Oscilações. Capítulo Oscilações harmónicas simples

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1 Capíulo 4 Oscilações Oscilação é u processo uio cou na Naureza. Oscila as cordas de guiarra quando u úsico oca, oscila o pêndulo de u relógio, oscila o carro quando apanha u buraco. Oscila abé o clock de copuador, deerinando a requência co que o processador execua as operações. O relógio aóico, o ais preciso que a ecnologia oderna pode oerecer, é baseado nas oscilações das caadas elecrónicas do áoo de césio. As oscilações dão orige às ondas de odo o ipo e abé esão envolvidas no processo de recepção do sinal que as ondas ranspora. Eses enóenos ísicos, ebora de naureza dierene, ê uio e cou e segue as leis seelhanes. Iso perie-nos esudar as caracerísicas gerais das oscilações nos exeplos siples. Ese é o cainho que vaos seguir nese capíulo. Vaos esudar u sisea ecânico siples, coposo por ua assa e ua ola, coeçando por considerar u sisea se ario e inroduzindo, passo a passo, os eeios que aproxia u sisea idealizado a u sisea real. E não esqueçaos que o nosso objecivo é ais abicioso do que esudar apenas ese sisea concreo: é, si, ober ua visão generalizada dos processos oscilaórios qualquer que seja a naureza deses.. Oscilações harónicas siples Considereos, para coeçar, u sisea siples coposo por u bloco de assa que desliza se ario nua superície horizonal e que esá ligado a ua parede aravés de ua ola co a consane elásica k (ver igura). Quando a ola não esá disendida ne copriida, e u coprieno l e o bloco ica e posição x se se over. Vaos agora pegar no bloco co a ão e desloca-lo para a posição x = x + x de odo que a ola ica disendida co u coprieno l + l (obviaene, l = x). Que izer esa experiência veriica que é preciso azer u 65

2 esorço para disender a ola porque esa e endência para volar ao coprieno naural. Veriica-se, abé, que ese esorço é ano aior quano ais disenderos a ola. E eros ísicos, ese aco experienal descreve-se co ua orça, criada pela ola disendida e chaada orça elásica, que acua no senido conrário ao vecor l e que é proporcional ao valor absoluo do desvio do coprieno naural l F = k l el (quando esicaos a ola, a orça elásica ena coprii-la, as se a copriiros, a orça elásica vai enar expandi-la). Esa lei é abé conhecida coo a lei de elasicidade de Hooke pelo noe de u ísico inglês Rober Hooke que a descobriu e 66. Quando largaos o bloco, ese enra e ovieno no senido ao x, ganhando velocidade (ver igura). O valor absoluo da orça elásica diinui à edida que o coprieno da ola se aproxia do seu coprieno naural, l. Ao passar o pono x, o senido da orça elásica invere-se. Agora, a orça elásica e vez de acelerar o bloco, coo no início, conraria o ovieno azendo co que o bloco desacelere e pare nu cero pono à esquerda do x. Mas a orça elásica coninua a acuar obrigando o bloco a volar para rás, ec. O ovieno erá u carácer repeiivo (periódico) e na ausência do ario, coo no nosso exeplo, coninua durane epo ininio. Ese ipo de ovieno chaa-se ovieno oscilaório e o pono x, e que a orça elásica é igual a zero, chaa-se pono de equilíbrio. Podeos já inroduzir os parâeros que caraceriza o ovieno oscilaório. O desvio áxio do bloco da posição de equilíbrio é igual ano à direia coo à esquerda chaa-se apliude de oscilação, A. O inervalo de epo ínio, e que o sisea vola ao esado inicial, chaa-se período, T. É indierene e que insane de epo coeça a conar o período, as é iporane que o sisea dê ua vola coplea, i.e. regresse à esa posição e se ova no eso senido. Por exeplo, se coeçaros a conar o epo no insane e que largaos o bloco, o período será igual ao epo que ese deora a chegar à esquerda e volar à posição exrea do lado direio. Podeos abé coeçar a conage quando o bloco passa à posição de equilíbrio ovendo-se para a esquerda, as nese caso o período vai incluir as passagens pelo pono exreo do lado esquerdo, pela posição de equilíbrio a over-se à direia, pelo pono exreo à direia e, inalene, na chegada à posição de equilíbrio oura vez. 66

