Instituto Tecnológico de Aeronáutica VIBRAÇÕES MECÂNICAS MPD-42

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1 VIBRAÇÕES MECÂNICAS

2 . Irodução CONTEÚDO. Pequeas oscilações em oro de uma posição de equilíbrio Sisemas discreos: 3. Sisemas com um grau de liberdade 4. Sisemas com graus de liberdade modos ormais de vibração freqüêcias aurais aálise modal

3 CONTEÚDO Sisemas coíuos: 5. Modelagem pelo méodo dos elemeos fiios 6. Aálise de vibração pelo méodo dos elemeos fiios 3

4 CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS VIBRATÓRIOS (quao ao úmero de graus de liberdade Sisema discreos méodos de discreização Sisema coíuos Sisemas com um grau de liberdade aálise modal Sisemas com graus de liberdade 4

5 CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS VIBRATÓRIOS (quao a liearidade sisema liear vale pricípio de superposição sisema ão liear grades deformações movimeo de corpo rígido equação cosiuiva 5

6 CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS VIBRATÓRIOS (quao ao ipo de exciação exciação deermiísica exciação aleaória rasiee periódica harmôica periódica periódica complexa 6

7 CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS VIBRATÓRIOS (écicas de solução sisemas lieares uso de superposição soluções aalíicas méodos uméricos sisemas ão lieares méodos uméricos méodos de perurbação 7

8 CLASSIFICAÇÃO DE SISTEMAS VIBRATÓRIOS (écicas de solução sisemas lieares problemas rasiees rasformada de Laplace méodo umérico problemas periódicos rasformada de Fourier méodo umérico (esado esacioário 8

9 PEQUENAS OSCILAÇÕES EM TORNO DE UMA POSIÇÃO DE EQUILÍBRIO m F(, ɺ As forças exeras depedem somee da velocidade e da posição da parícula ( mɺ ( F(, ɺ 9

10 PEQUENAS OSCILAÇÕES EM TORNO DE UMA POSIÇÃO DE EQUILÍBRIO equilíbrio isável equilíbrio esável equilíbrio idiferee

11 PEQUENAS OSCILAÇÕES EM TORNO DE UMA POSIÇÃO DE EQUILÍBRIO Cálculo da posição m F(, ɺ de equilíbrio: mɺ ( F(, ɺ ( F(, e

12 PEQUENAS OSCILAÇÕES EM TORNO DE UMA POSIÇÃO DE EQUILÍBRIO LINEARIZAÇÃO, (, ( (, ( (, ( (, O F F F F m e e e e ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺɺ Expasão em oro de um poo de equilíbrio: e F k, ( ɺ e F c ɺ ɺ, (, ( e F

13 PEQUENAS OSCILAÇÕES EM TORNO DE UMA POSIÇÃO DE EQUILÍBRIO Expasão em oro de um poo de equilíbrio: mɺ ( F(, ɺ k ( e c ɺ Equação Liearizada: mɺɺ ( c ɺ + k ( + e x( ( mɺɺ x( + c xɺ + k x e 3

14 PEQUENAS OSCILAÇÕES EM TORNO DE UMA POSIÇÃO DE EQUILÍBRIO Esabilidade : mɺɺ x( + c xɺ ( + k x( c> e k> Equilíbrio assio. esável c e k> Equilíbrio esável c< ou c e k< Equilíbrio isável 4

15 PEQUENAS OSCILAÇÕES EM TORNO DE UMA POSIÇÃO DE EQUILÍBRIO LINEARIZAÇÃO Expasão em oro de um poo de equilíbrio : deixa de ser válida quado o sisema se afasa da posição de equilíbrio isso sempre acoece quado o poo de equilíbrio é isável 5

16 PEQUENAS OSCILAÇÕES EM TORNO DE UMA POSIÇÃO DE EQUILÍBRIO Exemplo: pêdulo simples θ( L m mg m T mg Lθ ɺ F mg si( θ ( mlɺɺ θ ( θ( ɺɺ g θ ( si( θ L 6

17 PEQUENAS OSCILAÇÕES EM TORNO DE UMA POSIÇÃO DE EQUILÍBRIO Pêdulo simples: posições de equilíbrio ɺɺ g θ ( si( θ L g L si( θ e θ, ± π, ± π, e Duas posições de equilíbrio disias: θe θ π e 7

