CONCEITOS DE VIBRAÇÃO

Transcrição

1 CONCEITOS DE VIBRAÇÃO Paulo S. Varoto 55

2 3.1 - Itrodução O objetivo pricipal desta secção é o de apresetar coceitos básicos da teoria de vibrações bem como iterpretá-los sob o poto de vista dos esaios experimetais. Tópicos que serão abragidos: O modelo de 1 GDL - Resposta livre e forçada - O coceito de FRF O modelo de GDL - Modelo modal - Superposição modal - FRF para GDL 56

3 3. - O Modelo de 1 GDL Represetado por: f (t) x (t) m //\\//\\ //\\//\\ Equação do movimeto: k c r F = //\\//\\ //\\//\\ r ma m && x + c x& + k x = f ( t ) m x&& c x& k x f ( t ) - força de iércia - força de amortecimeto - força de mola - força de excitação 57

4 Resposta livre ão amortecida Obtida a partir de: m x&& + k x = Solução: x Ae st = Substituido-se a equação acima, tem-se: ms + k = Ode s deota a variável de Laplace. A solução desta última equação é dada por: s k =± =± jω m Ode ω é defiido por: 58

5 ω = k m E correspode à frequêcia atural (em rad/s) do sistema de 1 GDL. Etão, a solução o tempo para a vibração livre é escrita como: x = A cos( ω t ) + B se( ω t ) c Substituido-se esta última expressão a equação de movimeto, tem-se A( k mω ) + B( k mω ) = Esta expressão mostra que a força de mola (ka ou kb) é cacelada pela força de iércia (mω A ou mω B) idepedetemete da amplitude. Isto mostra como estas duas forças cacelam-se mutuamete quado o sistema vibra a sua frequêcia atural! 59

6 3.. - Resposta Livre Amortecida Neste caso: c e f (t) =. Etão, a equação característica assume a seguite forma: ms + cs+ k = A atureza das raizes desta última equação depede do valor da costate de amortecimeto c em relação ao amortecimeto crítico c c cc = km O fator de amortecimeto modal ζ é defiido por c ς = = c c c km Para o caso sub-amortecido (ζ < 1) temos a frequêcia atural amortecida ω = ω 1 ς d 6

7 Etão, a solução trasiete para codições iiciais x e v pode ser escrita como ςω t v + ςω x xc = e x dt + cos( ω ) se( ωdt ) ωd Exemplo: 1.5 e ς ω t x x 1 x x x c t t 1 t t.5 e ς ω Tempo (s) t 61

8 O decremeto logarítmico é defiido por: δ = πς 1 ς = 1 x l x Ode: é o úmero de ciclos usado x é a amplitude em t = t x é a amplitude em t = t Esta última equação pode ser reescrita como: log( x ) = log( x ) (. 4343δ ) E para o caso do amortecimeto de Coulomb (atrito seco): F x = x d 4 k Vejamos graficamete o comportameto dos dois modelos de amortecimeto quado variamos o úmero de cíclos da vibração livre 6

9 Exemplo: Neste caso = 3, x = 1 e x = 1.5 para os dois modelos de amortecimeto 1 liear 1 log x 5 x viscoso coulomb 1 3 Número de Cíclos () 1 viscoso coulomb 1 3 Número de Cíclos () Tora-se evidete a difereça etre os dois modelos de dissipação de eergia. Estas difereças podem evetualmete auxiliar a determiação do modelo de amortecimeto. Observe que sedo x = 1 e x = 1.5 para ambos os modelos, a mesma quatidade de eergia é removida do sistema durate os = 3 ciclos 63

10 Resposta Forçada Amortecida Assume-se uma excitação da forma: f t F e j ω ( )= t com F e ω sedo a amplitude da força e a frequêcia de excitação, respectivamete. Etão a equação do movimeto fica mx cx kx F e j ω && + & + = t Assumido-se que o sistema respoda com a mesma frequêcia da força excitadora x t X e j ω ( )= t Substituido-se etão esta última relação a equação de movimeto, tem-se jω t jω t ( k mω + jcω) X e = F e Simplificado esta equação, temos o seguite resultado para a amplitude X do movimeto vibratório forçado 64

11 X F F = = k mω + jcω k r j ς r [ 1 + ] = H( ω ) F Real Imagiário Ode r = ω / ω e é o quociete admesioal de frequêcia. A fução H ( ω ) é deomiada Fução de Resposta em Frequêcia (FRF) do sistema de 1 GDL, e é dada por: H ( ω ) 1 1 = = k mω + jcω k r j ς r [ 1 + ] A FRF relacioa a saída (resposta) do sistema por cada uidade da etrada (excitação) aplicada como fução da frequêcia de excitação. A FRF descrita por esta última equação recebe o ome de FRF de Receptâcia (também cohecida como Admitâcia ou Flexibilidade Diâmica) uma vez que a variável de saída é o deslocameto x 65

12 Sabedo-se etão que H ( ω ) é uma fução complexa da frequêcia de excitação, a resposta o tempo pode ser escrita como: jω t j( ω t φ ) x( t) = H( ω ) F e = H( ω ) F e Sedo φ o âgulo de fase da FRF, que é dado por: cω ς r tgφ = = k mω 1 r Duas outras FRFs comumete usadas em esaios experimetais são as FRFs de Mobilidade e Acelerâcia: Mobilidade: A variável de saída é a velocidade V = jω X Y( ω) = jω H( ω) = ω H( ω) e j Acelerâcia: A variável de saída é a aceleração A = (jω ) X A( ω) = jωy( ω) = ω H( ω) θ 66

13 Exemplo: Receptâcia para 1 GDL - Viscoso H ( ω ) 1 1 ζ 1 =.1 ζ =.1 ζ 3 =. ζ 4 =.3 ζ 5 =.5 ζ 6 = r = ω / ω 15 ζ 1 =.1 1 ζ =.1 ζ 5 =.5 ζ 6 =.7 φ 5 ζ 3 =. ζ 4 = r = ω / ω 67