3 l x v F el l + l x + x v F F el = F el = -k l v v = F el v F el v F el v = F el = v v = F el F el ec. Medir o período O inverso do período chaa-se requência, =. A requência é igual ao T núero de oscilações (volas copleas) que o sisea eecua por segundo. A unidade de requência é u Herz sendo Hz = s - (Heinrich Herz é u ísico aleão do século XIX que descobriu as ondas elecroagnéicas). O nosso objecivo é a descrição aeáica do ovieno oscilaório. Coeçaos por aplicar a segunda lei de Newon ao nosso sisea. a = kx onde do lado direio da equação já colocáos a orça elásica (o peso do corpo e a orça da reacção noral do plano horizonal anula-se ua à oura e, por isso, não 67

4 esão incluídas na equação). O x aqui é a coordenada do bloco escolheos a orige do x na posição de equilíbrio para sipliicar o cálculo (i.e., x = ). Lebrando que a = d x, eos d d x = kx. d Fazendo uas ransorações siples e designando a segunda derivada do x e orde ao epo por & x& (é ua convenção habiual), chegaos a k & x = x. Convé designar a razão k/ por u parâero ω = k, cujo signiicado já vaos ver a seguir. É iporane noar para eeios de resolução da equação dierencial que coo e k, ano ω são consanes e não depende do epo. Assi, & x = ω x, - eis a equação dierencial de segunda orde cuja solução, x(), descreve a rajecória do corpo. Só nos ala resolvê-la... Na aeáica exise éodos rigorosos para enconrar a solução (ou as soluções), as vaos siplesene enar adivinhar a unção cuja segunda derivada é igual ao siérico da própria unção: ( ) = ( ) ignorando, para já, a consane ω. Podeos invocar, abé, alguas considerações ísicas acerca das propriedades da unção que esaos a procurar. Sabeos, por exeplo, que esa unção deve ser periódica (porque e que descrever u ovieno repeiivo) e que o x oscila, e unção do epo, enre duas posições exreas passando pelo no eio. Vendo de pero, parece que esaos a descrever u seno ou co-seno... Realene, as unções sin() e cos( ) ê essas propriedades e ainda sin( ) = sin( ) e cos( ) = cos( ). Fala ainda incluir na solução a consaneω. É ácil veriicar que sin( ω ) = ω sin( ω ) e cos( ω ) = ω cos( ω ). Veriicaos, enão, que abas as unções x( ) = sin( ω ) e x( ) = cos( ω ) são soluções da equação de ovieno. Qual aquela que preerios? De aco, sabe-se da aeáica (e é ácil de deonsrar), que se exisire várias soluções de ua 68

5 equação dierencial linear (i.e. que não coné produos das derivadas), ua cobinação linear dessas soluções abé saisaz a equação. Há ainda ais u porenor que deve ser oado e cona: a equação de ovieno coné a segunda derivada do x e orde ao epo, & x&. Qualquer que seja o éodo que escolheos para resolver a equação, o cainho da & x&( ) para o x() e que passar ineviavelene pela dupla inegração. E, coo sabeos, cada operação de inegração vai azer aparecer ua consane indeinida. Dese odo, o resulado inal vai coner duas consanes. ora Tendo e cona esas considerações, escreveos a solução geral da seguine x( ) = a sin( ω ) + b cos( ω onde a e b são consanes de inegração. Deixa-se ao aluno a area de veriicar que a ) unção acia é solução da equação dierencial & x = ω x independeneene dos valores das consanes a e b (para isso, subsiue-se x e & x& na equação pela unção ( x ) = a sin( ω ) + b cos( ω ) e a sua segunda derivada, respecivaene, e veriicase que a equação se ransora nua igualdade). Repare que os valores das consanes a e b não esão deinidos. A equação não nos diz nada acerca dos valores concreos. Ainda ais quaisquer valores de a e b saisaze a equação! Coeçáos por escrever a equação do ovieno para u processo ísico be concreo, e que x() e u valor exaco e qualquer insane de epo, as chegaos a ua unção geral que abrange odos os ovienos que u sisea coposo por u corpo de assa e ua ola de consane elásica k pode er! Agora, eos que enconrar ua aneira de deerinar os valores das consanes para que a unção x() descreva o nosso exeplo. A inoração sobre esses valores não esá na equação dierencial, as si nas condições iniciais, ais coo, por exeplo, a posição inicial e a velocidade inicial, ou posição e aceleração iniciais ou e qualquer ouro oeno, ou ainda as posições e e e, ec. Coo eos duas consanes a deinir, precisaos de ais duas equações para alé da equação dierencial. Anes de avançaros, vaos odiicar a solução e ora x ) = a sin( ω ) + b cos( ω ) para ua ora ais cóoda de analisar. Para isso, ( 69

