Virgílio Mendonça da Costa e Silva

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA CENTRO DE TECNOLOGIA DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA VIBRAÇÕES DOS SISTEMAS MECÂNICOS VIBRAÇÕES LIVRES COM AMORTECIMENTO DE SISTEMAS DE GL NOTAS DE AULAS Virgílio Medoça da Costa e Silva Jaeiro 08

2 3. Vibrações Livres com Amortecimeto de Sistemas com GL No sistema de vibração com amortecimeto a força de amortecimeto é resposável pela dissipação de eergia do sistema. Embora seja difícil a descrição real da força de amortecimeto é possível à admissão de modelos ideais de amortecimeto, que muitas vezes resultam o progostico satisfatório da resposta. Detre esses modelos, a força de amortecimeto viscoso, proporcioal à velocidade, coduz a um tratameto matemático mais simples. 3. Coceito Físico de Amortecimeto A força de amortecimeto viscoso é expressa pela seguite equação: Ode: C - Coeficiete de amortecimeto em [N.s/m] & - Velocidade da massa em [m/s] F d = C & (3.) 3. Determiação da Equação Diferecial do Movimeto 3.. Método de Somatório de Forças (Newto) Cosidere um sistema de um grau de liberdade, composto de uma massa M, uma mola de massa desprezível e rigidez K e um amortecedor de massa desprezível e coeficiete de amortecimeto C, represetado pela Figura 3.: Posição sem Deflexão K Diagrama de Corpo livre K C K M C M Peso C & M K ( +) & && Peso Sistema em Equilibrio Estático Sistema em Movimeto Figura 3. Sistema de Vibração Livre com Amortecimeto de GL

3 Aplicado somatório de forças (Seguda Lei do Movimeto de Newto), ao modelo físico da Figura 3., obtém-se: ou ( ) M && = Peso - C & - K + M && + C & + K = 0 (3.) 3.. Método de Eergia Usado Equação de Lagrage Os sistemas mecâicos com força de amortecimeto, para efeito de coservação de eergia, são cosiderados sistemas ão coservativos por cota da dissipação de eergia. Assim, a determiação da E.D.M. - Equação Diferecial do Movimeto ão pode ser obtida pela aplicação do pricípio de Coservação de Eergia, como feito para sistemas com vibrações livres sem amortecimeto. Etretato, podemos obter a E.D.M. usado as expressões de eergias ciética, potecial e dissipada do sistema mecâico através da Equação de Lagrage, desevolvida e apresetada pelo matemático italiao Joseph Louis Lagrage (736 83) a sua obra-prima Mechaique. A Equação de Lagrage é muito utilizada os estudos de vibrações de sistemas mecâicos com múltiplos graus de liberdade. A Equação de Lagrage pode ser deduzida a partir de pricípios de trabalho virtual e pricípios itegrais, como detalhado o Capítulo V. Neste Capítulo mostramos apeas a sua aplicação a determiação da Equação Diferecial do Movimeto de Sistemas Mecâicos de um Grau de Liberdade com Amortecimeto. A equação de Lagrage é represetada por: d T T D U = Q d t q & q q & q (3.3) ode: T é a eergia ciética do sistema U é a eergia potecial do sistema D é a eergia dissipada do sistema Q é a -éssima força extera geeralizada aplicada ao sistema q é a -éssima coordeada geeralizada do sistema Para um sistema de um grau de liberdade com amortecimeto temos apeas uma coordeada geeralizada q =. As equações de eergia para o sistema são:

4 Eergia Ciética: Eergia Potecial: Eergia Dissipada: T = M & (3.4) U = K ( + ) - Mg (3.5) D = C & (3.6) Calculado as parcelas da equação (3.3) com base as equações (3.4), (3.5) e (3.6), temos: T T = = M & q & & (3.7) d T d T = = M && d t q& d t & (3.8) T T = = 0 q (3.9) D D = = C & = C & q & & (3.0) U U = = K + K - Mg = K q (3.) Q = 0 (3.) obtém-se: Substituido as equações (3.8), (3.9), (3.0), (3.) e (3.) a equação (3.3), M && + C & + K = 0 (3.3) 3.3 Solução e Aálise da Equação Diferecial do Movimeto A equação (3.3) é uma equação diferecial ordiária, de seguda ordem, homogêea com coeficietes costates. Portato, sua solução é do tipo:

5 s t ( t ) = e (3.4) Substituido a solução dada pele equação (3.4) a equação (3.3), obtém-se: s t ( M s + C s + K ) e = 0 (3.5) A codição para que a equação (3.5) seja igual a zero é que o termo etre parêteses seja igual a zero, ou seja: M s + C s + K = 0 (3.6) De ode se obtém: - C C K s, = ± - M M M (3.7) Como a equação diferecial (3.3) tem duas soluções, a solução geral é a combiação geral das duas soluções, ou seja: ou s t ( ) s t t = A e + B e (3.8a) ( t ) = e A e + B e C C K C K t + - t - t M M M M M (3.8b) O primeiro termo da equação (3.8b) é simplesmete uma fução de tempo expoecialmete decrescete. Etretato, o comportameto do termo etre parêteses depede do valor umérico do radical, que pode ser positivo, ulo ou egativo, o que defie se o sistema é respectivamete superamortecido, subamortecido ou com amortecimeto crítico Sistemas Superamortecidos Se o amortecimeto presete o sistema é tal que: C K > M M (3.9) os expoetes a equação (3.8b) são úmeros reais. Neste caso ão há oscilação possível. Referimo-os a este caso como sistema superamortecido.

6 3.3. Sistemas Sub Amortecidos Se o amortecimeto presete o sistema é tal que: C K < M M (3.0) os expoetes a equação (3.8b) são úmeros complexos. Neste caso podemos trasformá-los através das equações de Euler em fuções seoidais ou cosseoidais. Assim o sistema oscilará. Referimo-os a este caso como sistema subamortecido Sistemas com Amortecimeto Crítico Se o amortecimeto presete o sistema é tal que: C K = M M (3.) dizemos que o valor de C = C C (Coeficiete de Amortecimeto Crítico) reduz o radical da equação (3.8b) a zero. Temos o caso limite etre movimeto oscilatório e ão oscilatório. Referimo-os a este caso como sistema com amortecimeto crítico. 3.4 Fator de Amortecimeto e Frequêcia Natural Amortecida Com base o item 3.3.3, podemos escrever a equação (3.) a forma: CC K = = ω M M (3.) ou C = K M = M (3.3) C ω É coveiete se expressar o valor de qualquer amortecimeto de um sistema em termos do amortecimeto que é crítico para o mesmo, por meio de uma fração ão mesurável, ζ C = C (3.4) C que é chamada de fator ou fração de amortecimeto.

7 Podemos agora escrever as soluções da equação diferecial do movimeto, dada pela equação (3.7), em termos de ζ. Notado que se C ζ C = C = ζ ω M M (3.5) a equação (3.7) pode ser escrita como: ( ) s = ζ ± ζ - ω (3.6), Com este ovo coceito, podemos classificar o sistema de vibração livre com amortecimeto como: ζ = - Sistema Amortecido Criticamete. Neste caso a quatidade de amortecimeto presete o sistema está a codição limite etre vibrar e ão vibrar. ζ > - Sistema Superamortecido. Neste caso a quatidade de amortecimeto presete o sistema é tão alta que faz com que o sistema ão oscile. ζ < - Sistema Subamortecido. Neste caso a quatidade de amortecimeto presete o sistema ão impede o mesmo de ter um movimeto oscilatório. A Figura 3. mostra a equação (3.6) traçada um plao complexo, com ζ ao logo do eixo horizotal. Se = 0 ζ, a equação (3.6) fica reduzida a: s = i ω ± (3.7), de modo que as raízes o eixo imagiário correspodem ao caso de ão amortecimeto. Para 0< ζ < a equação (3.6) pode ser escrita da forma: ( ) s = - ζ i - ζ ω ± (3.8), As raízes s e s são etão potos complexos cojugados sobre um arco circular covergido o poto s ω, = - (3.9) A medida que ζ cresce acima da uidade, as raízes separam-se ao logo do eixo horizotal e permaecem úmeros reais. Tedo presete este diagrama,

