Análise de Sistemas Vibratórios

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1 Aálise de Sistemas Vibratórios Vibrações e Ruído (0375) 06

2 Tópicos Sistemas com um grau de liberdade. Sistemas com graus de liberdade. Vibrações e Ruído 04-06

3 .. Equação de movimeto Cosidere-se o sistema mecâico da figura sem amortecimeto (sistema coservativo) e com apeas grau de liberdade (DOF). d ST 3 d ST traduz a deformação estática da mola devido ao peso da massa M (a partir da posição 0 ). O deslocameto x(t) da massa M é medido a partir da posição de equilíbrio estático 0. Vibrações e Ruído 04-06

4 .. Equação de movimeto Se a massa for afastada da posição de equilíbrio e a seguir abadoada, a eergia mecâica total do sistema é equivalete à soma das eergias ciética e potecial. Como o sistema é coservativo: T U costate T U 0 A eergia ciética deve-se à velocidade da massa: d dt (53) T m x (54) A eergia potecial do sistema resulta da combiação da eergia de deformação da mola com a devida mudaça de posição da massa. 4 Vibrações e Ruído 04-06

5 .. Equação de movimeto 5 Assim, a ergia potecial fica: Substituido (54) e (55) em (53), obtém-se d dt Uma vez que a velocidade x ão pode ser ula, já que há movimeto do sistema ao logo do tempo, etão a codição para a expressão aterior se aular será: Vibrações e Ruído U 0 0 força total a mg kxdx mgx kx x x mx kx mx kx 0 x k m x 0 mola dx mx kxx 0 (55) (56) (57)

6 .. Equação de movimeto Cosiderado que, a equação (57), k/m represeta o quadrado da frequêcia (circular) atural do sistema, w, etão: x w x 0 (58) A eq. (58) é a equação do movimeto de um sistema ão amortecido. No etato, este sistema ão traduz os sistemas físicos reais, havedo ecessidade de se cotabilizar as forças dissipativas (ou amortecimeto). Na maior parte dos casos, há aida que cosiderar o efeito de uma perturbação extera ao sistema. 6 Vibrações e Ruído 04-06

7 .. Equação de movimeto Cosidere-se, pois, o modelo da figura abaixo, represetativo de um sistema com DOF com amortecimeto e sujeito à ação de uma força exterior variável o tempo. 7 Vibrações e Ruído 04-06

8 .. Equação de movimeto Neste caso, as forças que atuam a massa M são: A força da gravidade, mg=costate; A força da mola, k(x+d ST ), oposta ao deslocameto; A força do amortecimeto, cx; A força perturbadora, F(t). Recorredo à seguda lei de Newto podemos escrever m x forças x (59) Desevolvedo a expressão aterior, podemos escrever x d cx Ft mx mg k ST 8 Vibrações e Ruído 04-06

9 .. Equação de movimeto Uma vez que a posição x é medida a partir da posição de equilíbrio, tem-se mg kd ST e, etão, a equação de movimeto fica m x cx kx Ft (60) sedo mx as forças de iércia, c x as forças dissipativas e kx as forças elásticas. Esta equação traduz o movimeto dos sistemas sob a forma de uma vibração forçada causada por uma excitação extera F(t). 9 Vibrações e Ruído 04-06

10 .. Equação de movimeto No caso particular de F(t)=0, tem-se m x cx kx 0 (6) Neste caso, o movimeto do sistema deomia-se vibração livre. 0 Vibrações e Ruído 04-06

11 .. Vibração ão amortecida Como vimos, o caso de ão existir amortecimeto, o movimeto do sistema vibratório a ausêcia de forças perturbadoras é regido pela equação (58): mx t kxt 0 Esta é uma equação diferecial ordiária de ª ordem, cuja solução é t x c. e st (6) Substituido esta solução a equação (58) obtém-se ms k 0 (63) Vibrações e Ruído 04-06

12 .. Vibração ão amortecida Daqui, retira-se que s i k m iw (64) Aplicado a equação (64) a equação (6), vemos que a resposta do sistema é dada por Atededo a que x t iw t c e c.. e iw t (65) e w t i w t w t cos si a equação (65) pode ser escrita como x t A cosw t A. siw t. (66) Vibrações e Ruído 04-06

13 .. Vibração ão amortecida Esta expressão represeta um movimeto harmóico simples, tedo como frequêcia atural A partir das codições iiciais, relativas à velocidade e deslocameto do sistema, podemos ecotrar o valor das costates A e A. Assim, se para t=0 x w k m t x0 ; x t x 0 etão, os valores das costates são A x 0 ; A 0 x w (67) 3 Vibrações e Ruído 04-06

14 .. Vibração ão amortecida Portato a equação do movimeto fica Cosiderado que esta expressão x(t) resulta da soma de dois movimetos harmóicos, etão podemos escrever esta equação como ou etão x x t t x x x t x0.cos w t x w 0 0 x w. si w t x si wt arcta 0 x 0 w x0 x cos w t arcta w x 0 w (68) (69) (70) 4 Vibrações e Ruído 04-06

15 .. Vibração ão mortecida Recorredo a um plao de Argat-Gauss, podemos represetar os vetores girates associados à eq. (68) como ode X x 0 x arcta arcta x 0 x 0 x x w w w (7) 5 Vibrações e Ruído 04-06

16 .. Vibração ão amortecida Substituido e, respetivamete, as equações (69) e (70) obtém-se x x xt X siw t t w X cosw t t w X siw t (7) x x xt X cosw t t w X siw t t w X cosw t (73) Como vemos, o vetor velocidade está adiatado p/ radiaos em relação ao vetor deslocameto, ao passo que o vetor aceleração está em oposição de fase. 6 Vibrações e Ruído 04-06

17 .. Vibração ão amortecida Esta observação é visível a figura abaixo 7 Vibrações e Ruído 04-06

18 .. Vibração ão amortecida ou também em 8 Vibrações e Ruído 04-06

19 .3. Vibração livre com amortecimeto viscoso Um sistema vibratório real está sujeito à ação de forças de amortecimeto que levarão a que a amplitude da resposta do sistema vá decrescedo com o tempo. Neste caso, e como já vimos, a equação de movimeto é m x t cx t kxt 0 (74) A solução desta equação tem a forma t x C. e st (75) Substituido a solução a equação (74) obtém-se C. e st ms cs k 0 (76) 9 Vibrações e Ruído 04-06

20 .3. Vibração livre com amortecimeto viscoso Atededo a que esta equação tem de ser válida para todos os valores de t, etão obtém-se a equação ms cs k 0 (77) As raízes desta equação são c c 4mk ; s c c mk s 4 m m (78) 0 Vibrações e Ruído 04-06

21 .3. Vibração livre com amortecimeto viscoso Olhado para esta equação, cocluímos que podem acotecer 3 casos distitos: c 4mk : ambas as raízes são reais; a força de amortecimeto é predomiate e o sistema diz-se super amortecido ou sobre-amortecido (efeito predomiate das forças de amortecimeto); c 4mk : as duas raízes são complexas; as forças de iércia e elásticas prevalecem e o sistema diz-se sub-amortecido; c 4mk : existem duas raízes iguais; o amortecimeto do sistema é crítico (situação limite dos casos ateriores). Vibrações e Ruído 04-06

22 .3. Vibração livre com amortecimeto viscoso Vê-se, pois, que o parâmetro c =4mk assume uma importâcia destacada deomiado-se como coeficiete de amortecimeto crítico, defiido como: c c 4mk s c Habitualmete, recorre-se a um parâmetro adimesioal que relacioa o amortecimeto efetivo do sistema com o seu amortecimeto crítico, chamado de fator de amortecimeto: c m k m mw (79) c c c c mw (80) Vibrações e Ruído 04-06

