1 a Lista: MTM146: Prof. Paulo Magalhães:
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- Beatriz Dinis da Mota
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1 a Lisa: MTM46: Prof Paulo Magalhães: Exercício : Mosre que a solução do sisema de EDO s x y f ( x y y com codições iiciais: x ( x(, f saisfazedo f (, é dada por x( f ( d Exercício : Resolva o seguie y y PVI Exercício 3: Resolva o seguie f ( cos( d : f ( cos( d, d,, I y PVI : I y y 4y 3y 3e cos 3 Exercício 4: Obeha a rasformada de Laplace do seguie sial Exercício 5: Obeha a rasformada de Laplace das seguies fuções 3 d x ( i e f ( ( ii cos3 ( iii e x ( e se x dx ( iv se dx
2 a Lisa: MTM46: Prof Paulo Magalhães: Exercício 6: Obeha as fuções que possuem as seguies rasformadas de Laplace as s e e s s ( i ( ii, a ( iii ( iv ( vl ( s a ( s b( s c s s a s Exercício 7: Prove que L [ ]( L [ ]( d,, a ( s a ( s a Exercício 8: (i Prove que (ii Com isso prove que m m m ( ( u ( u du, m,!! u m ( u m du ( m! (iii Geeralize para o caso em que m e são reais posiivos e obeha a fução bea ps ( Exercício 9: (Expasão de Heaviside : Se Fs ( qs ( ode qs ( é um poliômio de grau com raízes disias r,, r e p(s é um poliômio de grau meor que, eão é possível mosrar pelo méodo das frações parciais que ps ( A A (* q( s s r s r ode os coeficiees precisam ser deermiados (i Mosre que pr ( A,,, q( r Sugesão: muliplique (* por ( s r e ome o limie s r (ii Mosre que pr ( r L [ F( s]( e q( r
3 a Lisa: MTM46: Prof Paulo Magalhães: Exercício : Uilize a rasformada de Laplace para resolver os seguies PVI s:, y 4y 4y ( e, ( i Iy d ( ii 4 d y 4, y, Iy Exercício : Resolver formalmee a seguie Equação Iegral do ipo Volerra f ( ( d Exercício : Resolva a equação iegral Exercício 3: Resolva a equação iegral (a quado b bc ; (b quado b c a se cos( d a se b c se b( d Exercício 4: Resolva a seguie equação iegral ão-liear d Exercício 5: Cosidere a equação iegral de Volerra ( d se (* (i Resolva (* usado Laplace (ii Derivado duas vezes (* mosre que é solução do seguie y y 4se PVI : Iy (iii Resolva o PVI acima e comprove que a solução é a mesma que a do iem (i 3
4 a Lisa: MTM46: Prof Paulo Magalhães: Exercício 6: Em cada uma das equações iegrais abaixo repia os procedimeos (i,(ii e (iii do exercício 4: ( d cos( d e 3 ( d, 3 Exercício 7: A equação b ( d f ( se( d, ( b é cohecida como equação iegral de Abel, ode a variável depedee agora é y Mosre que sua solução é dada por b f ( ( b ( b quado f saisfaz ceras codições de coiuidade Exercício 8: Coforme sabemos, a rasformada de Laplace de! L [ ]( s e s d s De modo que, e d! é dada por Ese resulado levou a uma geeralização da fução faorial deomiada fução gamma deoada por e defiida por x ( x e d, x (i Prove a seguie propriedade faorial ( x x( x (ii Prove que ( e cosequeemee que (!,,, (iii Prove que ( 3 e com isso obeha (! (iv Prove que L [ ]( s 3, s s 4
5 a Lisa: MTM46: Prof Paulo Magalhães: Exercício 9: Os poliômios de Laguerre L ( são defiidos por e d L ( ( e,,,,! d (i Mosre que ( s L [ L ( ]( s, s s (ii Obeha as seguies relações de recorrêcia L ( L ( L ( ; L( L ( L ( Exercício : (i Prove que L s /4s [se ]( s e, s 3/ Sugesão: prove que se saisfaz a EDO 4y y y, e uilize o eorema do valor iicial para comparar o comporameo de pequeos valores de com grades valores de s (ii Com isso obeha que L cos s /4s [ ]( s e, s / Exercício : Uma parícula de massa m, iicia seu movimeo ao logo do eixo-x parido da origem com velocidade v A úica força exera que aua sobre a parícula é um impulso isaâeo p o isae =, a direção do eixo-x De modo que, o deslocameo x( é descrio pela solução do seguie mx p ( PVI : I x v Obeha a solução e seu gráfico Verifique que a solução obida é de fao solução, mosrado que, x (, Além disso, x(, x( v e o momeo mx( apresea um salo p o isae 5
6 a Lisa: MTM46: Prof Paulo Magalhães: Exercício : (Equação de Difereça A fução escada uiária é defiida pelo símbolo [], sedo que []:= maior ieiro meor ou igual a Para se ober uma fução escada com degrau possuido comprimeo h e alura c, basa omar a fução c[ ] ( c, h h Por ouro lado, [ ] ( h pode ser reescria como uma equação de difereça de primeira ordem com uma codição iicial dada por h, y (, (a Uilizado ese fao, obeha a rasformada de Laplace de ( (b Mosre que hs L{[ ]} ( coh h s Exercício 3: ( Mosre que s L { J ( } s ( Prove que J J ( e com isso obeha que (3 Prove que (4 Prove que ( s s L { J ( } s J ( J ( d se J ( J ( d J ( cos Exercício 4: Se a EDO do modelo maemáico para um servomecaismo ivermos c I Obeha o oupu ( correspodee a um ipu cosae i ( (, e os compare graficamee Qual a coclusão que se pode irar? 6
7 a Lisa: MTM46: Prof Paulo Magalhães: Exercício 5: Se a dedução da lei maemáica obida para o servomecaismo, uma compoee proporcioal ao âgulo acumulado for adicioada as duas compoees relaivas ao orque, obém-se a seguie EDO I ( ( c( b ( d o ode b é uma cosae posiiva Assumido as mesmas codições iiciais, resolva a equação iegro-diferecial obida Aalise o caso especial de um ipu dado por ( a, i Exercício 6: Uilizado Laplace obeha a solução limiada do seguie u ux u, x, PVI : 3x u( x, e, x Exercício 7: Uilizado Laplace obeha a solução limiada do seguie problema de rasferêcia de calor uma barra semi-ifiia u uxx x, PVIF : u( x,, x u(,, 7
1 a Lista: MTM146: Prof. Paulo Magalhães:
Exercício : Mosre que a solução do sisema de EDO s x y f ( x y y com codições iiciais: x ( ) x() ) ), f saisfazedo x( f ( ) d f ( ) cos( ) d f ( ) cos( ) d f ( ), é dada por Exercício : Resolva o seguie
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