Curso de Dinâmica das Estruturas 1

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1 Curso de Dinâica das Esruuras 1 I INTRODUÇÃO 1 O principal objeivo dese curso é apresenar eodologias para analisar ensões e deslocaenos desenvolvidos por u dado sisea esruural quando o eso esá sujeio à u carregaeno dinâico arbirário. Para os propósios dese curso, a erinologia dinâica será deinida siplesene coo variável no epo, logo, u carregaeno dinâico consise e qualquer ipo de carregaeno cuja agniude, direção e/ou posição varia no epo. E geral, a resposa esruural a qualquer carregaeno dinâico é epressa basicaene e eros dos deslocaenos da esruura. Enão, ua análise deerinísica conduz direaene aos deslocaenos a longo do epo ( ie-hisory ) a parir de u carregaeno conhecido e abé variável no epo. Ouras resposas desejáveis, coo ensões, deorações, orças inernas, e ouras, são geralene obidas nua segunda ase da análise. Por ouro lado, ua análise não-deerinínsica (ou randôica) provê apenas inoração esaísica sobre os deslocaenos resulanes de carregaenos deinidos esaisicaene, coo é o caso do esudo de erreoos. 1 Eraído do Livro Dynaics o Srucures, 2ª ed., Clough, Penzien, 1993.

2 2 Noas de Aula Pro. Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho Na análise de ua esruura linear, é conveniene disinguir enre os coponenes esáicos e dinâicos de u conjuno de carregaenos aplicados, e avaliar a resposa a cada ipo de carregaeno separadaene, e enão superpor os eeios a i de se ober a soliciação inal. U problea esruural dinâico diere da sua abordage de carregaeno esáico e dois iporanes aspecos. A prieira dierença a ser percebida, raa-se da naureza de variação no epo do problea dinâico. Devido ao ao de ano o carregaeno quano a resposa da esruura variare no epo é evidene que o problea dinâico não e ua única solução, ao conrário do problea esáico. O projeisa deverá enão esabelecer ua sucessão de soluções correspondenes à odo o período de ineresse. Logo, ua análise dinâica é claraene ais coplea e deorada do que ua análise esáica. A segunda e undaenal disinção, reere-se ao ao de que e ua esruura sujeia a u carregaeno esáico, os esorços inernos e lechas assuidas depende soene do carregaeno iposo e pode ser calculados por equilíbrio de orças elásicas. Por ouro lado, se o carregaeno é aplicado dinaicaene, os deslocaenos resulanes da esruura não depende soene do carregaeno, as abé das orças inerciais que se opõe às acelerações que as produze. E geral, se as orças inerciais represenare ua porção signiicaiva do carregaenos oal equilibrado pelos esorços inernos elásicos da esruura, enão o caráer dinâico do problea deve ser considerado na solução do problea. Enreano, se os ovienos são ão lenos que as orças de inércia apresena-se uio pequenas, a análise da resposa da esruura para qualquer insane pode ser realizada siplesene pela análise esáica, apesar do carregaeno e resposa sere variáveis no epo.

3 Curso de Dinâica das Esruuras 3 II SISTEMAS DE UM GRAU DE LIBERDADE II.1 VIBRAÇÕES LIVRES II Equação do Equilíbrio Dinâico Equação do Movieno Grandezas ísicas envolvidas: MASSA () PROPRIEDADES ELÁSTICAS () AMORTECIMENTO (c) FORÇA EXTERNA DINÂMICA (p()) Princípio de d Aleber: A assa desenvolve ua orça de inércia proporcional a sua aceleração e oposa a ela. () ( ) 0 p Equação de equilíbrio: () () () p() I D S FORÇAS DE INÉRCIA: I () () FORÇAS DE AMORTECIMENTO: D () c () FORÇAS ELÁSTICAS: () () S () c () () p() (Viscoso)

4 4 Noas de Aula Pro. Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho Inluência da orça graviacional: () () () () W p c FORÇA PESO: g W DEFORMAÇÃO DA MOLA: s W / DESLOCAMENTO TOTAL: () () s FORÇAS ELÁSTICAS: () () s S () () () () W p c s () () () () p c A equação de ovieno epressa e relação à posição do equilíbrio esáico do sisea dinâico não é aeada por orças graviacionais. Logo, as lechas oais, ensões áias, ec, serão obidas pela adição das resposas esáicas aos resulados obidos da análise dinâica.

5 Curso de Dinâica das Esruuras 5 II.1.2 Vibrações Livres Não-Aorecidas Equação de equilíbrio: VIBRAÇÕES LIVRES: p () 0 VIBRAÇÕES NÃO-AMORTECIDAS: c 0 () () 0 2 () () 0 () ω () 0 s () A e onde ω 2 Subsiuindo na equação anerior: s 2 ω 2 0 s ± iω iω iω () A e A 1 2 e Onde A 1 e A 2 são consanes de inegração, dependendo dos valores iniciais de 0. deslocaeno ( 0) e velocidade ( ) iω iω () A1 e A2 e () A1 ( cos ω i sen ω ) A ( cos ω i sen ω ) () cos ω( A1 A2 ) sen ω i( A1 A2 ) () cos ω ( A cos φ) sen ω ( A sen φ) () A ( cos ω cos φ sen ω sen φ) 2 () A cos( ω φ) ω ( 0) ( ) φ arcg ω 0 AMPLITUDE DO MOVIMENTO: A [ ( 0) ] ÂNGULO FASE: 2 0 ( ) 2 O sisea realiza oscilação harônica siples (OHS ou MHS) co requência ω. O ero ω é conhecido coo requência naural, pois, quando colocado e ovieno aravés de condições iniciais não-nulas de deslocaeno e/ou velocidade, livre de carregaenos e se aorecieno, sepre oscilará co a esa requência ω.

6 6 Noas de Aula Pro. Luiz A. C. Moniz de Aragão Filho Deslocaeno no epo (ie b): FREQUÊNCIA CIRCULAR: ω ( rad/s) FREQUÊNCIA CÍCLICA OU DE MOVIMENTO: PERÍODO DE OSCILAÇÃO/VIBRAÇÃO: ω 2π ( ) s -1 Hz 1 T ( s) Represenação do ovieno no plano iaginário, aravés de u veor e roação no senido ani-horário co velocidade angular ω (ie a): ω ( 0) ( ) φ arcg ω 0 AMPLITUDE: A [ ( 0) ] ÂNGULO FASE: 2 0 ( ) 2