23 .3. Vibração livre com amortecimeto viscoso Amortecimeto Crítio Cosiderado =, teremos duas raízes reais iguais s s c m c m 4mk 4mk Neste caso, a solução da equação (74) será da forma k m w w x wt wt wt t c e c e t e c c t (8) Cosiderado as codições iiciais c x t x0 ; x t x 0 ; c x 0w 0 x 0 x 3 Vibrações e Ruído 04-06

24 .3. Vibração livre com amortecimeto viscoso Substituido esta solução a eq. (8), tem-se ou w e t wt 0 x0 w x e t x( t) x 0 w te t w t 0 w x e t x( t) c x 0 e, etão x t t e w x t x t 0 w 0 (8) 4 Vibrações e Ruído 04-06

25 Vibrações e Ruído Sistemas com Um DOF.3. Vibração livre com amortecimeto viscoso Sistema sobre-amortecido Neste caso, e cosiderado >, as raízes da equação (78) serão ou (83) ; 4 ; 4 4 ; 4 w w s s mk c mk c m mk s mk c mk c m mk s mk c c m s mk c c m s ; w w w w s s

26 .3. Vibração livre com amortecimeto viscoso A resposta do sistema será x w t w t w t t e c e c e (84) ou outra forma x t t e w A cosh w t A sih w t (85) Cosiderado as codições iiciais iguais ao caso aterior, ficase com x w t x 0 w x 0 t e x 0 cosh w t sih w t w (86) 6 Vibrações e Ruído 04-06

27 Vibrações e Ruído Sistemas com Um DOF.3. Vibração livre com amortecimeto viscoso Sistema sub-amortecido Neste caso, e cosiderado <, as raízes da equação (78) serão ou (87) ; 4 ; 4 4 ; 4 w w i s i s mk c i mk c m mk s mk c i mk c m mk s c mk i c m s c mk i c m s ; w w w w i s i s

28 .3. Vibração livre com amortecimeto viscoso A resposta do sistema será x w t iw t iw t t e c e c e (88) ou outra forma x w t t e A cos w t A si w t (89) Cosiderado as codições iiciais iguais ao caso aterior, ficase com x w t x 0 w x 0 t e x 0 cos w t si w t w (90) 8 Vibrações e Ruído 04-06

29 .3. Vibração livre com amortecimeto viscoso O comportameto de um sistema vibratório com amortecimeto depede do valor do fator de amortecimeto, tal como visível a figura abaixo. Neste caso, temos quatro comportametos distitos: sobre-amortecido criticamete amortecido sub-amortecido sem amortecimeto 9 Vibrações e Ruído 04-06

30 .3. Vibração livre com amortecimeto viscoso Algumas cosiderações relativamete a cada um destes tipos de sistemas: Sobre-amortecido (>): o sistema retora à sua posição de equilíbrio sem oscilar e com um decaimeto expoecial; Criticamete amortecido (=): o sistema atige o equilíbrio da forma mais rapidamete possível sem oscilar (situação limite); Sub-amortecido (0<<): o sistema oscila (com uma frequêcia meor do que aquela relativa ao caso sem amortecimeto), levado a que a amplitude dimiua gradualmete até atigir um valor ulo; Sem amortecimeto (=0): o sistema oscila com a sua frequêcia atural (w ). 30 Vibrações e Ruído 04-06

31 .3. Vibração livre com amortecimeto viscoso Exemplo 3.0: Usado uma folha de cálculo represete em fução do tempo os quatro tipos de movimetos livres idicados acima (sobre-amortecido, crítico, sub-amortecido e sem amortecimeto), e verifique o seu comportameto para diferetes valores de w (ou k e m),, e das codições iiciais e x(0). x(0) Exemplo em 3 Vibrações e Ruído 04-06

32 .4. Aálise da resposta de sistemas amortecidos Observado a equação (86) para o movimeto sobre-amortecido, isto é, para >, vemos que esta é costituída por uma soma de termos com fuções hiperbólicas de variável real, pelo que ão apreseta uma resposta oscilatória de caráter periódico. No etato, para <, um sistema sub-amortecido, a resposta do sistema é regida pela equação (90), descrevedo um movimeto periódico com uma frequêcia w w a (9) sedo w a a frequêcia amortecida que é iferior à frequêcia atural w. Note-se que, este caso, a resposta do sistema sofre uma ateuação progressiva imposta pelo fator e -wt. 3 Vibrações e Ruído 04-06

33 .4. Aálise da resposta de sistemas amortecidos O fator e -wt imprime ao movimeto um comportameto semelhate ao da figura x i x i+ 33 Vibrações e Ruído 04-06

34 .4. Aálise da resposta de sistemas amortecidos Os valores máximos do deslocameto ocorrem em itervalos de tempo iguais associados ao termo com fução trigoométrica, correspodedo ao período de vibração amortecida T a dado por T a p wa w p (9) À relação etre os valores da amplitude do deslocameto etre dois picos sucessivos (separados por T a ) chama-se Taxa de Amortecimeto da Vibração: x x i i e e w t i w t T i a e w T a (93) 34 Vibrações e Ruído 04-06

35 .4. Aálise da resposta de sistemas amortecidos Chama-se, também, decremeto logarítmico da vibração à gradeza ou d l x i pw w Ta x w i d p (94) Note-se que, para um dado sistema sub-amortecido em vibração livre, o logaritmo da razão etre a amplitude de quaisquer dois ciclos separados por mais do que um período é costate, tal como se pode ver através da expressão x x i i e e w w t e w T a t T a i i a d l x x i a i w T p w w a (95) 35 Vibrações e Ruído 04-06

36 .4. Aálise da resposta de sistemas amortecidos ou d p (96) Da equação (95) pode admitir-se que para pequeos valores de pode escrever-se d p (97) 36 Vibrações e Ruído 04-06

37 .4. Aálise da resposta de sistemas amortecidos Exemplo 3.0: Cosidere o sistema idicado a figura. Determie qual o valor da costate de amortecimeto c para o qual o fator de amortecimeto () é igual a,5. R R K C M M K Ip R = 0 cm R = 30 cm Ip =, Kgm M = 0 Kg M = 5 Kg K = x0 4 N/m K = x0 5 N/m 37 Vibrações e Ruído 04-06

38 .5. Vibração Forçada: resposta a uma solicitação harmóica Na prática, existem muitos sistemas vibratórios que sofrem a ação de solicitações diâmicas exteras durate períodos de tempo sigificativos, podedo estas ser do tipo harmóico, periódico ão harmóico ou ão periódico. Cosideremos pois o sistema com amortecimeto viscoso presete a figura seguite, sujeito à ação de uma solicitação harmóica de itesidade F e de frequêcia w, de tal forma que f t F siw t (98) 38 Vibrações e Ruído 04-06

39 .5. Vibração Forçada: resposta a uma solicitação harmóica Neste caso, a equação diferecial que rege o movimeto será m x t cx t kxt F siw t f t (99) Podemos, em alterativa, substituir f(t)=fsi(wt) por f(t)=fe iwt. 39 Vibrações e Ruído 04-06

40 .5. Vibração Forçada: resposta a uma solicitação harmóica Assim, a equação de movimeto fica mx cx kx Fe iwt (00) Esta equação diferecial de seguda ordem tem como solução x i Xe wt (0) ou x Xe iwt (0) Por uma questão de simplicidade de otação, cosideraremos, doravate, X X. iwt Assim, x Xe. 40 Vibrações e Ruído 04-06

