equilíbrio as direções ormal () e tagecial (t) ao plao qualquer (θ) (Fig c forças de massa de origem gravitacioal ou de iércia, proporcioais ao volume do elemeto, são de ordem desprezível): (ΣF = 0) σ ds dz = σ d dz cos θ + σ d dz se θ + d dz se θ + d dz cos θ Como = e, cosiderado que cos θ = d/ds e se θ = d/ds, obteremos: σ = σ cos θ + σ se θ + se θ cos θ... (8.1.1) Pelo equilíbrio das forças a direção trasversal (t), da mesma forma, obteremos: t = - (σ - σ ) se θ cos θ + ( cos θ - se θ)... (8.1.) Como: cos θ = ½ (1 + cosθ); se θ = ½ (1 - cosθ); seθ = seθ cosθ e cosθ = cos θ - se θ, 1

2 obtemos e Aálise de Tesões e Deformações σ = ½ (σ + σ ) + ½ (σ - σ ) cos θ + se θ...(8.1.3) t = - ½ (σ - σ ) se θ + cos θ...(8.1.4) (Observe os casos particulares quado θ = 0 e θ = 90º, que idicam as tesões dadas os plaos vertical, e horizotal, respectivamete). 8. Tesões Etremas. Tesões Pricipais. Relevate será computar os valores etremos alcaçados pelas compoetes da tesão. Para tal, igualaremos a zero as derivadas, em relação à variável θ, das compoetes da tesão o plao geérico: - de (8.1.3)... dσ /dθ = - ½ (σ - σ ) se θ () + cos θ () = 0, 0 obtedo-se tg θ p = / ½ (σ - σ ).(8..1) equação que idica a orietação dos chamados plaos pricipais ode as tesões ormais são etremas (máima e míima), plaos esses que serão perpediculares etre si (eistem dois valores do âgulo θ p, defasados de 180º, que admitem a mesma tagete, portato os correspodetes dois valores de θ p estarão defasados de 90º). Substituido o valor dado por (8..1) a equação (8.1.4) verifica-se que as compoetes tageciais das tesões ocorretes os plaos pricipais serão ulas. Substituido o valor dado por (8..1) a equação (8.1.3), obteremos os valores das tesões pricipais (tesões ormais etremas, máima e míima): σ p1 = ½ (σ + σ ) + [½ (σ - σ )] + ( )...(8..) σ p = ½ (σ + σ ) - [½ (σ - σ )] + ( )...(8..3) Iteressate observar que, somado membro a membro as equações (8..) e (8..3), cocluiremos que a soma das tesões ormais ocorretes em plaos perpediculares é um ivariate (o que seria cofirmado calculado σ t o plao θ + 90 em 8.3, e somado ao valor de σ o plao θ): σ + σ = σ + σ t = σ p1 + σ p Eemplo No poto P do plao de uma dada seção trasversal de uma viga atuam as tesões: 40MPa (tração) e 48MPa (o setido oposto ao do eio ). Para tal poto, pede-se determiar: a) as tesões ormal e tagecial em um plao perpedicular ao plao, e cuja ormal forme com o eio um âgulo de 30º como idicado; b) as máimas tesões ormais de tração e de compressão, idicado a orietação dos plaos ode ocorrem. 48MPa z 40MPa 30º P z

