Movimentos oscilatórios

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1 Movientos oscilatórios Prof. Luís C. Perna Moviento Periódico U oviento periódico é u oviento e que u corpo: Percorre repetidaente a esa trajectória. Passa pela esa posição, co a esa velocidade e a esa aceleração, ao fi de u intervalo de tepo igual a u período, T. Quando a trajectória é percorrida e abos os sentidos, o oviento periódico toa a designação: de oviento oscilatório (se é relativaente lento); ou oviento vibratório (se é rápido). Quando o sistea oscila e torno de ua posição de equilíbrio designa-se por oscilador.

2 Força deforadora e força elástica Análise do oviento de u corpo ligado a ua ola. Força deforadora força que provoca a deforação (copressão ou distensão) na ola e equilíbrio. Força elástica (força restauradora) força que tende a levar a ola, de novo, à sua posição de equilíbrio, opondo-se, e cada instante, à força deforadora. Elongação e aplitude À coordenada de posição chaa-se elongação. Esta corresponde à edida da deforação da ola relativaente à sua posição de equilíbrio. À elongação áia chaa-se aplitude. Considera-se elongação positiva quando ( > 0) na distensão e elongação negativa quando ( < 0) na copressão.

3 Lei de Hooe Verifica-se eperientalente, que a intensidade da força deforadora quer distenda quer copria a ola elástica, é directaente proporcional ao alongaento ou copressão produzidos na ola () Lei de Hooe. F elást Lei de Hooe O sinal negativo indica que a força elástica te sentido oposto ao do alongaento ou copressão, relativaente à posição de equilíbrio. é a constante de elasticidade da ola, e é ua edida da rigidez ou grau de elasticidade da ola. F elást As olas duras ou fortes tê valores elevados de., eprie-se no sistea SI, e Newton por etro, N -. 3

4 Trabalho da força elástica A força elástica realiza trabalho porque tende a levar a ola à sua posição de equilíbrio. A força elástica realiza: Trabalho negativo sepre que ola é deforada (copriida ou distendida), ua vez que actua e sentido oposto ao deslocaento. Trabalho positivo sepre que a ola regresse à posição de equilíbrio (depois de deforada), ua vez que actua no sentido do deslocaento. Cálculo do trabalho da força elástica O trabalho da força elástica na copressão e na distensão da ola pode ser calculado a partir da área do seguinte gráfico: W Felást 4

5 Moviento Harónico Siples Movientos Harónicos Siples (MHS). São ovientos periódicos devido a forças que obedece à Lei de Hooe. Eeplos: as vibrações de u diapasão; as vibrações dos átoos nua olécula; as vibrações do cristal de quartzo de u relógio; as pequenas oscilações de u pêndulo, etc. MHS - Aceleração Aplicando a segunda Lei de Newton ao oscilador harónico siples, e coo o atrito é desprezável, a força resultante é igual à força elástica. A aceleração é: a a Esta epressão ostra que a aceleração do oviento não é constante. Nu oviento harónico siples, a aceleração é, e cada instante, proporcional e de sentido contrário à elongação do oscilador. 5

6 MHS Análise da Aceleração Coo a aceleração não é constante as equações cineáticas não pode ser aplicadas. a Se o bloco é largado de ua posição = A, então a aceleração inicial é A/. Quando u bloco passa pela posição de equilíbrio, a = 0. O bloco continua até = -A onde a sua aceleração é +A/. MHS Análise da Velocidade No MHS durante ua oscilação, a velocidade varia e ódulo e e sentido. À edida que o oscilador se aproia da posição de equilíbrio, a velocidade auenta. Nessa posição, a velocidade é áia. Nas posições etreas, a velocidade é nula e o oscilador inverte o sentido do oviento. 6

7 MHS - Frequência angular a d dt Definindo ua nova constante, (frequência angular) tal que: A frequência angular,, é ua característica do oscilador depende apenas das suas propriedades ecânicas: assa do corpo e da constante de elasticidade da ola a que está ligado. Lei do Moviento Harónico Siples d a dt d a dt Equação diferencial A solução desta equação diferencial é: A ( t ) sin 0 A é a aplitude da oscilação é frequência angular do oscilador LEI do MHS 0 é a fase inicial ou fase na orige: deterina o afastaento da posição de equilíbrio no instante t = 0 s do oscilador. ( t ) 0 é o ângulo de fase ou siplesente fase 7

8 Ua eperiência sobre MHS A caneta ligada ao corpo oscilante, traça ua curva sinusoidal no papel que se ove. Isto, coprova a curva correspondente à função sinusoidal encontrada anteriorente. Velocidade e aceleração de u oscilador harónico siples A velocidade e a aceleração de u oscilador harónico siples obté-se, tal coo acontece para qualquer oviento, por derivação da lei geral do oviento. A sin ( t 0) a v dv dt d dt v A cos ( t 0) a A sin ( t ) Co 0 8

9 Posição, Velocidade e aceleração de u oscilador harónico siples Asin t v A cos t a A sin t Velocidade e aceleração para intervalos de tepo correspondentes a quartos de período Asin t v A cos t a A sin t t v a 0 0 A 0 T/4 A 0 - A T/ 0 - A 0 3T/4 -A 0 A T 0 A 0 9