41 .5. Vibração Forçada: resposta a uma solicitação harmóica Cosiderado apeas o coeficiete da parte imagiária, a exemplo do que se fez para a força relativa à equação (99) e substituido a equação (0) a equação (00), obtemos Etão, a solução particular da equação (00) virá, a forma complexa, como ou x t k m iwt iwt mw k icwxe Fe iwt k mw icw Fe w icw x iwt t Hw Fe k mw cw Fe iwt (03) (04) 4 Vibrações e Ruído 04-06

42 .5. Vibração Forçada: resposta a uma solicitação harmóica em que w k mw cw O termo H(w) tem o ome de resposta complexa em frequêcia ou deslocabilidade. A parte imagiária da equação (04) é x t k mw cw Podemos reescrever esta equação como x t H cw cos F k mw cw k mw icw wt k mw siw t F cw siwt arcta k mw (05) (06) (07) 4 Vibrações e Ruído 04-06

43 43. Sistemas com Um DOF.5. Vibração Forçada: resposta a uma solicitação harmóica A equação (07) é, portato, a solução particular da equação (00). No etato, existe um teorema matemático que diz que a solução geral de uma equação diferecial é igual à soma da solução da sua equação homogéea (com o membro da direita igual a zero) com uma solução particular da mesma. Ora, vimos ateriormete que a solução da equação homogéea correspodia à resposta de um sistema sub-amortecido, pelo que a solução completa da equação (00) será da forma com x w t t e A cos w t A si w t Vibrações e Ruído a a cw arcta k mw F k mw cw si wt (08)

44 .5. Vibração Forçada: resposta a uma solicitação harmóica Desta expressão (08) facilmete se coclui que a resposta de um sistema sujeito a uma vibração forçada sofre, um período iicial, o efeito das vibrações livres com um caráter trasitório. Porém, como se viu o capítulo aterior, as vibrações livres acabam por desaparecer devido ao efeito do amortecimeto, matedo-se apeas as vibrações forçadas a partir desta fase iicial. Temos, por isso, um regime trasitório da vibração à resposta completa e um regime permaete após o desaparecimeto das vibrações aturais do sistema tal como visível a figura seguite. 44 Vibrações e Ruído 04-06

45 .5. Vibração Forçada: resposta a uma solicitação harmóica 45 Vibrações e Ruído 04-06

46 .5. Vibração Forçada: resposta a uma solicitação harmóica Na maior parte dos casos práticos, a duração do regime trasitório é fugaz, pelo que apeas importa cosiderar o que se passa o regime permaete. Assim, a resposta do sistema será x t X siw t X F k mw cw (09) cw arcta k mw 46 ode X é a âmplitude e é o desfazameto relativamete à força aplicada. Vibrações e Ruído 04-06

47 .5. Vibração Forçada: resposta a uma solicitação harmóica Tomado a expressão aterior e substituido para os parâmetros 47 etão Nesta expressão (), podemos chamar ao termo em fução de e b como sedo o fator de ampliação (Q), o qual traduz a relação etre a resposta resultate de amplitude X e o deslocameto que o sistema sofreria se a força F tivesse um carater estático, ou seja Vibrações e Ruído w c c k b ; ; w w c mw m (0) X Q k F X X ST c b b b b () ()

48 .5. Vibração Forçada: resposta a uma solicitação harmóica O âgulo de desfasameto pode também escrever-se como b arcta b As fuções das equações () e (3) estão represetadas graficamete a figura seguite, a qual cotém uma família de curvas para diferetes valores de e de b. (3) 48 Vibrações e Ruído 04-06

49 .5. Vibração Forçada: resposta a uma solicitação harmóica 49 Vibrações e Ruído 04-06

50 .5. Vibração Forçada: resposta a uma solicitação harmóica 50 Vibrações e Ruído 04-06

51 .5. Vibração Forçada: resposta a uma solicitação harmóica A observação destas curvas permite retirar algumas costatações importates. Em primeiro lugar, verifica-se que quado a frequêcia da força perturbadora iguala a frequêcia atural do sistema, etão a amplitude da vibração aumeta sigificativamete, podedo atigir valores a teder para ifiito o caso de um sistema sem amortecimeto (=0). Esta codição, a que correspode um âgulo de desfasameto =90º, é cohecida como ressoâcia. Outra costatação importate diz respeito ao facto da máxima amplitude do movimeto ão ocorrer exatamete para w=w o caso de 0. 5 Vibrações e Ruído 04-06

52 .5. Vibração Forçada: resposta a uma solicitação harmóica De facto, o valor máximo de Q pode ser obtido através da difereciação da equação () em ordem a b. Assim 5 Igualado esta expressão a 0 verifica-se que os máximos da fução Q ocorrem quado Costata-se pois, que quato maior for o valor do amortecimeto, mais afastado de w ocorrerá o máximo valor do fator de ampliação. Vibrações e Ruído dq db 4b 4b 3 4 b b 4 b w b w 8 b (4) (5)

53 .5. Vibração Forçada: resposta a uma solicitação harmóica Pelo cotrário, para valores muito baixos de amortecimeto (<0,5) pode admitir-se que o valor máximo de Q ocorre quado b=, pelo que da equação () Q b Fialmete, a expressão para determiação de Q max pode ser obtida cojugado as equações (5) e (): (6) Q max ; arcta (7) Covém, agora, aalisar o feómeo da ressoâcia com mais detalhe. 53 Vibrações e Ruído 04-06

54 .5. Vibração Forçada: resposta a uma solicitação harmóica Neste caso b= e, etão, a resposta diâmica completa do sistema traduzida pela equação (08) virá como: Nota: quado b= x w t ST t e A t A t t w si w cos w X X ST cos a a X ST X p Se cosiderarmos as codições iiciais X (8) x 0 x 0 0 etão, podemos ecotrar os valores das cotates A e A da equação (8). 54 Vibrações e Ruído 04-06

55 .5. Vibração Forçada: resposta a uma solicitação harmóica Assim A X ST X ST ; A Substituido estes valores a equação (8) tem-se (9) x X ST w t t e cos w t si w t cosw t a a (0) Para valores muito reduzidos de amortecimeto, a cotribuição do termo em seo pode ser desprezável e as frequêcias aturais amortecida e ão-amortecida serão praticamete iguais, pelo a equação (0) ficará x X X ST w t e cos w t ST w t t e cosw t cosw t () 55 Vibrações e Ruído 04-06

56 .5. Vibração Forçada: resposta a uma solicitação harmóica e o fator de ampliação será Q res w t e cos w t () Represetado esta fução graficamete, vê-se que a resposta do sistema em ressoâcia ficará limitada ao fim de algus ciclos a um valor limite variável em fução de. 56 Vibrações e Ruído 04-06

57 .5. Vibração Forçada: resposta a uma solicitação harmóica No etato, quado o amortecimeto é ulo, a equação () tora-se idetermiada. Aplicado a Regra de L Hopital à equação (0) obtém-se, quado tede para 0, Nota: a Regra de L Hopital diz que lim xa f g Q x x res lim xa si w t w t cos w t f g x x lim com lim xa xa f g x x 0 0 (3) 57 Vibrações e Ruído 04-06

58 .5. Vibração Forçada: resposta a uma solicitação harmóica Neste caso, e dado que o sistema ão é amortecido, a amplitude da resposta aumeta progressivamete com o úmero de ciclos até atigir um valor que provocará o colapso do sistema tal como visível a figura. 58 Vibrações e Ruído 04-06