3 Solução: Para o caso em aálise teremos: σ = + 40; σ = 0; = (-)* 48 (MPa). * o sial (-) decorre de ser uma tesão atuate uma face positiva (ormal etera ) e orietada o setido egativo do eio. Observe que θ = -30º ( z) Levado em (8.1.1) e (8.1.) obteremos: σ = ½ (40 + 0) + ½ (40-0) cos (-30) + (-48) se (-30) = + 71,57 MPa σ t = ½ (40 + 0) + ½ (40-0) cos (60) + (-48) se (60) = - 31,57 MPa t = - ½ (40 0) se (-30) + (-48) cos (-30) = - 6,68 MPa Resp. (a) σ = 71,6 MPa (T); σ t = 31,6 MPa (C); t = 6,68 MPa (-) As tesões pricipais serão: σ p1 = ½ (40 + 0) + [½ (40-0)] + ( 48 ) = 0 + ( ) = = 7 MPa σ p = ½ (40 + 0) - [½ (40-0)] + ( 48 ) = 0 - ( ) = 0-5 = -3 MPa tg θ p = - 48 / ½ (40) = -,4; θ p = - 67,38º; θ p1 = -33,7º; θ p = -33,7 +90 = 56,3º. Nota: observe que o plao é próimo ao plao pricipal (p1) Para avaliarmos os etremos alcaçados pela tesão tagecial, aalogamete igualaremos a zero a derivada da tesão t em relação à variável livre θ (em 8.1.4), obtedo: d t /dθ = - ½ (σ - σ ) cos θ () + (-) se θ () = 0, e tg θ = (-) ½ (σ - σ ) / (8..4) (o simétrico do iverso do valor obtido em 8..3), idicado que os plaos ode a tesão tagecial é etrema (* máima e ** míima), estão defasados de 45º em relação aos plaos pricipais (já que os dobros dos valores de θ e de θ p são defasados de 90º). As tesões tageciais etremas (ocorretes em plaos perpediculares etre si, portato de igual valor) serão calculadas substituido o resultado de 8..4 em 8.1.4, obtedo-se: Ma/Mi = * = ** = +/- [½ (σ - σ )] + ( )...(8..5) Para avaliar as tesões ormais (σ* e σ**), ocorretes os plaos ode a tesão tagecial é etrema, levaremos o resultado obtido em 8..4 à equação 8.1.3, cocluido que: σ* = σ** = ½ (σ + σ ) = σ Média...(8..6) O caso proposto o eemplo 8..1 visto acima, Ma/Mi = 5MPa. O estado de tesão o poto P do eemplo citado pode, em resumo, ser represetado como a- baio, mostrado a variação das compoetes da tesão (em MPa) com a orietação do plao da seção: ,6 6,68 71,6-30º 3 p1 7-33,7º t p 5 0 ** 0 +11,3º *

4 8.3 Círculo de Mohr para as tesões. Um método bastate útil para a avaliação de como variam as compoetes da tesão com a orietação do plao da seção é o método gráfico de Mohr que, ao aalisar as equações e 8.1.4, reescreveu-as a forma: σ - ½ (σ + σ ) = ½ (σ - σ ) cos θ + se θ t = - ½ (σ - σ ) se θ + cos θ. Quadrado, somado membro a membro e feitas as simplificações (cos θ + se θ=1), obtem-se: [σ - ½ (σ + σ )] + t = [½ (σ - σ )] + ]...(8.3.1) A equação acima tem o formato da equação de uma circuferêcia ( a) + ( b) = R, cosiderado as variáveis σ e t, e elimiado o parâmetro θ. Num plao cartesiao σ t a circuferêcia teria cetro as coordeadas: a = ½ (σ + σ ) ; b = 0 e raio R = [½ (σ - σ )] + ] 1/ t Ma R = COMPRESSÃO TRAÇÃO σ p = ½ (σ -σ ) σ σ ½ (σ + σ ) σ Fig Círculo de Mohr. A ambigüidade quato aos siais +/- da ordeada correspodete à tesão tagecial fica resolvida adotado-se a seguite coveção: MARCAR para cima ( ) caso o setido de giro seja horário ( ) e para baio, caso seja ati-horário ( ) (aáloga à coveção de siais adotada para a força cortate Q). σ p1 Aalisado a figura obtida, é fácil cofirmar que: σ p1 = σ máimo = σ médio + Raio; σ p = σ míimo = σ médio Raio; máimo = Raio sedo σ médio = ½ (σ + σ ); e R = [½ (σ - σ )] + ] 1/. 4

5 O traçado do Círculo de Mohr é feito, quado se cohecem os valores das tesões em dois plaos perpediculares, plotado os potos correspodetes aos pares de valores (σ, ) e (σ, ). Embora e sejam sempre iguais (com o mesmo sial) os seus setidos de giro sempre serão opostos, portato os dois potos ocuparão posições diametralmete opostas. Uido tais potos obtemos a posição do cetro do círculo, sobre o eio σ, traçado-se a circuferêcia, passado pelos dois potos cosiderados. σ t ma σ σ σ p1 p σ σ med σ σ ½ (σ +σ ) ½ (σ +σ ) Observado que o âgulo θ p aparece traçado o gráfico arc tg [ / ½ (σ +σ )], defie-se um poto da circuferêcia (deomiado PÓLO) do qual irradiam as direções ormais aos plaos ode atuam as diversas tesões, cujos valores correspodem às coordeadas do outro traço com a circuferêcia.. Assim, o pólo P é obtido traçado-se uma liha a direção do eio, passate pelo poto do círculo correspodete ao par de tesões ocorretes o plao (da mesma forma seria o poto obtido utilizado a direção ). As direções pricipais 1 e são obtidas traçado a partir do pólo lihas que passam pelos potos represetativos das tesões σ p1 e σ p. Procedimetos aálogos permitiriam obter as orietações dos plaos ode é máimo. t σ σ Med Ma σ p Ma ½ (σ -σ ) σ p1 Observe que o âgulo θ p (cetral) e o âgulo θ p (iscrito), sub-tedem o mesmo arco. σ p Pólo σ 45º ½ (σ + σ ) σ 45º θ P σ p1 θ P σ σ Ma σ Med 5