6 e vez de u par de consanes independenes a e b inroduzios u ouro par de ouras consanes independenes A e δ ligadas às a e b aravés das equações a = A sinδ b = A cosδ Dese odo, eos para a unção x ) = Acosδ cos( ω ) Asinδ sin( ω ) ou ( x ( ) = A cos( ω + δ ) (uilizaos aqui a órula de rigonoeria cos( α + β ) = cosα cos β sinα sin β ). Esa é a ora ais habiual da unção que descreve ua oscilação harónica siples. O gráico desa unção esá represenado na igura ao lado. Daqui orna-se claro o signiicado dos parâeros: A corresponde ao desvio áxio da posição de equilíbrio e chaa-se apliude de oscilação; δ deerina o valor da unção e = : x ( ) = A cosδ e chaa-se ase inicial. E uias siuações pode-se escolher a orige do eixo do epo de al aneira que a ase inicial seja igual a zero. Nese caso, x() = A. Sabendo o signiicado ísico das consanes A e δ, podeos perceber porque é que a equação dierencial não ornece inoração sobre esas é porque a apliude A é deerinada pela acção da nossa ão ao esender a ola e, porano, soos nós, e não a segunda lei de Newon, que deinios a apliude das oscilações. O valor da ase inicial δ é apenas ua quesão de escolha da orige do eixo do epo. Co a consane ω é dierene. Esa é deinida pela consane elásica da ola e pela assa do corpo e, porano, não depende da nossa vonade, coo é o caso da A e do δ. É ácil veriicar que ω caraceriza a axa (requência) co que o sisea oscilaório vola ao esado inicial (i.e. a esa posição e co o ovieno no x() A T A cos δ π π 3π -A T eso senido): chaa-se requência própria do sisea. Muias vezes dá-se a ese ero u noe ais exenso requência própria circular para a disinguir da requência inroduzida acia (diz-se abé requência linear). O inervalo de epo ínio, necessário para que o sisea vole ao esado inicial, chaa-se período de oscilação, T. Coo o período do co-seno é igual a π, podeos escrever a 7

7 Frequência linear e requência angular Das duas requências, a requência linear e u signiicado ísico ais ransparene é o núero de oscilações (volas copleas) que o sisea az por segundo. A requência angular é π vezes isso. A razão pela qual surge o acor π é uio siples: porque ese é o período das unções rigonoéricas seno e co-seno. Enão, porque é que é angular? Iso e a ver co o aco de o ovieno oscilaório poder ser viso coo projecção do ovieno circular no plano xy para u dos eixos (ver a igura). O ero angular ve desa represenação, o que az odo o senido para u ovieno circular, as inroduz algua conusão no caso do ovieno oscilaório dos siseas lineares, ais coo ua assa e ua ola, por exeplo. ω = π = T x=r cos(ω ) y y =R sin(ω ) φ x φ =ω seguine relação ω T π. Lebrando que requências e ω = T = chegaos à relação enre as duas ω = π (o índice sublinha que a requência que esá e causa é a requência própria deinida coo ω = k ; coo vereos ais arde, há siuações e que o sisea oscila co ua requência dierene da requência própria). Coo já veriicáos no capíulo sobre cineáica, o conhecieno do x() perie-nos calcular ouros parâeros cineáicos, noeadaene a velocidade e a aceleração x( ) = A cos( ω + δ ) v( ) = x& ( ) = Aω sin( ω + δ ) a( ) = v( & ) = Aω cos( ω + δ ) Daqui, podeos calcular a energia cinéica associada ao sisea v A ω T = = sin ( ω + δ ). A parir desa equação veriica-se que a energia cinéica varia e unção do epo enre e o valor áxio de A ω T ax =. Para calcular a energia poencial eos 7

