Capítulo 3 SLITs Sistemas Lineares e Invariantes no Tempo

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1 Capíulo 3 SLITs Siseas Lieares e Ivariaes o Tepo 3. Irodução 3.2 Repreação e odelo de esado 3.3 Siseas SISO 3.4 Siseas MIMO uli-diesioais 3.5 Modelo de espaço de esados coíuos 3.6 Resposa ipulsiva e covolução

2 3. Irodução O esado de u sisea reprea o suário do u passado Os siseas aeriores apreava u úero fiio de esados Muios dos siseas que os rodeia aprea u úero ifiio de esados Vaos passar a cosiderar siseas co u úero ifiio de esados O espaço de esados, os alfabeos de erada e de saída, são cojuos uéricos i.e. reais É ecessário que a fução de acualização ja liear Apesar desas resrições obeos u cojuo uio rico de éodos aalíicos para esudar e aalisar os siseas Regressaos à oção de epo 2

3 3. Irodução Vaos esudar áquias de esado as quais Esados Reais N Eradas Reais M Saídas Reais K Siseas MIMO Muliple-ipu, uliple-oupu Siseas SISO Sigle-ipu, sigle-oupu N é a diesão do sisea Eeplo: U sisea de áudio eséreo, sisea de ciea e casa 3

4 3.2 Repreação e odelo de esado Defiição Ua áquia de esados deeriísica é u 5-uplo M Esados, Eradas, Saídas, Acualização, EsadoIicial A fução de Acualização e a fora Acualização: Reais N Reais M Reais N Reais K Vaos aalisar esa fução e duas pares Acualização EsadoSeguie,Saída EsadoSeguie:Reais N Reais M Reais N Saída:Reais N Reais M Reais K al que s Reais N, Reais M, Acualizaçãos,EsadoSeguies,,Saídas, Esas duas equações osra-os coo ober o esado guie e a saída acual coo ua fução do esado e da erada acuais 4

5 3.2 Repreação e odelo de esado Dada ua quêcia de erada,,... de M-uplos e Reais M, o sisea recursivaee gera a resposa dos esados s,s,... de N-uplos e Reais N e a resposa de saída y,y,... de K-uplos e Reais K sesadoiicial Ieiros,, s EsadoSeguies, Equação de Acualização do Esado Ieiros,, y Saídas, Equação de saída As equações aeriores são deoiadas de Modelo de Espaço de Esados do sisea 5

6 3.2 Repreação e odelo de esado Ese sisea é desigado coo u sisea liear o esado iicial é u N-uple de zeros e as fuções EsadoSeguie e Saída são fuções lieares Ese sisea é desigado ivariae o epo as fuções EsadoSeguie e Saída ão uda co o epo Se as codições verificare esaos perae u sisea liear e ivariae o epo SLIT 6

7 3.2 Repreação e odelo de esado A fução EsadoSeguie é repreada por ua ariz NNM A fução Saída é repreada por ua ariz KNM EsadoSeguies,AsB A é ua ariz NN B é ua ariz NM Saídas,CsD C é ua ariz KN D é ua ariz KM Repreação do odelo e espaço de esados ou repreação A,B,C,D sasb ycsd 7

8 3.2 Repreação e odelo de esado Eeplo Cosidere as guies arizes: A, B, C D [ ], e [ ] Coclui- que N3, M e K raa- de u sisea SISO ridiesioal s s s 2 s 2 s 2 s 3 s 3 s 3 y s 8

9 3.2 Repreação e odelo de esado Eeplo O efeio de eco pode r obido para siais áudio aravés de y α y-n ode α é ua cosae real As cosaes α e N deeria a duração do eco e a fora coo soa Te que defiir o esado s y y 2... y N... α... A..., B, C D [... α ], e [ ] 9

10 3.2 Repreação e odelo de esado Resposa ipulsiva A repreação e odelo de esado dá-os ua descrição coplea de u SLIT Dado qualquer sial de erada coguios calcular o sial de saída A resposa ipulsiva é oura descrição coplea de u SLIT Para os siseas iicialee e repouso a resposa ipulsiva perie-os calcular o sial de saída coecido o sial de erada Es cálculo é realizado aravés da covolução A resposa ipulsiva é a defiição da saída do sisea quado a erada eos u ipulso δ, coecida coo fução dela de Kroecker Ieiros, δ δ

11 3.2 Repreação e odelo de esado Problea: Deerie a resposa ipulsiva do sisea cosiderado a siuação iicial de repouso, i.e. s sasb ycsd Ieiros, D CA B <

12 3.3 Siseas SISO Nese caso NMK e a repreação [A,B,C,D] rasfora- siplee e [a,b,c,d] que são cosaes escalares s a s b y c s d O EsadoIicial s Nese caso o esado do sisea é u úero real, assi coo a erada e a saída 2

13 3.3 Siseas SISO Eeplo: Cosidereos o eeplo da édia óvel Ieiros,, y -/2 Não é ua repreação e odelo de espaço de esados pois a saída ve epressa e eros da erada acual e passada, e ão do esado Precisaos de defiir o que é o esado O esado é u suário do passado Podeos ese caso defiir o esado coo Ieiros,, s - Assuios que o sisea esá e repouso iicial, s Repreação e odelo de espaço de esados a, b, c/2, d/2 s y /2 s /2 3

14 3.3 Siseas SISO Eeplo: Cosidere u sisea SISO s a s b y c s d Subsiuido a ª eq. a 2ª obeos y c a s- b - d Coo y- c s- d - obeos y - a y- d cb-ad - Podeos geeralizar para ouras diesões 4