8 estamos aptos a examiar a solução dada pela equação (3.7) para cada caso. Figura 3. Lugar das Raízes de um Sistema de Vibração Livre com Amortecimeto de GL Apesar de estarmos iteressados apeas os sistemas subamortecidos (sistemas oscilatórios), examiaremos os três casos em detalhes em termos de quatidades usadas a prática. Começamos com movimeto oscilatório. Movimeto Oscilatório - ζ < Substituido a equação (3.8) a equação (3.8a), a solução geral pode ser escrita como: - ζ ω t + i - ζ ω t i - ζ ω t ( ) ( ) t = e A e + B e (3.30) Aplicado Euler, temos: ( ) t = e - ζ ω t ( ζ ω ) + ( ζ ω ) A cos - t i se - t + B cos ( - ζ ω t) - i se ( - ζ ω t ) (3.3a) ou ζ ω ( ) ( ) ( ζ ω ) ( ) ( ζ ω ) - t t = e A B cos - t A B i se - t (3.3b) Aplicado as codições de cotoro:

9 t = 0 ( ) ( ) ( ) & ( ) t = 0 & t = 0 (3.3) Chega-se à: ( ) ( ) + ζ ω ( ) & 0 0 ( ζ ω ) + ( ) ( ζ ω ) - ζ ω t t = e se - t 0 cos - t ω - ζ (3.33a) ou ζ ω ( ) ( ζ ω φ) - t t = e se - t + (3.33b) ode: é a amplitude do movimeto dada por: ( ) + ζ ω ( ) & 0 0 = + 0 ω - ζ ( ) (3.34) φ é a fase do movimeto dada por: ( ) ω ζ ( ) + ζ ω ( ) 0 - φ = tg & 0 0 (3.35) Sabemos que um sistema vibratório é periódico, assim podemos calcular o período de vibração amortecida T d, usado a equação: ( t + T ) = ( t) (3.36) Aplicado a equação (3.36) a parte periódica de (3.33b), obtém-se: ( ζ ω ( ) φ) ( ζ ω φ) se - t + T + = se - t + (3.37a) ou ( ) - ζ ω t + T + φ = - ζ ω t + φ + π (3.37b)

10 De ode se obtém, para = (Um ciclo): π π T d = = ω - ζ ωd (3.38) ode: ω = ω - ζ é a frequêcia atural amortecida. d 3.5 Determiação do Coeficiete de Amortecimeto Uma das maeiras mais prática de determiar o coeficiete de amortecimeto de um sistema de um GL é excitá-lo por impulso ou retirá-lo da sua posição de equilíbrio forçado-o a oscilar, medir a taxa de decréscimo de duas oscilações cosecutivas e utilizar a fórmula do decremeto logarítmico Decremeto Logarítmico A medida da taxa de decréscimo das oscilações livres é um meio coveiete para se determiar a quatidade de amortecimeto presete um sistema. Quato maior for o amortecimeto, maior será a taxa de decréscimo. Cosidere uma vibração amortecida represetada pela equação (3.33b) ζ ω ( ) ( ζ ω φ) - t t = e se - t + (3.39) que é idicada graficamete a Figura 3.3. Itroduzimos aqui uma expressão deomiada decremeto logarítmico que é defiida como o logaritmo atural da razão de duas quaisquer amplitudes cosecutivas. A fórmula do decremeto será: = l = ( ζ ω φ) ( ζ ω ( + d ) φ) - ζ ω t e se - t + - ζ ω ( t Td ) e + se - t T + (3.40)

11 Figura 3.3 Taxa de Decréscimo da Oscilação medida pelo Decremeto Logarítmo Uma vez que os valores dos seos são iguais (fução periódica) quado o tempo é aumetado de um período de amortecimeto, a equação (3.40) fica reduzida a: e - ζ ω t ζ ω Td = l = l e = ζ ω - ζ ω ( t Td ) T + d e (3.4) Substituido o valor do período amortecido a equação (3.4), obtém-se: ou = π ζ - ζ (3.4a) ζ = 4 π + (3.4b) A equação (3.4a) é uma solução exata. Quado o amortecimeto é muito pequeo ζ 0 - ζ, logo a equação (3.4a) se aproxima a: (3.43) π ζ A Figura 3.4 mostra um gráfico dos valores, exatos e aproximados de em fução de ζ.

12 Figura 3.4 Decremeto Logaritmo em Fução de ζ Movimeto Não Oscilatório - ζ > Quado ζ é maior que a uidade, as duas raízes permaecem o eixo real, ver Figura 3., e separadas, uma aumetado e a outra dimiuido. A expressão da solução geral é etão: ζ + ζ ω ζ ζ ω ( ) t = A e + B e - t - - t (3.44) Aplicado as codições de cotoro: t = 0 ( ) ( ) ( ) & ( ) t = 0 & t = 0 Chega-se à: A = B = ( ) ( ζ ζ ) ω ( ) & ω ζ - ( ) ( ζ ζ ) ω ( ) & ω ζ - (3.45) (3.46) O movimeto é fução do tempo expoecialmete e decrescete, deomiado de aperiódico.