18 8 PEQUENAS OSCILAÇÕES EM TORNO DE UMA POSIÇÃO DE EQUILÍBRIO Pêdulo simples: liearização [ ] [ ] θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ θ ɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺ ɺɺ ɺ ɺɺ e e e e L g L g L g F F F F L g e e e e e + + si( ( si( si( ( (, ( (, (, ( (, ( si( (

19 PEQUENAS OSCILAÇÕES EM TORNO DE UMA POSIÇÃO DE EQUILÍBRIO Pêdulo simples: liearização ɺɺ θ ( ɺɺ θ ( g L g L si( θ e cos( θ ( θ θ e g L [ si( θ ] g [ si( θ ] e θ θ θ e ( θ θ e L ɺ θ θ θ e ɺ θ x( θ ( θ g e ɺɺ x( cos( θ e x( L 9

20 PEQUENAS OSCILAÇÕES EM TORNO DE UMA POSIÇÃO DE EQUILÍBRIO Pêdulo simples: liearização g ɺɺ x( cos( θ e x( L k c g L cos( θe

21 PEQUENAS OSCILAÇÕES EM TORNO DE UMA POSIÇÃO DE EQUILÍBRIO Posições de equilíbrio θ e L m mg k c g ɺɺ x cos(θ e x L g L > g L x Equilíbrio esável

22 PEQUENAS OSCILAÇÕES EM TORNO DE UMA POSIÇÃO DE EQUILÍBRIO Posições de equilíbrio θ e π m mg g ɺɺ x cos(θ e x L g L x L θ π k c g L < Equilíbrio isável

23 PEQUENAS OSCILAÇÕES EM TORNO DE UMA POSIÇÃO DE EQUILÍBRIO Exemplo: efeio da força da gravidade F( ( m m F( ( k mg c k mg cɺ mɺɺ( F( cɺ ( k( mg 3

24 PEQUENAS OSCILAÇÕES EM TORNO DE UMA POSIÇÃO DE EQUILÍBRIO Exemplo: efeio da força da gravidade mɺɺ( F( cɺ ( k( mg Posição de equilíbrio preseça da gravidade e ɺ k e mg F( e mg k 4

25 PEQUENAS OSCILAÇÕES EM TORNO DE UMA POSIÇÃO DE EQUILÍBRIO Exemplo: efeio da força da gravidade Posição de equilíbrio preseça da gravidade k m mg F( ( cɺ mg/k x( e mg k x( ( e ( + mg k 5

26 PEQUENAS OSCILAÇÕES EM TORNO DE UMA POSIÇÃO DE EQUILÍBRIO Exemplo: efeio da força da gravidade x( ( e ( + mg k Subsiuido a equação de equilíbrio: mɺɺ( F( cɺ ( k( mɺɺ( x F( cxɺ ( k x( xɺ ( ɺɺ x( mg mg k ɺ ( ɺɺ ( 6 mg

27 PEQUENAS OSCILAÇÕES EM TORNO DE UMA POSIÇÃO DE EQUILÍBRIO Exemplo: efeio da força da gravidade mɺɺ( x F( cxɺ ( k x( mg k mg Simplificado: m ɺɺ x( + cxɺ ( + kx( F( ode x( é medido em relação à posição de equilíbrio m ( x( e 7

28 PEQUENAS OSCILAÇÕES EM TORNO DE UMA POSIÇÃO DE EQUILÍBRIO Exemplo: g R CM r c x Casca cilídrica fia de massa m oscilado sob ação da gravidade. r c R/π 8

29 PEQUENAS OSCILAÇÕES EM TORNO DE UMA POSIÇÃO DE EQUILÍBRIO Exercício: L m g k L θ m Obeha a codição evolvedo m, m, L, L, k e g para que o pêdulo seja esável a cofiguração de equilíbrio que correspode ao meor valor absoluo de θ. 9

30 SISTEMAS DISCRETOS 3

31 ELEMENTOS IDEAIS Massa ideal: armazea eergia ciéica rígida Equação cosiuiva: lei de Newo (válida apeas em um referecial iercial F mx( ɺ 3

32 ELEMENTOS IDEAIS Mola ideal: armazea eergia poecial elásica ão em massa ão dissipa eergia (sem hiserese liear Equação cosiuiva: lei de Hooke F kx( 3

33 ELEMENTOS IDEAIS Mola ideal represeada por esruura coíua: exemplo da viga. EI P δ L 33

34 ELEMENTOS IDEAIS Amorecedor ideal: dissipa eergia ão em massa ão em rigidez viscoso Equação cosiuiva: ario viscoso F cx( ɺ 34

