Física II Ondas, Fluidos e Termodinâmica USP Prof. Antônio Roque Aula 8

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1 59117 Física II Ondas, Fluidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque Oscilações Forçadas e Ressonância Nas aulas precedentes estudaos oscilações livres de diferentes tipos de sisteas físicos. E ua oscilação livre, dadas as condições iniciais (posição e velocidade e t = ), as propriedades do oviento oscilatório do corpo são deterinadas pelos parâetros relativos ao próprio corpo () e às forças restauradora (por exeplo, a constante k da ola) e dissipativa (por exeplo, o coeficiente b visto na aula passada) atuando sobre ele. Nesta aula vaos estudar o caso iportante e que o corpo está sob a ação de ua força externa periódica que, e geral, não possui a esa freqüência das oscilações do corpo livre. Coo odelo do corpo sujeito à força externa, vaos continuar usando o odelo de u corpo de assa preso a ua ola de constante k oscilando e u eio dissipativo cuja força de resistência é dada por b& x. Então, a freqüência angular natural, ou própria, de oscilação do corpo é ω = k. Vaos supor que a força externa oscilatória é dada por F( t) F cos( ωt) =. (1) 1

2 59117 Física II Ondas, Fluidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque Ou seja, a frequência angular da força externa é ω. A situação considerada é ilustrada pela figura abaixo (a força de aorteciento não foi ostrada para não sobrecarregar a figura). A equação de oviento para o sistea é então: ou d x dt dx = kx b + F cos( ωt) dt, d dt x onde γ = b/ coo antes. dx F + γ + ω x = cos( ωt), () dt Antes de passaros para o estudo ateático da equação (), vaos considerar o problea da oscilação forçada do ponto de vista qualitativo. Quando o corpo é deslocado de sua posição de equilíbrio e então solto, ele coeça a oscilar co sua frequência angular natural ω.

3 59117 Física II Ondas, Fluidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque A força externa periódica, no entanto, tentará ipor a sua frequência própria ω sobre o corpo. O oviento resultante será algu tipo de cobinação de oscilações co as duas frequências, ω e ω. No entanto, por causa da presença da força dissipativa a coponente oscilatória co a frequência natural do corpo ω tenderá a desaparecer. O estágio inicial do oviento, no qual as duas oscilações co ω e ω se cobina, é chaado de transiente. Poré, depois de u tepo be aior que o tepo de decaiento τ d da oscilação aortecida, a coponente da oscilação co frequência ω terá decaído e o único oviento que continua é o co frequência ω (supostaente inalterada) devido à força externa. Neste segundo estágio teos o que se chaa de oviento no estado estacionário do oscilador forçado. E geral, quando se estuda oscilações forçadas o interesse principal é entender o coportaento do sistea no estado estacionário. Isto é o que fareos nesta aula. Vejaos agora a situação do ponto de vista ateático. A equação () é ua equação diferencial de segunda orde inoogênea. 3

4 59117 Física II Ondas, Fluidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque Da teoria das equações diferenciais ordinárias, sabeos que se x 1 (t) for ua solução particular da equação inoogênea, então a solução geral da equação inoogênea é dada pela soa da solução geral da equação hoogênea, que chaareos aqui de x h (t), co a solução particular x 1 (t): x( t) xh ( t) + x1 ( t) =. (3) A equação hoogênea é a equação do oscilador harônico aortecido estudada na aula passada. A sua solução geral foi obtida naquela aula (vaos considerar aqui apenas o caso (a) e que ocorre oscilação aortecida). Ela é x γt h ( t) = Ae cos ( ω' t + ϕ), onde γ ω' = ω é a freqüência da oscilação aortecida livre. 4 A solução x h (t) decai no tepo de aneira exponencial co u tepo de decaiento τ d = /γ. Para tepos be aiores que τ d os valores de x h (t) torna-se desprezíveis e a solução geral é dada apenas por x 1 (t). Da discussão acia decorre que o nosso interesse nesta aula será apenas o de obter ua solução particular da equação () e estudar o 4

5 59117 Física II Ondas, Fluidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque seu coportaento. Este coportaento será o coportaento estacionário do oscilador harônico aortecido forçado. Vaos agora coeçar nossa análise. Vaos coeçar atacando o problea considerando o caso siplificado e que não existe aorteciento (γ = ). Vocês pode perguntar: no caso e que não há aorteciento não há decaiento da oscilação co frequência ω e, portanto, toda a análise feita acia deixa de ser válida. Porque então estudar o regie de oscilações estacionárias co freqüência ω no caso se aorteciento? No caso se aorteciento este regie não existe! Isto é verdade e vocês verão que as equações estudadas neste caso levarão a alguns coportaentos não físicos (por estar erradas). Poré, as equações tabé levarão a alguns coportaentos que ocorrerão no caso co aorteciento, e o entendiento desses coportaentos fica ais fácil se coeçaros a estudá-los no caso siples se aorteciento. Portanto, vaos a ele. No caso idealizado e que não há aorteciento a equação () torna-se d x F + ω x = cos( ωt). (4) dt 5