8 que recordar a relação enre a orça e a energia poencial associada a esa orça, du ( x) F( x) =. Coo a orça nese sisea é a orça elásica, F( x) = kx, obeos dx a energia poencial co o seguine cálculo U ( x) = F( x) dx = k xdx = e que escolheos a consane de inegração C = por razões de conveniência. Ao kx subsiuir x por x() chegaos à energia poencial e unção do epo Soando T()+U() e lebrando que energia ecânica ka U ( ) = cos ( ω + δ ). k ω = (é assi que a deinios) eos a A ω ka E = T + U = sin ( ω + δ ) + cos ( ω + δ ) = ka ka = sin ( ω + δ ) + cos ( ω + δ ) = ka = i.e., a energia ecânica do sisea não depende do epo, apesar de a energia cinéica e a energia poencial variar, cada ua, e unção do epo. Por ouras palavras, o sisea oscilaório coposo por ua ola e ua assa é u sisea conservaivo (convé lebrar aqui que a nossa suposição inicial era que não exise ario no sisea). Coo a orça elásica é a única orça que enrou na equação de ovieno por nós coposo, a = kx, podeos concluir que a orça elásica é ua orça conservaiva. A variação do x(), v() e a(), ano coo T() e U(), co o epo osra-se na igura ao lado. U() T() x() v() a() E=U+T 7

9 . Oscilações nu sisea arbirário Vaos osrar nesa secção que as oscilações harónicas siples pode surgir e uias siuações, co orças de naureza uio dierene, e não apenas nu sisea coposo por ua ola e ua assa, coo acabáos de ver na secção anerior. Para isso, considereos u sisea conservaivo absraco, cuja energia poencial se descreve co ua unção U(x). Suponhaos abé que esa unção e u ínio e x = x, i.e. ua posição de equilíbrio esável. Coo acabáos de veriicar no capíulo anerior, o ovieno e orno de u ínio de energia poencial e carácer repeiivo, periódico, devido à orça resauradora que surge assi que o sisea é desviado do x = x e que acua no senido de o devolver para a posição de equilíbrio. Ese ipo de ovieno chaa-se, e geral, ovieno oscilaório. Vaos supor que os desvios do sisea da posição de equilíbrio e x = x são suicieneene pequenos para poderos uilizar a expansão da unção U(x) e série de Taylor e orno do pono de equilíbrio ( x x ) U ( x) = U ( x ) + U ( x ) ( x x ) + U ( x ) +... (recorde-se que a escria U x ) signiica a prieira derivada da unção U (x) ( calculada no pono x = x, i.e. U x ) é u núero; U x ) é a segunda derivada ( calculada e x = x ec.). O prieiro ero desa equação é ua consane e não e ineresse para a deinição da energia poencial - podeos aé ignora-lo. O segundo ero é nulo porque a unção U(x) e u ínio e x = x (essa era a nossa suposição inicial) e, porano, U ( x ) =. Só nos resa o erceiro ero, acerca do qual podeos dizer que ese é posiivo ua vez que no pono e que ua unção e u ínio, a segunda derivada é posiiva. Podeos designar enão, U ( x ) = k >. Vaos abé supor, para aciliar as conas, que x =. É ácil consaar que não se perde nada ao azer esa suposição, é apenas ua quesão de escolha de u reerencial adequado. Dese odo, a equação para a unção U(x) orna-se U ( x) k x + cons. ( 73

10 U co-seno ou ua parábola? U co-seno e ponos exreos aproxia-se uio be de ua parábola. Se izeros a expansão do co-seno e série de Taylor nas vizinhanças do pono ( x x ) x = x, obeos cos x cos( x ) sin( x ) ( x x ) cos( x ). A igura osra u exeplo para x = π. Nese pono, cos π = e cos π = de odo ( x π ) que cos x +. y y = + ( x π ) y = cos x x π π 3π π - Iso signiica que, qualquer que seja a ora concrea da unção correspondene à energia poencial U(x), é sepre possível aproxiá-la de ua parábola nas proxiidades do pono de equilíbrio esável. A ora concrea da unção vai inluenciar apenas os liies para o desvio do pono de equilíbrio (apliude de oscilações) denro dos quais a aproxiação pode ser considerada aceiável. Mas U ( x) = kx é a energia poencial de u sisea co orça elásica F x) = kx (, coo vios na secção anerior quando aláos de u sisea coposo por ua ola (u eleeno elásico) e ua assa (u eleeno de inércia)! Já sabeos que u sisea deses represena u oscilador harónico siples cujo ovieno se descreve co ua unção harónica (seno, coseno ou i e ω ± ). Podeos concluir daqui que qualquer sisea que enha ua posição de equilíbrio esável esá sujeia às oscilações e esas oscilações ê carácer de oscilações harónicas siples, desde que a apliude seja pequena (i.e., a expansão e série de Taylor seja ua boa aproxiação). 74