59 .5. Vibração Forçada: resposta a uma solicitação harmóica Exemplo 3.03: Cosidere um sistema massa-mola de DOF como mostra a figura. A costate elástica da mola é k=0n/m e o valor da massa é m=0,kg. a) Determie a equação de movimeto livre do sistema. b) Calcule a frequêcia atural. c) Determie a equação do movimeto livre sabedo que o coeficiete de amortecimeto é c. 59 Vibrações e Ruído 04-06

60 .5. Vibração Forçada: resposta a uma solicitação harmóica Exemplo 3.03 (cotiuação): d) Obteha o valor do coeficiete de amortecimeto para que o amortecimeto seja crítico. e) Obteha o valor do coeficiete de amortecimeto para que o fator de amortecimeto seja 0,5. f) Determie as frequêcias de vibração amortecida para as alíeas d) e e). g) Determie o módulo da força ecessária para provocar um deslocameto estático de 0,5m. h) Assumido que esta força tem uma variação harmóica ao logo do tempo com uma frequêcia de 9 rad/s, calcule o fator de ampliação, para os casos de d) e e) quado as codições iiciais do movimeto são x 0 x Vibrações e Ruído 04-06

61 .5. Vibração Forçada: resposta a uma solicitação harmóica Exemplo 3.03 (cotiuação): i) Calcule a amplitude máxima dos dois movimetos acima quado a frequêcia da força de excitação é 0rad/s. j) Represete graficamete estes dois movimetos. 6 Vibrações e Ruído 04-06

62 .6. Vibrações iduzidas por massas desequilibradas Muitos equipametos usados em egeharia têm peças em movimeto rotativo (ou alterativo) que, evetualmete, podem sofrer de vibrações provocadas por uma força perturbadora devido à existêcia de um compoete desequilibrado, isto é, cuja massa tem um cetro de gravidade fora do eixo de rotação. Assim, cosidere-se o sistema da figura represetativo de uma máquia com um desequilíbrio de massa m a rodar com uma velocidade agular w (rad/s). e é a excetricidade 6 Vibrações e Ruído 04-06

63 .6. Vibrações iduzidas por massas desequilibradas O sistema tem apeas um grau de liberdade e a sua massa total será m=m +m. A força cetrífuga imposta pela massa em desequilíbrio à máquia é igual a: F mac mw R m ew (4) chamado e cosiderado a compoete vertical da força, podemos escrever m m F mew si wt 63 Vibrações e Ruído 04-06

64 .6. Vibrações iduzidas por massas desequilibradas A equação do movimeto fica m x cx kx mew si wt (5) A solução desta equação é da forma x t X siw t (6) em que X mew k mw cw (7) cw arcta k mw 64 Vibrações e Ruído 04-06

65 .6. Vibrações iduzidas por massas desequilibradas Note-se que esta solução despreza a parte trasitória da resposta do sistema uma vez que, como vimos, esta tem uma duração curta. A exemplo do que já foi visto ateriormete, vamos cosiderar que e etão w b ; w c c c x e b b arcta b b b (8) (9) 65 Vibrações e Ruído 04-06

66 .6. Vibrações iduzidas por massas desequilibradas As fuções das equações (8) e (9) estão represetadas graficamete a figura seguite, a qual cotém uma família de curvas do parâmetro x/e para diferetes valores de e de b. Uma vez que os valores de, e, c e w são costates para um dado sistema, etão as curvas represetadas são gráficos da amplitude da massa do sistema em fução da velocidade de rotação da massa desequilibrada. 66 Vibrações e Ruído 04-06

67 .6. Vibrações iduzidas por massas desequilibradas 67 Vibrações e Ruído 04-06

68 .6. Vibrações iduzidas por massas desequilibradas A observação destas curvas permite retirar algumas costatações importates. Para pequeas velocidades de rotação da massa m, a massa total m move-se muito pouco; A amplitude cresce para valores de velocidade próximos da frequêcia atural e à medida que o amortecimeto dimiui; Os valores máximos de x/e ão ocorrem para b=, mas ates para valores ligeiramete superiores, isto é, b 68 Vibrações e Ruído 04-06

69 .6. Vibrações iduzidas por massas desequilibradas Podemos esteder esta teoria de forma aproximada a situações desequilibradas provocadas por massas alterativas (por exemplo motores). Cosidere-se, para o efeito, o motor ilustrado a figura 69 Vibrações e Ruído 04-06

70 .6. Vibrações iduzidas por massas desequilibradas Neste caso, a força perturbadora é igual à força de iércia da massa alterativa que é dada, aproximadamete, por e mew si wt cosw t L (30) 70 Vibrações e Ruído 04-06

71 .6. Vibrações iduzidas por massas desequilibradas Exemplo 3.04: Cosidere um sistema massa-mola-amortecedor de DOF como mostra a figura. A costate elástica da mola é k=0n/m, o fator de amortecimeto é =0,, o valor da massa é m =0,0kg, o valor da massa é m =0,kg e a excetricidade é e=0,0m. 7 Vibrações e Ruído 04-06

72 .6. Vibrações iduzidas por massas desequilibradas Exemplo 3.04 (cotiuação):. Despresado o efeito da excetricidade e: a) Obteha os valores das frequêcias de vibração atural e de vibração amortecida do sistema. b) Calcule o valor do coeficiete de amortecimeto. c) Determie a equação de movimeto livre do sistema. d) Quato tempo levaria a amplitude do sistema a cair para metade? e) Quato tempo levaria a amplitude do sistema a cair para um décimo? 7 Vibrações e Ruído 04-06

73 .6. Vibrações iduzidas por massas desequilibradas Exemplo 3.04 (cotiuação):. Tedo, agora, em cota o efeito da excetricidade: a) Determie a equação da força aplicada o sistema devido à massa m que roda o setido ati-horário com uma frequêcia w=0rad/s. b) Calcule a amplitude e o âgulo de fase do movimeto forçado resultate o regime permaete. c) O que faria para reduzir a amplitude do movimeto para metade? 73 Vibrações e Ruído 04-06

74 .7. Balaceameto de massas desequilibradas O balacemato de corpos em rotação com massas desequilibradas é importate para preveir as vibrações. As vibrações em maquiaria pesada e geradores elétricos, por exemplo, podem provocar falhas catastróficas. As vibrações podem ser ruidosas e descofortáveis e, um automóvel, por exemplo, quado uma roda está desequilibrada as viages toram-se desagradáveis. No caso de uma simples roda, o balaceameto resume-se a reposicioar o cetro de massa da roda o seu eixo de rotação. Para sistemas mais complexos, esta tarefa pode ser mais trabalhosa. 74 Vibrações e Ruído 04-06

75 .7. Balaceameto de massas desequilibradas Para um corpo estar totalmete equilibrado, é ecessário reuir duas codições: Equilíbrio estático: Este ocorre quado ão existe uma força cetrífuga resultate e o cetro de massa coicide com o cetro de rotação. Equilíbrio diâmico: Este ocorre quado ão existe um mometo ao logo do eixo. 75 Vibrações e Ruído 04-06

76 .7. Balaceameto de Massas Desequilibradas.7.. Balaceameto um plao Se o sistema for um simples disco, etão apeas é ecessário fazer o balaceameto estático. Cosidere-se o disco estreito, ou roda, da figura em que o cetro de massa e o cetro de rotação ão estão a mesma posição. cetro de rotação e cetro de massa 76 Vibrações e Ruído 04-06