6 Eemplo Num certo poto de uma viga são cohecidas as seguites tesões: σ = + 50MPa; σ = -10MPa; = = - 40MPa. Utilizado o Círculo de Mohr, pede-se determiar: σ a) as tesões pricipais; b) a máima tesão tagecial c) a orietação dos plaos pricipais. Solução: traçado o plao de Mohr (σ ) são plotados os potos correspodetes aos pares de valores de tesão, o plao () (vertical) (PV + 50, à direita da origem; 40, para cima, pelo setido horário de giro) e o plao () (horizotal) (PH -10, à esquerda da origem; 40, para baio, pelo setido atihorário de giro). O cetro do círculo ( C ), posicioado o eio dos σ, é obtido uido os potos PV e PH (0; 0). O círculo é traçado, com cetro em C, e com raio igual à distâcia C-PV, ou C-PH (R= 50). As tesões pricipais valerão: σ P1 = = 70 MPa; σ P = 0-50 = - 30 MPa; ma =50MPa. O PÓLO do círculo de Mohr é o poto de ode partem as direções perpediculares aos plaos ode atuam as tesões e que iterceptam o círculo um outro poto cujas coordeadas represetam o par de tesões ocorretes o plao cosiderado. Assim, traçado pelo poto PV (50;40 ) um liha paralela ao eio, ecotramos o pólo o poto (-10; 40), como também se tivéssemos traçado pelo poto PH (-10;40 ) uma reta com a direção. Os plaos pricipais formam, com o plao vertical, um âgulo tal que: tg θ = - 40/ ½[50 (-10)]=-1,333; θ = - 53,1º; θ = - 6,6º. σ 50MPa 0MPa 60 P PV 40MPa 50MPa -10MPa 40MPa 30 50MPa 50MPa 0-30MPa PH C σ (MPa) 70MPa -30MPa 0MPa 50MPa -10MPa 0MPa -30MPa 70MPa 40MPa 50MPa 0MPa 0MPa 0MPa -10MPa 6

7 8.4 Estado Triplo de Tesões. θ Aalisemos o caso geral do estado de tesão em um poto de um corpo carregado ode se cohecem as tesões que atuam os três plaos ortogoais (, e z), e que sejam todas elas positivas (coforme idicado a figura ao lado). A tesão S, atuate em um plao qualquer, cuja ormal forma com os eios coordeados os âgulos diretores θ, θ e θ z, será determiada aalisado o equilíbrio das forças atuates a pirâmide elemetar mostrada, forças essas obtidas multiplicado as tesões pelas correspodetes áreas ode atuam. Desigado por da a área ode atua a tesão descohecida S (de compoetes S, S, e S z ) e por λ, µ e ν os co-seos diretores da ormal à essa área (sedo λ +µ +ν =1), podemos escrever, pelo equilíbrio das forças atuates a direção : σ z da S σ z z z z S z z σ θ z S Fig Estado triplo de tesões z θ θ S da = σ da cos θ + da cos θ + z da cos θ z ou seja: S = σ λ + µ + z ν... Procededo aalogamete para os eios e z, obtemos: S = λ + σ µ + z ν.... (8.4.1) S z = z λ + z µ + σ z ν. O sistema de equações lieares acima pode ser re-escrito a otação matricial, sob a forma compacta: S σ z λ S = S = σ z µ = { S }, ode { S } =, S z z z σ z ν σ z σ z z z σ z represeta o chamado tesor das tesões (tesor de ª. ordem*, com 9 compoetes escalares) que defie o estado de tesão o poto cosiderado. É importate recohecer que, para um determiado carregameto a que o corpo está submetido, um certo poto, o estado de tesão deverá ser ivariate quato à orietação do sistema de referêcia (,, z) utilizado para a avaliação de suas compoetes. * - um vetor é um tesor de 1ª. ordem (com 3 compoetes escalares), represetado por uma matriz colua, equato um escalar é um tesor de ordem zero (apeas uma compoete escalar). 7