11 3. Oscilações aorecidas As oscilações harónicas siples são u caso idealizado. U sisea pode oscilar co a esa apliude durane u epo ininio apenas na ausência das orças não conservaivas, ais coo ario e resisência do ar ou ouros eeios que leva à não conservação da energia ecânica coo, por exeplo, o aquecieno dos coponenes do sisea devido ao ovieno. E, realene, a única orça que oaos e cona quando escreveos a equação do ovieno d x = kx d orça elásica, que é ua orça conservaiva. Na realidade, coo sabeos, exise sepre dissipação de energia que se raduz na diinuição da apliude das oscilações (a nossa experiência do dia a dia perie-nos irar esa conclusão eso se eecuaros cálculos). Coo podeos oar ese eeio e cona? A segunda lei de Newon perie azê-lo acilene. Basa acrescenar à orça elásica ais ua orça a orça de ario d x dx = kx α. d d A orça de ario é assuida aqui sendo proporcional à velocidade, F a = α v é a, o que é verdade e uias siuações (nas velocidades grandes, no enano, pode aparecer eros proporcionais às poências ais elevadas da velocidade). O sinal enos indica que a orça de ario acua no senido oposo ao vecor velocidade. O coeiciene de proporcionalidade α é o coeiciene de ario. Dividindo abas as pares da equação por e inroduzindo novas consanes k α ω = (requência própria, coo anes) e λ = (coeiciene de aorecieno é u parâero que caraceriza a axa co que as oscilações se apaga, coo vaos ver a seguir), chegaos à equação & x + λ& x + ω x = que coné derivadas da segunda e da prieira orde da unção x() (uilizaos aqui as noiicações habiuais dx x & = e d & x = d x ). Que unção x() seria a solução para esa d equação dierencial? Alguas propriedades desa unção, podeos prever desde já. E prieiro lugar, a unção e que ser periódica co o período igual ou próxio a 75

12 π T =, coo no caso se ario. Alé disso, sabeos que a apliude e que ω diinuir co o epo, co ua axa relacionada, de algua aneira, co o coeiciene de aorecieno λ (a presença do ero λx& na equação de ovieno é a dierença principal coparaivaene ao caso anerior). À seelhança da oscilação harónica siples adivinhaos que a solução conerá, provavelene, seno ou co-seno, ou u exponencial co expoene coplexo que é, no undo, ua cobinação das unções rigonoéricas. Tendo e cona eses arguenos vaos procurar ua solução da ora x( ) = ae co dois parâeros, a e ω, que ainda não sabeos be o que são, as já podeos dizer que a se ede co as esas unidades que o x e, porano, é ua edida de deslocaeno; o ω e unidades s - e deve esar ligado à requência das oscilações. A unção exponencial oi uilizada e vez do seno ou co-seno apenas porque é ais ácil rabalhar co ela do que co as unções rigonoéricas. As derivadas do x e orde ao epo são x& = ae e & x = i ω ae = ω ae respecivas unções eos, e ao subsiuir x, x& e & x& na equação dierencial pelas ω ae + λ ae + ω ae = que depois de corar i ae ω se ransora nua equação quadráica ω + λ i ω + ω = cujas duas soluções e orde de ω (o reso dos parâeros conheceos) são ω, λ ± ω λ = i. Iso signiica que exise duas unções, que saisaze a equação dierencial, a e e a e. Repare que as consanes a e a não são necessariaene iguais. A equação dierencial não nos ornece inoração nenhua acerca desas consanes (o acor i ae ω cora-se nas ransorações acia independeneene do valor do a). Mas iso já não nos surpreende: a solução de ua equação dierencial de segunda orde deve razer duas consanes de inegração. Assi, a solução geral obé-se coo ua cobinação linear dessas duas soluções i ω + x( ) = a e a e 76