77 .7. Balaceameto de Massas Desiquelibradas.7.. Balaceameto um plao Para testar o equilíbrio estático basta apoiar a roda um rolameto sem fricção. O cetro de massa irá posicioar-se sempre sob o cetro de rotação (como um pêdulo). Se o disco estiver equilibrado, ele permaecerá imóvel qualquer que seja a sua posição iicial. Se o cetro de massa estiver a uma distâcia e do cetro de rotação, quado o disco roda a uma velocidade agular w, etão a força cetrífuga gerada é, como visto ates, ode m é a massa do disco e e a excetricidade. Esta é a força de desequilíbrio. F mew (3) 77 Vibrações e Ruído 04-06

78 .7. Balaceameto de Massas Desiquelibradas.7.. Balaceameto um plao Por forma a cacelar esta força, é ecessário criar outra com a mesma direção e itesidade mas com setido cotrário. Isto cosegue-se, adicioado uma massa m e uma posição r e uma liha que ue os dois cetros de massa e passa pelo eixo de rotação. Assim, tem-se ou m e e r w mew m e r e me (3) (33) uma vez que a velocidade agular é a mesma. 78 Vibrações e Ruído 04-06

79 .7. Balaceameto de Massas Desequilibradas.7.. Balaceameto um plao Colocado uma massa adequada uma posição radial adequada desloca-se o cetro de massa para o eixo de rotação. Este equilíbrio é válido para qualquer velocidade de rotação desde que o produto me se mateha igual e oposto. cetro de rotação w me m e r ew 79 Vibrações e Ruído 04-06

80 .7. Balaceameto de Massas Desequilibradas.7.. Balaceameto um plao Cosidere-se, agora, que o osso disco está desiquilibrado porque tem três outras massas agarradas a ele. m m m 3 80 Vibrações e Ruído 04-06

81 .7. Balaceameto de Massas Desequilibradas.7.. Balaceameto um plao Estas massas são coplaares e rodam em toro do mesmo eixo. As forças cetrífugas que atuam em cada massa são F ; F m r w mr w F mr w ; Estas são quatidades vetoriais que podem ser adicioadas vetorialmete para se obter a força resultate F 3 F F 3 F F força resultate F F e força de balaceameto F 8 Vibrações e Ruído 04-06

82 .7. Balaceameto de Massas Desequilibradas.7.. Balaceameto um plao Se o sistema estivesse equilibrado ão haveria força resultate. Etão, é ecessário adicioar uma força com magitude igual e setido oposto para aular a força resultate. A força resultate é dada por F F m r m r m r F F3 mr w mr w m3r3 w 3 3 w (34) ou por F F i F j (35) x y com F x m r cos m r cos m r w 3 3 cos 3 F y m r si m r si m r s w 3 3 si 3 8 Vibrações e Ruído 04-06

83 .7. Balaceameto de Massas Desequilibradas.7.. Balaceameto um plao ode é o âgulo de posição e e j são os vetores uitários a direção x e y, respetivamete. A magitude e âgulo de posição da força resultate são F A excetricidade do desiquilíbrio das massas pode ser obtida a partir da equação (3) com ode a massa total m é F x F y i ; Fy arcta (36) Fx F e (37) mw m m (38) m m3 83 Vibrações e Ruído 04-06

84 .7. Balaceameto de Massas Desequilibradas.7.. Balaceameto um plao A magitude e a posição agular da força que opõe a força resultate, chamada força de balaceameto, são dadas por F F F ; e x y e p (39) A força de balaceameto, em forma vetorial é dada por F e F i F j F cos i F si j (40) ex ey Assim, para se ter o sistema equilibrado é ecessário que e e e e e e e m r w F (4) 84 e, etão, Vibrações e Ruído Fe mere (4) w

85 .7. Balaceameto de Massas Desequilibradas.7.. Balaceameto um plao sedo m e e r e, escolhidos adequadamete, e serão válidos para qualquer velocidade de rotação desde que me ão se altere. m m m 3 m e 85 Vibrações e Ruído 04-06

86 .7. Balaceameto de Massas Desequilibradas.7.. Balaceameto um plao Em geral, para um úmero qualquer de massas, as expressões acima que depedem delas ficam: F x w k m k r k cos k (43) F y w m r si (44) k k k k m m k k (45) 86 Vibrações e Ruído 04-06

87 .7. Balaceameto de Massas Desequilibradas.7.. Balaceameto um plao Exemplo 3.05: Três massas A, B e C estão posicioadas um disco equilibrado como mostra as figura em posições radiais de 0mm, 00mm e 80mm, respetivamete. As massas são de kg, 0,5kg e 0,7kg, respetivamete. Determie qual o valor da quarta massa e a sua posição agular, ecessária adicioar ao sistema, uma posição radial de 60mm para que o sistema fique estaticamete equilibrado. m C m 00º B 30º m A 87 Vibrações e Ruído 04-06

88 .7. Balaceameto de Massas Desequilibradas.7.. Balaceameto um plao Exemplo 3.06: Três massas A, B e C estão posicioadas um disco equilibrado como mostra a figura em posições radiais de 00mm, 75mm e 90mm, respetivamete. As massas são de kg,,5kg e kg, respetivamete. Determie qual o valor da quarta massa e a sua posição agular, ecessária adicioar ao sistema, uma posição radial de 60mm para que o sistema fique estaticamete equilibrado. m B 65º 45º m C m A 88 Vibrações e Ruído 04-06

89 .7. Balaceameto de Massas Desequilibradas.7.. Balaceameto um plao Exemplo 3.07: Cosidere o sistema mecâico da figura referete à suspesão de um automóvel ligeiro. A roda tem um desequilíbrio correspodete a uma massa m de 0,0kg uma posição radial e de 0,5m. A massa sobre a roda M tem o valor de 00kg. Os valores de k e são, respetivamete, 5KN/m e 0,6. 89 Vibrações e Ruído 04-06

90 .7. Balaceameto de Massas Desequilibradas.7.. Balaceameto um plao Exemplo 3.07 (cotiuação): Assumido que o chão é totalmete plao, ão itroduzido qualquer força o sistema: a) Escreva a equação do sistema em regime permaete. b) Mostre graficamete o movimeto da massa M, quado a roda tem uma velocidade agular de 600rpm. c) Propoha uma forma de equilibrar a roda. 90 Vibrações e Ruído 04-06

91 .7. Balaceameto de Massas Desequilibradas.7.. Balaceameto fora do plao Cosidere-se, agora, duas massas estaticamete equilibradas, mas atuado em posições diferetes ao logo de um eixo. A cetro de massa mometo w B Para equilíbrio estático tem-se m A r A =m B r B. Tora-se claro que, mesmo com equilíbrio estático, a força cetrífuga cria um mometo em toro do cetro de massa. 9 Vibrações e Ruído 04-06

92 .7. Balaceameto de Massas Desequilibradas.7.. Balaceameto fora do plao Neste caso simples, o problema é resolvido adicioado uma força igual e oposta os dois potos como mostra a figura. A w B 9 Vibrações e Ruído 04-06

93 .7. Balaceameto de Massas Desequilibradas.7.. Balaceameto fora do plao Cosidere-se o mometo resultate de uma úica massa. plao de referêcia força cetrífuga B r w x A força cetrífuga produzida é F=mrw. O mometo em relação ao plao de referêcia é M=Fx=mrw x. 93 Vibrações e Ruído 04-06

94 .7. Balaceameto de Massas Desequilibradas.7.. Balaceameto fora do plao Para se obter equilíbrio diâmico e estático é ecessário determiar o mometo resultate e adicioar massas em potos apropriados para o aular. Os potos apropriados vão estar em dois plaos ão coplaares com qualquer das massas origiais. Para isto é ecessário usar dois diagramas de vetores. Uma vez que a velocidade agular é comum a todas as massas pode assumir-se w= e desehar vetores que represetam mr e mrx. O método é melhor explicado através de um exemplo. 94 Vibrações e Ruído 04-06