8 Portato, apesar de as compoetes ij variarem coforme sejam orietados os eios do sistema de referêcia, o tesor {S } será um ivariate, represetativo do estado de tesão o poto cosiderado. Cohecido o vetor tesão (S = S i + S j + S z k ) atuate um plao defiido por seu vetor ormal ( = λ i + µ j + ν k ), podemos determiar o valor da compoete ormal σ, fazedo: σ = S. = S. λ + S. µ + S z. ν... (8.4.) A compoete tagecial será obtida fazedo: t = [(S ) + (S ) + (S z ) - (σ ) ] 1/...(8.4.3) Eemplo 8.4.1: Para o estado de tesões represetado a figura ao lado, pede-se determiar: a) a tesão ormal atuate o plao (1), perpedicular ao plao z, e que forma um âgulo de 30º com o plao ; 1 80MPa 30º b) a tesão tagecial um plao () cuja ormal forma âgulos iguais com os eios 40MPa coordeados (ão represetado). z 80MPa Solução: para o estado de tesão represetado teremos: σ = -80 MPa; z = z = +40MPa, sedo as demais compoetes da tesão todas ulas. O tesor das tesões será represetado como: {S } = Para o plao (1) teremos: θ =90º; θ =10º; θ z =30º; 0 e λ = 0; µ = -0,500; ν = 0,866. 0,000 = -0,500, portato: S 1 = 0 i + (40 0,866) j + [40 (-0,500)] k, ou seja: 0,866 S = 0; S = 34,64MPa; S z = -0MPa; [S ] = [34,64 + (-0) ] 1/ = 40MPa (1) No plao (1) teremos: σ = [34,64 j + (-0) k ] [(-0,500) j + 0,866) k] = - 34,64MPa (compr.) t = (40 34,64 ) 1/ = 0MPa. Resp.(a) 34,6MPa (compressão) Para o plao () (ão represetado a figura),a igualdade dos âgulos diretores da ormal ao plao os permite cocluir que λ = µ = ν, e como λ + µ + ν = 1, λ = µ = ν = (1/3) 1/ = 0,57735 (θ = 54,73 0 ). S = (-80 0,57735) i + (40 0,57735) j + [40 (0,57735)] k = -46,19 i + 3,09 j + 3,09 k () σ = [ - 46,19 i + 3,09 j + 3,09 k ] (0,57735) [ i + j + k ] = 0 MPa. () t = (46,16 + 3,09 + 3,09 ) 1/ = 56,57MPa. Resp.(b) 56,6MPa 8

9 8.5 Tesões Pricipais. A simetria do tesor das tesões idica que eistirá uma especial orietação do sistema de eios,, z, para a qual a matriz represetativa das compoetes ficará diagoalizada, ou seja, 3 plaos perpediculares ode as tesões serão ormais (sem compoete tagecial), e com valores reais: σ z σ σ z 0 σ 0 z z z σ z 0 0 σ Estes são os chamados plaos pricipais, ode atuam tesões que lhe são perpediculares (tesões pricipais - σ p ), para as quais se pode re-escrever a equação (8.4.1) como: S = σ p λ = σ λ + µ + z ν; S = σ p µ = λ + σ µ + z ν; S z = σ p ν = z λ + z µ + σ z ν; já que tais tesões ão têm compoetes tageciais. O sistema pode ser escrito a forma de equações lieares homogêeas: (σ - σ p) λ + ( ) µ + ( z ) ν = 0 ( ) λ + (σ - σ p ) µ + ( z ) ν = 0 ( z ) λ + ( z ) µ + (σ z - σ p ) ν = 0 que terá soluções ão triviais (diferetes da λ = µ = ν = 0), se for ulo o determiate pricipal: (σ - σ p) ( ) ( z ) ( ) (σ - σ p ) ( z ) = 0 ( z ) ( z ) (σ z - σ p ) o que leva a uma equação do 3º grau em σ p, para a qual correspoderão três soluções (os auto-valores da trasformação, que correspodem às tesões pricipais - σ p1 > σ p > σ p3 ): σ p má σ p 3 - (σ +σ +σ z ) σ p +(σ σ + σ σ z +σ z σ - - z - z ) σ p - (σ σ σ z -σ - σ z - σ z + z z ) = 0 Obs. para determiação das raízes da equação cúbica visite o site: σ p3 σ p1 A máima tesão tagecial ocorrerá o plao bissetor dos plaos 1 e 3, valedo: má = ½ (σ p1 - σ p3 ) 9