6 59117 Física II Ondas, Fluidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque Neste caso, o decaiento da oscilação de frequência ω não ocorre, as vaos ignorar isso aqui e considerar que ele ocorre. Vaos, portanto, procurar por ua solução particular da equação (4) correspondendo ao caso estacionário e que o oviento se dá apenas co a frequência do oscilador externo ω. Para obter a solução da equação (4) no estado estacionário, vaos propor que ela seja da fora ( ωt) x( t) = B cos. (5) Note que esta proposição pressupõe que a solução de estado estacionário possui a esa frequência angular da força externa. Note que tabé estaos supondo que ela possui a esa fase. Nada nos garante, poré, que a solução proposta (5) é válida. Para verificar se ela é válida, deveos substituí-la e (4) e verificar se é possível encontrar u valor real para a constante B. Fazendo isso (ostre coo exercício), obteos que iplica que F Bω cos ( ωt) + Bω cos( ωt) = cos( ωt), 6

7 ou Física II Ondas, Fluidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque ( ω ω ) F B = B = F ( ω ω ). (6) Este valor de B é válido (isto é, é real), o que iplica que a solução proposta é de fato ua solução (particular) da equação (4). Note que a expressão (6) iplica que B depende de ω. O gráfico abaixo ilustra o coportaento de B e função de ω. Observe prieiraente que para ω < ω os valores de B são positivos, as para ω > ω os valores de B são negativos. Isto 7

8 59117 Física II Ondas, Fluidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque iplica que, para ω > ω as oscilações do corpo estão defasadas de 18 o e relação às suas oscilações para ω < ω. Observe tabé que B uda abruptaente de altos valores positivos para altos valores negativos quando ω passa por ω. E outras palavras, se levar e conta o sinal, o ódulo de B torna-se infinitaente grande quando ω é igual a ω. Este fenôeno é conhecido coo ressonância. Baseado no resultado obtido, pode-se reescrever a solução proposta (5) de ua aneira ais elegante. Ela é onde e ( ω + ϕ) x( t) = Acos t, (7) A = B ϕ = π F = ω ω se se ω < ω ω > ω Os gráficos de A e de φ e função de ω são dados abaixo. (8). (9) 8

9 59117 Física II Ondas, Fluidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque Observe os gráficos e certifique-se de que você entende a equivalência entre as equações (5) e (7). Lebre-se que cos ( ωt π ) = cos( ωt) +. A fora de se expressar a solução do problea pela equação (7) torna explícito o fato de que as oscilações do corpo forçado tê a esa fase que as oscilações da força externa para ω < ω e que as oscilações do corpo forçado estão defasadas de 18 o (φ = π) e relação às oscilações da força externa para ω > ω. 9

10 59117 Física II Ondas, Fluidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque Esta inversão de fase quando ω passa por ω é u fenôeno que acontece de fato no undo real, eso quando há aorteciento. Já o valor infinito da aplitude A para ω = ω e o salto descontínuo da fase φ quando ω passa por ω não acontece de fato no undo real (isto é, não são físicos). Eles são conseqüências ateáticas da liitação do odelo proposto aqui, que está desprezando a dissipação (e tabé de efeitos não-lineares devido à quebra da hipótese de pequenas oscilações quando ω = ω ). Ua aneira de entender a inversão de fase quando ω passa por ω é analisando a equação de oviento (4). A aceleração do corpo forçado é dada por (derivando-se duas vezes a equação (7) e relação a t): & x ( t) = ω x( t). Substituindo esta aceleração na equação (4), teos ou F ω x + ω x = cos( ωt), x = F ( ω ω ) cos ( ωt). (1) No caso e que ω < ω, o tero da direita na equação acia é positivo, iplicando que o deslocaento do corpo forçado te o 1

11 59117 Física II Ondas, Fluidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque eso sentido da força externa F. Já no caso e que ω > ω, o tero da direita é negativo, iplicando que o deslocaento do corpo forçado te sentido contrário ao da força externa F, isto é, está e oposição de fase a ela. Outra aneira de visualizar a inversão de fase, que vocês pode verificar fazendo experientos siples e casa, é analisando o coportaento do pêndulo siples quando seu ponto de suspensão é ovientado na horizontal para u lado e outro de fora harônica (veja a figura abaixo). Desprezando possíveis ovientos verticais aos quais o corpo de assa possa estar sujeito, ua análise da figura acia nos dá que T cos θ = g. Para pequenos ângulos de oscilação, cosθ 1 e então 11

12 59117 Física II Ondas, Fluidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque T = g. Portanto, a força restauradora atuando sobre o corpo é (veja a figura) F r Da figura tabé teos que de aneira que F r = Tsenθ = gsenθ =. g l x P sen θ = l, ( x P) = ( x P) ω, onde usaos a definição da frequência angular do pêndulo siples feita na aula 3, = g ω. l A equação de oviento para o pêndulo siples cujo ponto de suspensão sofre deslocaentos horizontais harônicos é então ou, rearranjando, ( x P) x& = Fr = &, ω & x&+ ω x = P. ωo Substituindo agora a expressão para o deslocaento teporal (harônico) do ponto de suspensão P, chegaos à equação final: 1