95 .7. Balaceameto de Massas Desequilibradas.7.. Balaceameto fora do plao Exemplo 3.08: Cosidere o veio da figura com duas massas desequilibradas, m B e m C. Determie as massas ecessárias colocar os plaos A e D e a respetiva posição agular para se obter equilíbrio total sabedo que r A =r D =0,06m. plao A m B =5kg m C =kg plao D B C 60º x B =0,m w x C =0,3m x D =0,375m r B =0,075m r C =0,050m 95 Vibrações e Ruído 04-06

96 .7. Balaceameto de Massas Desequilibradas.7.. Balaceameto fora do plao Exemplo 3.09: Um veio tem quatro discos A, B, C e D ao logo do seu comprimeto distaciados 00mm etre si. Uma massa de 0,8kg está o disco B a uma distâcia do cetro de 0mm. Uma massa de kg está o disco C um raio de 30mm e rodada 0º em relação à massa B. Determie as massas ecessárias colocar em A e em D, um raio de 5mm que produzam equilíbrio total. 96 Vibrações e Ruído 04-06

97 .7. Balaceameto de Massas Desequilibradas.7.. Balaceameto fora do plao Exemplo 3.0: O diagrama da figura mostra duas massas em dois rotores os plaos B e C. Determiar o valor das massas a adicioar aos rotores dos plaos A e D um raio de 40mm para que se obteha equilíbrio diâmico e estático. A B C D 0mm 50mm 45º 60º 5kg 80mm 70mm 00mm 3kg 97 Vibrações e Ruído 04-06

98 .8. Trasmissibilidade da Força Grade parte dos problemas de egeharia pressupõe que haja uma trasmissão das forças (vibrações) desevolvidas por uma máquia às estruturas ou compoetes vizihos, o que poderá origiar feómeos de ruía variados (fadiga, frettig, desgaste, etc.). Tora-se portato ecessário isolar a trasmissão de vibrações etre compoetes. A eficiêcia do isolameto pode ser medida em termos da razão etre a força ou movimeto trasmitido e a força ou movimeto desevolvido. 98 Vibrações e Ruído 04-06

99 .8. Trasmissibilidade da Força Cosidere-se, pois, o sistema da figura Cosidere-se aida que a rigidez da estrutura de suporte é muito superior à do cojuto mola + amortecedor, sedo estes resposáveis pela trasmissão da força etre a massa vibrate e a fudação. 99 Vibrações e Ruído 04-06

100 .8. Trasmissibilidade da Força Neste caso, a força trasmitida, F TR, será igual a F TR kxcx (46) Por outro lado, podemos cosiderar que a força aplicada, F AP, é dada por F AP F Vimos ateriormete que para um sistema deste tipo, a relação de X com a força aplicada é X AP e iwt k w m iwc F AP (47) 00 Vibrações e Ruído 04-06

101 .8. Trasmissibilidade da Força Portato, associado as expressões (46) e (47) e colocado x Xe iwt 0 podemos escrever A trasmissibilidade da força pode ser obtida fazedo ou usado as defiições de e b F Vibrações e Ruído k iwc kx iwcx (48) k w m iwc TR F AP T R FTR k iwc (49) F k w m iwc AP b b b T (50) R

102 .8. Trasmissibilidade da Força Graficamete T R fica: 0 Vibrações e Ruído 04-06

103 .8. Trasmissibilidade da Força Da figura aterior é possível destacar algumas coclusões: Todas as curvas se itersetam o poto b, pelo que a força trasmitida só é meor do que a força aplicada quado w w Cosiderado que a amplitude de F AP é costate, a força trasmitida à fudação será proporcioal à T R, pelo que será coveiete usar velocidades de operação das máquias de tal forma que w w 03 Vibrações e Ruído 04-06

104 .8. Trasmissibilidade da Força No caso, de uma máquia de velocidade variável com uma massa excêtrica, prova-se que a trasmissibilidade é dada pela expressão com sedo e a excetricidade. FTR b b F b b F mew Podemos, aida, defiir a redução da força como sedo b T (5) R F AP F F AP TR T (5) R 04 Vibrações e Ruído 04-06

105 .8. Trasmissibilidade da Força Graficamete -T R fica: 05 Vibrações e Ruído 04-06

106 .8. Trasmissibilidade da Força Um exemplo de aplicação do coceito de trasmissibilidade é um istrumeto capaz de medir movimetos vibratórios como é o caso de um sismógrafo. Este aparelho está represetado esquematicamete a figura 06 Vibrações e Ruído 04-06

107 .8. Trasmissibilidade da Força Pela teoria ateriormete vista, o movimeto relativo etre a massa e a base pode ser registado, estado ambos relacioados pela equação x y b b b (5) 07 Vibrações e Ruído 04-06

108 .8. Trasmissibilidade da Força Exemplo 3.: Cosidere o sistema mecâico da figura referete à suspesão de um automóvel ligeiro que se desloca ao logo de uma estrada com oscilações regulares que iduzem uma força harmóica a roda. A massa sobre a roda M tem o valor de 00kg. Os valores de k e são, respetivamete, 5KN/m e 0,6. 08 Vibrações e Ruído 04-06

109 .8. Trasmissibilidade da Força Exemplo 3. (cotiuação): Assumido que a força aplicada a roda tem a forma: a) Calcule a trasmissibilidade da força. b) Calcule a relação etre o deslocameto da roda y e o deslocameto da massa x. c) Mostre graficamete o movimeto da massa M. d) Qual é o deslocameto máximo da massa M e da roda? e) Comete os resultados. F AP 500si 0t 09 Vibrações e Ruído 04-06

110 .9. Isolameto de Vibrações Vários materiais estão atualmete dispoíveis com a fução de isolameto de vibrações, destacado-se o feltro, a borracha, a cortiça, molas elásticas, etc.. Em qualquer dos casos, pretede-se que o isolador garata a quebra de ligação rígida etre a máquia e a estrutura de suporte e, ao mesmo tempo, que a sua evetual rutura ão iduza o colapso geral do equipameto/estrutura. Vejamos, pois, algumas características desses materiais. 0 Vibrações e Ruído 04-06

111 .9. Isolameto de Vibrações Feltro: Usado geralmete para frequêcias acima dos 40Hz. É apeas eficaz quado trabalha à compressão e ão resiste a esforços de torção. Como regra geral, as deformações exigidas aos blocos de feltro ão devem ultrapassar 5% da sua espessura. Tem um coeficiete de amortecimeto elevado, sedo particularmete satisfatório para baixos valores de b. Sedo um material orgâico tem propesão para se deteriorar quado exposto a óleos e solvetes. Cortiça: Pode ser usada tato à compressão como ao corte sedo recomedada para frequêcias acima dos 40Hz. O seu módulo de elasticidade dimiui com o aumeto de carga. É resistete à corrosão, solvetes e a temperaturas moderadas. Vibrações e Ruído 04-06

112 .9. Isolameto de Vibrações Molas Metálicas: São largamete utilizadas para aplicações com baixas frequêcias. Têm muito pouco amortecimeto e por isso são particularmete aptas para b. São resistetes a ambietes agressivos e temperatura elevada. Borracha: Material muito usado como supressor de vibrações até frequêcias a ordem de 50Hz. Trabalha tato ao corte como à compressão, mas as suas propriedades variam sigificativamete com a carga, temperatura e frequêcia. Podem ser atacadas por óleos e solvetes. Molas de ar ou airbag : São costituídas por sacos de ar de alta resistêcia, cheios com ar, e usam-se em codições de muito baixa frequêcia (etre 0,07Hz e 5Hz), permitido deflexões apreciáveis. Vibrações e Ruído 04-06