35 ELEMENTOS IDEAIS Dissipadores de eergia: ario ario viscoso F a cx( ɺ ario coulombiao ario aerodiâmico F µn a hiserese (ario sólido 35

36 SISTEMAS COM UM GRAU DE LIBERDADE 36

37 c ( m F( cɺ m F( k k Equilíbrio de forças: mɺɺ ( F( cɺ ( k( m ɺɺ ( + cɺ ( + k( F( 37

38 Modelagem via equação de Lagrage: eergia ciéica: mɺ ( eergia poecial elásica: T V k ( Lagrageao: L T V mɺ k ( rabalho das forças ão coservaivas: δw ( ( F( c( ɺ Q ( δ( δ( 38

39 Modelagem via equação de Lagrage: d d L ɺ L Q ( d d ( mɺ ( + k( F( cɺ ( m ɺɺ ( + cɺ ( + k( F( 39

40 m ɺɺ ( + cɺ ( + k( F( Normalização da equação de equilíbrio: c k ɺɺ ( + ɺ ( + ( m m k m F( k ω k m ζω c m f ( F( k 4

41 Normalização da equação de equilíbrio: ɺɺ ( + ζω ɺ ( + ω ( ω f ( ω freqüêcia aural ão amorecida ζ c mω c km faor de amorecimeo f ( deslocameo esáico equivalee 4

42 Normalização da equação de equilíbrio: a diâmica de um sisema de um grau de liberdade é ieiramee caracerizada por dois parâmeros: ζ e ω. oe que f( esá associado com a exciação exera e ão com as propriedades do sisema 4

43 faor de amorecimeo c c ζ mω km direamee proporcioal a viscosidade iversamee proporcioal raiz da massa iversamee proporcioal raiz da rigidez em problemas de aálise esruural, ζ é pequeo (da ordem de. 43

44 Solução da equação de equilíbrio: PROBLEMA DE VIBRAÇÃO LIVRE solução da equação homogêea associada PROBLEMA DE VIBRAÇÃO FORÇADA solução paricular SOLUÇÃO GERAL solução homogêea + solução paricular 44

45 Solução da equação de equilíbrio: a solução da equação homogêea equivalee ɺɺ h ( + ( + ω ( ζω ɺ h h b solução paricular ɺɺ p ( + ζω ɺ ( + ω ( p p ω f ( c solução geral ( ( + ( p h codições iiciais 45

46 Classificação quao ao ipo de exciação: ɺɺ ( + ζω ɺ ( + ω ( ω f ( f ( vibração livre amorecida ão amorecida f ( vibração forçada periódica rasiee 46

47 VIBRAÇÃO LIVRE: f( SOLUÇÃO GERAL solução homogêea (movimeo é devido às codições iiciais ɺɺ ( + ( + ω ( ζω ɺ codições ( iiciais ɺ ( v 47

48 SISTEMAS COM UM GRAU DE LIBERDADE: VIBRAÇÃO LIVRE 48

49 VIBRAÇÃO LIVRE NÃO-AMORTECIDA: f ( ; ζ ɺɺ ( ω + ( solução homogêea solução geral: ( ω C si( ω ( C cos + 49

50 VIBRAÇÃO LIVRE NÃO-AMORTECIDA: solução via méodo clássico usa-se a igualdade: θ θ e j cos( + j si( θ para resolver: ɺɺ ( ω + ( assumir: ( De p ɺɺ( p De p 5

51 VIBRAÇÃO LIVRE NÃO-AMORTECIDA: solução via méodo clássico ( p equação caracerísica: p + ω D e De p solução rivial De p p p jω jω solução: ( D e + D e p p 5

52 VIBRAÇÃO LIVRE NÃO-AMORTECIDA: solução via méodo clássico ( De D ( cos( ω + j si( ω + D ( cos( ω j si( ω ( D + D cos( ω + j( D D si( ω jω + D e jω ( é real: D +D é real D D é imagiário puro D e D são complexos cojugados 5

53 VIBRAÇÃO LIVRE NÃO-AMORTECIDA: solução via méodo clássico D e D são ( C jc D complexos cojugados ( C + jc D ( ( ( D + D cos( ω + j( D D C cos( ω + C si( ω ode C e C são úmeros reais 53 D D + D D si( ω C jc