10 Eemplo (cotiuação). Para o estado de tesão represetado o eemplo acima, pede-se determiar: a) as máimas tesões ormais de tração e de compressão; b) a máima tesão tagecial 80MPa 1 40MPa 3 Solução: o determiate da matriz pricipal igualado a zero forece: (-80-σ p ) (0) (0) (0) (0-σ p ) (40) = 0 e portato: (-80-σ p ) (σ p - 40 ) = 0, e (0) (40) (0-σ p ) σ p3 = (-80); σ p = (-40); σ p1 = (+40); 40MPa 80MPa má = ½ (σ p1 - σ p3 ) = ½ [40 (-80)] = 60MPa 8.6 Círculos de Mohr para o estado triplo 1-3 σ p σ p3 Seja um estado de tesão defiido pelas tesões pricipais σ p1, σ p, σ p3, coforme mostrado ao lado. Aalisado a variação da tesão em plaos perpediculares ao plao da tesão σ p3 (como os plaos 1- mostrados, girado com chareira o eio 3) obtem-se os mesmos resultados a que se chegou a aálise do estado duplo de tesões (já que a terceira tesão σ p3 ão iterfere o equilíbrio dos esforços ao logo dos eios e 3). Desta forma, obter-se-á um círculo de Mohr ( ) que represetará as tesões esses plaos. Da mesma forma, a aálise das tesões ocorretes os plaos perpediculares ao plao ode atua a tesão σ p (como os plaos 1-3 ) os levará ao círculo ( ), equato as tesões atuates em plaos perpediculares ao plao o qual atua a tesão σ p3 serão represetadas pelo círculo ( ). Demostra-se que, para plaos outros, o poto do plao de Mohr que represeta o par de valores de tesão (σ, ) atuates estará sobre a região hachurada (os chamados arbelos ). Fica evidete a figura que: _ σ p1 3 σ p3 σ p3 σ p σ p σ p1 1 σ + má = ½ (σ p1 - σ p3 )...(8.6.1) σ p1 Fig Círculos de Mohr para o estado triplo de tesões 10

11 Eemplo 8.6.1: Para os estados de tesão represetados, traçar os círculos de Mohr correspodetes. σ σ 3 σ 1 σ σ 3 σ 1 σ σ TRAÇÃO PURA TRAÇÃO SEMI-HIDROSTÁTICA σ σ 3 σ 1 σ σ 3 σ σ 1 σ COMPRESSÃO PURA ESTADO DUPLO DE TENSÕES σ 3 σ σ 1 σ σ 3 σ 1 σ σ CORTE PURO COMPRESÃO HIDROSTÁTICA 8.7 Aálise de deformações. Ao se aalisar o comportameto elástico dos materiais, buscado estabelecer relações de causa e efeito etre forças (tesões) e deformações (deformações específicas), deve-se recohecer que são as deformações as ações mecâicas que, promovidas em um corpo deformável, produzem, como coseqüêcia, as tesões despertadas o material, e ão o iverso (tesões como causadoras de deformações). No próprio esaio de tração produzido através máquia uiversal, verifica-se que a deformação (variação do comprimeto do corpo de prova) é a variável gerada de forma gradual e cotíua (medida diretamete como a variável livre do problema) equato a correspodete tesão é medida idiretamete (como uma variável depedete, fução da deformação). Ou seja, calculam-se os valores das tesões medido-se as deformações. A medição das deformações específicas logitudiais ocorretes em potos da superfície etera de corpos carregados (ode as tesões, em geral, atigem seus valores etremos) é feita através de pequeos aparelhos deomiados etesômetros (strai gages), costituídos por uma fita suporte aderete à superfície do corpo a qual é fiado um fio fio codutor padroizado e armado como mostra a figura (em forma safoada). O aparelho é colado à superfície do corpo quado descarregado, orietado segudo uma direção que se quer medir a deformação (por eemplo ) e, após a aplicação da carga, o corpo se deforma produzido o alogameto do fio aquela direção, reduzido sua área de seção e gerado um aumeto de sua resistêcia ôhmica. Através de uma fote de tesão elétrica previamete calibrada, e medida a variação da correte elétrica correspodete, obtem-se a iformação desejada quato à compoete da deformação a direção estudada (ε ). 11 Fig Etesômetros