15 3.3 Siseas SISO Preedeos ober ua epressão geérica para y para s a s a y c a s ca b b d Se o sisea esá iicialee e repouso, s, ficaos apeas co o gudo ero que é deoiado resposa do esado zero Se a quêcia de erada é zero, 2..., ficaos apeas co o prieiro ero deoiado de resposa de erada zero Obeos ua quêcia epoecial, e que para s obeos s à edida que, s a <, siuação e que o sisea é esável 5

16 3.3 Siseas SISO Siseas SISO as co N> Na repreação e odelo de esado geérica eos: A NN, B NM, C KN, D KM Neses siseas passaos a er: A NN, B N, C N, D Vaos usar Bb, Cc T e Dd ode b e c são vecores colua N- diesioais e d é u escalar s A s b y c T s d 6

17 7 3.3 Siseas SISO Resposa de esado Resposa ipulsiva b A s A s d b A c s A c y T T < b A c d T

18 8 2 s 3.3 Siseas SISO Eeplo: Média óvel A fora geérica da édia óvel é dada por Se fizeros M3 obeos Escoledo Obeos, M k k M y Ieiros 2 3, y Ieiros 2 s 2 s [ ] _ 2 y y

19 9 3.3 Siseas SISO Ne pre é fácil calcular A - Podeos calcular a resposa ipulsiva aravés da aplicação de δ a erada < b A c d T < < 3 3 3, M k k M Ieiros δ 2 3 δ δ δ Cálculo da resposa ipulsiva 2 3 k k δ Para M3

20 3.4 Siseas MIMO uli-diesioais A repreação do odelo e espaço de esados é dada por sasb ycsd ode A NN, B NM, C KN, D KM A resposa de esado passa a r dada para por s A s e a quêcia de saída por y C A s CA A B B D Nese caso ão podeos falar e resposa ipulsiva, porque a erada ão pode r o ipulso 2

21 3.5 Modelo de espaço de esados coíuos A repreação e odelo de espaço de esados de u SLIT SISO coíuo e a fora Reais, ż A z b v w c T z d v ode z:reais Reais N reprea a resposa de esado ż é a derivada de z e relação a avaliada e Reais v:reais Reais é o sial de erada w:reais Reais é o sial de saída Os siseas coíuos já ão são áquias de esados No eao parila uias propriedades co os siseas discreos 2

22 Resposa ipulsiva e covolução Resposa ipulsiva A resposa ipulsiva defiida para siseas SISO é dada por Cobiado esa defiição co obeos que pode r geeralizada para <, b ca d Ieiros d b ca y y, y Ieiros,

23 Resposa ipulsiva e covolução Covolução A resposa ipulsiva de u SLIT é a saída do sisea quado a erada é o ipulso Se o sisea esiver iicialee e repouso, a saída é dada pela covolução da erada e da resposa ipulsiva Defiição de covolução y Ieiros, τ τ τ d y Reais,

24 Resposa ipulsiva e covolução Propriedades da covolução O operador de covolução é couaivo Deosrar y Ieiros, τ τ τ τ τ τ d d y Reais,

25 Resposa ipulsiva e covolução O operador de covolução é liear Se, e 2 fore rês siais e a e a 2 cosaes reais eão Deosração a a a a y a a a a y a a a a a a a a y

26 Resposa ipulsiva e covolução Ivariâcia eporal y k k k k y k k y y

27 Resposa ipulsiva e covolução Eeplo da covolução Cosidere u sial defiido casos ouros Ieiros {,,2} /3, 2/3 /3 2 y

28 3.6 Resposa ipulsiva e covolução Ipulsos Fução dela de Kroecker Ieiros, δ δ Fução dela de Dirac Reais e ode, δ e para qualquer ε >, δ d ε ε δ 28

29 3.6 Resposa ipulsiva e covolução Fução escalão uiário Ieiros, u <... u... Reais, u < u 29

30 3.6 Resposa ipulsiva e covolução Siais coo a soa pesada de fuções dela Qualquer sial discreo :Ieiros Reais pode r epresso coo ua soa pesada de fuções dela: k Ieiros, k δ k Qualquer sial coíuo :Reais Reais pode r epresso coo u iegral de fuções dela pesadas: Reais, τ δ τ dτ 3

31 3.6 Resposa ipulsiva e covolução Eeplos Discreo Ieiros, /3 {,,2} ouros casos Coíuo /3 3 Reais, τ δ τ dτ /3 δ τ dτ 3 3

32 3.6 Resposa ipulsiva e covolução Esabilidade Sisea esável para ua erada liiada obeos ua saída liiada Defiição de esabilidade a parir da resposa ipulsiva Se é absoluaee soável Se é absoluaee iegrável Causalidade Sisea causal a saída u dado isae depede apeas da erada aquele isae ou e isaes aeriores Defiição de causalidade a parir da resposa ipulsiva Se para < eão o sisea é causal 32

33 3.6 Resposa ipulsiva e covolução Sisea IIR Ifiie Ipul Respo Se a resposa ipulsiva é de duração ifiia Sisea FIR Fiie Ipul Respo Se a resposa ipulsiva é de duração fiia 33

34 3.6 Resposa ipulsiva e covolução Eeplos: Cosidere u SLIT discreo repreado pela resposa ipulsiva u-u-3. Deerie o sial de saída y quado a erada for δ2-2δ-. Resolva graficaee e aaliicaee. Cosidere u SLIT coíuo repreado pela resposa ipulsiva 2e - u. Deerie o sial de saída y quado a erada for uu-2-2u-3. 34