54 VIBRAÇÃO LIVRE NÃO-AMORTECIDA: solução homogêea solução geral: ( ω C si( ω ( C cos + codições iiciais ( ɺ ( v C C v ω 54

55 VIBRAÇÃO LIVRE NÃO-AMORTECIDA: solução para codições iiciais arbirárias: ( v ω si( ω ( cos + ω CONCLUSÃO: em vibração livre, o movimeo só é possível a freqüêcia aural do sisema 55

56 VIBRAÇÃO LIVRE NÃO-AMORTECIDA: solução aleraiva: cos ( a + b cos( acos( b si( asi( b ( Acos ( ω φ φ ( Acos( cos + ( ω Asi( φ si( ω 56

57 VIBRAÇÃO LIVRE NÃO-AMORTECIDA: comparação ere as soluções aleraivas: ( Acos( φcos + ( ω Asi( φ si( ω ( ω C si( ω ( C cos + C C Acos( φ Asi( φ 57

58 58 VIBRAÇÃO LIVRE NÃO-AMORTECIDA: solução aleraiva: si( cos( φ φ A C A C ( ω φ A cos ( + + v C C v C C A ω φ ω a a

59 VIBRAÇÃO LIVRE NÃO-AMORTECIDA: ( Acos ( ω φ A: ampliude (depede das codições iiciais φ: fase (depede das codições iiciais ω : freqüêcia aural T π/ω : período 59

60 VIBRAÇÃO LIVRE NÃO-AMORTECIDA: ( Acos(φ A T π ω ( Acos ( ω φ φ ω 6

61 VIBRAÇÃO LIVRE NÃO-AMORTECIDA: aplicação das soluções aleraivas: ( ω C si( ω ( C cos + coveiee para aplicar codições iiciais ( Acos ( ω φ coveiee para visualização gráfica 6

62 VIBRAÇÃO LIVRE NÃO-AMORTECIDA: Exemplo: pêdulo simples θ( L m mg m T mg Lθ ɺ F mg si( θ ( mlɺɺ θ ( θ( ɺɺ g θ ( si( θ L 6

63 VIBRAÇÃO LIVRE NÃO-AMORTECIDA: Exemplo: pêdulo simples ɺ θ g ( + si( θ ɺɺ g θ ( + θ L L liearização forma padrão ɺ θ ( + ( ωθ ω g L 63

64 VIBRAÇÃO LIVRE NÃO-AMORTECIDA: Exemplo: pêdulo simples (solução liear ω g L T π L g θɺ θ ( θ cos ω período idepede das codições iiciais solução para codições iiciais arbirárias: ( ω + si( ω 64

65 VIBRAÇÃO LIVRE NÃO-AMORTECIDA: Exemplo: pêdulo simples (solução liear CONCLUSÕES período idepede das codições iiciais ampliude depede das codições iiciais solução é válida para pequeas oscilações (devido à liearização 65

66 VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA: f ( ɺɺ ( + ζω ɺ ( + ω ( solução homogêea solução geral: forma da solução depede do faor de amorecimeo 66

67 VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA: solução via méodo clássico assumir: ɺɺ ( + ζω ɺ ( + ω ( p ( De p p equação caracerísica: ( p + ζω p + ω D e p ɺ ( ɺɺ ( pde p De 67

68 VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA: solução via méodo clássico + ζω p ω equação caracerísica: p + raízes: p p ζω ζω + ω ω ζ ζ 68

69 VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA: solução via méodo clássico p ζω + ω ζ p ζω ω ζ ζ < : raízes complexas cojugadas ζ : raízes reais e repeidas ζ > : raízes reais e disias 69

70 VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA: solução via méodo clássico ζ < : raízes complexas cojugadas p p ζω ζω + jω jω ζ ζ o módulo das raízes ão depede de ζ : ( ( ζω + ω ζ p p ω 7

71 VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA: solução via méodo clássico ζ : raízes repeidas p p ω ζ > : raízes reais egaivas uma das raízes é maior que ω e a oura meor que ω 7

72 VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA: Represeação gráfica das raízes <ζ < ζ Im jω jω Re ζ raízes complexas raízes repeidas raízes reais ζ > ζω ω jω 7

73 VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA: caso : amorecimeo sub-críico: ζ < p p ζω ζω + ζω p p ( De + De e jω jω D e ( jω j d ωd D e + D e ode: ω ω ζ d ζ ζ 73 ( ζω + jω ( ζω jω d + D e freqüêcia aural amorecida d