12 Como se verá a seguir, cohecidas as deformações logitudiais específicas em duas direções perpediculares (ε, ε ) bem como a distorção(γ ) sofrida pelo par de eios, será possível determiar deformações específicas e distorções em quaisquer direções, obtedo-se iclusive seus valores etremos. A figura 8.7. mostra um elemeto, em forma de uma figura retagular, o etoro de um po- ε ds to da superfície de um corpo descarregado que, ao B C ser solicitado, sofre deformações as direções e, ε d bem como uma distorção gerado uma modificação a ortogoalidade desses eios, passado a figura a ds ter a forma do paralelogramo OABC idicado. d A diagoal do retâgulo origial, orietada uma direção que forma um âgulo θ com a direção, sofrerá uma elogação que poderá ser calcu- (π/) + γ θ A lada, utilizado a lei dos co-seos para o triâgulo O ε d OAB: d Fig Variação da deformação [(1 + ε ) ds] = [(1 + ε ) d] + [(1 + ε ) d] [(1 + ε ) d][ (1 + ε ) d] cos (π/ + γ ). Efetuado as simplificações, cosiderado os pequeos valores de ε e γ, bem como, sedo d/ds = cos θ, d/ds = se θ e cos (π/ + γ ) = - se γ ~ - γ obtemos: ε = ε cos θ + ε se θ + γ se θ cos θ... (8.7.1) Para a direção trasversal t, perpedicular à (θ t = θ + 90º) teremos: ε t = ε se θ + ε cos θ - γ cos θ se θ... (8.7.) Somado membro a membro as equações mostradas, observamos a ivariâcia da soma das deformações específicas para quaisquer duas direções perpediculares: ε + ε t = ε + ε (para qualquer θ, medido etre e )... (8.7.3) Por outro lado, a deformação específica logitudial a direção da bissetriz do quadrate formado pelos eios e (θ = 45º) será dada (de 8.7.1) por: (biss), (ε biss ), = ε (1/) + ε (1/) + γ (1/), de ode podemos cocluir que: γ = (ε biss ), (ε + ε )...(8.7.4) 45º (ε biss ), Cosiderado as relações se θ = se θ cos θ e cos θ = cos θ - se θ, teremos: ε ε 45º ε = ½ (ε + ε ) + ½ (ε - ε ) cos θ + ½ γ se θ... (8.7.5) 1

13 Para a direção trasversal (θ + 90º), como cos(θ + 180) = - cosθ e se(θ + 180)=-seθ: ε t = ½ (ε + ε ) - ½ (ε - ε ) cos θ - ½ γ se θ... (8.7.6) A deformação específica a direção bissetriz do quadrate formado pelos eios e t será obtida fazedo θ = θ + 45 em (8.7.5), obtedo-se, já que cos(θ + 90) = - se θ e se(θ + 90)= cos θ: (ε biss ),t = ½ (ε + ε ) - ½ (ε - ε ) seθ + ½ γ cos θ Levado em cota que de (8.7.4) teremos: γ t = - (ε + ε t ) + (ε biss ), t, e cosiderado a ivariâcia estabelecida em 8.7.3, podemos escrever: ½ γ t = - ½ (ε - ε ) se θ + ½ γ cos θ... (8.7.7) As equações (8.7.5) e (8.7.7) são formalmete idêticas às equações (8.1.3) e (8.1.4) obtidas quado da aálise das tesões, em relação às quais as equivalêcias são evidetes: Símbolo Gradeza Coveção de Siais Símbolo Gradeza Coveção de Siais σ + Deformação + Tesão ε específica logitudial Normal - - t Tesão Tagecial + - 1/ γ t Distorção Valedo-os dos resultados já obtidos a aálise das tesões o estado duplo, através do estudo de sua variação com a orietação do plao da seção e de seus valores etremos alcaçados, podemos cocluir que: As deformações logitudiais pricipais (máima ε 1, e míima ε ) ocorrem em duas direções perpediculares etre si, em relação às quais ão há distorção (γ 1 = 0) e que valerão: ε 1 = (ε + ε )/ + {[(1/ ) (ε - ε )] + (γ / ) } 1/... (8.7.8) ε = (ε + ε )/ - {[(1/ ) (ε - ε )] + (γ / ) } 1/ orietadas em relação ao eio tomado como referêcia através de dois âgulos complemetares dados por: tg θ P = γ / (ε - ε )... (8.7.9) A distorção máima ocorre as direções bissetrizes das direções pricipais, atigido o valor: γ má / = +/- {[(1/ ) (ε - ε )] + (γ / ) } 1/...(8.7.10) Nessas duas direções, as deformações específicas logitudiais são iguais, valedo: ε méd = (ε + ε )/