13 ou, ais copleo, ou, ainda, e, inalene, x( ) = a e x( ) = a e i ( iλ + ω λ ) i( iλ ω λ ) + a ( λ + i ω λ ) ( λ i ω λ ) + a e e x( ) = e λ ae i ω λ + a e i ω λ. Nesa expressão, a soa enre parêneses parece descrever a pare oscilaória ix ix e + e (recorde-se, = cos( x)?). Iso é verdade se o ero λ ω or real, o que pode não se veriicar na realidade. Há porano, duas siuações disinas a considerar. Siuação : λ < ω (aorecieno pequeno). Nese caso, a expressão sob raiz quadrado ω é posiiva e, porano, λ podeos subsiuir a soa de dois exponenciais na expressão para x() por u co-seno. Para isso, subsiuíos u par de consanes independenes a e a por u ouro par A e δ (à seelhança co o que izeos aneriorene): iδ a = Ae. Assi, eos e λ x( ) = A e i e ( ω λ + δ ) i( ω λ + δ ) + e iδ a = Ae e λ x( ) = A e cos ω λ + δ. A x() A e -λ λ=.ω Esa é a unção que descreve as oscilações aorecidas. Coparando co a respeciva unção para as oscilações harónicas siples, reparaos que a requência angular já não é igual à requência -A A -A e -λ A e -λ λ=.5ω própria, ω, as é inerior a esa ω = ω λ. A dierença é ano aior -A e -λ x() -A 77

14 quano aior or o coeiciene de aorecieno λ. Ouro eeio do ario, aliás já previso por nós, é que a apliude de oscilação agora é ua unção do epo, λ A ) = A e (. O coeiciene de aorecieno λ deerina a rapidez co que diinui a apliude. No liie do aorecieno desprezável, i.e. quando λ =, a unção que descreve as oscilações aorecidas ransora-se nua equação de oscilações harónicas siples co ua requência igual à requência própria do sisea ω ω = e a apliude independene do epo: ) = A ( ω +δ ) x cos (, coo era de esperar. Os gráicos da unção x() para dois valores do coeiciene de aorecieno esão represenadas ao lado. Siuação : λ > ω (aorecieno signiicaivo). Se or assi, a expressão sob raiz quadrado ω é negaiva e, λ consequeneene, a requência ω = ω λ e u valor iaginário. Qual é a inerpreação ísica dese aco? Vaos inroduzir u parâero real γ = λ ω. Enão, ω = iγ e para x() eos x( ) = e { i ( i γ ) a e a e i ( i γ ) + } γ { γ a e a e } λ λ x( ) = e + x( ) = a e ( λ + γ ) + a e ( λ γ ) Coo λ é sepre aior que γ (o γ oi deinido assi), abos os eros descreve u processo de decréscio exponencial e não exise nenhua coponene oscilaória na equação. A equação descreve, nese caso, a siuação e que o aorecieno é ão ore que o sisea esá ipedido de oscilar. Se o desviaros da posição de equilíbrio e o largaros, ese volará lenaene à posição inicial as nunca a ulrapassa, coo aconecia no caso do aorecieno raco (ver a igura). 78

15 4. Oscilações orçadas. Ressonância. Exise siuações e que as oscilações surge coo resulado da acção de ua orça periódica F() exerior ao sisea. O ovieno de u baloiço epurrado por ua pessoa ou a oscilação de u prédio sob eeio de ondas sísicas são dois exeplos. As oscilações dese ipo chaa-se oscilações orçadas. O período da variação da orça exerior, à parida, não esá correlacionada co o período co que o sisea oscila sozinho o período próprio do sisea π T (lebreos que para = ω ua assa ligada a ua ola de consane elásica k a requência própria é ω = k ). Coo vai oscilar o sisea sob o eeio da orça F()? Coeçaos, coo sepre, por escrever a segunda lei de Newon. A orça resulane é, nese caso, o soaório de rês orças da orça elásica F el = k x,da orça de ario F = α v e da orça exerior F(): a & x = k x α x& + F() & x&+ α x& + k x = F() α &&+ x x& + k x F( ) = F( ) & x + λ& x + ω x = Molas e aorecedores. U bo exeplo de u sisea oscilaório co aorecieno é a suspensão das rodas de u carro. As olas da suspensão, co o carro e cia, ora u sisea oscilaório co a k requência própria ω = e que é a assa do carro e k é a consane elásica das olas. Quando andaos de carro, não quereos, obviaene, que ese oscile ao apanhar cada buraco na esrada. Por isso, o sisea de suspensão e os aorecedores os eleenos co λ> que reduze as oscilações. k λ> 79