74 VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA: caso : amorecimeo sub-críico: ζ < D e jω d + D e jω d C cos( ωd + Csi( ωd Acos( ω φ d ( C cos( ω + C si( ω ζω ( e d Ae ζω cos( ω d φ duas formas equivalees de expressar a solução d 74

75 VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA: caso : amorecimeo sub-críico: ζ < ( Ae ζω cos( ω φ d ampliude expoecialmee amorecida ermo harmôico de freqüêcia ω d 75

76 VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA: ζ < ( evolória com decaimeo expoecial Acos(φ Ae ζω φ ω d Ae ζω 76

77 ( ɺ ( VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA: caso : amorecimeo sub-críico: ζ < solução para codições iiciais gerais v + ζω v ζω e cos( + si( ωd ωd ωd ( 77

78 VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA: caso : amorecimeo sub-críico: ζ < solução para codições iiciais gerais ( ɺ ( v ζω ( Ae cos( ω φ d ampliude A + + v ζω ωd fase φ a v + ζω ωd 78

79 p VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA: caso : amorecimeo críico: ζ p ω soluções idepedees solução geral ( e ( ( e p e p e ω e ω ω ω C e + C e 79

80 VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA: caso : amorecimeo críico: ζ ( ( C + C e ω ermo liear amorecimeo expoecial 8

81 VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA: caso : amorecimeo críico: ζ solução para codições iiciais gerais ( ɺ ( v ( ( + ( v + ω e ζω 8

82 8 VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA: caso 3: amorecimeo super-críico: ζ > + ζ ω ζω ζ ω ζω p p p p D e D e D e D e ( ζ ω ζω ζ ω ζω

83 83 VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA: caso 3: amorecimeo super-críico: ζ > ( ( ( ( [ ] C C e D e D e e sih cosh ( + + ζ ω ζ ω ζω ζ ω ζ ω ζω solução com dois ermos expoeciais um decai mais rapidamee que o ouro

84 VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA: caso 3: amorecimeo super-críico: ζ > solução para codições iiciais gerais ( ɺ ( v ( ζω e cosh ( ζ ω ζ ( v + ζω + ω ζ sih ( ω 84

85 VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA: amorecimeo sub-críico, críico, super-críico a classificação do faor de amorecimeo é somee devido a forma da solução maemáica do problema ão há ehuma mudaça física o sisema quado o faor de amorecimeo passa de uma classificação para oura 85

86 VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA: exemplo: vibração livre para deslocameo iicial e velocidade iicial ula c ( ( ɺ ( m ω ω k 86

87 EFEITO DO FATOR DE AMORTECIMENTO: ( ( ɺ ( ω ω valores de ζ

88 EFEITO DA FREQÜÊNCIA NATURAL ( valores de ω /ω ( ɺ ( ζ

89 EFEITO DA FREQÜÊNCIA NATURAL ( ( ɺ ( ζ. valores de ω /ω

90 ( EFEITO DA FREQÜÊNCIA NATURAL ( ɺ ( ζ. valores de ω /ω.5. 9

91 ω EFEITO DA MASSA k m ζ c mω c km a variação da massa afea simulaeamee a freqüêcia aural e o faor de amorecimeo do sisema ambas gradezas variam com o iverso da raiz quadrada da massa 9

92 EFEITO DA MASSA: exemplo m m ω ω ζ ζ. ( m m valores de m/m.. ω ω / ζ ζ / 9

93 ω EFEITO DA RIGIDEZ k m ζ c mω c km a variação da rigidez afea simulaeamee a freqüêcia aural e o faor de amorecimeo do sisema a freqüêcia aural varia com a raiz quadrada da rigidez e o faor de amorecimeo com o iverso da raiz da rigidez 93

94 EFEITO DA RIGIDEZ: exemplo k k ω ω ζ ζ. ( k k valores de k/k.. ω ζ ζ ω / 94

95 VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA: amorecimeo sub-críico: ζ < Decremeo logarímico ζω ( Ae cos( ω φ Cosidere dois isaes de empo e separados por um período de oscilação: + T + 95 d π ω d

96 96 Decremeo logarímico VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA: cos( ( cos( ( φ ω φ ω ζω ζω Ae Ae d d cos( cos( φ ω φ ω ζω ζω e e d d

97 VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA: + T + e e ζω ζω Decremeo logarímico d ζω d ζω ( ζωt π ω d cos( ω cos( ω cos( ωd φ cos( ωd φ φ π ζω ζω ωd ω e e π φ ζω ζ e πζ ζ e ζω T 97