14 Uma represetação gráfica da variação das deformações com a orietação da direção aalisada através do CÍRCULO DE MOHR também pode ser utilizada, traçado o plao de Mohr, tedo como eio das abscissas as deformações logitudiais ε (positivas, marcadas para a direita, se de elogação e egativas, marcadas para a esquerda, se de ecurtameto à semelhaça com a coveção para as tesões ormais) e o eio das ordeadas a metade da distorção (1/ γ )- marcada para cima, quado o eio gira o setido horário e marcada para baio quado o giro é o setido ati-horário a semelhaça com a coveção para as tesões cisalhates). ε d d O ½ γ ds θ d ε ds ε d Através da mecâica eperimetal verifica-se que a medida direta dos pequeos âgulos de distorção (γ ) é impraticável. Usa-se, etão, o epediete de se medir a deformação logitudial ao logo de uma terceira direção, através de um arrajo de etesômetros deomiado roseta, obtedo-se, idiretamete, o valor da distorção. Medido-se as deformações logitudiais em três direções (a, b, c) que formam âgulos θ a, θ b, θ c, com uma dada direção - fig (A), de (8.7.1) podemos escrever: ε a = ε cos θ a + ε se θ b + γ se θ a cos θ a ε b = ε cos θ b + ε se θ b + γ se θ b cos θ b ε c = ε cos θ c + ε se θ c + γ se θ c cos θ c (π/) + γ ½ γ ½ γ ε pólo ε ε médio ε ε1 Fig Círculo de Mohr para as deformações. Deformações pricipais. Distorção máima. Trata-se de um sistema de 3 equações a 3 icógitas que, resolvido, permite a obteção dos valores das icógitas ε, ε e γ. A figura (B) (C) ( ) mostra algus modelos de rosetas ormalmete utilizadas, destacadose a tipo (B) que, diretamete, forece os valores de ε e ε equato que a leitura do terceiro sesor a 45 (ε biss ), permite obter o valor de γ através da equação ½ γ má ½ γ Eemplo São medidas as deformações específicas a superfície de um elemeto estrutural em três direções defasadas de 10º (roseta em delta), obtedo-se os valores: ε 0 = + 800µ; ε 10 = + 600µ; ε 40 = - 00µ. Pede-se: a) as máimas deformações (positiva e egativa) e a máima distorção; b) o âgulo etre a direção da fibra mais alogada e a direção do sesor base (0); c) mostrar que para uma roseta deste tipo a soma das leituras dos três sesores idepede da orietação de seu posicioameto. d) esboçar o círculo de Mohr correspodete ao estado de deformação o poto cosiderado. 14 (A) γ/ c 10º (C) 10º b θ b Fig Rosetas de deformação. a 10º 45º ε (B) ( )

15 Solução: para a roseta em (adotado o eio segudo a direção do sesor base 0), teremos: = ε = ε cos 10 + ε se 10 + γ se 10 cos 10 = 800 (0,5) + (0,75) ε - (0,4330) γ 00 = ε cos 40 + ε se 40 + γ se 40 cos 40 = 800 (0,5) + (0,75) ε + (0,4330) γ Somado membro a membro as 3 equações obtemos: ε 0 + ε 10 + ε 40 = 1,5 ε + 1,5 ε = 1,5 (ε + ε ) = 3 ε médio (idepedete da orietação da roseta - resposta c). Resolvedo o sistema obtemos: ε = 800µ; ε = 0µ γ = - 93,8µ. De e obtemos: ε 1 = (ε + ε )/ + {[(1/ ) (ε - ε )] + (γ / ) } 1/ = 800 / + [(800/) + (93,8/) ] 1/ = µ ε = (ε + ε )/ - {[(1/ ) (ε - ε )] + (γ / ) } 1/ = 800 / - [(800/) + (93,8/) ] 1/ = - 11 µ γ má / = {[(1/ ) (ε - ε )] + (γ / ) } 1/ = - [(800/) + (93,8/) ] 1/ = 611,0µ ; γ má = 1. µ Os âgulos etre os eios pricipais de deformação e o eio de referêcia () serão dados por 8.7.9: tg θ P = γ / (ε - ε ) = -93,8/800 =-1,155 θ P = -54,56 ou + 15,4; θ P1 = -7,3 e θ P = + 6,7º; O esboço do círculo de Mohr correspodete ao estado de deformação em estudo é apresetado a figura ao lado. * (ver NOTA a seguir, ode se cosiderará a eistêcia da deformação a 3ª direção (ε 3 perpedicular à superfície, devido ao efeito Poisso) γ/ Pólo ε 1 Medidas as deformações específicas através dos etesômetros e cohecidas as propriedades elásticas do material (E, G, ν) será possível determiar o estado de tesões o poto cosiderado. A- través da lei de Hooke geeralizada epressa pelas equações 1.7.4, temos: ε = (1/E) [σ - ν (σ + σ z )]; ε = (1/E) [σ - ν (σ z + σ )]; ε z = (1/E) [σ z - ν (σ + σ )]. Resolvedo o sistema para eplicitar as tesões em fução das deformações obtemos: σ = [E/(1+ν)(1-ν)][(1-ν)ε + ν(ε + ε z )] σ = [E/(1+ν)(1-ν)][(1-ν)ε + ν(ε z + ε )]... (8.7.11) σ z = [E/(1+ν)(1-ν)][(1-ν)ε z + ν(ε + ε )] Tratado-se de um estado duplo de tesões (σ z = 0) teremos: ε z = [-ν/(1-ν)](ε + ε )... (8.7.1) Covém observar que, apesar de, a superfície etera do corpo, ode o estado de tesão é duplo, a tesão seja ula, o efeito Poisso provoca deformações a 3ª direção, perpedicular à superfície. Neste caso as equações combiadas com se reduzem a σ = [E/(1-ν )][(ε + νε ]... (8.7.13) 15