13 59117 Física II Ondas, Fluidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque = ( t) & x&+ ω x ωo P cos ω. (11) Note que esta equação é foralente idêntica à equação (4). A identidade ocorre se fizeros P = F ω o. Exercício: verifique que os teros dos dois lados da expressão acia tê a esa diensão (de aceleração). Coo a equação (11) é foralente idêntica à equação (4), as duas tê a esa solução. Olhando a solução de (4) dada por (7), teos que a solução de (11) é co x t) = Acos t ( ω + ϕ) (, (1) A = ω P o ω ω (13) e ϕ = π se se ω < ω ω > ω. (14) 13

14 59117 Física II Ondas, Fluidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque A análise feita acia ostrou que o pêndulo siples co seu ponto de suspensão P sofrendo deslocaento harônico dado por P = P cos(ωt) te o eso coportaento estacionário que o do oscilador harônico siples forçado por ua força externa F = F cos(ωt). E particular, os gráficos das páginas 7 e 9 se aplica ao caso do pêndulo tabé, de aneira que suas oscilações deve sofrer ua inversão de fase e relação ao deslocaento P quando a frequência de P tornar-se aior que ω. Experiento para casa: Arranje u pêndulo (u fio fino e coprido co ua bola presa a ua de suas extreidades) e, co sua ão, faça a extreidade pela qual o pêndulo está suspenso se ovientar horizontalente co ua frequência f: (i) be pequena; e (ii) be grande. Observe o que acontece (é elhor se concentrar no oviento da sua ão, para que ele peraneça horizontal e estacionário, e pedir para u colega dizer o que se passa co a bola na outra extreidade. Você (ou seu colega) deverá observar o seguinte (lebre-se que ω = πf): Para f A P φ = Para f A φ = π 14

15 59117 Física II Ondas, Fluidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque Tente tabé achar a frequência de ressonância. Ua dica sobre que valor de f usar ve da fórula: ω f = = π onde l é o copriento do fio. 1 π g l,5 l, Espero que esse experiento caseiro seja suficiente para convencêlos de que há ua udança de 18 o na fase da oscilação forçada quando a freqüência angular ω da força externa torna-se aior que a frequência angular natural do oscilador ω. Vocês pode ter se perguntado porque o étodo da exponencial coplexa não foi usado acia para resolver a equação (4). O otivo disso foi siplesente para ostrar-lhes que, e geral, sepre há outras aneiras de se resolver u problea. Alguas torna a solução ais siples (ais elegantes, na visão dos físicos) enquanto outras a torna ais coplicada. Vejaos agora coo resolver o eso problea usando a técnica da exponencial coplexa. O prieiro passo é escrever a equação (4) na fora coplexa, usando a variável z(t) ao invés de x(t). A equação (4) é 15

16 59117 Física II Ondas, Fluidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque d x F + ω x = cos( ωt) dt, de aneira que a sua versão coplexa é d dt z F iωt + ω z = e. (15) Exercício: certifique-se de que você entendeu a razão pela qual o tero real cosωt foi transforado e e iωt quando se passou da fora real da equação para a coplexa. Dica: lebre-se da fórula de Euler. Vaos propor coo solução de (15) ua função coplexa do tipo Toando a derivada teporal segunda de (16), i( ω t +ϕ ) z = Ae. (16) i( ωt + ϕ ) & z = ω Ae, e substituindo-a juntaente co (16) e (15), Siplificando: Ae ( ωt + ϕ ) i( ωt + ϕ ) iωt + ω Ae = e. (17) F i ω ω Ae + ω Ae = F iϕ iϕ iϕ F F iϕ ( ω ω ) Ae = ( ω ω ) A = e. 16

17 59117 Física II Ondas, Fluidos e Terodinâica USP Prof. Antônio Roque Vaos agora usar a fórula de Euler e escrever e -iφ coo cosφ isenφ: F F ( ω ω ) A = cosϕ i senϕ. (18) Os teros dos dois lados da igualdade na equação acia tê ua parte real e ua parte iaginária (a parte iaginária do tero da esquerda é zero). Para que a igualdade seja satisfeita, os teros real e iaginário e abos os lados tê que ser iguais: e F ( ω ω ) A = cosϕ (19) F senϕ =. () Estas duas expressões leva à esa solução descrita pelas equações (8) e (9): (i) quando φ =, A=F /(ω ω ) ; e (ii) quando φ = π, A= F /(ω ω ). A solução pode então ser obtida toando-se a parte real da função coplexa proposta na equação (16): co A e φ dados pelas equações (8) e (9). ( ω + ϕ) x = Acos t, (1) 17