113 .9. Isolameto de Vibrações Uma ota fial para o facto de se assistir, atualmete a uma tedêcia de se usarem certas técicas costrutivas e materiais que são propesos à trasmissão de vibrações. Por exemplo: As jutas soldadas apresetam um meor amortecimeto do que as uiões rebitadas ou aparafusadas. Geralmete, os materiais mais resistetes (tais como o aço) têm um muito meor coeficiete de amortecimeto do que os materiais meos resistetes (plásticos, borrachas, etc.). 3 Vibrações e Ruído 04-06

114 .9. Isolameto de Vibrações O isolameto de vibrações é um processo pelo qual os efeitos da vibração são miimizados, já que é impossível elimiá-los totalmete. Depededo do tipo de suspesão (que desempeha o papel de isolador), que pode ser ativa ou passiva, ela reduzirá, respetivamete, a amplitude da força trasmitida do sistema para a base (fig. a), ou a amplitude do movimeto trasmitido da base para o sistema (fig. b). 4 Vibrações e Ruído 04-06

115 .9. Isolameto de Vibrações O isolador de vibrações, obviamete, é um cojuto de molas (rigidez equivalete k) e amortecedores (coeficiete de amortecimeto equivalete c). A medida do isolameto de vibrações é feita através do parâmetro deomiado trasmissibilidade. A trasmissibilidade, simbolizada por T R, é defiida de acordo com o tipo de suspesão. Assim, suspesão ativa: T R amplitude da força trasmitida amplitude da força de excitação suspesão passiva: T R amplitude do movimeto trasmitido amplitude do movimeto de excitação 5 Vibrações e Ruído 04-06

116 .9. Isolameto de Vibrações Exemplo 3.: Um motor elétrico acioa um equipameto a uma velocidade de 750rpm. O sistema está motado sobre calços de borracha os quais apresetaram uma deformação estática de 5mm durate a motagem. Determiar a trasmissibilidade da força do motor para a fudação assumido que o fator de amortecimeto do sistema é 0,5. 6 Vibrações e Ruído 04-06

117 .9. Isolameto de Vibrações Exemplo 3.3: Um equipameto eletromecâico está motado sobre um cojuto de isoladores de borracha. O sistema, cuja frequêcia atural é 500rpm, exibe, a ressoâcia, um fator de amplificação de 5. A partir de que frequêcia a trasmissibilidade da força é reduzida a 50%? 7 Vibrações e Ruído 04-06

118 .9. Isolameto de Vibrações Exemplo 3.4: A figura mostra a resposta em frequêcia do movimeto vertical do piso as proximidades de uma presa. Estime o fator de amortecimeto e calcule a trasmissibilidade a 800rpm. 8 Vibrações e Ruído 04-06

119 .9. Isolameto de Vibrações Exemplo 3.5: Observa-se que a vibração livre de uma haste vertical ecastrada o chão cai de uma amplitude iicial de 0mm para metade desse valor em 0 ciclos. Calcular a amplitude da resposta permaete a ressoâcia quado a base da viga é excitada pelo deslocameto horizotal harmóico da figura, dado em metros. 9 Vibrações e Ruído 04-06

120 .9. Isolameto de Vibrações Exemplo 3.6: Um motor elétrico roda a 750rpm e deve ser motado sobre suportes de borracha. Estão dispoíveis dois tipos de suporte: do tipo A com uma deflexão estática de 5mm e do tipo B com 8mm. Qual é o tipo de suporte mais adequado o que diz respeito ao isolameto de vibrações? Cosiderar que ambos os tipos apresetam um fator de amortecimeto de 0,. 0 Vibrações e Ruído 04-06

121 .0. Resposta a uma Força Periódica Muitas vezes, os sistemas vibratórios podem estar sujeitos a excitações periódicas que ão têm que ser ecessariamete harmóicas, sedo este um caso mais geral. No etato, uma solicitação periódica pode ser decomposta em várias compoetes harmóicas com recurso a uma Série de Fourier. Assim, uma fução é periódica se f t f t T (53) sedo T o período de tempo ecessário para que f(t) se repita. Vibrações e Ruído 04-06

122 .0. Resposta a uma Força Periódica Uma fução periódica pode ser expadida por via de uma Série de Fourier com a seguite forma ou em alterativa sedo c f a 0 t a cos t b siwt a f t c c t 0 si w (54) Note-se que é um úmero iteiro positivo, e a, b e c são os coeficietes da série. w (55) 0 0 ; c a b ; arcta (56) b a Vibrações e Ruído 04-06

123 .0. Resposta a uma Força Periódica Note-se aida que a 0 / é o valor médio da fução f(t), tedo esta uma frequêcia fudametal igual a w=p/t (a que correspode =). Para outros valores de correspoderão valores de frequêcia dados por w=p/t. Os valores de a e b são dados por a a b 0 T T T T 0 T 0 T 0 f f f t dt t cos t t siwt w dt (57) dt 3 Vibrações e Ruído 04-06

124 .0. Resposta a uma Força Periódica Assim, a equação de movimeto geral para um sistema vibratório com grau de liberdade é: Pelo teorema da sobreposição, a resposta diâmica, em regime permaete e devida a cada uma das compoeetes harmóicas ieretes à perturbação f(t), é dada por com m x cx kx a x a a0 a cos si cos wt b wt wt b siwt 0 k k b b (58) (59) b arcta (60) b 4 Vibrações e Ruído 04-06

125 .. Feómeo de Batimeto Já foi visto ateriormete que a soma de dois movimetos harmóicos diferetes ão resulta um movimeto harmóico. No etato, se as frequêcias destes movimetos forem ligeiramete diferetes resulta o movimeto com o aspeto da figura abaixo, ode se idetifica o feómeo de batimeto (beatig) cada vez que a amplitude atige um máximo. 5 Vibrações e Ruído 04-06

126 .. Feómeo de Batimeto Cosiderem-se dois movimetos com duas frequêcias ligeiramete diferetes, isto é Etão wt ; x X cos w t x X cos (6) x x x X cos wt X cos w t Xcos wt cos w t e fialmete x X cos t cosw t Relembrar da trigoometria: cos+cosb=cos(/-b/)cos(/b/ (6) 6 Vibrações e Ruído 04-06

127 .. Feómeo de Batimeto Como se vê, o movimeto resultate pode ser cosiderado como sedo uma fução circular com frequêcia e de amplitude variável w X cos t A frequêcia de batimeto, f b, será dada por w w f b f f (63) p p p 7 Vibrações e Ruído 04-06

128 .. Feómeo de Batimeto 8 Vibrações e Ruído 04-06

129 .. Feómeo de Batimeto 9 Vibrações e Ruído 04-06

130 .. Feómeo de Batimeto Efeito da alteração da frequêcia de um movimeto em relação a outro: 30 Vibrações e Ruído 04-06

131 . Sistemas com DOF Muitos dos sistemas vibratórios existetes em ambiete real pressupõem múltiplos graus de liberdade, sedo a sua aálise mais complexa e exigido, por vezes, o recurso ao cálculo computacioal. Equato um sistema com apeas grau de liberdade fica sujeito a um movimeto que se pode descrever como um estado material de vibração (ou seja, o sistema vibra com uma frequêcia igual à sua frequêcia atural), um sistema com vários graus de liberdade o estado atural de vibração correspode a uma dada cofiguração de deslocametos das massas discretas, tedo um úmero fiito de modos de vibração cohecidos por modos aturais de vibração. 3 Vibrações e Ruído 04-06