16 σ = [E/(1-ν )][(ε + νε ] *NOTA o eemplo 8.7.1, supodo que o material fosse aço (ν = 0,30) teríamos: ε 3 = [-ν/(1-ν)](ε + ε ) = (-0,3/0,7)( ) = -34,8µ. Portato, a distorção máima teria o valor: ε p1 - ε p3 =1.011 (-34,8) = 1.354µ (e ão o valor ateriormete obtido 1.µ) Eemplo 8.7. Na superfície da peça de aço esquematizada, (E=00GPa e ν = 0,300), é istalada uma roseta e medidas as deformações: ε 0 = +480µ; ε 45 = 10µ; ε 90 = +80µ Pede-se determiar as máimas tesões ormais de tração e de compressão bem como a máima tesão tagecial. Solução: utilizado a equação γ = (ε biss ), - (ε + ε ) = (-10) - ( ) = -800µ Da eq , ε 1 = (ε + ε )/ + {[(1/ ) (ε - ε )] + (γ / ) } 1/ = , = 77, µ ε = (ε + ε )/ - {[(1/ ) (ε - ε )] + (γ / ) } 1/ = 80 56,1 = - 167, µ Da eq , γ má / = {[(1/ ) (ε - ε )] + (γ / ) } 1/ = 447, µ ; γ má = 894,4 µ O resultado poderia ter sido obtido às custas do círculo γ/ de Mohr, cosiderado que para uma roseta a 45º, ε ε 0 = ε C + R cos ϕ...(a) 45 R ε 45 = ε C + R cos (ϕ+90) = ε C - R se ϕ...(b) ϕ ε ε 90 = ε C + R cos (ϕ+180) = ε C - R cos ϕ...(c) De (a)+(c) ε c = ½ (ε 0 + ε 90 ) = 80 µ ε 90 De (a) + (b) R = (ε 0 ε c ) + (ε c ε 45 ) = ε C = ½ {(ε 0 ε 90 ) + [ε 45 - (ε 0 + ε 90 )] } = ε 0 = 1/() 1/ [(ε 0 -ε 45 )] + (ε 45 ε 90 ) ] = (447, µ) Das eq , aplicadas às direções pricipais, obtemos σ 1 = [E/(1-ν )][(ε 1 + νε ] = [ /(1-0,30 )][77, + 0,30(-167,)]10-6 = 148,8MPa;(Resp.) σ = [E/(1-ν )][(ε + νε 1 ] = [ /(1-0,30 )][-167, + 0,30(77,)]10-6 = 11,MPa; má = ½ (σ p1 - σ p ) = 68,8 MPa, valor que poderia ser obtido cosiderado as equações e 1.7.6: má = G γ má = E / (1 + ν) γ má = ( /,6)894,410-6 = 68,8 MPa. (Não há compressão) Por outro lado, se cosiderarmos a eistêcia de deformação (ε 3 ) a direção perpedicular à superfície etera do corpo (ode foi fiada a roseta), teremos: ε 3 = [-ν/(1-ν)](ε + ε ) = (-0,3/0,7)( ) = - 40µ. A distorção máima terá o valor: γ má = ε p1 - ε p3...(8.7.14), que, o caso, valerá: γ má =77, (-40) = 967,µ (e ão o valor ateriormete obtido 894,4µ). A máima tesão tagecial teria, portado, o valor: má = G γ má = E / (1 + ν) γ má = ( /,6)967,10-6 = 74,4 MPa (Resp.)(e ão 68,8MPa ateriormete calculado). 16

17 Os resultados obtidos podem ser bem visualizados através da represetação gráfica dos círculos de Mohr correspodetes aos estados de deformação (cosiderado como triplo) e de tesão (cosiderado como triplo, tedo tesão ula a terceira direção). γ/ (MPa) (µ) ε P ε P1 ε (µ) σ P3 =0 50 σ P σ (MPa) ε P σ P Eercício proposto: mostre, utilizado o círculo de Mohr (defiido pela coordeada de seu cetro ε o e por seu raio R) que, para as rosetas abaio represetadas: γ/ ε o R ε 135º 90º 10º 10º b c a ε o = ½ (ε a +ε b ) R = ½ [(ε a -ε c ) + (ε b -ε c ) ] b c a ε o = ⅓ (ε a +ε b +ε c ) R = / 9[(ε a -ε b ) +(ε b -ε c ) +(ε c -ε a ) ] 17

18 Fig Roseta a 45 istalada a superfície etera de tubulação de parede fia, submetida a pressão e a torção. Equipameto utilizado o laboratório da Uff pelos aluos do curso de egeharia mecâica o ao