13 Movimeto Amortecido Criticamete - ζ = Para ζ =, obtemos uma raiz dupla s = s = - ω, e os dois termos da equação (3.8a) combiam para formar apeas um, ou seja: ω ω ( ) ( ) t = A B e = C e t t + (3.47) Observe que esta codição ão tem úmero de costate requerido para satisfazer as duas codições iiciais. Fazedo ζ e aplicado as codições de cotoro: Chega-se à: t = 0 ( ) ( ) ( ) & ( ) t = 0 & t = 0 { } ( ) - ζ ω t & ( ) ω ( ) ( ) t = e t + 0 (3.48) A Figura 3.7 mostra três tipos de resposta com deslocameto iicial ( 0 ). As partes móveis de muitos medidores elétricos e istrumetos são amortecidos criticamete, a fim de evitar a ultrapassagem e a oscilação. 3.6 Represetação Gráfica do Movimeto Movimeto Oscilatório - ζ < Solução da E.D.M. - C t M ( ) ( ζ ω φ) t = e se - t + Figura 3.5 Oscilação Amortecida ζ <

14 Movimeto Não Oscilatório - ζ > Solução da E.D.M. ζ + ζ ω ζ ζ ω ( ) t = A e + B e - t - - t Figura 3.6 Oscilação Não Amortecida ζ > Movimeto Amortecido Criticamete - ζ = Solução da E.D.M. { } ω ( ) t & ( ) ω ( ) ( ) t = e t + 0 Figura 3.7 Movimeto Amortecido Criticamete ζ =

15 Exercício 3.: Mostrar que o decremeto logaritmo é dado também pela equação = l 0 ode represeta a amplitude após decorridos ciclos. Traçar uma curva dado o úmero de ciclos decorridos em fução de ζ para que a amplitude dimiua de 50 por ceto. Solução: Para duas quaisquer amplitudes cosecutivas a razão é: 0 = = = L = = e 3 Podemos escrever a razão 0 da seguite forma: 0 0 = L = e 3 de ode obtém-se a requerida equação: = l 0 Para obtermos o umero de ciclos decorridos para a redução de 50 por ceto a amplitude π ζ = l = Segue a seguir a Figura 3.8 traçada. Figura 3.8 Referete ao Exemplo 3.

16 Exercício 3. Mostrar que o decremeto logaritmo, o caso de amortecimeto pequeo, pode ser expresso em termos da eergia de vibração U e da eergia U discipada em cada ciclo. Solução: A figura abaixo mostra uma vibração amortecida com amplitude cosecutivas,, 3, L Baseados a defiição de decremeto logaritmo = l 0 escrevemos a relação de amplitudes a forma expoecial = e - = - +! A eergia de vibração do sistema é aquela coservada a mola o deslocameto máximo, ou seja: U = K e U = K A perda de eergia dividida pela eergia origial é: ( ) U - U U = U U! = - = - - e = - + L Deste modo, obtemos a seguite relação para de pequeo valor. U = U

17 3.7 Equivalêcia de Amortecedores Exatamete como em molas pode ser usada combiação de amortecedores, como mostram as Figuras 3.9 e 3.0, que usam amortecedores em serie e em paralelo respectivamete. Em ambos os casos são ecessários ecotrar os valores de um simples amortecedor equivalete, o qual terá o mesmo efeito dos amortecedores combiados. A Figura 3.9 mostra um arrajo de amortecedor em paralelo. A massa M move cada amortecedor com a mesma velocidade, assim a força de amortecimeto viscoso equivalete será: F = F eq + F ou Ceq & = C & + C& C eq = C C + (3.49) M M K C C K Ceq Figura 3.9 Associação de Amortecedores em Paralelo A Figura 3.0 mostra um arrajo de amortecedor em serie. A massa M move cada amortecedor com a mesma força, de modo que o deslocameto total poderá ser escrito como: = t t t Total & = & + & + ou eq F F F = + C C C eq C C C eq = (3.50) C + C M M C K K Ceq C Figura 3.0 Associação de Amortecedores em Serie