98 VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA: Decremeo logarímico e ζω T δ l ζωt ode δ é o decremeo logarímico: ζ δ δ + ( π πζ ζ 98

99 ( Decremeo logarímico T π ω d obem-se experimealmee: δ l calcula-se: ζ δ δ + ( π 99

100 VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA: Decremeo logarímico: geeralização cosidere dois isaes de empo e separados por r períodos de oscilação: + r + rt + r π ω d cos( ωd φ cos( ωd +r φ + r e e ζω ζω ( + e ζω + r r e rζω T

101 VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA: Decremeo logarímico: geeralização l + r rζω T rδ δ l r +r

102 VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA: se o sisema é sub-amorecido, os dois parâmeros do sisema (ζ e ω podem ser obidos da resposa em vibração livre do sisema ζ é calculado a parir do decremeo logarímico ω d é calculada a parir do período: ω é calculada a parir de ω d e ζ : ω ω d π /T ω d / ζ

103 VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA: Decremeo logarímico: exemplo Sabe-se que a ampliude da vibração de um sisema amorecido cai de 5% depois de cico ciclos compleos e que o período da vibração é de.5 s. Assuma amorecimeo viscoso e calcule o faor de amorecimeo e a freqüêcia aural do sisema 3

104 4 VIBRAÇÃO LIVRE AMORTECIDA: Decremeo logarímico: exemplo Fazedo r 5: 386. / l 5 l 5 l r r δ. ( + π δ δ ζ rad/s.5 π π ω T d rad/s ζ ω ω d

105 ATRITO COULOMBIANO sisema massa-mola com ario coulombiao k mg (, ɺ ( m F d µmg mɺɺ + F sial ( ɺ d + k se: mɺɺ + ɺ > k se: ɺ < m ɺɺ + k F d F d 5

106 ATRITO COULOMBIANO sisema massa-mola com ario coulombiao ω f d k m Fd k freqüêcia aural ão amorecida do sisema deslocameo esáico da mola sob ação da força de ario F d kfd ω m m f d força ormalizada por uidade de massa 6

107 ATRITO COULOMBIANO sisema massa-mola com ario coulombiao se: ɺ > ɺ + ω ω f d se: ɺ < ɺɺ + ω ω codição iicial: ( > ; ( edêcia do movimeo para esquerda: ɺ f d ɺ < ɺɺ + ω ω f d 7

108 ATRITO COULOMBIANO sisema massa-mola com ario coulombiao ɺɺ + ω ω f d solução homogêea: solução paricular: h ( Ccos( ω + Csi( ω ( p f d solução geral: ( ɺ ( ( fd + Ccos( ω + Csi( ω C + fd C ω C C f d 8

109 ɺɺ + ω ω ATRITO COULOMBIANO sisema massa-mola com ario coulombiao ω f d ( f d + ( ɺ ( ω ( a solução acima é valida para: ɺ < ɺ f f d d cos( si( ω limie de validade: ( ω ( fd si( ω si( ω solução acima é valida para: π / ω π / ω π / ω ( fd + ( fd cos( π fd 9

110 d f ω ω ɺɺ + ATRITO COULOMBIANO sisema massa-mola com ario coulombiao ( ( f d ɺ solução homogêea: solução paricular: solução geral: si( cos( ( C C h ω ω + p f d ( si( cos( ( C C f d ω ω + + C f f C d d ω 3 C f C d velocidade passa a ser posiiva:

111 ɺɺ + ω ATRITO COULOMBIANO sisema massa-mola com ario coulombiao ω ω f d ( f d + ( ɺ ( ω ( 3 f 3 f a solução acima é valida para: ɺ > ɺ d d cos( si( ω limie de validade: ( ω ( 3 fd si( ω si( ω solução acima é valida para: π / ω π / ω / ω π π / ω 4 ( fd + ( 3 fd cos(π f d

112 ATRITO COULOMBIANO 4f d ( π ω π ω 3π ω 4π ω f d f 5π d ω

113 ATRITO COULOMBIANO sisema massa-mola com ario coulombiao a ampliude do movimeo se reduz de 4f d a cada ciclo o decaimeo é liear e ão expoecial como o ario viscoso a posição fial da massa correspode ao primeiro poo em que a velocidade é ula e <f d porque, esse caso, a força resauradora kf d é meor que a força de ario 3