16 e que usaos as designações habiuais ω = k α λ = (coeiciene de aorecieno) e. Para que a resolução desa equação seja possível, eos que especiicar a ora uncional da orça exerior. Coo sabeos da aeáica, qualquer unção periódica pode ser decoposa nua série dos senos e co-senos. Enão, podeos subsiuir a orça exerior por ua orça harónica F( ) = F cos( ω ), se correr o risco de perder a generalidade na nossa caracerização do processo (repare-se que a requência da orça exerior ω não é necessariaene igual aω ): F & x&+ λ x& + ω x = cos( ω ) A solução desa equação dierencial de segunda orde não uniore (porque e ua unção do lado direio ) não é rivial. A oscilação orçada real inclui duas ases a ase ransiória, e que se inicia as oscilações, e a ase esacionária, e que as oscilações se esabiliza e a apliude se orna consane no epo. Vaos concenrar o nosso ineresse na ase esacionária e, e vez de ergulharos na resolução da equação, apresenaos já a solução e dedicaos a nossa aenção à análise do resulado. A solução esacionária da equação das oscilações orçadas co ua orça F( ) = F cos( ω ) é e que ( ω δ ( ω )) x( ) = A( ω ) cos + A( ω ) = é a apliude das oscilações orçadas e ( ω F ω ) + 4λ ω λω δ ( ω = ) arcan ω ω é a ase, abas dependenes da requência da orça exerior. O aco de a apliude das oscilações orçadas depender da requência da orça ω, e não apenas da apliude desa F, é noável. Ao analisaros a expressão para A( ω ), noaos que esa unção e u áxio e ω = ω λ (ver a caixa) 8

17 F A ax =. λ ω λ O gráico da apliude e unção da requência da orça exerior para vários valores de λ é represenado ao lado. A apliude áxia é ano aior quano enor or o aorecieno e ende para o ininio co λ. Ese enóeno de aueno signiicaivo da apliude de oscilações, quando a requência da orça exerior se aproxia da requência própria do sisea, é designado por ressonância. 7 A 6 O eeio de ressonância e u papel uio iporane e odas as áreas da ciência e ecnologia e aé na nossa vida. Todos os siseas ecânicos e elécricos, aóicos e nucleares são siseas oscilaórios, que ê ua ou várias requências λ/ω = ω / ω O áxio da unção A( ω ). Sabe-se que no pono e que ua unção e u áxio ou u ínio a derivada da unção é igual a. Enão, o que eos de azer para enconrar o áxio da( ω ) ou o ínio da A( ω ) é calcular o valor de ω e que = : dω da( ω ) F ( ω ω ) ( ) 8 ω + λ ω = = dω 3 ( ω ω ) + 4λ ω ) Para que esa expressão seja igual a, o nuerador e que ser igual a (o denoinador nunca é =): ( ω ω ) ( ω ) + 8λ ω = ( ( ω ω ) + λ ) ω = Esa equação e duas soluções: a solução ω = não nos ineressa porque corresponde ao caso esáico; a oura dá ω ω = λ ω = ω λ. Para provar que esa requência corresponde a u áxio e não a u ínio da apliude, e princípio, eos que calcular a segunda derivada da A ω ) e osrar que ela é negaiva nese pono. Nese caso concreo não há necessidade de o azer: vê-se logo que A( ω ) auena quando ω se aproxia a ω, seja de u lado ou do ouro (por causa do ero ( ω ) ω ). ( 8