132 . Sistemas com DOF Neste caso, o sistema pode vibrar com qualquer das suas frequêcias aturais associadas a cada um dos modos de vibração. Por questões de simplicidade, cosidere-se o sistema com graus de liberdade da figura 3 Vibrações e Ruído 04-06

133 . Sistemas com DOF As equações de movimeto podem ser obtidas a partir do diagrama de corpo livre cosiderado um deslocameto arbitrário o istate t. m x kx k x x m x kx x Assumido que se tem um movimeto siusoidal represetado por x tem-se para as velocidades e acelerações x X wt ; x X siw t si x t wx cosw t ; x t wx cosw t t w X siwt ; x t w X siwt (64) 33 Vibrações e Ruído 04-06

134 Vibrações e Ruído Sistemas com DOF que substituídos a Eq. (64) resulta em Rearrajado o sistema de equações, agrupado as variáveis idêticas X, tem-se Ou, aida, escrevedo a forma matricial Para que esta equação seja válida para quaisquer valores de X e X, etão o determiate da matriz tem que ser ulo. t X X k t X m t X X k t X k t X m w w w w w w w si si si si si (65) 0 0 X k m X k X k X k k m w w (66) 0 0 X X k m k k k k m w w (67)

135 . Sistemas com DOF Assim, obtém-se a seguite equação característica ou m m w k k m w k k 0 m k m k m k w k k 0 4 m w (68) Vemos que esta equação represeta uma equação quadrática da variável w, o que sigifica que existem duas frequêcias aturais w e w. A título de exemplo, cosidere-se o caso particular em que o sistema é simétrico, isto é, m =m =m e k =k =k. 35 Vibrações e Ruído 04-06

136 . Sistemas com DOF Neste caso, a Eq. (68) fica Daqui resulta que as duas frequêcias aturais são dadas por ou 4 m w 3mkw k 0 (69) 3mk w 9m Também se pode cosiderar para este caso, e para cada valor de w, o quociete etre X e X. k m 4m k k w 0,68 w,68 (70) m m k 36 Vibrações e Ruído 04-06

137 . Sistemas com DOF Assim, da seguda equação do sistema da Eq. (66) tem-se X X Portato, para w=w, tem-se k (7) k mw 37 e para w=w tem-se Coclui-se, etão, que se o sistema vibrar com a frequêcia atural w, ambas as massas se deslocam em fase, ao passo que a frequêcia w levará a uma oposição de fase do deslocameto das massas do sistema. Vibrações e Ruído X X X X 0,68,68 0,68,68

138 . Sistemas com DOF O exemplo apresetado ilustra o facto de as equações do movimeto serem acopladas. De facto, vê-se através da equação (64) que as duas equações ão são idepedetes etre si, havedo variáveis comus etre ambas. Quer isto dizer que o movimeto da massa m é iflueciado pelo movimeto da massa m, e vice-versa. 38 Vibrações e Ruído 04-06

139 . Sistemas com DOF Durate o projeto da maior parte dos sistemas diâmicos é ecessário cohecer as suas frequêcias aturais e os modos de vibração correspodetes para que se possa dimesioar a relação etre as costates elásticas e as massas e assim evitar que o sistema fucioe próximo das suas frequêcias aturais. Neste setido, as equações derivadas acima podem ser usadas para idetificar as frequêcias aturais e as formas dos modos de vibração. 39 Vibrações e Ruído 04-06

140 . Sistemas com DOF Quado estamos perate um sistema com mais de DOF, a equação do movimeto pode ser represetada geericamete a seguite forma matricial: M x t C x t K xt f t (7) ode [M] é a matriz de massa, [C] é a matriz de amortecimeto e [K] é a matriz de rigidez. Em certas situações particulares, é possível modificar as equações de movimeto de forma a selecioar um cojuto de coordeadas pricipais (idepedetes e ortogoais) que levam a que as matrizes de massa e de rigidez sejam diagoais, sedo a abordagem mais simples uma vez que existe desacoplameto (isto é, os modos de vibração são idepedetes us dos outros). 40 Vibrações e Ruído 04-06

141 . Sistemas com DOF Neste caso, cada equação do movimeto pode ser resolvida como se represetasse um sistema de um só grau de liberdade. 4 Vibrações e Ruído 04-06

142 . Sistemas com DOF Exemplo 3.7: Determie as frequêcias aturais e as formas dos modos de vibração de um sistema massa-mola que está restrigido de forma a mover-se a vertical. Os dados estão idetificados a figura ao lado. 4 Vibrações e Ruído 04-06

143 . Sistemas com DOF.. Um caso de iteresse com DOF Para ateuar o efeito das vibrações presetes em máquias recorre-se por vezes, a alterações da frequêcia própria relativamete à frequêcia da força excitadora, variado os valores da massa e/ou rigidez, o etato isto em sempre é praticável. Um método alterativo cosiste em recorrer a um absorsor diâmico como o idicado a figura ao lado, tedo o coceito sido ivetado por Frahm em Vibrações e Ruído 04-06

144 . Sistemas com DOF.. Um caso de iteresse com DOF O absorsor diâmico, embora ão tedo compoetes para amortecimeto, permite elimiar as vibrações impostas à massa M desde que se garata que a frequêcia atural do absorsor (massa m) é igual à frequêcia w da força perturbadora. Provemos esta afirmação partido das equações de movimeto: Mx k k x kx P0 siwt mx k x x 0 A vibração forçada do sistema tem a forma x x a a Uma vez que as equações (73) só cotêm termos em x, x, a dupla difereciação de uma fução seo cotiua a ser uma fução seo. si wt si wt (73) (74) x e x 44 Vibrações e Ruído 04-06

145 . Sistemas com DOF.. Um caso de iteresse com DOF 45 As equações difereciais (73) podem passar a expressões algébricas através da divisão por si(wt): Por questões de simplificação, passemos estas expressões para uma forma adimesioal cosiderado a seguite otação Vibrações e Ruído x ST w a w P0 k m M k m k M Mw k k a ka P ka mw k a 0 frequêcia atural do absorsor frequêcia atural do sistema razão de massas deformação estática do sistema pricipal 0 (75)

146 Vibrações e Ruído Sistemas com DOF.. Um caso de iteresse com DOF Etão, a equação (75) vem como: Resolvedo este sistema de equações em ordem a a e a tem-se 0 a a x a k k a k k a ST w w w w (76) k k k k x a k k k k x a a ST a a ST w w w w w w w w w w (77)

147 . Sistemas com DOF.. Um caso de iteresse com DOF Da aálise do umerador da primeira equação acima, facilmete se coclui que a amplitude do deslocameto da massa pricipal (a ) é ula quado a frequêcia da força de excitação iguala a frequêcia atural do absorsor. 47 Vibrações e Ruído 04-06

148 . Sistemas com DOF.. Um caso de iteresse com DOF Exemplo 3.8: O sistema massa-mola da figura sofre uma excitação harmóica extera a massa M. Cosidere que M=50kg, k =kn/m e que a força de excitação tem amplitude P 0 =00N e frequêcia w=0rad/s. a) Determie o valor da massa m e da costate elástica k, que permite reduzir a amplitude de oscilação da massa M para zero e, ao mesmo tempo, sabedo que a razão de massas =0,. b) Determie a amplitude do movimeto da massa m as mesmas codições. c) Comete os resultados. 48 Vibrações e Ruído 04-06