10 Período e frequência do MHS O período, T, é o intervalo de tepo ao fi do qual o oscilador retoa a esa posição. Portanto, ( t) ( t T) Asin ( t 0 ) Asin ( t T) Coo a função seno retoa o seu valor quando a fase se altera de, será: t 0 ( t T) 0 T T 0 Coo: Frequência angular, então: T Período f Frequência Período e frequência do MHS T Período f Frequência A epressão do período de oscilação ostra que este: Auenta co o auento da assa ; Diinui co o auento da constante elástica da ola,. O período,t, e a frequência, f, são independentes da aplitude, A. Diz-se que as oscilações são isócronas. U oscilador harónico siples eecuta oscilações isócronas. 0

11 Energia do oscilador harónico siples No oviento oscilatório, há transforação de energia potencial elástica e energia cinética e vice-versa. Considerando desprezável o efeito do atrito, durante o oviento há conservação da energia ecânica. E Ec Ep elástica Energia potencial elástica Sabeos do 0º ano, que o trabalho realizado por ua força conservativa (peso) é siétrico da variação da energia potencial (gravítica). W Ep P gravit. Coo a força elástica é ua força conservativa, é possível definir que o trabalho da força elástica seja siétrico da variação da energia potencial elástica (Ep elást. ). Logo: W F Ep elástica elástica

12 Energia potencial elástica Escolhendo a posição de equilíbrio coo ponto de referência para a energia potencial, o trabalho realizado pela força elástica entre a posição de equilíbrio e u qualquer ponto de coordenada, é: W (0) F elást. [ Epelást.( ) Epelást.(0)] W (0) F elást. Ep elást. ( 0) Epelást.( ) Coo: W F elást. Então teos: W Epelást. (0) F elást. Ep e elást. ou ( ) Ep elást. Energia potencial elástica A epressão ostra-nos que: A energia potencial elástica é tanto aior quanto aior for a elongação. Ep elást. Nas posições etreas onde o oscilador inverte o sentido do oviento a energia potencial elástica é áia. Na posição de equilíbrio a energia potencial elástica é nula.

13 Energia cinética No oviento harónico siples, a velocidade é: v A cos ( t 0) Substituindo, na epressão da energia cinética, v Ec cos Ec A ( t 0 ) Na posição de equilíbrio, o oscilador possui apenas energia cinética. Nesse ponto o ódulo da velocidade é áio: v á. A Ec ou Ec ( A ) Deonstra-se ais á frente á. A Energia ecânica A energia ecânica será: E Ec Ep elást E Coo: E A cos A cos ( t ) e 0 ( t ) 0 sin A energia ecânica do oscilador será: A A sin ( t ) cos A E E A 0 sin ( t ) 0 3

14 Energias cinética, potencial e ecânica Gráficos da energia potencial e cinética Gráficos da energia potencial e da energia cinética e função da elongação. Ec ( A ) Epelást. E A 4

15 Energia do oscilador e função do tepo Na figura seguinte podeos observar graficaente a energia e função do tepo. E qualquer instante, a sua soa te sepre o eso valor: a energia ecânica do oscilador. Ec ( A ) Ep elást. Moviento harónico aortecido U oviento harónico siples, co aplitude constante, pressupõe que não haja perdas de energia; no entanto, na prática, há sepre perdas de energia devido ao atrito ou à resistência do ar. Quando a aplitude da oscilação vai diinuindo, dizeos que o oviento é aortecido. Siulação A oscilação aortecida deve-se a ua força de aorteciento que se opõe ao sentido do oviento; o seu trabalho é negativo, levando a ua diinuição da energia ecânica do sistea. 5

16 Moviento harónico aortecido Os efeitos de aorteciento são uitas vezes provocados deliberadaente. Por eeplo, no sistea de suspensão dos autoóveis os aortecedores estão ligados a olas de suspensão. Quando u carro é sujeito a vibrações violentas, estas são aortecidas por este sistea, que reduz a sua aplitude, diinuindo as oscilações. O pêndulo gravítico O pêndulo gravítico siples é constituído por u pequeno corpo de assa suspenso de u fio de copriento L. A assa do fio é uito enor do que a assa do corpo e, por isso desprezável. O fio, considerado inetensível, é suspenso de u ponto fio. Deste odo, o corpo descreve, no plano vertical u oviento de vaivé nua trajectória curvilínea. 6

17 O pêndulo gravítico, u eeplo de MHS Quando o corpo é afastado da sua posição de equilíbrio de u ângulo, passa a ter u oviento oscilatório e torno da posição vertical. As forças que actua no pêndulo são: -Tensão, T. - Peso, P. E qualquer posição, há ua força que pua o corpo para a posição de equilíbrio. Que força restauradora é essa? É a coponente tangencial do peso. F t Psin O pêndulo gravítico, u eeplo de MHS Se consideraros apenas pequenas oscilações, isto é, valores de 0º é válido fazer a seguinte aproiação na coponente tangencial do peso: F t gsin g Mas o valor de é tal que: Ou seja: s s E, coo o ângulo é uito pequeno, te-se s e: F t g g s 7

18 O pêndulo gravítico, u eeplo de MHS F t g onde g g A força restauradora segue a lei de Hooe: F t a t g O oviento do pêndulo é harónico siples, as apenas para pequenas oscilações ou seja quando. O período do oviento é: a t T T l g g l O pêndulo gravítico, u eeplo de MHS T l g O período das pequenas oscilações depende do copriento do pêndulo e da aceleração da gravidade; O período não depende da assa do oscilador e, por isso, diz-se que as oscilações são isócronas. 8