18 próprias, e, quando esão sujeios a ua exciação do exerior, pode enrar e ressonância. O eeio da ressonância pode ser ano benéico coo alaene desruivo. Eis apenas alguns exeplos. Ressonância ao serviço do hoe. Rádio. Há ilhares de esações de rádio à nossa vola a eiir ondas elecroagnéicas para espaço, as co u bo recepor de ondas conseguios sinonizar a que ais gosaos. Coo? Coo conseguios disinguir sinais das eissoras dierenes que induze na anena do nosso rádio (apenas u pedaço de u io!) correnes de praicaene C L ω = ω ω = LC igual apliude? As ondas são eiidas co requências dierenes (por exeplo, a esação 9FM eie na requência 9 MHz). A anena esá ligada a u circuio elécrico coposo por ua bobina e u condensador - circuio LC (L é a inducância da bobina e C a capaciância do condensador) que é u sisea oscilaório co requência própria, ω = LC. O que oscila nese caso é a correne elécrica. Todas as ondas são igualene recebidas na anena e ransiidas ao circuio LC induzindo nese as oscilações. Se a requência dos sinais vindos do exerior or longe da requência ω, eses erão pouco eeio sobre o oscilador - a correne no circuio coninua a oscilar, as co ua apliude insigniicane. Ao eso epo, os sinais cuja requência coincide co a requência própria do sisea, resula e oscilações co ua apliude uio aior. Porano, o circuio LC perie seleccionar a requência desejada nu ar de ondas à nossa vola. Basa ajusar ω, variando a inducância ou a capaciância dos eleenos do circuio. No circuio LC, a inducância da bobine L represena o eleeno de inércia e o inverso da capaciância /C é equivalene à elasicidade dois coponenes necessários para que u sisea seja capaz de eecuar as oscilações (recorde-se que, para ua ola ω = k ). O aorecieno, que nu sisea real exise sepre, é 8

19 devido à resisência elécrica dos eleenos do circuio R (dos ios da bobina e das ligações). Quano enor or R, aior a ressonância, i.e. ais alo e ais agudo o pico no gráico da apliude das oscilações e unção da requência da orça exerior (nese caso da onda elecroagnéica incidene na anena) e, consequeneene, elhor a selecividade do aparelho. Micro-ondas. Nunca se pergunou a si próprio porque é que as icro-ondas aquece a água nu copo de vidro as não aquece o copo? O segredo esá, oura vez, na ressonância. A requência das icro-ondas nos ornos de cozinha esá escolhida para ser próxia à requência de roação das oléculas de água no eio líquido (os ornos de cozinha usa a requência de,45 GHz; λ,5 c). Por isso, as subsáncias que ê água na sua coposição absorve as icro-ondas co ua eiciência uio superior àquelas que não ê. Os perigos da ressonância. As obras de consrução civil deve conar co as orças exeriores periódicas, na orige das quais pode esar ano processos naurais (erraoos, veno) coo a acividade huana (assi coo u grupo de soldados a archar nua pone ou as vibrações devido ao rânsio das áquinas pesadas, ais coo u coboio, por exeplo). U exeplo de u desasre uio conhecido é a queda da pone suspensa sobre o esreio de Tacoa (Tacoa Narrows) nos Esados Unidos e 94. Co u veno relaivaene ore, cerca de 6 k/h, o abuleiro da pone coeçou a oscilar e acabou por cair. O veno era ore as consane e, no enano, oi ese veno que deu orige às oscilações. Inicialene, o veno causou as urbulências do ar e vola do abuleiro da pone. As urbulências do ar resulara e pequenos desvios do abuleiro da posição de equilíbrio que por sua vez aecara as urbulências e, de cero odo as oscilações. Criou-se u eedback posiivo no sisea, a esruura já não conseguia dissipar a energia ornecida do exerior e a pone ruiu. Ese desasre é o resulado de u conjuno de processos coplexos e que não é ácil isolar o eeio da ressonância na sua ora pura. No enano, a lição aprendida pelos engenheiros oi que é exreaene iporane saber calcular as requências próprias dos dierenes eleenos do sisea e projecar a obra de al aneira que esas eseja longe das requências de evenuais orças exeriores, qualquer que seja a sua orige. Os disposiivos de aorecieno são iporanes, abé eses 83

20 perie absorver a energia das osilações e são especialene iporanes quando a requência da orça é próxia da requência da ressonância (recorde-se que quano aior or o coeiciene de aorecieno, enor a alura do pico de ressonância no gráico de apliude e unção da requência da orça exerior). U eeio de naureza seelhane é a vibração das asas dos aviões ou de alguns dos seus coponenes (dos laps, por exeplo) cuja orige esá abé nas urbulências do ar ao conornar o aparelho e vôo. Ese eeio é be conhecido pelos consruores de aeronaves desde há uio epo (endo já causado alguas quedas) as ainda não esá copleaene copreendido. O noe genérico que se dá a ese enóeno é luer, que signiica vibrações, pulsações, ovieno irregular, agiação, ec. 84